第4章 平面内的两条直线【章末复习】 课件（共63张PPT）--湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件

(共63张PPT)
湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件
章末复习
第4章 平面内的两条直线
授课教师： .
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文字叙述 符号语言 图形
平行线的判断：
( )相等，
两直线平行
( )相等，
两直线平行
( )互补，
两直线平行
因为
所以 AB∥CD
因为
所以AB∥CD
因为
所以AB∥CD
∠1=∠2
∠2=∠3
∠2+∠4=180°
同位角
内错角
同旁内角
平移的概念：
把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫作平移.
原来的图形叫作原像，在新位置的图形叫作该图形在平移下的像.
平移的特点：
平移不改变图形的形状和大小.平移还不改变直线的方向.
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫作__________. 其中一条直线叫作另外一条直线的______. 它们的交点叫作______.
互相垂直
垂足
垂线
垂线的概念
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条直线.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
关于垂直的两个结论
a
b
l
设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，
线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的________.
垂线段
垂线与垂线段有何区别和联系？
区别：垂线是直线，垂线段是线段.
联系：垂线段是垂线的一部分.
垂线段最短.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质与垂线段
连接两点的线段的长度叫作两点间的距离，
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫作点到直线的距离.
点到直线的距离
两条平行线的所有公垂线段都相等.
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段叫作这两条平行直线的公垂线段.
公垂线段的概念及性质
我们把两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
两条平行线间的距离
两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的距离.
学而时习之
判断(对的画“√”，错的画“×”).
在同一平面内，若直线 a∥b，直线c 与直线 a 相交，
则直线 c∥b. ( )
(2) 有公共顶点且相等的角是对顶角. ( )
1
×
×
如图，AD//BE，AB//DC，∠DCE=78°，求∠A，∠B，∠D的度数.
2
解: 因为 AB∥CD，∠DCE ＝ 78° ，
所以∠B ＝∠DCE ＝ 78°.
因为 AD∥BE ，
所以∠D ＝∠DCE ＝78°，∠A＋∠B ＝180°.
所以∠A ＝180°－∠B ＝180°－78° ＝102°.
所以∠A，∠B，∠D 的度数分别为 102°，78°，78°.
如图，AC//DE，AB//CD，∠D+∠E=180°.填空并在括号内填写理由：
因为_________________(已知)，
所以∠A+∠C=180°( ).
又因为AC//DE(已知)，
所以_____=∠D( ).
所以∠A+∠D=180°.
又∠D+∠E=180°(已知)，
所以∠A=∠E ( )
3
AB∥CD
两直线平行，同旁内角互补
∠C
两直线平行，内错角相等
等量代换
如图，直线 a，b被直线 c，d 所截.
找出能使a//b的一个条件，并说明理由；
找出能使c//d的一个条件，并说明理由.
4
解:(1) 例如:∠1＝∠2，则 a∥b，理由:同位角相等，两直线平行；
或∠2＝∠3，则a∥b，理由:内错角相等，两直线平行；
或∠3＋∠4＝180°，则a∥b，理由: 同旁内角互补，两直线平行；
或∠5＋∠6＝180°，则a∥b，理由:如果∠5＋∠6 ＝ 180°，那么∠5 与∠6 的对顶角之和等于180°，即同旁内角互补，两直线平行，则 a∥b.
(答案不唯一)
(2) 例如∠3＝∠5，则 c∥d，理由: 同位角相等，两直线平行，
或∠4＝∠6，则 c∥d，理由:内错角相等，两直线平行，
或∠1＝∠5，则 c∥d，理由:如果∠1 ＝ ∠5，那么∠3＝∠5，
即同位角相等，两直线平行，则 c∥d，
或∠2＋∠6＝180°，则 c∥d，理由:如果∠2＋∠6＝180°，那么∠6 与∠2
的对顶角之和等于180°，即同旁内角互补，两直线平行，则 c∥d.
(答案不唯一)
如图，直线 a，b被直线 c，d 所截.
找出能使a//b的一个条件，并说明理由；
找出能使c//d的一个条件，并说明理由.
4
如图，∠1=∠2，∠A = 65°，求∠ADC 的度数(用两种方法).
5
解:因为∠1＝∠2，
所以 AB∥DC，
所以∠A＋∠ADC ＝180°.
因为∠A ＝65°，
所以∠ADC ＝180°－∠A ＝180°－65° ＝115°.
解:因为∠A ＝65°，
所以∠1+∠ADB = 180°－65°=115°.
又因为∠1＝∠2，
所以∠ADC =∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=115°.
方法一：
方法二：
点 B在点 A北偏东 30°的方向，点 C在点 B北偏西 60°的方向，且BC=12 m. 如图所示，问点 C 到直线 AB 的距离是多少
6
解: 根据题意知，在点 A 与点 B 处的正北方向是平行的，
所以 30°＋∠ABC ＋ 60° ＝ 180°.
所以∠ABC ＝90°，
所以 CB⊥AB. 因为BC ＝12 m，
所以点 C 到直线 AB 的距离是线段 CB 的长度，即 12 m.
根据下列语句画出图形:
(1)过△ABC 内一点 P，分别作AB，BC，CA 的平行线；
(2)过直线 AB 上的一点D 作AB 的垂线 DQ，使得 DQ =1 cm.
7
解: (1) 如下图所示.
(2)如下图所示.
D
Q
温故而知新
如图，AE∥BC，AE平分∠DAC.填空并在括号内填写理由:
因为 AE∥BC，
所以 ∠B=______( )，
∠C=______( ) .
又因为AE平分∠DAC，
所以 ______=______( ).
所以∠B =∠C.
8
∠DAE
两直线平行，同位角相等
∠EAC
两直线平行，内错角相等
∠DAE
∠EAC
角平分线的定义
如图，l1//l2，∠ABC=120°，l1⊥AB. 求∠α的度数.
9
解: 过 B点作直线l2'，使得l2′∥l1，如图所示.
因为 l1⊥AB，l2′∥l1，
所以 BD⊥AB，所以∠ABD ＝90°.
又因为l1//l2，所以l2′∥l2 ，
所以∠α ＝∠DBC ＝∠ABC－∠ABD ＝120°－90°＝30°.
如图，已知∠1+∠2=180°.
判断AB与EF的位置关系，并说明理由；
若∠3=∠B，∠C=40°，求∠DEC的度数.
10
解：(1) AB∥EF.
理由如下：因为∠DFE+∠1 =180°，∠1+∠2=180°，
所以 ∠DFE = ∠2.
所以 AB∥EF.
如图，已知∠1+∠2=180°.
判断AB与EF的位置关系，并说明理由；
若∠3=∠B，∠C=40°，求∠DEC的度数.
10
(2) 因为AB∥EF，
所以∠BDE +∠3=180°.
又因为∠3=∠B，
所以∠BDE +∠B =180°.
所以DE∥BC .
因为∠C= 40 °，
所以∠DEC= 180°-40 °=140°.
已知三角形的三个内角的度数之和是180°，如图将两个三角板按不同位置进行摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°.
(1) 当AB∥DC时，如图①，求∠DCB的度数.
11
解：(1) 因为AB∥DC，
所以∠DCB=∠B .
又因为∠B=180°-∠ACB-∠BAC=30°，
所以 ∠DCB=∠B=30°.
①
已知三角形的三个内角的度数之和是180°，如图将两个三角板按不同位置进行摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°.
(2) 当CD与CB重合时，如图②，判断BE与AC的位置关系，并说明理由.
11
②
(2) BE∥AC .理由如下：
因为∠ACB=∠CDE=90°，
所以 BE∥AC .
已知三角形的三个内角的度数之和是180°，如图将两个三角板按不同位置进行摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°.
(3) 当AB∥EC时，如图③，求∠DCB的度数.
11
③
(3) 因为AB∥EC ，
所以∠B=∠ECB=30°.
又因为∠CDE=90°，∠DEC=45°，
所以∠DCE=45°.
所以∠DCB=∠DCE - ∠ECB=15°.
解:因为 OF⊥CD，
所以∠COF ＝∠DOF ＝90°.
因为∠AOF ＝28°，
所以∠AOD ＝∠AOF＋∠FOD ＝28°＋90° ＝118°.
所以∠BOC ＝∠AOD ＝118°.
又因为∠COF ＝90°，∠AOF ＝28°，
所以∠AOC ＝90°－28° ＝62°.
所以∠DOB ＝∠AOC ＝62°.
因为 OE⊥AB， 所以∠EOB ＝90°，
所以∠EOD ＝∠EOB－∠DOB ＝90°－62° ＝28°.
如图，直线 AB，CD 相交于点 O，射线 OE⊥AB于点 O，射线 OF⊥CD 于点 O，且∠AOF=28°.求∠BOC与∠EOD 的度数.
12
28°
上下而求索
下列各图中的MA1与NAn(n是正整数)平行.
13
图①中的∠A1+∠A2=______度，
图②中的∠A1+∠A2+∠A3=______度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=______度，
图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=______度，
……
第10个图中的∠A1+∠A2+∠A3+···+∠A11=______度，
(2) 第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+···+∠An+1=______度.
①
②
③
④
……
180
360
540
720
1800
180 n
(1) 如图①，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由.
14
解:(1) AB∥CD. 理由如下:
因为 CE平分∠ACD， AE平分∠BAC，
所以 ∠ACE＝∠DCE，∠EAC＝∠BAE.
又因为∠EAC＋∠ACE＝90° ，
所以∠BAC＋∠DCA ＝∠BAE+∠EAC+∠DCE+∠ACE＝180°.
所以 AB∥CD.
①
(2) 如图②，在(1)的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时(点C 除外)，∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？请写出你的结论并说明理由.
14
②
(2) ∠CPQ +∠CQP=∠BAC.
理由如下:
因为∠CPQ+∠CQP=∠ACF，AB∥CD，
所以∠ACF=∠BAC，
所以∠CPQ+∠CQP =∠BAC.
F
(3) 如图③，在(1)的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由.
14
③
N
(3) ∠BAE+ ∠MCD = 90°.理由如下:
延长线段AE交直线CD于点N，如图所示.
因为AB∥CD，所以∠BAN=∠ANC，
又因为∠BAN+∠NCE=90°，∠NCE= ∠MCD，
所以∠BAE + ∠MCD = 90°.
考点1 相交线所成的角
1. 如图，直线，相交于点，若 ，
平分，则 ______.
2. 如图，，相交于点， 交
于点，交于点 .
（1）指出，被 所截形成的同
位角、内错角、同旁内角；
【解】同位角：和；内错角：和 ；同旁内
角：和 .
（2）指出，被 所截形成的内错角；
和，和 都是内错角.
（3）指出，被 所截形成的同旁内角.
和，和 都是同旁内角.
考点2 平移
（第3题）
3. 第12届世界运动会于
2025年8月在四川成都举行，其会徽灵感源于熊
猫、芙蓉花、中国结.能通过如图平移得到的是
( )
C
A. B. C. D.
4. 如图，将周长为的沿方向平移得到 ，
连接，若四边形的周长是,则 平移的距
离是___ .
1
（第4题）
考点3 垂线
5. 如图，推动水桶，以点 为支点，使其向右
倾斜，若在点处分别施加推力,,则的力臂大于 的
力臂 .这一判断过程体现的数学依据是( )
A. 垂线段最短
B. 同一平面内过一点有且只有一条直线
与已知直线垂直
C. 两点确定一条直线
D. 过直线外一点有且只有一条直线与
已知直线平行
√
6. 直线，相交于点，过点作 .
（1）如图①，若 ，求 的度数；
【解】因为 ，
所以 ，即 .
又因为 ，
所以 .
（2）如图②，作射线使，则是 的
平分线，请说明理由；
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
即 .
又因为 ，
所以 .
所以是 的平分线.
（3）在图①中作，直接写出与 的数量关系.
或 .
【点拨】①当在 下方时，如图①.因
为，所以 ，即
.因为 ，
所以 ；
②当在上方时，如图②.因为 ，
所以 .因为
，所以
.
综上，与 的数量关系为
或 .
考点4 平行线及其判定与性质
7. [衡阳月考] 下列说法正确的有( )
①平行于同一直线的两直线平行；②相等的角是对顶角；③
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，
不重合的两条直线的位置关系有平行和垂直两种；⑤若
，，则 .
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图， .
（1）若 ， ，则 的度数是
____ ；
72
【点拨】如图，过点作.因为，所以 .
所以 .
所以 .
又因为，所以 .
（2），和 之间的
数量关系是_____________________
_____________.
【点拨】因为 ，所以
.因为，所以 .
所以 .所以
.
9. 如图，已知 ,且
.
（1）试说明： ;
【解】因为, ,
所以,所以 ,
所以 .
因为 ,
所以 .
（2）若 ,,求 的度数.
因为, ,所以
.
因为 ,
,
所以 .
因为 ,
所以 ,
所以 .
思想1 方程思想
10. 如图,已知，.则 ____.
【点拨】设 ,则 , .因为
.所以 ， .所
以 ,
.又因为
,所以
,解得 .所以
.
思想2 分类讨论思想
11. 如图①，已知直线与直线 交于点
，与直线交于点，平分交直线于点 ，且
.
（1）试判断直线与 的位置关系，并说明理由.
【解】 .理由如下：
因为平分，所以 .
因为,所以 .
所以 .
（2）点是射线上的一个动点（不与点， 重合），
平分交直线于点，过点作交直线
于点.设 ， .
①如图②，当点在点的右侧，且 时，求 的值.
因为平分，所以 .
因为平分 ，
所以 .
所以 .
因为，所以 .
因为，所以 .
所以 .
所以 .
②在点运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？请直
接写出你的猜想.
和 之间的数量关系为 或 .
【点拨】当点在点 的右侧时，由①
得 ；
当点在点 的左侧时，如图，
因为平分，所以 .
因为平分，所以 .
所以 .
因为，所以 .
因为，所以 .
所以 .
综上， 和 之间的数量关系为 或 .