2.1.1平方根和算术平方根 课件（共30张PPT）--湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共30张PPT)
湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
2.1.1平方根和算术平方根
第2章 实数
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
探 究
4 的平方根除了 2 和 －2 以外，还有其他的数吗？
因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4 的平方根.
类似地，边长小于 2 的正方形，它的面积一定小于4，从而比 2 小的正数都不是 4 的平方根.
平方根和算术平方根教学过程幻灯片内容
幻灯片1：情境导入
问题1：一个正方形花坛的面积是25㎡，它的边长是多少？
问题2：若正方形面积为a㎡，边长x满足什么关系式？（引导得出x =a）
引出课题：当x =a时，x叫做a的什么？今天我们学习——平方根和算术平方根
幻灯片2：平方根概念探究
定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（也叫二次方根）。
示例：∵(±5) =25，∴25的平方根是±5，记作±√25=±5
思考：（1）36的平方根是多少？（2）0的平方根是多少？（3）-4有平方根吗？
小结：正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根
幻灯片3：算术平方根概念
定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√a，0的算术平方根是0。
对比：25的平方根是±5，算术平方根是5（即√25=5）
练习：说出16、0.09的算术平方根，明确算术平方根的非负性（√a≥0，a≥0）
幻灯片4：概念辨析与应用
辨析：平方根与算术平方根的区别与联系（表格梳理：个数、符号、取值范围）
例题：求下列各数的平方根和算术平方根：（1）100 （2）0.49 （3）4/9
解题步骤：先判断数的正负，再根据定义求解
幻灯片5：课堂小结
1. 核心概念：平方根、算术平方根的定义及表示方法
2. 关键性质：正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根和算术平方根都是0，负数无平方根；算术平方根非负
3. 求解方法：根据平方与开平方的互逆关系求平方根和算术平方根
又由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根.
0 显然不是 4 的平方根.
所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2.
互为相反数
一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r.
正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作 ，
读作“根号 a”；
正数 a 的负平方根记作 ，
这样，正数 a 的两个平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号 a”.
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
x2 = a
（x ≥ 0，a ≥ 0）
根号
被开方数
（a 是非负数）
读作“正、负根号 a”
开平方 平方
互为逆运算
根据这种关系，可以求一个数的平方根.
一个正数有两个平方根，且它们互为相反数.一个正数只有一个算术平方根.
4 的平方根是________，
4 的算术平方根是________，
2 的算术平方根是________.
2 的平方根是________，
思 考
0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
0 有一个平方根，就是 0；
负数没有平方根.
例 1
分别求下列各数的平方根：
（1）36；（2） ；（3）1.21.
解：（1）由于 (±6)2 = 36，因此 36 的平方根是 6 与－6，即 .
（2）由于 (± )2 = ，因此 的平方根是 与－ ，
即 .
例 1
分别求下列各数的平方根：
（3）由于 (±1.1)2 = 1.21，因此 1.21 的平方根是 1.1 与－1.1，即 .
（1）36；（2） ；（3）1.21.
例 2
分别求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）1.96；（3） .
解：（1）因为 102 = 100，
所以 .
（2）因为 1.42 = 1.96，所以 .
（3）因为 ( )2 = ，所以 .
说说你发现了什么规律？
正数越大，它的算术平方根也越大.
1. 的平方根的数学表达式是( )
D
A. B.
C. D.
2. 的算术平方根是( )
D
A. B. C. D. 0.64
3. 下面语句中正确的是( )
D
A. 64的平方根是
B. 的平方根是
C. 的平方根是
D. 0的平方根和算术平方根都是0
4. 的平方根是_______.
5. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是
___.
6. 当为_ ___时， 有最小值，最小值为___.
5
6
7. 教材P33习题T3 求下列各式的值：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） .
.
8. 求下列各式中 的值：
（1） ；
【解】，, ,
解得 .
（2） .
，， ，
解得或 .
9. 已知一个正数的两个平方根分别是和 .
（1）求这个正数；
【解】由题意可得 ，
解得 ，
所以这个正数是 .
（2）求 的算术平方根.
由（1）知，所以 .
10. 如果是一个整数，那么整数 可取的值
共有( )
A
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
11. 若与 的和是单项式，则
的平方根为____.
【点拨】因为与的和是单项式，所以 ，
.所以.所以 的平方根
是 .
12. 如图，一个大正方形被
分割成四部分，其面积分别为， ，
， ，则大正方形的
边长为_________.
【点拨】因为大正方形被分割成四部分，其面积分别为
，，， ,所以大正方形的面积为
.又因为 ，
，所以大正方形的边长为 .
13. 已知，， 是两两不等的数，且满足下列等式：
，则
的值为___.
0
【点拨】因为
且，，是两两不等的数，所以 ，
，，，即 ，所以
且.所以.所以.所以 .所以原式
.
14. 小明每次回家进入电梯时，总能看见物
业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛
物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，
得知高空抛物下落的时间（单位：）和下落高度
（单位：）近似满足公式，其中 为重力加速
度，.物体落地时产生的动能 物体质量
（单位：） 重力加速度（单位：） 高度
（单位：），动能的单位名称为焦耳.例如：一个 重
的花盆从 高空坠落到地面产生的动能约为
.
（1）一个物体从 的高空坠落到地面大约需要几秒？
【解】把代入，得 ，
解得 （负值已舍去）.
答：一个物体从的高空坠落到地面大约需要 .
（2）一个的物体坠落到地面产生了 的动能，请推
算该物体坠落到地面用了几秒.
由题意得，解得 .
把代入，得 ，
解得 （负值已舍去）.
答：该物体坠落到地面用了 .
15. 探究发现：
（1）完成下列填空：
① ___；
② ____；
③ ___；
3
0.5
6
④ ___；
⑤ __；
⑥ __.
0
（2）根据（1）的计算结果，你发现其中的规律了吗？请写
出规律：____________________________________________
___________________________.
正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的
平方的算术平方根为其相反数
（3）利用你总结的规律计算：若，则
_______.
（4）有理数，， 在数轴上对应点的位置如图.
化简： .
【解】由数轴可知，，且 ，
所以
.
课堂小结
若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
（1）正数有且只有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0 有一个平方根，就是 0；
（3）负数没有平方根.
算术平方根： （a ≥ 0）
平方根： （a ≥ 0）
3. 平方根的表示方法