1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 课件（共26张PPT）--湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共26张PPT)
湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理
第1章 整式的乘法
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
怎样计算下列各题？
（3）(x + y + 4)(x + y - 4).
（1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)；
（2）(a + 3)2 (a - 3)2；
运用乘法公式进行计算
讨论：选择什么 方法呢？
1
运用乘法公式进行计算和推理 教学过程
第1页：复习导入（3分钟）
1. 提问回顾：多项式乘多项式法则是什么？请用字母表示。（学生回答：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn）
2. 引出问题：当多项式特殊时，是否有简便算法？计算：(x+1)(x-1)、(2a+b)(2a+b)，引导学生观察结果特点，导入乘法公式主题。
第2页：平方差公式推导与理解（8分钟）
1. 推导：引导学生计算(a+b)(a-b)，结合多项式乘法法则展开得a -ab+ab-b ，合并同类项后得出平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b 。
2. 解读：强调公式结构特征——两个数的和乘这两个数的差，等于这两个数的平方差；明确“a、b可表示数、单项式或多项式”。
第3页：完全平方公式推导与理解（8分钟）
1. 推导：计算(a+b) 和(a-b) ，展开后分别得到a +2ab+b 和a -2ab+b ，总结完全平方公式。
2. 解读：对比两个公式，强调“积的2倍项符号”差异；通过图形面积（正方形边长增减）辅助理解公式几何意义。
第4页：公式应用例题（12分钟）
1. 基础计算：例1：(3x+2y)(3x-2y)（平方差公式）；例2：(2m-3n) （完全平方公式），分步演示代入过程，规范书写步骤。
2. 变式推理：例3：已知a+b=5，ab=3，求a +b 的值（引导学生逆用完全平方公式：a +b =(a+b) -2ab），讲解公式逆用思路。
第5页：巩固练习与课堂小结（4分钟）
1. 快速练习：口算(5+a)(5-a)、(x+4) ，抽查学生回答，纠正常见错误（如完全平方公式漏写2ab项）。
2. 小结：回顾平方差、完全平方公式的结构与特征；强调“正用、逆用”的关键——找准公式中的“a、b”，灵活匹配表达式结构。
平方差公式
= x4 - 1.
（1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)；
交换律
（2）(a + 3)2 (a - 3)2.
= a4 - 18a2 + 81.
逆用积的乘方
平方差公式
完全平方公式
解：原式 = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1)
= (x2 - 1)( x2 + 1 )
解：原式 = [(a + 3)(a - 3)]2
= (a2 - 9)2
（3）(x + y + 4)(x + y - 4) .
= (x + y)2 - 16
= x2 + 2xy + y2 - 16.
平方差公式
完全平方公式
解：原式 = [(x + y) + 4] [(x + y) - 4]
例1 用乘法公式计算下列各题
= x4 - 81.
= 16x4 - 72x2 + 81.
运用什么运算律？
积的乘方的逆用
(2) (2x + 3)2(2x - 3)2
交换律
典例精析
例2
运用乘法公式计算：
（1）(a + b + c)2；
（2）(a + b - c)2.
(a + b - c)2
= [(a + b) - c]2
= (a + b)2 - 2(a + b)c + c2
= a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc.
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
解：(a + b + c)2
例3 运用乘法公式计算：(a – b + c)(a + b – c).
解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)]
= a2 – (b – c)2
= a2 – (b2 – 2bc + c2)
= a2 – b2 + 2bc – c2.
例4 运用乘法公式计算: (x + y)3
解：(x + y) = (x + y)( x + y)
= (x + y)(x + 2xy + y2)
= x + 2x y + xy2 + yx + 2xy + y3
= x + 3x y + 3xy + y .
例5 一个正方形花圃的边长增加到原来 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 ，求这个正方形花圃原来的边长.
解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m.
由数量关系，得 (2x +1)2= 4x2 + 21，
化简，得 4x2 + 4x +1 = 4x2 +21，
即 4x = 20，
解得 x = 5.
答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m.
1. 运用乘法公式计算 ,下列结果正确
的是( )
A
A. B.
C. D.
2. 已知 ，则代数式
的值为( )
A
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
3. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
原式
.
（3） ；
原式 .
（4） .
原式
.
4. “任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数
（即十位数字和个位数字组成的两位数）一定是25”.这一结
论可用下面的方法进行证明:
设个位数字是5的自然数为为自然数 ，则
.
这说明平方后的末两位数一定是25.
请你探索下面的问题：“任意一个末两位数是25的自然数，平
方后的末三位数（即依次由百位、十位和个位数字组成的三
位数）一定是多少？”并给出理由.#2.3
【解】
平方后的末三位数一定是625.
理由：设末两位数是25的自然数为为自然数 ，
则 .
这说明平方后的末三位数一定是625.
5. 两个连续奇数的平方差是( )
B
A. 6的倍数 B. 8的倍数 C. 12的倍数 D. 16的倍数
6. “幻方”最早记载于春秋时
期的《大戴礼记》中，现将数字 填入如
图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个
数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数
D
A. 6 B. 10 C. 14 D. 18
字的平方和分别记为，，，且 ，如果将
交点的三处填入的数字分别记为，，，则 的值为
( )
【点拨】因为每个圆圈上的四个数字的和都
等于21，所以三个圆圈上的数字之和为
.又因为填入的数字之和为
，所
以. 所以 .
因为 ，填入的数字的平方和为
，所以
.所以
.所以
. 所以
.因为 ，所以
.所以
.所以
.所以 . 故选D.
7. 已知, ,则
的值为___.
【点拨】因为，所以 ,
,,所以 ,
, ,所以
,所以
.因为
,所以 ,所以
.
8. 有如下一系列等式：
;
;
;
;
……
（1）根据你的观察，写出第8个等式：
______________________；
（2）( ) .
【点拨】
,即 是
的平方.
9. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习
“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观
地推导出了完全平方和公式：
（如图①）.利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解
决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题.#1
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图②可得等式：_______________________________
________________，利用该等式解决问题：若
，，则 _____；
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（2）如图③，若用
其中张边长为 的
正方形， 张边长为
的正方形， 张边
长分别为， 的长方形纸片拼出一个面积为
的长方形（无空隙、无重叠地拼接），求
的值.
【解】
可以看成是由2张边长为 的正方形，2张边
长为的正方形，5张边长分别为， 的长方形纸片拼成的大
长方形的面积.
所以，，.所以 .
，