甘肃省兰州市第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2025高一上·兰州期中）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·兰州期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
3．（2025高一上·兰州期中）《南京照相馆》 《浪浪山小妖怪》 《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
A．5 B．10 C．6 D．9
4．（2025高一上·兰州期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·兰州期中）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．2或
6．（2025高一上·兰州期中）定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ，有 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·兰州期中）下列四种说法：
（1）若函数在上是增函数，在上也是增函数，则在上是增函数；
（2）若函数与轴没有交点，则且；
（3）函数的单调递增区间为；
（4）和是相同的函数.
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2025高一上·兰州期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·兰州期中）已知集合，集合，则集合可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·兰州期中）（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025高一上·兰州期中）狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数
C．，使得 D．
12．（2025高一上·兰州期中）命题“，”的否定是 .
13．（2025高一上·兰州期中）已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为 .
14．（2025高一上·兰州期中）二次函数只有一个零点，则不等式的解集为 .
15．（2025高一上·兰州期中）设集合 ， ，
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
16．（2025高一上·兰州期中）已知，，且.
（1）证明：
（2）求的最小值.
17．（2025高一上·兰州期中）已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的表达式；
（2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于t的不等式．
18．（2025高一上·兰州期中）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：．
（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
19．（2025高一上·兰州期中）设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.
（1）计算：；
（2），是否都有成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由；
（3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单函数定义域
【解析】【解答】解：由题意，，解得且，的定义域是．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质（被开方数非负）和分式的性质（分母不为零），分别列出相应的不等式，组成不等式组，求解即可得到变量的取值范围.
2．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、令，则，所以不成立，该选项正确，符合题意；
B、令，则，所以不成立，该选项正确，符合题意；
C、令，则，所以不成立，该选项正确，符合题意；
D、由及不等式的可加性可得，该选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用特殊值法可判断A、B、C，利用不等式可加性质可判断D.
3．【答案】C
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示，
设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，如图所示：
则，解得，
因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有7人，
所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人.
故选：C.
【分析】根据韦恩图，利用容斥原理，列式求解.
4．【答案】C
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：将不等式变形为，通分后得，
即，.
该不等式等价于，解得.
故答案为：C
【分析】通过移项、通分将分式不等式转化标准形式，再等价变形为整式不等式组求解.
5．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解函数为幂函数，且在区间上单调递增，
则，即，解得.
故答案为：A.
【分析】根据幂函数定义系数为1，指数为正可解.
6．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由对任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得出函数f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以 ，
故答案为：A.
【分析】利用偶函数定义结合已知条件，再利用减函数的定义，从而得出函数f(x)在[0，＋∞)上单独递减，从而利用函数的单调性和奇偶性，从而比较出的大小关系。
7．【答案】A
【知识点】同一函数的判定；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：A、对于函数，函数在上是增函数，在上也是增函数，因为，，所以，，所以在上不是增函数，该选项正确，符合题意；
B、当时，与轴没有交点，该选项错误，不合题意；
C、，可知函数的单调增区间为和，故该选项错误，不合题意；
D、与不表示相同的函数，该选项错误，不合题意.
故答案为：A.
【分析】判断函数的单调性，代入x=4，x=6可判断A；根据二次函数的性质与轴没有交点判断B；根据将函数写出分段函数解析式，画出图象可判断函数的单调性，判断C；求函数定义域与解析式，可函数相等是否相等来判断D.
8．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意；
当，由不等式的解集为，
则，，解得，
即的取值范围为．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次不等式解集的性质，即恒成立问题，画出图像观察得，进行求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：A、D、因为，，所以集合可能为A选项，D选项，该选项正确，符合题意
B、对于集合，此时，该选项错误，不合题意，
C、对于集合，此时，该选项错误，不合题意；
故选：AD．
【分析】根据集合并集的概念依次判断即可．
10．【答案】B,D
【知识点】充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，该选项错误，不合题意；
B、开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，该选项正确，符合题意；
C、开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，该选项错误，不合题意；
D、开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，该选项正确，符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据充要条件的定义开关S与灯泡L 串联判断.
11．【答案】A,B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，关于原点对称，
若为有理数，则也为有理数，则有；
若为无理数，则也为无理数，则有，
所以为定义域上的偶函数，该选项正确，符合题意；
B、当为有理数时，，则；
若为无理数时，，则，
所以对，均有，所以函数为偶函数，该选项正确，符合题意；
C、由B知，对，均有，该选项错误，不合题意；
D、当时，，，
此时，则，该选项错误，不合题意.
故答案为：AB.
【分析】先结合狄利克雷函数解析式分类有理数和无理数讨论，可得函数奇偶性，可判断A、B、C；赋值法可判断D.
12．【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”为全称量词命题，
该命题的否定为“，”.
故答案为：，.
【分析】利用全称量词命题的否定先将变为，再将>变为可得出结论.可得出结论.
13．【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象，
由，
当时，，结合图象可得；
当时，，可得，
所以的解为或.
故答案为：.
【分析】首先利用偶函数的对称性补全 y 轴左侧的函数图象；然后对参数（或变量）的不同取值情况进行分类讨论；在每一类情况下，结合完整的函数图象分析函数值的正负性；最后根据函数值的正负要求，确定参数（或变量）的取值范围
14．【答案】或
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为二次函数只有一个零点，所以，
解得或（舍去），所以不等式即，
解得或，所以不等式的解集为或.
故答案为：或
【分析】先根据函数只有一个零点求得，再解一元二次不等式即可.
15．【答案】（1）解：当 时 ，
（2）解：①当 时， ， ．
②当 时， ，
综上： ．
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算
【解析】【分析】(1)把m的值代入由交集的定义即可得到答案。
(2)由已知条件结合对集合B分情况讨论，即可得出不同情况下的m的取值范围，最后把两种情况下的m的取值范围并起来即可。
16．【答案】（1）证明： 因为，，所以，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以
所以，所以.
（2）解： 因为，所以.
因为，，所以
当且仅当，即时，等号成立，
则，
故，即的最小值是2.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）直接运用基本不等式，结合题目条件建立不等式关系，通过变形可证.
（2）核心思路是通过 "1 的代换" 将目标表达式转化为可应用基本不等式的形式，利用基本不等式的 "积定和最小" 性质，将复杂的分式表达式转化为简单的和式，通过放缩求得最小值，这是解决条件最值问题的典型方法.
（1）因为，，所以，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以
所以，所以.
（2）因为，所以.
因为，，所以
当且仅当，即时，等号成立，
则，
故，即的最小值是2
17．【答案】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以且，所以，，则，
此时，恒成立．
（2）证明：在上单调递增，证明如下：
任取，
，
而，，，故在上单调递增．
（3）解： 因为为奇函数，原不等式等价于，
又在上单调递增，所以，解得，
综上．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义f(-x) = -f(x)，将(-x)代入函数表达式；整理得到关于未知参数的方程，解方程求出参数值；将参数值代入原函数，得到确定的函数解析式；
（2）任取，作差，化简成因式乘积形式，判断与0的大小关系，可证明单调性；
（3）利用奇函数的性质将不等式转化为；结合函数的定义域，列出完整的不等式组，求解得到解集.
（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以且，所以，，则，
此时，恒成立．
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，
，
而，，，故在上单调递增．
（3）因为为奇函数，原不等式等价于，
又在上单调递增，所以，解得，
综上．
18．【答案】（1）解：因为，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中；
（2）解：当时，是增函数，且，
当时，是减函数，且，
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；
（3）解：当时，令，则．
当时，令，则．
则学生注意力在180以上所持续的时间为．
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据题干函数，分别求出的值，再比较即可；
（2）由的单调性得出最大值，从而得出学生的注意力最集中所持续的时间；
（3）由的解，结合的单调性求解即可.
（1）因为，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
（2）当时，是增函数，且．
当时，是减函数，且．
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟
（3）当时，令，则．
当时，令，则．
则学生注意力在180以上所持续的时间为．
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
19．【答案】（1）解：.
（2）证明：，都有成立，证明如下：
依题意，设，则，
，
所以.
（3）解：若中的元素，都有成立，则由（2）知，只需成立，
设，即，则，
当时，显然有成立，即元素为中任意元素，
当时，则，解得，
因此，当，都有成立时，得，
反之，当时，，
设，
所以“中的元素”是“，都有成立”的充要条件，元素.
【知识点】集合的含义；充要条件
【解析】【分析】（1）按照题设规定. 即可求得；
（2）将，代入分别求运算即可；
（3）按照题设条件得出，代入 得出；此时要分类讨论为0的情况，当，都有成立时，而得出之后要代入题设验证，这样充分性必要性都得到了证明，即可得出结论.
（1）.
（2），都有成立，证明如下：
依题意，设，则，
，
所以.
（3）若中的元素，都有成立，则由（2）知，只需成立，
设，即，则，
当时，显然有成立，即元素为中任意元素，
当时，则，解得，
因此，当，都有成立时，得，
反之，当时，，
设，
所以“中的元素”是“，都有成立”的充要条件，元素.
1 / 1甘肃省兰州市第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2025高一上·兰州期中）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单函数定义域
【解析】【解答】解：由题意，，解得且，的定义域是．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质（被开方数非负）和分式的性质（分母不为零），分别列出相应的不等式，组成不等式组，求解即可得到变量的取值范围.
2．（2025高一上·兰州期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、令，则，所以不成立，该选项正确，符合题意；
B、令，则，所以不成立，该选项正确，符合题意；
C、令，则，所以不成立，该选项正确，符合题意；
D、由及不等式的可加性可得，该选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用特殊值法可判断A、B、C，利用不等式可加性质可判断D.
3．（2025高一上·兰州期中）《南京照相馆》 《浪浪山小妖怪》 《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
A．5 B．10 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示，
设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，如图所示：
则，解得，
因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有7人，
所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人.
故选：C.
【分析】根据韦恩图，利用容斥原理，列式求解.
4．（2025高一上·兰州期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：将不等式变形为，通分后得，
即，.
该不等式等价于，解得.
故答案为：C
【分析】通过移项、通分将分式不等式转化标准形式，再等价变形为整式不等式组求解.
5．（2025高一上·兰州期中）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．2或
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解函数为幂函数，且在区间上单调递增，
则，即，解得.
故答案为：A.
【分析】根据幂函数定义系数为1，指数为正可解.
6．（2025高一上·兰州期中）定义在 上的偶函数 满足：对任意的 ， ，有 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由对任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得出函数f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以 ，
故答案为：A.
【分析】利用偶函数定义结合已知条件，再利用减函数的定义，从而得出函数f(x)在[0，＋∞)上单独递减，从而利用函数的单调性和奇偶性，从而比较出的大小关系。
7．（2025高一上·兰州期中）下列四种说法：
（1）若函数在上是增函数，在上也是增函数，则在上是增函数；
（2）若函数与轴没有交点，则且；
（3）函数的单调递增区间为；
（4）和是相同的函数.
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】同一函数的判定；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：A、对于函数，函数在上是增函数，在上也是增函数，因为，，所以，，所以在上不是增函数，该选项正确，符合题意；
B、当时，与轴没有交点，该选项错误，不合题意；
C、，可知函数的单调增区间为和，故该选项错误，不合题意；
D、与不表示相同的函数，该选项错误，不合题意.
故答案为：A.
【分析】判断函数的单调性，代入x=4，x=6可判断A；根据二次函数的性质与轴没有交点判断B；根据将函数写出分段函数解析式，画出图象可判断函数的单调性，判断C；求函数定义域与解析式，可函数相等是否相等来判断D.
8．（2025高一上·兰州期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意；
当，由不等式的解集为，
则，，解得，
即的取值范围为．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次不等式解集的性质，即恒成立问题，画出图像观察得，进行求解即可.
9．（2025高一上·兰州期中）已知集合，集合，则集合可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：A、D、因为，，所以集合可能为A选项，D选项，该选项正确，符合题意
B、对于集合，此时，该选项错误，不合题意，
C、对于集合，此时，该选项错误，不合题意；
故选：AD．
【分析】根据集合并集的概念依次判断即可．
10．（2025高一上·兰州期中）（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，该选项错误，不合题意；
B、开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，该选项正确，符合题意；
C、开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，该选项错误，不合题意；
D、开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，该选项正确，符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据充要条件的定义开关S与灯泡L 串联判断.
11．（2025高一上·兰州期中）狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数
C．，使得 D．
【答案】A,B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，关于原点对称，
若为有理数，则也为有理数，则有；
若为无理数，则也为无理数，则有，
所以为定义域上的偶函数，该选项正确，符合题意；
B、当为有理数时，，则；
若为无理数时，，则，
所以对，均有，所以函数为偶函数，该选项正确，符合题意；
C、由B知，对，均有，该选项错误，不合题意；
D、当时，，，
此时，则，该选项错误，不合题意.
故答案为：AB.
【分析】先结合狄利克雷函数解析式分类有理数和无理数讨论，可得函数奇偶性，可判断A、B、C；赋值法可判断D.
12．（2025高一上·兰州期中）命题“，”的否定是 .
【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”为全称量词命题，
该命题的否定为“，”.
故答案为：，.
【分析】利用全称量词命题的否定先将变为，再将>变为可得出结论.可得出结论.
13．（2025高一上·兰州期中）已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象，
由，
当时，，结合图象可得；
当时，，可得，
所以的解为或.
故答案为：.
【分析】首先利用偶函数的对称性补全 y 轴左侧的函数图象；然后对参数（或变量）的不同取值情况进行分类讨论；在每一类情况下，结合完整的函数图象分析函数值的正负性；最后根据函数值的正负要求，确定参数（或变量）的取值范围
14．（2025高一上·兰州期中）二次函数只有一个零点，则不等式的解集为 .
【答案】或
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为二次函数只有一个零点，所以，
解得或（舍去），所以不等式即，
解得或，所以不等式的解集为或.
故答案为：或
【分析】先根据函数只有一个零点求得，再解一元二次不等式即可.
15．（2025高一上·兰州期中）设集合 ， ，
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：当 时 ，
（2）解：①当 时， ， ．
②当 时， ，
综上： ．
【知识点】集合间关系的判断；交集及其运算
【解析】【分析】(1)把m的值代入由交集的定义即可得到答案。
(2)由已知条件结合对集合B分情况讨论，即可得出不同情况下的m的取值范围，最后把两种情况下的m的取值范围并起来即可。
16．（2025高一上·兰州期中）已知，，且.
（1）证明：
（2）求的最小值.
【答案】（1）证明： 因为，，所以，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以
所以，所以.
（2）解： 因为，所以.
因为，，所以
当且仅当，即时，等号成立，
则，
故，即的最小值是2.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）直接运用基本不等式，结合题目条件建立不等式关系，通过变形可证.
（2）核心思路是通过 "1 的代换" 将目标表达式转化为可应用基本不等式的形式，利用基本不等式的 "积定和最小" 性质，将复杂的分式表达式转化为简单的和式，通过放缩求得最小值，这是解决条件最值问题的典型方法.
（1）因为，，所以，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以
所以，所以.
（2）因为，所以.
因为，，所以
当且仅当，即时，等号成立，
则，
故，即的最小值是2
17．（2025高一上·兰州期中）已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的表达式；
（2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于t的不等式．
【答案】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以且，所以，，则，
此时，恒成立．
（2）证明：在上单调递增，证明如下：
任取，
，
而，，，故在上单调递增．
（3）解： 因为为奇函数，原不等式等价于，
又在上单调递增，所以，解得，
综上．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义f(-x) = -f(x)，将(-x)代入函数表达式；整理得到关于未知参数的方程，解方程求出参数值；将参数值代入原函数，得到确定的函数解析式；
（2）任取，作差，化简成因式乘积形式，判断与0的大小关系，可证明单调性；
（3）利用奇函数的性质将不等式转化为；结合函数的定义域，列出完整的不等式组，求解得到解集.
（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以且，所以，，则，
此时，恒成立．
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，
，
而，，，故在上单调递增．
（3）因为为奇函数，原不等式等价于，
又在上单调递增，所以，解得，
综上．
18．（2025高一上·兰州期中）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：．
（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
【答案】（1）解：因为，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中；
（2）解：当时，是增函数，且，
当时，是减函数，且，
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；
（3）解：当时，令，则．
当时，令，则．
则学生注意力在180以上所持续的时间为．
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据题干函数，分别求出的值，再比较即可；
（2）由的单调性得出最大值，从而得出学生的注意力最集中所持续的时间；
（3）由的解，结合的单调性求解即可.
（1）因为，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
（2）当时，是增函数，且．
当时，是减函数，且．
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟
（3）当时，令，则．
当时，令，则．
则学生注意力在180以上所持续的时间为．
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
19．（2025高一上·兰州期中）设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.
（1）计算：；
（2），是否都有成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由；
（3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素.
【答案】（1）解：.
（2）证明：，都有成立，证明如下：
依题意，设，则，
，
所以.
（3）解：若中的元素，都有成立，则由（2）知，只需成立，
设，即，则，
当时，显然有成立，即元素为中任意元素，
当时，则，解得，
因此，当，都有成立时，得，
反之，当时，，
设，
所以“中的元素”是“，都有成立”的充要条件，元素.
【知识点】集合的含义；充要条件
【解析】【分析】（1）按照题设规定. 即可求得；
（2）将，代入分别求运算即可；
（3）按照题设条件得出，代入 得出；此时要分类讨论为0的情况，当，都有成立时，而得出之后要代入题设验证，这样充分性必要性都得到了证明，即可得出结论.
（1）.
（2），都有成立，证明如下：
依题意，设，则，
，
所以.
（3）若中的元素，都有成立，则由（2）知，只需成立，
设，即，则，
当时，显然有成立，即元素为中任意元素，
当时，则，解得，
因此，当，都有成立时，得，
反之，当时，，
设，
所以“中的元素”是“，都有成立”的充要条件，元素.
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