5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 教学设计

教学设计
课题 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
1.教学内容分析
1. 内容定位：本节课是人教版高一数学必修一第五章“三角函数”第四节的开篇内容，是在学生掌握任意角三角函数定义、单位圆相关知识后的核心探究课。其核心内容是正弦函数、余弦函数图像的生成原理及“五点法”绘图技巧，既是对三角函数概念的直观化呈现，也是后续探究三角函数周期性、单调性等性质的重要基础，更是渗透数形结合思想的关键载体。 2. 内容核心：本节课的核心是建立“单位圆上点的坐标”与“三角函数图像上点的坐标”的对应关系，通过“从特殊到一般”的探究过程，归纳出“五点法”这一简便绘图方法。具体包含三个层次：一是基于三角函数定义，理解图像生成的几何原理；二是通过动手操作与动态演示，掌握“五点法”绘图的步骤；三是对比正弦、余弦函数图像，初步感知两者的位置关联。 3. 教材编排逻辑：教材遵循“直观感知—动手操作—归纳总结”的编排思路，先通过简谐运动等实际情境引出图像需求，再借助单位圆动态演示函数值变化，引导学生自主尝试描点绘图，最终提炼“五点法”核心要点，既符合学生从具体到抽象的认知规律，也强化了数学知识与实际问题的关联。 4. 思想方法渗透：本节课重点渗透数形结合思想（将三角函数值与图像上的点对应）、从特殊到一般思想（从[0,2π]区间图像推广到全体实数域）、转化与化归思想（将抽象的函数关系转化为直观的图像形态），同时培养学生的动手操作能力与归纳概括能力。
2.学习者分析
1. 已有基础：学生已掌握任意角三角函数的单位圆定义（知道sinα对应单位圆上点的纵坐标、cosα对应横坐标），具备平面直角坐标系中描点绘图的基本技能，且对函数图像的概念（横坐标为自变量、纵坐标为函数值）有初步认知，这为图像生成原理的理解提供了基础。 2. 潜在困难：一是抽象转化困难，学生难以快速建立“单位圆上点的运动”与“三角函数图像生成”的对应关系，对图像平滑性的理解易出现偏差；二是关键点点选取逻辑不清，对“为何选取0、π/2、π、3π/2、2π这五个点”的本质原因（确定图像的形状与趋势）理解不透彻；三是动手操作规范性不足，描点时易出现坐标对应错误、连线时易画成折线等问题。 3. 认知特点：高一学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段，对动态演示、动手操作类活动兴趣较高，但抽象概括能力和逻辑推理能力有待提升，需要通过直观引导和阶梯式探究逐步突破难点。
3.学习目标确定
（一）核心素养目标 直观想象：通过观察单位圆上点的运动与三角函数值的变化，建立三角函数图像的直观认知，能借助图像描述函数值的变化规律，提升直观想象素养； 数学抽象：从具体的描点绘图过程中，抽象出“五点法”绘图的核心逻辑，理解三角函数图像与单位圆的内在关联，培养抽象概括能力； 数学运算：能准确计算正弦、余弦函数在关键点点处的函数值，确保描点绘图的准确性，提升基础数学运算素养； 逻辑推理：在归纳“五点法”步骤、对比正弦与余弦函数图像关系的过程中，培养归纳推理与类比推理能力。 （二）知识与技能目标 理解正弦函数、余弦函数图像的生成原理，明确图像与单位圆的对应关系； 熟练掌握“五点法”绘制正弦函数y=sinx（x∈[0,2π]）和余弦函数y=cosx（x∈[0,2π]）图像的步骤，能独立完成规范绘图； 能准确说出正弦、余弦函数在[0,2π]区间内的关键点点坐标，初步感知两者图像的平移关系。 （三）过程与方法目标 通过参与“观察—操作—归纳—验证”的探究过程，体会数形结合、从特殊到一般的数学思想方法； 在小组合作绘图、交流讨论的过程中，提升动手操作能力与合作探究能力； 通过对比分析正弦、余弦函数图像，培养主动发现问题、总结规律的能力。 （四）情感态度与价值观目标 在动手绘图、探究规律的过程中，感受数学的直观性与严谨性，激发学习三角函数的兴趣； 通过解决简谐运动图像等实际关联问题，体会数学与生活、物理学科的联系，增强应用意识； 在自主探究与成果展示中，体验成功的喜悦，提升学习数学的自信心。
4.学习重点难点
重点：“五点法”绘制正弦函数、余弦函数图像的原理和步骤，正弦函数、余弦函数图像的基本形状和特征。 难点：理解正弦函数图像与单位圆上点的坐标之间的对应关系，掌握“五点法”中关键五点的选取依据。
5.学习评价设计
（一）评价目标 全面评价学生对正弦函数、余弦函数图像生成原理的理解程度，“五点法”绘图步骤的掌握情况，以及直观想象、数学运算等核心素养的发展水平；及时发现学生在图像生成逻辑、描点规范性等方面的问题，为后续教学调整提供依据。 （二）评价方式与内容 过程性评价（占比70%）： 课堂参与度评价：关注学生在情境导入环节的问题回应（如对简谐运动图像的观察思考）、探究新知环节的动手操作积极性（如是否主动参与描点绘图）、小组讨论中的发言质量（如能否清晰表达“五点选取”的原因）； 即时练习评价：通过课堂基础练习（绘制y=sinx、y=cosx在[0,2π]的图像），评价学生是否能准确选取关键点点、规范描点连线，重点检查坐标对应准确性与图像平滑性； 思维过程评价：通过提问“为什么这五个点是关键点点？”“y=cosx图像与y=sinx图像有什么关系？”，评价学生对图像生成原理、函数图像关联的理解深度。 终结性评价（占比30%）： 课后作业评价：通过必做题（规范绘制指定区间图像并标注关键点点）评价基础技能掌握情况；通过选做题（探究y=sin2x与y=sinx图像关系）评价探究能力与知识迁移能力； 小测评价：课后设计5分钟小测，内容包括：①写出y=sinx、y=cosx在[0,2π]的关键点点坐标；②用“五点法”画出y=1+cosx（x∈[0,2π]）的图像，快速检测核心知识与技能的掌握效果。 （三）评价标准 优秀：能准确理解图像生成的几何原理，清晰阐述“五点法”选取逻辑；能规范、快速完成“五点法”绘图，图像平滑、关键点点标注准确；能主动发现正弦与余弦函数图像的平移关系，课后作业与小测完全正确。 良好：理解图像生成原理，能掌握“五点法”绘图步骤；绘图基本规范，关键点点选取准确，仅连线略有不平滑；能说出正弦与余弦函数图像的大致差异，课后作业与小测仅存在个别细节错误。 达标：能结合提示理解“五点法”绘图步骤；能在指导下完成绘图，关键点点选取基本准确，存在少量坐标对应错误；课后作业经订正后能达到正确标准，小测核心知识点无遗漏。 待提升：无法理解图像与单位圆的关联，“五点法”步骤记忆不清晰；绘图存在较多错误（如关键点点遗漏、坐标错误）；课后作业与小测错误较多，需重点辅导。 （四）评价反馈策略 即时反馈：课堂练习中对绘图规范的学生进行展示表扬，对存在问题的学生进行个别指导（如纠正坐标对应错误、示范平滑连线）； 针对性反馈：课后作业批改中，对基础薄弱学生标注错误原因（如“关键点点坐标错误”“连线非平滑曲线”），并附上修正示例；对探究题完成优秀的学生，鼓励分享探究思路； 总结反馈：下次课开篇用5分钟梳理本节课常见错误（如绘图不规范、五点选取逻辑不清），通过典型案例讲解强化理解，确保知识漏洞及时弥补。
6.学习活动设计
（一）情境导入（5分钟） 1. 问题情境：展示简谐运动的动态视频（如单摆摆动、弹簧振子运动），提问：“简谐运动中，物体的位移随时间的变化规律是怎样的？能否用一个函数图像来描述这种变化？”引导学生发现简谐运动的位移变化具有周期性，进而引出本节课要研究的正弦函数、余弦函数的图像。 2. 复习回顾：回顾任意角的正弦函数、余弦函数的定义——在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sinα=y，cosα=x。强调：对于任意一个实数x，都对应着唯一的角（弧度制），进而对应着唯一的正弦值sinx和余弦值cosx，因此y=sinx和y=cosx都是定义域为R的函数。 3. 引出课题：既然y=sinx和y=cosx是定义在R上的函数，它们的图像是什么形状的呢？今天我们就来探究“正弦函数、余弦函数的图像”。（板书课题） （二）探究新知（20分钟） 1. 探究正弦函数y=sinx（x∈[0,2π]）的图像生成 （1）原理分析：根据正弦函数的定义，对于任意x∈[0,2π]，sinx的值就是单位圆上对应角x的终边与单位圆交点的纵坐标。因此，我们可以通过单位圆上点的纵坐标来获取y=sinx在不同x处的函数值，进而描点画出图像。 （2）动态演示：用多媒体课件演示单位圆上的点P随着角x从0变化到2π的运动过程，同步显示点P的纵坐标y=sinx的变化情况，引导学生观察：当x从0→→π→→2π时，y=sinx的值从0→1→0→-1→0变化，直观感受函数值的变化规律。 （3）描点画图： 列表取值：引导学生选取x∈[0,2π]内的关键自变量值，计算对应的sinx值，完成表格： x0π2πsinx010-10
提问：“为什么选取这五个点作为关键点点？”引导学生回答：这五个点分别是函数图像的起点、最高点、中点、最低点、终点，它们能大致确定函数图像的形状和变化趋势。 描点：让学生在坐标纸上建立平面直角坐标系，以x轴表示自变量x（单位：弧度），y轴表示函数值y=sinx，根据表格中的坐标，在坐标纸上描出对应的五个点：(0,0)、(,1)、(π,0)、(,-1)、(2π,0)。 连线：引导学生观察五个点的分布规律，用平滑的曲线将这五个点依次连接起来，得到y=sinx（x∈[0,2π]）的图像。 （4）几何画板验证：用几何画板演示在x∈[0,2π]内取更多点（如、、、等）绘制y=sinx图像的过程，验证学生画出的图像的准确性，强调“平滑曲线”的绘制要求。 2. 探究余弦函数y=cosx（x∈[0,2π]）的图像生成 （1）类比迁移：提问：“根据余弦函数的定义，我们能否用类似的方法画出y=cosx（x∈[0,2π]）的图像？”引导学生回顾余弦函数的定义：cosx是单位圆上对应角x的终边与单位圆交点的横坐标，因此可以通过单位圆上点的横坐标获取y=cosx的函数值。 （2）自主探究：让学生以小组为单位，仿照绘制y=sinx图像的步骤，完成以下任务： 列表：选取x∈[0,2π]内的关键自变量值，计算对应的cosx值； 描点：在坐标纸上描出对应的点； 连线：用平滑的曲线连接各点，得到y=cosx（x∈[0,2π]）的图像。 （3）小组展示与点评：邀请1-2个小组展示他们绘制的图像和列表，点评学生的列表是否准确、描点是否规范、连线是否平滑。重点强调y=cosx（x∈[0,2π]）的关键五点：(0,1)、(,0)、(π,-1)、(,0)、(2π,1)。 （4）图像对比：将y=sinx和y=cosx（x∈[0,2π]）的图像放在同一坐标系中，引导学生观察两者的形状和位置关系，发现：y=cosx的图像可以由y=sinx的图像向左平移个单位得到。 3. 归纳“五点法”的定义和步骤 （1）定义：通过刚才的画图过程，我们发现，只要抓住函数图像的五个关键点点，就能大致画出正弦函数、余弦函数在一个周期内的图像，这种画图方法称为“五点法”。 （2）步骤：引导学生归纳“五点法”画图的一般步骤： 取值：选取一个周期内的五个关键自变量值（通常选取0、、π、、2π）； 计算：计算对应的函数值，得到五个关键点的坐标； 描点：在坐标系中准确描出五个关键点； 连线：用平滑的曲线将五个关键点依次连接起来。 （三）巩固练习（15分钟） 1. 基础练习：让学生用“五点法”画出y=sinx（x∈[-π,π]）和y=cosx（x∈[-π,π]）的图像。教师巡视指导，重点关注学生是否能正确选取关键点点、描点是否准确、连线是否平滑。 2. 变式练习：提问：“如何用‘五点法’画出y=1+sinx（x∈[0,2π]）的图像？”引导学生思考：y=1+sinx的图像与y=sinx的图像有什么关系？（向上平移1个单位），让学生尝试画出图像，进一步巩固“五点法”的应用。 3. 练习点评：选取部分学生的练习成果进行展示，点评优点和不足，强调画图的规范性和准确性。 （四）课堂小结（3分钟） 1. 知识梳理：引导学生回顾本节课的核心内容： 正弦函数、余弦函数图像的生成原理（与单位圆上点的坐标对应）； “五点法”画图的步骤和关键点点的选取； 正弦函数、余弦函数在[0,2π]内的图像形状和特征。 2. 方法总结：强调数形结合思想和从特殊到一般的研究方法在本节课中的应用，鼓励学生在后续学习中继续运用这些方法研究函数问题。
7.板书设计
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 一、生成原理：单位圆上点的坐标（cosx, sinx） 二、“五点法” 步骤：取值→计算→描点→连线 关键点点： y=sinx（[0,2π]）：(0,0)、(,1)、(π,0)、,-1)、(2π,0) y=cosx（[0,2π]）：(0,1)、(,0)、(π,-1)、(,0)、(2π,1) 三、图像特征：平滑的周期性曲线
8.作业与拓展学习设计
作业布置（2分钟） 必做题：用“五点法”画出y=sinx（x∈[0,2π]）和y=cosx（x∈[0,2π]）的图像，并标注出关键点点的坐标；完成教材课后习题中关于正弦函数、余弦函数图像绘制的题目。 选做题：探究y=sin2x和y=2sinx的图像与y=sinx图像的关系，尝试用“五点法”画出它们的图像。
9.特色学习资源分析、技术手段应用说明
教材：人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修第一册》； 教辅资料：配套同步练习册、单元测试卷； 多媒体资源：几何画板（用于演示三角函数图像的生成、角的旋转等）、PPT课件（用于知识梳理和例题讲解）； 实际情境资源：摩天轮、单摆运动、声波传播等周期性现象的视频或图片资料； 网络资源：优质教学视频、在线题库等。
10.教学反思与改进
学生对“正弦函数图像与单位圆上点的纵坐标对应”这一原理的理解是否到位？是否需要进一步加强动态演示和讲解？ 学生在运用“五点法”画图时，是否能准确选取关键点点并计算对应函数值？对于画图不规范的学生，是否需要进行个别辅导？ 课堂时间分配是否合理？巩固练习的难度和题量是否合适？
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