北京师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京北师大附中高三 12月月考
数 学
班级：_______ 姓名：_______ 学号：_______
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
x
M = x | 1 x 3 N = x | 2 2
1. 设集合 ， ，则集合M N =（ ）
A. 1,1 B. 1,3 C. 1,0 D. ( ,3
2. 已知 z i = 2 i （i 为虚数单位），则 z =（ ）
A. 2 B. 5 C. 1+ 2i D. 2 + i
3. 下列函数中，是偶函数，且在 ( , 0)上是减函数的是（ ）
2
f (x) = tanx f (x) = ex xA. B. + e C. f (x) = cosx D. f (x) = x 3
4. 设数列 an 是等差数列，a1 + a3 + a5 = 6， a7 = 6，则这个数列的前 9 项和等于（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
5. 已知 x, y R ，且 x+ y 0，则（ ）
1 1
3 3
A. + 0 B. x + y 0
x y
C. lg(x + y) 0 D. sin(x + y) 0
x 2 y 2 y2 x2
6. 若双曲线C1 : =1与C : =1具有相同的渐近线，则C2 的离心率为（ ）
4 2 2 a2 b2
6
A. B. 2 C. 3 D. 6
2
lnx , x 0
7. 已知函数 f (x) = ，若函数 g (x) = f (x) x k 恰有 2 个零点，则实数 k的取值范围是（ ）
ex , x 0
A. 1,e) B. ( , 1 e,+ )
C. ( 1,1 D. ( , 1) 1,+ )
8. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21 21大小的，即 441 个点，根据 0 和 1 的二进制编
码，一共有 2441种不同的码.假设我们 1 秒钟用掉 1 万个二维码，1 万年约为3 10
11 秒，那么大约可以用
（ ）（参考数据： lg 2 0.3,lg3 0.5 ）
A. 10117 万年 B. 117 万年 C. 10205 万年 D. 205 万年
第1页/共15页

9. 设 AC和 BC的夹角为 ， AB + 2BC AC BC 是 为锐角的（ ）条件
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 数列 an 的前 n项和为 Sn，且对任意正整数 n，总存在正整数m，使得 Sn = am ，则下列命题中正确
的是（ ）
A. 对任意正整数 n，总存在正整数m，使得 an = Sm
B. 数列 an 一定是等差数列
C. 存在公比为正整数的等比数列 an 满足条件
D. 对任意正整数 k，总存在正整数m、 n，使得ak = am an
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 已知点 A(2,4)在抛物线C : y2 = 2px上，则 A到抛物线 C的准线的距离为_______．
12. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，E 为C1D1的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 .
π
13. 已知 f (x) = sin x ( N* )，若在区间 0, 上存在两个不相等的实数 a，b，满足 f (a)+ f (b) = 2 ，
2
则 可以为__________．（填一个值即可）
2
14. 已知圆M : (x 2) + y2 =1，点 P为直线 l : x = 1上一动点，过 P作圆 M的两条切线，切点分别为
A、B．线段 PA长度的最小值为_______，直线 AB所经过的定点的坐标为_______．
15. 如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，BB1 = B1D1 ，点 E是棱CC1 上的一个动点，若平面BED1
交棱 AA1 于点 F，给出下列命题：
①四棱锥 B1 BED1F的体积恒为定值；
②存在点 E，使得 B1D ⊥平面 BD1E；
③对于棱CC1 上任意一点 E，在棱 AD上均有相应的点 G，使得CG / / 平面EBD1；
④存在唯一的点 E，使得截面四边形 BED1F 的周长取得最小值．
其中真命题的是_______．（填写所有正确答案的序号）
三、解答题共 5 小题，共 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
第2页/共15页
16. 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD的边长为 2， AA1 = 4，P为DD1上一点．
（1）若 P为DD1中点，求证： BD1 / / 平面 ACP．
（2）若DP =1，求证：B1D ⊥ AP．
B +C
17. 在 ABC中， a = 2 7 ，bsin = asinB．
2
（1）求 A；
（2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使得 ABC存在且唯一，求 BC边上的高 h．
7
条件①：b + c = 8；条件②： cosC = ；条件③：b = 4 ．
14
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
18. 自 2022 北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注．选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃
等技术动作．“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到．不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中
四个跳跃动作 4T，4S，4F，4Lz 的“基础分”如表 1 所示．
表 1
跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz
基础分 9.5 9.7 11.0 11.5
选手表演完，得到相应动作的“执行分”．把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失
败”．表 2 为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”．
4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98
4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07
4F 13.69 5.50 14.02 12.92
4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87
表 2
假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立．
（1）从该选手上一赛季所有 4T 动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；
第3页/共15页
（2）若该选手在本赛季中，计划完成 4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次．将这三个动作中
成功的跳跃个数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望E (X )；
（3）在本赛季中，某选手从四个跳跃动作 4Lz，4S，4T，4F 选出两个，且每个动作只完成一次，为了使
得该选手这两个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，应选哪两个动作？请直接写出这两个动作的名称．
x2 y2 2
19. 已知椭圆C : + =1(a b 0) 的离心率为 ，点 (0, 2)在 C上．
a2 b2 2
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）已知动直线 l过曲线 C的左焦点 F，且与椭圆 C分别交于 P，Q两点，试问 x轴上是否存在定点 R，

使得 RP RQ为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
20. 已知函数 f (x) = a ln x (a +1) x + a + 4 （ a R ）
（1）讨论函数 f ( x)的单调性；
（2）若直线 y = x + 2a为曲线 y = f (x)的切线，求实数 a的值；
1
（3）当a = 2时，设 x , x , , x ,2 ，且 x1 + x2 + x3 + + x14 = 141 2 14 ，若不等式
2
f (x1 ) + f (x2 ) + + f (x14 ) 恒成立，求实数 的最小值．
21. 已知含有 n个元素的正整数集 A = a1,a2 , ,an （a1 a2 an ,n 3）具有性质 P：对任意不大于
S (A)（其中 S (A) = a1 + a2 + + an）的正整数 k，存在数集 A的一个子集，使得该子集所有元素的和
等于 k．
（1）写出 a1， a2 的值；
n (n+1)
（2）证明：“ a1 ， a2，…， an 成等差数列”的充要条件是“ S (A) = ”；
2
（3）若 S (A) = 2025 ，求当 n取最小值时 an 的最大值．
第4页/共15页
参考答案
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C B C C A B D
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
2
11. 【答案】因为点 A(2, 4)在抛物线C : y = 2px上，
所以16 = 4 p，所以 p = 4 ，
所以准线方程为 x = 2，
所以 A到抛物线 C的准线的距离为 2 ( 2) = 4 ，
故答案为：4
12. 【答案】连接 DE，
设 AD=2，易知 AD∥BC，
∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角，
在△RtADE 中，由于 DE= ，AD=2，可得 AE=3，
∴cos∠DAE= = ．
π
13. 【答案】因为0 x ，
2
π
所以0 x ，
2
π
又 f (x) = sin x ( N* )在区间 0, 上存在两个不相等的实数 a，b，满足 f (a)+ f (b) = 2 ，
2
π 5π
所以 ，解得 5,( N* )，
2 2
所以 可以为 5，
故答案为：5（大于等于 5 的整数均可）
第5页/共15页
2
14. 【答案】圆M : (x 2) + y2 =1的圆心M (2,0)，半径 r =1，
2 2
由题意可得 PA ⊥ AM ，则 PA = PM r2 = PM 1，
则当 PM 取得最小值时，线段 PA长度的最小值，
则 PM = 2+1= 3，所以
min PA = 3
2 1 = 2 2 .
min
因为 PA,PB都是圆M 的切线，所以 PA ⊥ AM ,PB ⊥MB，所以 A,B,M ,P四点共圆，
且 PM 为直径，所以切点弦 AB实际上是以 PM 为直径的圆与圆M 的公共弦，
1 t
2 2
2+1 + 0 t 2
则以 PM 为直径的圆的圆心为 ， ，半径为 ( ) ( ) 9+ t ，
2 2
=
2 2
2 2
1
2
t 9+ t
故以 PM 为直径的圆的方程为 x + y = ，
2 2 4
5
两圆方程相减得直线 AB的方程为3x ty 5 = 0 ，令 y = 0 ，则 x = ，
3
5
所以直线过定点 ,0 ．
3
5
故答案为：① 2 2 ；② ,0 .
3
15. 【答案】对于①，如图，由VB =V +V ，CC1 BED1F E BB1D1 F BB1D1 1 / /AA1 / / 平面 BB1D1 ，
可得 E,F到平面 BB1D1 的距离为定值，
所以四棱锥 B1 BED1F的体积为定值，故①正确;
对于②， BB1 = B1D1 ，得对角面 BB1D1D为正方形，所以B1D ⊥ BD1 ，
易知DC ⊥平面 BCC1B1，而 BE 平面 BCC1B1，
第6页/共15页
所以 BE ⊥ DC ，若 BE ⊥ B1C，
B1C DC = C,B1C,DC 平面 B1CD，
所以 BE ⊥平面 B1CD， B1D 平面 B1CD，
所以 B1D ⊥ BE,BD1 BE = B,BD ,BE 平面 BD1E1 ，
所以有 B BD E1D ⊥平面 1 ，故②正确;
对于③，可作出过CG的平面与平面 BD1E平行，如图所示：
当点 E与棱CC1 的中点O重合时，作DD1的中点 H ，连接 AH , AC,CH ，
易知CH∥OD1,OD1 平面OBD1，CH 不包含于平面OBD1，
所以CH / / 平面OBD1，同理 AH / / 平面OBD1，
AH CH = H , AH ,CH 平面 ACH ，
所以平面 ACH / /平面OBD1，
易知：当点 E在线段OC1内时，对应的点G 在棱 AD上，
而当点 E在线段OC内时，对应的点G 在棱 AA1 上，故③错误.
对于④，由面面平行的性质定理可得四边形 BED1F 为平行四边形，
所以四边形 BED1F 的周长 L = 2( BE + D1E )，
将矩形 BCC1B1绕棱CC1 向内旋转 90 度，
使矩形 BCC1B1和矩形DCC1D1共面，连接 BD1交CC1 于点 E，如下图所示：
此时 BE + D1E = BD1 ，四边形 BED1F 的周长取得最小值，
故存在唯一的点 E，使得截面四边形 BED1F 的周长取得最小值，故④正确.
综上：①②④正确.
故答案为：①②④.
第7页/共15页
三、解答题共 5 小题，共 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 【答案】（1）
证明：如图所示，连接 AC和 BD交于点O，连接OP，
因为底面 ABCD为正方形，可得O为 BD的中点，
又因为 P为DD1的中点，所以OP / /BD1，
因为 BD1 平面 ACP，且OP 平面 ACP，所以BD1 / / 平面 ACP .
（2）解：以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为正方形 ABCD的边长为 2 ，DD1 = 4 ，DP =1，
可得 A(2,0,0),P(0,0,1),D(0,0,0),B1(2,2,4) ，

则 AP = ( 2,0,1),DB ，可得1 = (2,2,4) AP DB1 = 2 2+ 0 2+1 4 = 0，

所以 AP ⊥ DB ，所以B1D ⊥ AP . 1
17. 【答案】（1）
B +C B +C
解：因为bsin = asinB，由正弦定理得 sin Bsin = sin AsinB，
2 2
因为 B (0,π) ，且 B +C = π A，
B +C
所以 sin B 0 ，得 sin = sin A，
2
B +C π A A A
因为 sin = sin = cos ，即 cos = sin A，
2 2 2 2 2
A A A A π A
则 cos = 2sin cos ，又因为 (0, ) ，可得cos 0 ，
2 2 2 2 2 2
第8页/共15页
A 1 A π π
所以 sin = ，可得 = ，可得 A = .
2 2 2 6 3
（2）
π
解：选择条件①：b + c = 8，因为 a = 2 7 且 A = ，
3
由余弦定理得 a2 = b2 + c2 2bccos A，
即 (2 7)2 = b2 + c2 bc = (b + c)2 3bc，解得bc =12 ，
所以b,c为方程 x2 8x +12 = 0的根，解得 x = 2 或 x = 6 ，
即b = 2,c = 6或b = 6,c = 2，所以三角形的元素不唯一，不符合题意.
7 3 21
选择条件②： cosC = ，因为C (0,π) ，可得 sinC = 1 cos2C = ,
14 14
3 21
2 7
a c a sinC
由正弦定理 = ，可得 c = = 14 = 6 ，
sin A sinC sin A 3
2
因为C (0,π)
7
且 cosC = ，所以C为锐角且唯一，所以 ABC存在且唯一，
14
π π π 3 7 1 3 21 21
又由 sin B = sin(A+C) = sin( +C) = sin cosC + cos sinC = + = ，
3 3 3 2 14 2 14 7
21
2 7
a sin B 1
由正弦定理可得b = = 7 = 4 ，所以 S ABC = bcsin A = 6 3 ，
sin A 3 2
2
1 1 6 21 6 21
可得 ah = 6 3 ，即 2 7 h = 6 3 ，解得h = ，即BC边上的高为 .
2 2 7 7
3
a b 4
条件③：b = 4 ，由正弦定理 = ，可得 bsin A 2 21 ，
sin A sin B sin B = = =
a 2 7 7
因为 a = 2 7 b = 4，所以 A B，
π
又因为 A = ，所以 B为锐角，且唯一确定，所以 ABC存在且唯一，
3
2 7
又由 cosB = 1 sin2 B = ，
7
π 2π
因为C = π (A+ B) = π ( + B) = B，
3 3
第9页/共15页
2π 2π 2π 3 2 7 1 21 3 21
所以 sinC = sin( B) = sin cosB cos sin B = ( ) = ，
3 3 3 2 7 2 7 14
3 21
2 7
a sinC 1
又由正弦定理得 c = = 14 = 6 ，所以 S△ABC = acsin B = 6 3 ，
sin A 3 2
2
1 1 6 21 6 21
可得 ah = 6 3 ，即 2 7 h = 6 3 ，解得h = ，即BC边上的高为 .
2 2 7 7
18. 【答案】（1）
该选手上一赛季所有 4T 动作的“执行分”分别为：2.54,1.72, 4.75, 0.44,0.47,2.13,1.48，
一共跳跃 7 次，其中“成功”了 5 次，“失败”了 2 次，
5
∴从该选手上一赛季所有 4T 动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率 .
7
（2）
设“完成 4T 成功”为事件 A，“完成 4S 成功”为事件 B，“完成 4F 成功”为事件C，
5 4 2 3
则由表可知， P (A) = ，P (B) = = ，P (C ) = ，
7 6 3 4
随机变量 X 的可取值为：0,1,2,3，
5 2 3 2 1 1 1
P (X = 0) = P (A)P (B )P (C ) = 1 1 1 = = ，
7 3 4 7 3 4 42
5 1 1 2 2 1 2 1 3 15
P (X =1) = P (A)P (B )P (C )+ P (A)P (B)P (C )+ P (A)P (B )P (C ) = + + = ，
7 3 4 7 3 4 7 3 4 84
5 2 1 5 1 3 2 2 3 37
P (X = 2) = P (A)P (B)P (C )+ P (A)P (B )P (C )+ P (A)P (B)P (C ) = + + = ，
7 3 4 7 3 4 7 3 4 84
5 2 3 5
P (X = 3) = P (A)P (B)P (C ) = = ，
7 3 4 14
随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 15 37 5
P
42 84 84 14
1 15 37 5 179
数学期望 E (X ) = 0 +1 + 2 +3 =
42 84 84 14 84
（3）
设“完成 4Lz 成功”为事件D，
5 4 2 3 3
∴P (A) = ，P (B) = = ，P (C ) = ，P (D) = ，
7 6 3 4 5
如果选 4Lz，4S，数学期望
第10页/共15页
19
E (Y1 ) = 0 P (D)P (B )+1 P (D)P (B )+ P (D)P (B) + 2 P (D)P (B) = 15
如果选 4Lz，4T，数学期望
46
E (Y2 ) = 0 P (D)P (A)+1 P (D)P (A)+ P (D)P (A) + 2 P (D)P (A) = 35
如果选 4Lz，4F，数学期望
27
E (Y3 ) = 0 P (D)P (C )+1 P (D)P (C )+ P (D)P (C ) + 2 P (D )P (C ) = 20
如果选 4S，4T，数学期望
29
E (Y4 ) = 0 P (A)P (B )+1 P (A)P (B )+ P (A)P (B) + 2 P (A)P (B) = 21
如果选 4S，4F，数学期望
17
E (Y5 ) = 0 P (C )P (B )+1 P (C )P (B )+ P (C )P (B) + 2 P (C )P B = ( ) 12
如果选 4T，4F，数学期望
41
E (Y6 ) = 0 P (A)P (C )+1 P (A)P (C )+ P (A)P (C ) + 2 P A P C = ( ) ( ) 28
∵ E (Y1 ) E (Y2 ) E (Y3 ) E (Y4 ) E (Y5 ) E (Y6 )，
∴故选4T，4F这两个动作.
19. 【答案】（1）
设椭圆C的半焦距为 c (c 0)， a2 = b2 + c2
c b2 2
= 1 =
a a2 2
由题意可得 ，
2
2
0+ =1b2
解得b2 = 4 ， a2 = 8，则 c2 = 4，
x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 + =1．
8 4
（2）
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y = k (x + 2)，
2 2 2 2
代入椭圆C的方程，可得 (2k +1) x +8k x +8k 8 = 0，
第11页/共15页
( 8k
2 8k 2 8
设 P x1, y1 )，Q (x2 , y2 )，则 x1 + x = ，2 x1x2 = ，
2k 2 +1 2k 2 +1

设 R (m, 0)，则RP·RQ = (x1 m, y1 ) (x2 m, y2 )
= (x1 m)(x2 m)+ y1y2 = (x1 m)(x2 m)+ k
2 x 1x2 + 2(x1 + x2 )+ 4
2 2 2 2 2 2
2 8k 8 8k (2k m) (2m +8m+ 4)k +m 8= (k +1) + 4k 2 +m2 = ，
2k 2 +1 2k 2 +1 2k 2 +1
(2m2 +8m+ 4)k 2 +m2 8 m2 8 1 5
若 为定值，则 = ，解得m = ，
2
2k 2 +1 2m +8m+ 4 2 2
(2m2 +8m+ 4)k 2 +m2 8
此时 7= ，
2k 2 +1 4
5
R点的坐标为 ,0 ，
2
当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x = 2，
x2 y2 x = 2
代入 + =1，得 ，
8 4 y = 2
5
不妨设 P ( 2, 2 ) ,Q ( 2, 2 )，若R ,0 ，
2
1 1
则 RP = , 2 ,RQ = , 2 ，
2 2
7
RP RQ = ，
4
5 7
综上所述，在 x轴上存在点R ,0 ，使得 RP RQ为定值 .
2 4
20. 【答案】（1）
函数 f ( x)的定义域为 (0,+ )，
当 a = 1时，函数 f (x) = ln x +3，函数 f ( x)在 (0,+ )上单调递减；
当 a = 0 时，函数 f ( x) = x + 4，函数 f ( x)在 (0,+ )上单调递减；
a
当 a 0且 a 1时， f (x) = (a +1)，
x
a a (a +1) x
令 f (x) 0，即 (a +1) 0，则 0，则a (a +1) x，
x x
a
当 a 1， a +1 0时，则 x，
a +1
第12页/共15页
a a +1 1 1
∵ = =1 0，
a +1 a +1 a +1
a a
∴函数 f ( x)在 0, 上单调递减，在 ,+ 上单调递增；
a +1 a +1
a
当 a 0 ， a +1 1时，则 x，
a +1
a a +1 1 1
∵ = =1 0，
a +1 a +1 a +1
a a
∴函数 f ( x)在 0, 上单调递增，在 ,+ 上单调递减；
a +1 a +1
a
当 1 a 0， a +1 0时，则 f (x) = (a +1) 0恒成立，
x
∴函数 f ( x)在 (0,+ )上单调递减；
综上所述，
a a
当 a ( , 1)时，函数 f ( x)在 0, 上单调递减，在 ,+ 上单调递增；
a +1 a +1
当 a 1,0 ，函数 f ( x)在 (0,+ )上单调递减；
a a
当 a (0,+ )时，函数 f ( x)在 0, 上单调递增，在 ,+ 上单调递减；
a +1 a +1
（2）
a
f (x) = (a +1)，令 f (x) = 1，
x
a
即 (a +1) = 1，则 x =1，则 f (1) = (a +1)+ a + 4 = 3，
x
则3 = 1+ 2a，∴ a = 2 .
（3）
当 a = 2时， f (x) = 2ln x 3x + 6，
则 f (x1 )+ f (x2 )+ + f (x14 ) = 2ln (x1x2 x14 ) 3(x1 + x2 + + x14 )+ 6 14
= 2ln (x1x2 x14 ) 3 14+ 6 14 = 2ln (x1x2 x14 )+ 42
x
∵ 1
+ x2 + + x14 14 x x x ，当且仅当 x1 = x2 = = x = 11 2 14 14 时，取等号.
14
∴ 14 x x x x 11x2 x14 1，即 1 2 14 ，∴ ln (x1x2 x14 ) 0，
∴ f (x1 )+ f (x2 )+ + f (x14 ) 42，即 42 ，
∴实数 的最小值为 42.
第13页/共15页
21. 【答案】（1）
由 a1 a2 an，且均为正整数，故 a1 1,a2 2,a3 3，故 S (A) 6，
故当不大于 S(A) 的正整数 k =1时，由题意必有 a a = 21 =1，当 k = 2时，可得 2 ；
（2）
先证必要性：因为 a =1， a2 = 2， a1 1， a2 ，…， an 成等差数列，
n (n 1) n (n+1)
故其首项为1，公差为1，可得 S (A) = n+ = ；
2 2
再证充分性：因为 a1 a2 an， a1 ， a2 ，…， an 为正整数数列，
故有 a1 =1， a2 = 2， a3 3， a4 4，…， an n，
n (n+1)
所以 S (A) = a1 + a2 + + an 1+ 2+ + n = ，等号成立时ai = i, i =1,2, ,n，
2
n (n+1)
又 S (A) = ，故 a = n，故 an 1 ， a2 ，…， an 为等差数列．
2
n (n+1)
综上可知，“ a1， a2 ，…， an 成等差数列”的充要条件是“ S (A) = ”；
2
（3）
先证明 am 2
m 1
（m =1, 2, ,n），
假设存在 ap 2
p 1
，且 p为最小的正整数，
1 2p 1
依题意 p 3，则 a p 2 p 11 + a2 + + ap 1 1 2 2 2 1，
1 2
又因为 a1 a2 an，
p 1
故当 k (2 1,ap )时， k不能等于集合 A的任何一个子集所有元素的和．
故假设不成立，即 a 2
m 1
（m =1, 2, ,nm ）成立；
n
因此 2025 a a a 1 2 2n 1
1 2
2n 1， 1 2 n
1 2
即 2n 2026，所以 n 11；
因为 S (A) = 2025 ，则 a1 a 2 an 1 2025 an，
若 2025 a n an 1，即 an 1013时，
则当 k (2025 an ,an )时，集合 A中不可能存在若干不同元素的和为 k，
故 2025 a n an 1，即 an 1013时，
此时可构造集合 A = 1,2,4,8,16,32,64,128,256,501,1013 ，
第14页/共15页
因为当 k 2,2+1 时， k可以等于集合 1, 2 中若干个元素的和；
k 22 , 22故当 +1,22 + 2,22 +3 2时， k 可以等于集合 1, 2, 2 中若干不同元素的和；
……
8 8 8 8
故当 k 2 ,2 +1,2 + 2, , 2 + 255 8时， k可以等于集合 1,2, , 2 中若干不同元素的和；
故当 k 501+11,501+12, ,501+511 时， k可以等于集合 1,2, , 28 ,501 中若干不同元素的和；
故当 k 1013,1013+1,1013+ 2, ,1013+1012 时， k可以等于集合 1,2, , 28 ,501,1013 中若干不同
元素的和，
所以集合 A = 1,2,4,8,16,32,64,128,256,501,1013 满足题设，
所以当 n取最小值 11 时， an 的最大值为1013．
第15页/共15页