第6章 统计§6.4.3用样本估计总体数字特征-百分位数 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
北师大版（2019）高中数学必修第一册
第6章 统计
现在你以母校而自豪，
将来母校因你更光荣！
§6.4.3用样本估计总体数字特征-百分位数
学习目标
1 结合实例，能用样本估计百分位数，培养数学抽象的核心素养．
2 理解百分位数的统计含义，培养数据分析的核心素养．
3 通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养
1.重点：结合实例，能用样本估计百分位数
2.难点：理解百分位数的统计含义．
中位数 一组数的平均数与这组数中的每一个数都有关，特别地，平均数容易受到最值的影响，因此有时平均数并不能很好地表示这组数的中心位置.而中位数就是这组数的中心位置。
①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列的中间那个数.
②当数据个数为偶数时，中位数为按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列的最中间的两个数的平均数.
注意：一组数据的中位数只有一个.
中位数、百分位数
定义:一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数:
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i=n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
第p百分位数的定义
问题延伸与思考
月平均用水量/t
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
0.077
频率/组距
100户居民用户月均用水量的频率分布的特点：
大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域，尤其在区间[1.2，7.2)最为集中；
少数居民用户的月均用水量偏多；
随着月均用水量的增加，居民用户数呈现降低趋势.
该市全体居民用户月均用水量也会有类似的分布，即大部分居民用户均用水量集中在较低值区域.
思想：用样本的频率分布估计总体的频率分布
推测
为政府决策
确定一个居民用户月用水量的标准a
问题决策
问题 如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？
即：寻求一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%，大于a的占20%.
①把100个样本数据从小到大排序
第i个 1 2 3 4 5 ... 80 81 ... 97 98 99 100
数据 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 ... 13.6 13.8 ... 24.3 24.5 25.6 28.0
②得到第80和第81个数据分别是13.6和13.8
区间(13.6，13.8)内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.
③取这两数的平均数
称此数为这组数据的第80百分位数或80%分位数
估计
建议市政府把月均用水量标准定为14t
总体数据的第80百分位数约为13.7
80％
20％
a
第p百分位数的定义
一组数据的第 p百分位数：能使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值的数.
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：
第1步：按从小到大排列原始数据;
第2步：计算i=n×p％;
第3步：①若i不是整数，则第p百分位数为第j项数据( j为大于i的比邻整数);
②若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
在实际应用中，常用的分位数还有第25百分位数，第50百分位数(中位数)，第75百分位数.
这3个分位数把一组由小到大排列的数据分成四等份，故称为四分位数.
其中，第25百分位数称为第一四分位数或下四分位数等，
第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
第1百分位数
第5百分位数
第95百分位数
第99百分位数
p％
(100-p)％
a
25%
50%
75%
求一组数据的第p百分位数
1.由样本数据计算第p百分位数
2.由样本数据的频率分布直方图计算第p百分位数
第1步：按从小到大排列原始数据;
第2步：计算i=n×p％;
第3步：①若i不是整数，而大于i的比邻整数为 j，则第p百分位数为第j项数据;
②若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
第1步：计算各组数据的频率(即计算各小长方形的面积)；
第2步：确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，且fa%则第p百分位数在区间[a，b)内；
第3步：利用面积比=宽之比，则第p百分位数为a + ·(b a).
不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．
有70%的同学数学测试成绩在小于或等于85分．
例2（1）班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，
这里的“90%”是百分位数吗？
(2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
思考1：第p百分位数有什么特点？
总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
例3.知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C.这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第76个数的平均数
D.这100个数从小到大排列后，9.3是第75个数和第74个数的平均数
解析：因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C.
C
例4.从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；
解　(1)将所有数据从小到大排列，得
7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，
例5.根据下表或下图,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息，例如由上表中可以知道在[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少.此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.
月平均用水量/t
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2
0.107
0.043
0.030
0.030
0.017
0.010
0.013
0.007
0.077
频率/组距
根据表或图估计月均用水量的样本数据的
80%和95%分位数.
解：∵ 80%分位数一定位于[13.2，16.2)内.
可估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2；
∵95%分位数一定位于[22.2，25.2)内.
可估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
假定样本数据在区间内是均匀分布的.
在频率分布直方图中，
第p百分位数左侧的长方形面积和为p %
面积比=宽之比
根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
这个结果与根据原始数据求得的中位数6.6相差不大.
由于0.077×3=0.231,(0.077+0.107)×3=0.552.
因此中位数落在区间[4.2,7.2)内.
设中位数为x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得到x≈6.71.
因此，中位数约为6.71,如图所示.
第p百分位数的计算
例6.某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第75百分位数分别是 .
解：将12个数据按从小到大排序：
13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.
由12×75%=9可知，
按从小到大排列原始数据
所给数据的第75分位数为第9个和第10个数据的平均数
计算i=n×p％
若i不是整数，而大于i的比邻整数为 j，则第p百分位数为第j项数据
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
15.3
例7.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；
(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．
解：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，
由(0.01+h+0.07+0.06+0.02)×5=1，解得h＝0.04.
(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为1－0.02×5=0.9，
且所有志愿者的年龄都小于45岁，
∴志愿者年龄的95%分位数在[40,45)内，
∴志愿者年龄的95%分位数为
0.04
42.5
例8.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为________；
(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数为___岁.
0.04
39
解析　(1)设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，
则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，
解得h＝0.04.
(2)由图可知，年龄小于35岁的频率为
(0.01＋0.04＋0.07)×5＝0.6，
年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，
所以志愿者年龄的85%分位数在[35，40)内，
例9.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗
解:由题意知分别落在各区间上的频数为
在[80,90)上有60×0.15=9,
在[90,100)上有60×0.25=15,
在[100,110)上有60×0.3=18,
在[110,120)上有60×0.2=12,
在[120,130]上有60×0.1=6.
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上,
综上可知,第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.
例10.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩的70%分位数约为 ___秒.
解：设成绩的70%分位数为x，
成绩小于等于16秒的频率为
成绩小于等于17秒的频率为
∴成绩的70%分位数在区间[16,17)内，
∴成绩的70%分位数为
16.5
D
例11.某学习兴趣小组学生的一次测验成绩如下：
130，135，126，123，145，145，150，131，143，144.
这个兴趣小组学生的测验成绩的第75百分位数是(　　)
A.131 B.143 C.150 D.145
解析共10个数据，且75%×10＝7.5，∴这个兴趣小组的测验成绩的第75百分位数为第8个数据.将这10个测验成绩按从小到大排列为123，126，130，131，135，143，144，145，145，150，∴所求的成绩的第75百分位数为145.
（2）由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，所以75%分位数为m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75,解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．
（3）设75%分位数为m，因为用电量低于30千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，
下课
再见
感谢各位同学配合！
本课结束