2025-2026学年人教A版数学必修第一册数学单元检测 第2章 一元二次函数、方程和不等式（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教A版数学必修第一册数学单元检测 第2章 一元二次函数、方程和不等式（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 32.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-01 21:17:19 | ||
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文档简介
第2章 一元二次函数、方程和不等式
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|1A.{x|-1C.{x|12.已知关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1A.1 B.-1 C.0 D.-2
3.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
4.已知a<0,则关于x的不等式x2-ax-12a2<0的解集为( )
A.{x|-3a≤x<4a} B.{x|4aC.{x|-35.已知x>-1,当x=a时,x-4+取得最小值b,则a+b等于( )
A.-3 B.2 C.3 D.8
6.已知关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m≥0恒成立,则m的取值范围是( )
A.-4≤m≤4 B.m≤-4
C.-47.某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本(单位:元)与月处理量(单位:吨)之间的函数关系可近似的表示为y=x2-300x+80 000,为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月处理量应为( )
A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨
8.已知x,y为正实数,且x+y+=5,则x+y的最大值是( )
A.3 B. C.4 D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )
A. B.a2>b2
C. D.a|c|≥b|c|
10.下列不等式的解集是空集的是( )
A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0
C.2x-x2>5 D.x2+x<-2
11.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1A.x1x2+x1+x2<0的解集为{a|-B.x1x2+x1+x2的最小值为-
C.x1+x2+的最大值为-
D.x1+x2+的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若关于x的不等式kx2-6kx+(k+8)≥0在R上恒成立,则k的取值范围为 .
13.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-3或x>1},则ba= ,一元二次不等式ax2+bx+1<0的解集为 (第一空2分,第二空3分).
14.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)解下列不等式:
(1)≥1;(2)6-2x≤x2-3x<18.
16.(15分)已知x,y都是正数.
(1)若3x+2y=12,求xy的最大值;
(2)若x+2y=3,求的最小值.
17.(15分)已知不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)若对x∈R不等式恒成立,则是否存在这样的实数m 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若对一切满足-2≤m≤2的实数m,不等式恒成立,求x的取值范围.
18.(17分)已知关于x的不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
19.(17分)某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,那么该产品的年销售量是1万件.已知2025年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).那么该厂家2025年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大 最大利润为多少
第2章 一元二次函数、方程和不等式
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.A
A={x|-12.C
由题意知解得
故a+b=0.
3.B
∵a2+a<0,∴a(a+1)<0,∴-1∴-a>a2>0,而a<-a2<0,
∴-a>a2>-a2>a.
4.B
关于x的方程x2-ax-12a2=0的两根为4a,-3a,∵a<0,∴4a<-3a,故不等式的解集为{x|4a5.C
x-4+=(x+1)+-5.
因为x>-1,所以x+1>0,
所以(x+1)+-5≥2-5=2×3-5=1,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,
此时a=2,b=1,所以a+b=3.
6.A
∵关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m≥0恒成立,∴关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的判别式Δ=(m-2)2-4(5-m)≤0,即m2≤16,解得-4≤m≤4.
7. B
由题知300≤x≤600,
y=x2-300x+80 000,
∴x+-300≥2-300=100,当且仅当x=,解得x=400.
∴为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月处理量应为400吨.
8．C
∵x+y+=5,
∴(x+y)[5-(x+y)]=(x+y)=2+≥2+2=4,当且仅当x=y时,取等号.
∴(x+y)2-5(x+y)+4≤0,∴1≤x+y≤4.
∴x+y的最大值为4.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.CD
对于A,若a>0>b,则>0,<0,
此时,∴A中不等式不成立;
对于B,若a=1,b=-2,则a2对于C,∵c2+1≥1,∴>0,又a>b,
∴恒成立,∴C中不等式成立;
对于D,∵a>b,|c|≥0,
∴a|c|≥b|c|,
∴D中不等式成立.
10.CD
根据题意,依次分析选项,对于A,x2-x+1=>0恒成立,其解集为R;对于B,-2x2+x+1>0,即2x2-x-1<0,方程2x2-x-1=0的判别式Δ>0,其解集不是空集;对于C,2x-x2>5,即x2-2x+5<0,其对应方程x2-2x+5=0的判别式Δ=-16<0,其解集为空集;对于D,x2+x<-2,即x2+x+2<0,其对应方程x2+x+2=0的判别式Δ<0,其解集是空集.故选CD.
11.ABC
∵x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1∴x1,x2为方程x2-4ax+3a2=0的两根.
∴x1+x2=4a,x1x2=3a2,
∴x1x2+x1+x2=3a2+4a.
由3a2+4a<0,解得-由3a2+4a=3(a+)2-知,当a=-时,取得最小值-,故B正确;
又x1+x2+=4a+,a<0,
∴4a+=-[(-4a)+(-)]≤-2=-,故C正确;
∵a<0,∴4a+<0,故D不正确.故选ABC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 0≤k≤1
当k=0时,显然8≥0恒成立;
当k≠0时,则k>0,且方程kx2-6kx+(k+8)=0的判别式Δ≤0,即解得0综上所述,k的取值范围是0≤k≤1.
13. 9 {x|由题意知,-3和1是方程x2+ax+b=0的两根,所以解得
故ba=(-3)2=9.不等式ax2+bx+1<0,即2x2-3x+1<0.
解得14. 4
∵a>0,∴(x+y)=1+a+≥1+a+2,当且仅当y=x时,取等号.
由条件知a+2+1≥9,解得a≥4.
故正实数a的最小值为4.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
(1)∵≥1,∴-1≥0,
∴≥0,此不等式等价于(x+3)(x-2)≥0,且x-2≠0,解得x>2或x≤-3,
∴原不等式的解集为{x|x>2,或x≤-3}.
(2)原不等式等价于不等式组
解①得x≤-2,或x≥3,解②得-316.(15分)
(1)xy=·3x·2y≤=6.
当且仅当时,取等号.
所以xy的最大值为6.
(2)(x+2y)=≥=1+.
当且仅当
即时,取等号.
所以,的最小值为1+.
17.(15分)
(1)不等式mx2-2x-m+1<0对x∈R恒成立,即函数y=mx2-2x-m+1的图象在x轴下方.
当m=0时,不等式变为1-2x<0,对x∈R不恒成立,故m=0不满足题意;
当m≠0时,函数y=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足其函数图象开口向下,且对应方程mx2-2x-m+1=0无解,即则m无解.综上可知,不存在这样的m,使不等式恒成立.
(2)设y=(x2-1)m+(1-2x),
当x2-1=0,即x=±1时,检验得x=1符合题意;当x2≠1时,则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是一条直线,由题意知当-2≤m≤2时,该直线在x轴下方,所以
解①,得x<或x>,
解②,得由①②,得综上可得x的取值范围为{x18.(17分) (1)由题意知,a>0,且1和b是关于x的方程ax2-3x+2=0的两根,则解得
(2)由(1)知关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0即为x2-(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
故当c>2时,原不等式的解集为{x|2当c<2时,原不等式的解集为{x|c当c=2时,原不等式无解,即原不等式的解集为 .
19.(17分)设2025年该产品利润为y万元.
由题意,可知当m=0时,x=1,
∴1=3-k,解得k=2,
∴x=3-.
又每件产品的销售价格为1.5×元,
∴y=x(1.5×)-(8+16x+m)
=4+8x-m=4+8(3-)-m
=-+29.
∵m≥0,
∴+(m+1)≥2=8,
当且仅当=m+1,即m=3时,等号成立,
∴y≤-8+29=21,
∴ymax=21.
故该厂家2025年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|1
3.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( )
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a
C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
4.已知a<0,则关于x的不等式x2-ax-12a2<0的解集为( )
A.{x|-3a≤x<4a} B.{x|4a
A.-3 B.2 C.3 D.8
6.已知关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m≥0恒成立,则m的取值范围是( )
A.-4≤m≤4 B.m≤-4
C.-4
A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨
8.已知x,y为正实数,且x+y+=5,则x+y的最大值是( )
A.3 B. C.4 D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )
A. B.a2>b2
C. D.a|c|≥b|c|
10.下列不等式的解集是空集的是( )
A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0
C.2x-x2>5 D.x2+x<-2
11.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1
C.x1+x2+的最大值为-
D.x1+x2+的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若关于x的不等式kx2-6kx+(k+8)≥0在R上恒成立,则k的取值范围为 .
13.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-3或x>1},则ba= ,一元二次不等式ax2+bx+1<0的解集为 (第一空2分,第二空3分).
14.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)解下列不等式:
(1)≥1;(2)6-2x≤x2-3x<18.
16.(15分)已知x,y都是正数.
(1)若3x+2y=12,求xy的最大值;
(2)若x+2y=3,求的最小值.
17.(15分)已知不等式mx2-2x-m+1<0.
(1)若对x∈R不等式恒成立,则是否存在这样的实数m 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若对一切满足-2≤m≤2的实数m,不等式恒成立,求x的取值范围.
18.(17分)已知关于x的不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
19.(17分)某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,那么该产品的年销售量是1万件.已知2025年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).那么该厂家2025年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大 最大利润为多少
第2章 一元二次函数、方程和不等式
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.A
A={x|-1
由题意知解得
故a+b=0.
3.B
∵a2+a<0,∴a(a+1)<0,∴-1
∴-a>a2>-a2>a.
4.B
关于x的方程x2-ax-12a2=0的两根为4a,-3a,∵a<0,∴4a<-3a,故不等式的解集为{x|4a
x-4+=(x+1)+-5.
因为x>-1,所以x+1>0,
所以(x+1)+-5≥2-5=2×3-5=1,
当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,
此时a=2,b=1,所以a+b=3.
6.A
∵关于x的不等式x2+(m-2)x+5-m≥0恒成立,∴关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的判别式Δ=(m-2)2-4(5-m)≤0,即m2≤16,解得-4≤m≤4.
7. B
由题知300≤x≤600,
y=x2-300x+80 000,
∴x+-300≥2-300=100,当且仅当x=,解得x=400.
∴为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月处理量应为400吨.
8．C
∵x+y+=5,
∴(x+y)[5-(x+y)]=(x+y)=2+≥2+2=4,当且仅当x=y时,取等号.
∴(x+y)2-5(x+y)+4≤0,∴1≤x+y≤4.
∴x+y的最大值为4.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.CD
对于A,若a>0>b,则>0,<0,
此时,∴A中不等式不成立;
对于B,若a=1,b=-2,则a2
∴恒成立,∴C中不等式成立;
对于D,∵a>b,|c|≥0,
∴a|c|≥b|c|,
∴D中不等式成立.
10.CD
根据题意,依次分析选项,对于A,x2-x+1=>0恒成立,其解集为R;对于B,-2x2+x+1>0,即2x2-x-1<0,方程2x2-x-1=0的判别式Δ>0,其解集不是空集;对于C,2x-x2>5,即x2-2x+5<0,其对应方程x2-2x+5=0的判别式Δ=-16<0,其解集为空集;对于D,x2+x<-2,即x2+x+2<0,其对应方程x2+x+2=0的判别式Δ<0,其解集是空集.故选CD.
11.ABC
∵x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1
∴x1+x2=4a,x1x2=3a2,
∴x1x2+x1+x2=3a2+4a.
由3a2+4a<0,解得-
又x1+x2+=4a+,a<0,
∴4a+=-[(-4a)+(-)]≤-2=-,故C正确;
∵a<0,∴4a+<0,故D不正确.故选ABC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 0≤k≤1
当k=0时,显然8≥0恒成立;
当k≠0时,则k>0,且方程kx2-6kx+(k+8)=0的判别式Δ≤0,即解得0
13. 9 {x|
故ba=(-3)2=9.不等式ax2+bx+1<0,即2x2-3x+1<0.
解得
∵a>0,∴(x+y)=1+a+≥1+a+2,当且仅当y=x时,取等号.
由条件知a+2+1≥9,解得a≥4.
故正实数a的最小值为4.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
(1)∵≥1,∴-1≥0,
∴≥0,此不等式等价于(x+3)(x-2)≥0,且x-2≠0,解得x>2或x≤-3,
∴原不等式的解集为{x|x>2,或x≤-3}.
(2)原不等式等价于不等式组
解①得x≤-2,或x≥3,解②得-3
(1)xy=·3x·2y≤=6.
当且仅当时,取等号.
所以xy的最大值为6.
(2)(x+2y)=≥=1+.
当且仅当
即时,取等号.
所以,的最小值为1+.
17.(15分)
(1)不等式mx2-2x-m+1<0对x∈R恒成立,即函数y=mx2-2x-m+1的图象在x轴下方.
当m=0时,不等式变为1-2x<0,对x∈R不恒成立,故m=0不满足题意;
当m≠0时,函数y=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足其函数图象开口向下,且对应方程mx2-2x-m+1=0无解,即则m无解.综上可知,不存在这样的m,使不等式恒成立.
(2)设y=(x2-1)m+(1-2x),
当x2-1=0,即x=±1时,检验得x=1符合题意;当x2≠1时,则其为一个以m为自变量的一次函数,其图象是一条直线,由题意知当-2≤m≤2时,该直线在x轴下方,所以
解①,得x<或x>,
解②,得
(2)由(1)知关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0即为x2-(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
故当c>2时,原不等式的解集为{x|2
19.(17分)设2025年该产品利润为y万元.
由题意,可知当m=0时,x=1,
∴1=3-k,解得k=2,
∴x=3-.
又每件产品的销售价格为1.5×元,
∴y=x(1.5×)-(8+16x+m)
=4+8x-m=4+8(3-)-m
=-+29.
∵m≥0,
∴+(m+1)≥2=8,
当且仅当=m+1,即m=3时,等号成立,
∴y≤-8+29=21,
∴ymax=21.
故该厂家2025年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.
同课章节目录
- 第一章 集合与常用逻辑用语
- 1.1 集合的概念
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.3 集合的基本运算
- 1.4 充分条件与必要条件
- 1.5 全称量词与存在量词
- 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2.1 等式性质与不等式性质
- 2.2 基本不等式
- 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
- 第三章 函数概念与性质
- 3.1 函数的概念及其表示
- 3.2 函数的基本性质
- 3.3 幂函数
- 3.4 函数的应用（一）
- 第四章 指数函数与对数函数
- 4.1 指数
- 4.2 指数函数
- 4.3 对数
- 4.4 对数函数
- 4.5 函数的应用（二）
- 第五章 三角函数
- 5.1 任意角和弧度制
- 5.2 三角函数的概念
- 5.3 诱导公式
- 5.4 三角函数的图象与性质
- 5.5 三角恒等变换
- 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
- 5.7 三角函数的应用