4.1.2 相交直线所成的角 课件（共45张PPT）--湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共45张PPT)
湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
4.1.2 相交直线所成的角
第4章 平面内的两条直线
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
图中∠1 和 ∠3、∠2 和∠4它们有什么特征
如图，将一把剪刀张开一定的角度，则可以构成4个角， 将其抽象，就可得到如图所示的几何图形.
新课探究
有共同的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的一对角叫作对顶角.
A
C
D
B
1
2
3
4
① 有共同顶点；
② 两边互为反向延长线
认一认
（1）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
D
解题策略 判断两个角是否为对顶角，首先看这两个角有没有共同的顶点，再看这两个角的两边是不是分别互为反向延长线.
O
2
1
3
4
E
B
A
C
D
（2）如图所示，直AB、CD相交于O点，OE是射线，则∠1的对顶角是_______，∠4的对顶角是_______ .
∠AOD
∠3
在上学期我们已经知道互为补角的两个角和为180°，因而互为邻补角的两个角和为180°.
∠1与∠3在数量上又有什么关系呢
猜想:对顶角相等
你能利用有关知识来验证∠1与∠3的数量关系吗
解:因为直线AB与CD相交于O点，
如图，比较∠1和∠3、∠2和∠4的大小，它们的大小之间有怎样的关系
所以 ∠1+∠2=180°，
∠2+∠3=180°，
所以 ∠1=∠3. (同角的补角相等)
同理可得∠2=∠4.
综上可得对顶角的性质:
对顶角相等
设直线 AB， CD 都与第三条直线 MN 相交
（有时也说直线 AB 和 CD 被第三条直线 MN 所截），则可以构成 8 个角，如图所示．
(1) ∠1 和∠5 的位置有什么关系
简称“三线八角”
(2) ∠3 和∠5 ，∠3和∠6 的位置分别有什么关系
探究1 ∠1 和∠5 的位置关系：
①在直线MN的同一侧（右边）
②在直线AB、CD的同一方（上方）
同位角
∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8.
图中的同位角还有哪些？
图形特征：
在形如字母“F”的图形中有同位角.
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角.
1
2
1
2
1
2
1
2
探究2 ∠3 和∠5 的位置关系：
①在直线MN的两侧
②在直线AB、CD之间
内错角
∠4和∠6.
图中的内错角还有哪些？
变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角.
图形特征：
内错角的顶点不是公共的，一对内错角的图形特征形如字母“Z”.
1
2
1
1
1
2
2
2
探究3 ∠3 和∠6 的位置关系：
①在直线MN的同一旁(左侧)
②在直线AB、CD的之间
同旁内角
∠4和∠5.
图中的同旁内角还有哪些？
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
图形特征：
同旁内角的顶点不是公共的，同旁内角的图形特征形如字母“U”
1
1
1
1
2
2
2
2
角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征
同位角
同旁 内角 内错角 F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:之间
截线:两侧
被截线:之间
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线之间
这三类角都是没有公共顶点的
总结：
生活中的数学：三线八角手势记忆法
同位角
内错角
同旁内角
如图，直线 EF 与 直线AB，CD分别相交，构成 8 个角.指出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角.
其中对顶角有：∠1和∠3， ∠2和∠4， ∠5和∠7， ∠6和∠8.
同位角有：∠2和∠5， ∠1和∠8， ∠3和∠6， ∠4和∠7.
内错角有：∠1和∠6， ∠4和∠5.
同旁内角有：∠1和∠5， ∠4和∠6.
解
由图可知，
如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，同位角∠1 与∠2 相等，那么内错角∠2 与∠3 相等吗
解 因为∠1 ＝∠3 （对顶角相等），
∠1 ＝∠2 （已知），
所以∠2 ＝∠3 （等量代换）.
两条直线被第三条直线所截，
如果有一对同位角相等，
则内错角相等.
由上可知:
1. 请举出生活中对顶角的例子.
[选自教材P74 练习]
对顶角相等
[选自教材P77 练习]
2. 如图， 工人师傅用对顶角量角器量工件 a，b 边所夹的角，其中∠1 的度数可以从仪器上读出． 试说明∠1 的大小就是a，b边所夹角的大小的理由.
[选自教材P74 练习]
3. 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，试找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角．若∠1 ＝∠5 ＝ 107 °， 求其他角的度数．
解：
对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4， ∠6和∠8， ∠5和∠7.
同位角有∠1和∠5，∠2和∠6， ∠4和∠8， ∠3和∠7.
内错角有∠3和∠5， ∠2和∠8.
同旁内角有∠2和∠5， ∠3和∠8.
∠3 = ∠7 = 107°，∠2 =∠4 =∠6 =∠8 =73°
a
b
c
4
3
1
2
5
8
7
6
[选自教材P95]
学而时习之
填空:
在同一平面内的两条直线，若相交，则有______个公共点;
若平行，则有______个公共点;
(2) 在同一平面内，如果直线 a 与 b 相交，且直线 a 与 c 平行，则这三条直线中所有交点的个数为______.
1
2
1
0
[选自教材P95]
如图，三条直线 AB，CD，EF 相交于点O，分别写出∠DOB，∠DOF，∠DOA的对顶角.
2
解：∠DOB 的对顶角为∠AOC.
∠DOF 的对顶角为∠EOC .
∠DOA 的对顶角为∠BOC.
[选自教材P95]
如图，三条直线 AB，CD，EF 相交于点 O，已知∠BOC=90°，OF是∠BOC 的平分线，求∠AOE， ∠EOB 的度数.
3
解：因为∠BOC = 90°，OF是∠BOC 的平分线，
所以∠BOF = ∠COF = 45°.
所以∠AOE = ∠BOF= 45°(对顶角相等)
又因为∠BOE +∠AOE =180°，
所以∠BOE = 180°-45°= 135°.
[选自教材P96]
如图，指出下列各对角分别是什么角，它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的.
(1) ∠1与∠2 (2)∠ABC与∠C
4
解：(1) ∠1与∠2 是内错角，它们是直线 AD 和直线 BC 被直线 BD 所截得到的.
(2)∠ABC与∠C是同旁内角，它们是直线AB 和直线 DC 被直线 BC 所截得到的.
[选自教材P96]
如图，在括号内填写理由：
已知∠1=∠2，
因为∠2=∠4 ( )，
所以∠1=∠4 ( ) .
5
对顶角相等
等量代换
如图，在图中分别找出一个角与∠α配对，使两个角成为：
同位角； (2)内错角； (3)同旁内角.
并指出它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的.
K
I
J
L
解：(1)∠α与∠AIF是同位角，它们是直线GH 和直线 EF 被直线 AB 所截得到的.
∠α 与∠CLH是同位角，它们是直线 AB 和直线 CD 被直线 GH 所截得到的.
[选自教材P96]
6
温故而知新
如图，在图中分别找出一个角与∠α配对，使两个角成为：
同位角； (2)内错角； (3)同旁内角.
并指出它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的.
K
I
J
L
(2) ∠α与∠BIE是内错角，它们是直线GH 和直线 EF 被直线 AB 所截得到的.
∠α 与∠GLD 是内错角，它们是直线 AB 和直线 CD 被直线 GH 所截得到的.
[选自教材P96]
6
如图，在图中分别找出一个角与∠α配对，使两个角成为：
同位角； (2)内错角； (3)同旁内角.
并指出它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的.
K
I
J
L
(3) ∠α与∠BIF是同旁内角，它们是直线GH 和直线 EF 被直线 AB 所截得到的.
∠α 与∠GLC 是同旁内角，它们是直线 AB 和直线 CD 被直线 GH 所截得到的.
[选自教材P96]
6
1. 下列图形中，与 互为对顶角的是( )
C
A. B. C. D.
（第2题）
2. [河南中考] 如图所示，有一个六边形零件，
利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，
则所量内角的度数为( )
C
A. B. C. D.
（第3题）
3. 如图，取两根木条, ,将它们钉在
一起，得到一个相交线的模型，固定
木条,转动木条,当减小 时，下
列说法正确的是( )
A
A. 增大 B. 增大
C. 减小 D. 与的和增大
4. 如图，直线,相交于点，如果 ，那么
______.
（第4题）
5. 看图填空：
（第5题）
（1）和 是直线_________被
直线____所截得的________；
和
同位角
（2）和 是直线_________被
直线____所截得的________；
和
内错角
（3）和 是直线_________被直
线____所截得的__________.
和
同旁内角
6. 如图，把一根筷子的
一端放在水里，一端露出水面，筷子
变弯了？其实没有，这是光的折射现
象，光从空气中射入水中，光的传播
方向发生了改变.
（1）请指出的同旁内角与 的内错角.
【解】的同旁内角是，，， 的内错
角是， .
（2）若测得 ，
，从水面上看斜插入
水中的筷子，水下部分向上折了多少度？
请说明理由.
水下部分向上折了 .理由：
因为 ，
所以 .
所以 .
所以水下部分向上折了 .
（第7题）
7. 两张长方形卡片按如图所示的方式叠放
在一起，则图中相等的角是( )
B
A. 与 B. 与
C. 与 D. 三个角都相等
（第8题）
8. 在如图所示的6个角中，同位角有 对，
内错角有对，同旁内角有 对，则
的值为___.
0
【点拨】在题图的6个角中，同位角有
与，与，共2对，即 ,内错角
有与，与,共2对，即,同旁内角有与 ，
与，与，与,共4对，即 ,所以
.
9. 如图，已知与相交于点，
平分.若 ，则
的度数为______.
【点拨】因为，所以设 ，则
.因为平分 ，所以
.因为 ，所以
，所以 ，所以
.
10. 如图是一个跳棋棋
盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起
始角开始，经过若干步跳动以后，到达终
点角.跳动时，每一步只能跳到它的同位
角或内错角或同旁内角的位置上.
例如：写出从起始位置跳到终点位置 的两种不同路径:
路径 ;路径
.
试一试：
（1）写出从起始位置跳到终点位置 的一种路径.
【解】 （答案不唯一）
（2）从起始位置 依次按同位角、内错角、同旁内角的顺
序跳，能否跳到终点位置 ？若能，请写出其路径.
能.其路径为：
.
11. 观察以下图形，寻找对顶角及邻补角.
（1）图①中共有___对对顶角，___对邻补角.
（2）图②中共有___对对顶角，____对邻补角.
2
4
6
12
（3）图③中共有____对对顶角，____对邻补角.
12
24
（4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系
为：若 条直线相交于一点，则可形成_________对对顶角，
__________对邻补角.
（5）若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多
少对邻补角？
【解】若100条直线相交于一点，则可形成
（对）对顶角，
（对）邻补角.
对顶角
同位角
内错角
同旁内角
邻补角
对顶角相等
和为180°
两直线相交
两直线被第三条直线所截形成的角
相交直线所成的角
课堂小结
F
Z
U