4.5.2垂线段与点到直线的距离 课件（共40张PPT）--湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共40张PPT)
湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
4.5.2垂线段与点到直线的距离
第4章 平面内的两条直线
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
情境导入
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？
河
问题1：如图，任画一条直线 l ，作 l 的垂线.这样的垂线能画出几条？
可以画无数条
新课探究
问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线.
(1) 若直线 l 经过点 P ，这样的垂线能画几条？
可以画一条
一“靠”
二“过”
三“画”
(2) 若直线 l 不经过点 P ，这样的垂线能画几条？
可以画一条
b
根据以上操作，你能得出什么结论
问题2：任画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
b
注意:
① “过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外.
② “有且只有”中,“有”指存在，“只有”指唯一性.
如图，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，
线段 PO 叫作点P 到直线 l 的垂线段．
经过点P 的其他直线分别交直线 l 于A，B，C，D ···，线段PA，PB，PC，PD，··· 都不是垂线段，称为斜线段．
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.
① 用刻度尺量，发现垂线段 PO 最短.
说一说
比较图中PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？
② 用圆规比较垂线
段 PO 和斜线段 PA，PB，PC，PD 的长度，可知线段 PO 最短.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
简单说成：垂线段最短．
如图：垂线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离.
特别规定：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
(1) 量出图中点 P 到直线 AB 的距离.
做一做
(2) 某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处，
如图，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？
如图，垂线段最短．
做一做
(3) 由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？
做一做
求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.
如图，在△ ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13.
求：(1) 点 A 到直线 BC 的距离；
解： 因为∠ABC = 90°，
所以 AB⊥BC， 点B为垂足，
所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段.
因为AB = 5，
所以点 A 到直线 BC 的距离为 5.
解：因为 BD⊥AC， 垂足为点 D，
所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离.
等面积法
因为S△ABC = ·BC·AB = ·AC·BD ,
所以BD = .
所以点B到直线AC的距离为 .
如图，在△ ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13.
求：(2) 点 B 到直线 AC 的距离.
[选自教材P118 练习]
1. 如图，在△ ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离，点 C 到 AB 的距离.
解: 作 AD ⊥ BC，垂足为点 D .
D
所以线段 AD 的长度即为点 A 到直线 BC 的距离.
因为S△ABC = ·AC·AB = ·BC·AD ,
所以AD = .
因为∠BAC = 90°，
所以 AC ⊥ AB， 点 A 为垂足，
所以线段 AC 的长度即为点 C 到直线 AB 的距离，则距离为4.
[选自教材P118 练习]
提示: 用直尺量出图中点 P 到各直线的距离, 再按比例尺换算成实际距离.
2. 某公园的 4 条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为：1∶5 000），其中直线 a，b，c，d表示人行道，点 P 表示喷泉. 量出点 P 到 4 条直线的距离，并求出其实际距离．
3．如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？
解: 体育课上，测量同学们的跳远成绩的方法: 先分别过落地点作起跳线的垂线，然后分别量取这些落地点到起跳线的垂线段的长度，这些长度就分别是同学们各自的跳远成绩.
[选自教材P118 练习]
学而时习之
如图，直线 AB，CD 相交于点 O，射线 OF⊥CD 于点O ，求∠AOC+∠BOF的度数.
1
解: 因为∠AOC ＝∠DOB，
所以∠AOC＋∠BOF ＝∠DOB＋∠BOF ＝∠DOF.
又因为射线 OF⊥CD 于点 O，
所以∠DOF ＝90°，
所以∠AOC＋∠BOF ＝ 90°.
[选自教材P119]
如图，OC⊥OD，OB⊥OA，求∠AOD +∠BOC 的度数.
2
解: 因为 OC⊥OD，OB⊥OA，
所以∠BOA ＝∠COD ＝90°，
所以∠AOD ＋∠BOC ＝ 360° －∠BOA －∠COD ＝ 360° －90° －90° ＝180°.
[选自教材P119]
如图，点A，O，B在同一直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠COB，那么射线OD 与 OE有什么位置关系？试说明理由.
3
[选自教材P119]
即∠DOE ＝90°，所以 OD⊥OE.
解: OD⊥OE.
理由: 因为 OD 平分∠AOC， OE 平分∠COB，
所以∠DOC ＝ ∠AOC， ∠EOC ＝ ∠COB，
所以∠DOC＋∠EOC ＝ (∠AOC＋∠COB)＝ 90°，
填空并在括号内填写理由：
如图，因为AO⊥OB，CO⊥OD，
故∠AOB=_______，∠COD=_______，
所以∠AOB=∠COD，
因此∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC ( )，
即∠AOC=_______.
4
[选自教材P119]
90°
90°
等式的基本性质
∠BOD
如图，画出点 B，点C到直线 AD 的垂线段 BE，CF.
5
[选自教材P119]
温故而知新
(1)如图，∠AOC=60°，BO⊥OA，CO⊥OD，求∠AOD +∠BOC 的度数.
6
解: (1) 因为 BO⊥OA，CO⊥OD，
所以∠BOA ＝∠COD ＝90°.
因为∠AOC ＝60°，
所以∠BOC ＝30°，∠BOD ＝ 60°，
因此∠AOD ＝∠AOB ＋∠BOD ＝90°＋60° ＝ 150°，
所以∠AOD ＋∠BOC ＝150°＋ 30° ＝180°.
[选自教材P120]
(2) 将(1)中“∠AOC=60°”这个条件去掉，其他条件不变，
求出∠AOD+∠BOC的度数.
6
(2) 能.
∠AOD＋∠BOC ＝ ∠AOB＋∠BOD＋∠BOC
＝ ∠AOB ＋∠DOC ＝90°＋ 90° ＝180°.
[选自教材P120]
如图，C是∠AOB 的边 OB上一点，CD⊥OA于点D，∠OCD = 30°，CE // OA，试求∠BCE 的度数.
7
A
C
B
E
解: 因为CD⊥OA，
所以∠CDO ＝90°.
因为∠OCD ＝30°，
所以∠O ＝60°.
又因为CE∥OA，
所以∠BCE ＝∠O ＝60°.
[选自教材P120]
如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE是∠AOD 的平分线.
在 OE上任取一点F，过点F分别画 AB，CD 的垂线，垂足分别为点M，N.
分别量出点F到AB，CD的距离，你会发现什么结论
8
解：(1) 如图所示.
(2) 点 F 到 AB， CD 的距离相等.
E
F
[选自教材P120]
1. 下列选项中，过点画的垂线 ，三角板放法正确的
是( )
C
A. B. C. D.
2. 如图，点到 的距离是哪条线段的
长度 ( )
D
A. B. C. D.
3. 为直线外一点，，，为直线 上三点，
，，，则点到直线 的距离
( )
D
A. 等于 B. 等于
C. 小于 D. 不大于
4. 下列说法正确的有________（填序号）.
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②过任意一点均可作一条直线的垂线；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
④从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离.
①②③
5. 教材P117做一做 如图，为了解决，，， 四
个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂 的位
置，使之与四个小区的距离之和最小；
【解】如图，连接，交于点，则点
就是水厂的位置.
（2）另外，计划把河流 中的水引入
水厂中，使之到 的距离最短，请你
画图确定铺设引水管道的位置，并说
明理由.
如图，过点作于点 ，则沿
铺设引水管道即可.
理由：垂线段最短.
6. 如图，已知直角三角形中， , ,
,,点沿从点到点运动，,则 的最
大值为___，最小值为_ __.
4
7. 如图①，点在射线上，点 在线段
上，平分， .
（1）当 时， ____；
（2）如图②,是线段上一点，是线段 上一点，连接
，，.若为的平分线， ，
，探究直线上是否存在一点 ，
使得 .
【解】因为平分 ，所以
.
因为为 的平分线，
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
设, .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
易知 ，
由①②消去，得 ,
所以 .
所以.所以 .
因为垂线段最短，
所以直线上不存在一点，使得 .
垂线段最短．
课堂小结
垂线
垂线的画法
点到直线的距离
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质