5.4.1正弦函数、余弦函数的图象教学设计（表格式）

教学设计
课题 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
一、教学内容分析（分析本课时教学内容在单元中的位置，学习内容对发展学生核心素养的功能价值，蕴含的正确价值观念等） 1.本课时在整个单元中的定位 本课时是第五章三角函数中“三角函数的图象与性质”的核心起始课时，是在学生掌握任意角的三角函数定义、诱导公式等知识基础上的延伸，也是后续研究正切函数图象与性质、三角函数图象变换及解三角形的重要铺垫。从研究方法来看，本课打破了学生此前对初等函数“解析式→图象→性质”的常规认知，采用“定义→几何作图→图象特征→性质感知”的研究路径，借助单位圆的几何意义搭建“数”与“形”的桥梁，是函数研究从“代数抽象”到“几何直观”的重要进阶，完善了学生对“函数研究基本路径”的结构化认知。在单元教学中，本课时是将“建构三角函数模型、渗透数形结合思想、发展直观想象素养”的总目标落地的关键环节，通过“几何作图→图象抽象→特征归纳”的过程，实现从“三角函数概念”到“图象直观认知”的转化，为后续从图象提炼性质、利用性质解决问题奠定直观基础。 2.本课时对学生核心素养发展的功能价值 ①直观想象素养：深化“数”与“形”的双向关联。通过“单位圆定义→描点作图”“正弦图象平移→余弦图象”的过程，让学生理解三角函数图象的几何生成逻辑，掌握从几何图形中提取函数图象特征、用函数图象表达几何关系的能力，强化“几何意义→图象形态”的直观关联。 ②逻辑推理素养：发展合情推理与演绎推理能力。依托“从[0,2π]的图象延伸到R上的图象”的推理过程，让学生体会周期性在图象拓展中的逻辑依据；通过“正弦函数与余弦函数的诱导公式关联→图象平移变换”的推导，培养学生从代数关系推导几何变换的演绎推理能力。 ③数学抽象素养：完善函数图象的本质认知。通过分析正弦、余弦函数图象的“波浪起伏”特征，抽象出三角函数的周期性、对称性等共性特征，深化对“函数图象是函数关系直观体现”的本质理解，形成对基本初等函数图象的结构化抽象认知。 ④数学运算素养：提升作图与数据处理的准确性。在“五点法”作图过程中，要求学生精准计算关键点的坐标，在图象变换分析中结合代数运算判断平移方向与单位，强化运算的目的性与严谨性。 3.本课时蕴含的正确价值观念 ①“数形结合”的数学思想价值：通过单位圆与三角函数图象的联动，传递“以形助数、以数解形”的核心方法，引导学生认识到几何直观与代数运算的互补性，培养用联系的眼光分析数学问题的观念。 ②“从特殊到一般”的探究价值：从[0,2π]上的正弦图象研究，拓展到R上的图象，再类比推导余弦图象，让学生体会“特殊情形探究→一般规律归纳”的科学探究方法，形成实事求是的探究态度。 ③“转化与化归”的思维价值：将余弦函数图象的研究转化为正弦函数图象的平移变换，让学生理解“复杂问题简单化、未知问题已知化”的解题策略，提升数学思维的灵活性。
二、学情分析 初中阶段学生接触过锐角三角函数与描点法画函数图象，对“数与形”结合有初步认知；高中已学三角函数定义、单位圆及诱导公式，熟练掌握初等函数“概念→图象→性质→应用”的研究流程，会用数形结合、类比等思想方法，为本次学习奠定了知识与方法基础。 学生形象思维仍占主导，抽象逻辑思维正处于过渡阶段，对单位圆描点画正弦、余弦图象的直观操作易理解，但对利用周期性将[0,2π]区间图象推广到全体实数域、正余弦图象平移变换的深层推导，需更多抽象思考，这是学习难点。同时，学生对“五点法”的核心本质、图象变换规律的抽象总结与迁移应用能力较弱，易出现理解和应用上的混淆。
三、目标确定（根据课程标准和学生实际，指向学科核心内容、学科思想方法，描述学生经历学习过程后应达成的目标） 1. 通过对正弦、余弦函数图象绘制方法的探究与总结，使学生掌握研究三角函数的基本方法，体会数形结合、类比迁移在数学学习中的重要性，感悟从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法的内在联系； 2. 通过借助单位圆描点、“五点法”画图象的操作，探索正弦、余弦函数的图象特征，归纳其图象变换规律，使学生感受几何直观与代数运算的结合，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养； 3. 通过情境设问、问题引导、合作绘图的活动，激发学生对三角函数图象的深度思考，提升学生的图象绘制能力、规律探究能力与知识迁移能力，发展理性思维与数学探究意识。
四、学习重点难点 重点： 1. 掌握正弦函数、余弦函数图象的绘制方法（尤其是“五点法”）。 2. 理解正弦函数与余弦函数图象的变换关系。 3. 把握正弦曲线、余弦曲线的核心特征。 难点： 1. 从单位圆几何意义出发，理解正弦函数值的由来及描点的原理。 2. 理解余弦函数图象由正弦函数图象向左平移 个单位的推导过程。 3. 熟练运用“五点法”绘制不同区间内的正、余弦函数简图。
五、学习活动设计 教师活动学生活动环节一：情景导入，直奔主题教师活动 问题1 三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，类比幂函数、指数函数、对数函数， 学习了三角函数的定义之后， 接下来我们应该研究什么问题 追问1：绘制新函数图象的基本方法是什么？追问2：下面我们先画正弦函数的图象，根据正弦函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？ 选择哪一个区间即可？学生活动 问题1 学生回答，应该继续研究三角函数的图象和性质。 追问1：绘制一个新函数图象的基本方式是描点法。 追问2：在教师的引导下，根据三角函数的定义,单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这说明，自变量每增加或减少2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现。因此我们可以先画函数 y=sinx，x∈[0，2π]的图象，再画出正弦函数 y=sinx，x∈R 的图象。设计意图 本设计通过类比旧知（幂函数、指数函数等）提出问题，引导学生自主推导研究方向，渗透类比推理的数学思想。借助分层追问，让学生回顾描点法作图技巧，结合三角函数周期性明确作图区间，既衔接了知识体系，又培养了学生的逻辑思维与自主探究能力。环节二：问题引导，合作探究教师活动 问题 2： 描点法是画函数图象的基本方法， 对于正弦函数， 大家想取哪些点、怎样描点画图呢 可能有的同学说，对于自变量 x 在[0,2π]上随意取一些值，然后利用计算器算出函数值，再在平面直角坐标系上描点连线，可行吗 问题3 绘制函数的图象， 首先需要准确绘制其上一点。对于正弦函数,在[0,2π]上任取一个值 x。,如何借助单位圆确定正弦函数值 Sinx。， 并准确画出点 T(x0,sinx。) 追问1：在x轴上如何精准地找到x。的位置？ 追问2：又如何精准地找到点T(x0,sinx。)的位置呢？ 问题4 我们已经会绘制正弦函数图象上的某一个点，你能制定一个方案，画出， ∈［0,2π］的图象吗 问题 5 根据函数， ∈［0,2π］的图象，你能想象正弦函数，∈R的图象吗？依据是什么？请画出该函数的图象。 小结：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条"波浪起伏"的连续光滑曲线.教师带领学生认清图象特征，加强记忆! 问题6 研究函数，需要快速、比较准确地作出函数的简图。在精确度要求不高的前提下，找到哪些关键点可以快速画出， ∈［0,2π］图象的简图？ 小结：“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点。 问题7 我们已经能够做出正弦函数的图像，你能做出余弦函数的图像吗？ 追问 1： 如果仍然采用之前的方法，此时单位圆上点 B 的横坐标为 cosx。 ，那么将它作为点 T 的纵坐标，还容易使用吗？ 追问 2： 由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数。诱导公式已经表明，余弦函数和正弦函数可以互化。所以你能否通过已经得到的正弦函数的图象，通过变换得到余弦函数的图象 总结：1.余弦函数 ， ∈R的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． 2.余弦函数的图象特征 追问 3： 你能利用点的坐标，解释这种平移变换吗 问题 8 类似于“五点法”作正弦函数的图象， 如何作出余弦函数的简图 追问： 根据余弦曲线的特点，你认为选取哪个区间研究比较合理 学生们找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点，将它们填入下表，然后画出， ∈［－π，π］的简图学生活动 问题2 让学生动手计算、画图、独立思考，孩子们不难发现无论是角还是正弦值都很容易出现一些无理数，这样的话只能画出正弦函数在[0,2π]的大致图象，而且也没有用到三角函数的定义。 问题3 教师引导学生在平面直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，单位圆与x轴正半轴的交点为 A(1,0)，在单位圆上，将点 A 绕着点O 旋转x0弧度至点 B。 根据弧度制的定义，x。既是∠AOB 的大小，也是弧 AB 的长度；根据正弦函数的定义，点 B 的纵坐标y。=sinx。 . 由此， 以x。为横坐标，y。为纵坐标画点，即得到函数图象上的点 T(x。 ,sinx。). 对于两个追问，学生们纷纷展开讨论后给出不同方案（追问1:滚动圆周或细线缠绕；追问2：平移法），教师及时给予点评。 问题4 学生们分组讨论后，小组展示成果。通过对比得到最优，最方便操作的方案。师生共同完善得到如下方案：首先以坐标原点为圆心画单位圆，再将另一个单位圆剪开铺直，一个端点与坐标原点重合，另一个端点落在x轴正半轴上即为2π的位置。然后把 x 轴上 [0,2π] 这一段分成12等份，从而使 x。的值分别为 ，，，··· 2π ；它们所对应的角的终边与单位圆的交点同样将圆周 12 等分，再按照上述方法依次画点T(x。 ,sinx。)，再用光滑的曲线连接。 事实上，利用信息技术，可以在 [0,2π] 上取足够多的点，并将这些点用光滑的曲线连接起来，得到比较精确的函数 y=sinx，x ∈ [0,2π] 的图象。 问题 5 学生思考后动手画图，教师指导。由诱导公式一可知函数，∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与， ∈［0,2π］的图象形状完全一致。因此将函数， ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数，∈R的图象。 问题6 观察函数， ∈［0,2π］的图象，以下五个点： 在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数， ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图，称为“五点法”。 问题7 追问 1：显然不容易了 追问2：学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据。教师引导学生通过比较进行选择。对于函数， 由诱导公式 得，∈R ．而函数∈R 的图象可以通过正弦函数， ∈R 的图象向左平移个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象。 追问 3：教师引导，师生互动 问题 8 根据余弦函数的图象关于y轴对称，选取[-π,π]合理。 自主完成： 学生们找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点，填入下表，然后画出， ∈［－π，π］的简图 设计意图 本环节以问题链为核心设计合作探究活动，核心意图是让学生经历正弦、余弦函数图象的“生成—理解—迁移”过程，落实数学核心素养。 首先，通过“随意描点是否可行”的问题引发认知冲突，让学生发现直接计算的局限性，进而借助单位圆与弧度制，搭建“数”（函数值）与“形”（图象点）的联系，理解精准描点的原理。其次，从绘制[0,2π]内的图象到R上的正弦曲线，再到通过图象变换得到余弦曲线，问题设计层层递进，引导学生运用诱导公式、图象平移等知识实现知识迁移。同时，“五点法”的提炼，让学生掌握简化作图的方法，兼顾实用性与逻辑性。 此外，小组讨论、动手操作的环节设计，既培养了学生的合作探究能力，又通过数形结合、转化化归思想的渗透，让学生不仅学会“画图象”，更理解图象背后的数学本质。 环节三：典例分析，巩固理解 教师活动 例 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]； (2)y＝-cos x，x∈[0,2π]. 追问：你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cosx，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cosx，x∈[0,2π] 的图象？ 学生活动 1.先由学生独立思考作答，然后教师展示学生们的答案，并给予点评。师生总结：(1)“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点．(2)列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点． 追问：学生们思考后回答。学生活动 （学生在真实问题情境中开展学习活动，与教的环节对应） 设计意图 通过典例实操巩固“五点法”作图，结合图象变换追问，深化对函数图象变换规律的理解与应用。环节四：小结提升，形成结构教师活动 在最后我们回顾一下这节课的内容， 请同学们思考以下问题: (1)我们是如何做出正弦曲线、余弦曲线的？ (2)如何用“五点法”做出正弦函数、余弦函数的简图 (3)做函数图象有哪些基本方法？ 学生活动 让学生先总结，再进行全班交流、互动，教师点评学生的总结，并及时补充完善，最后形成比较完整的认识。学生活动 （学生在真实问题情境中开展学习活动，与教的环节对应） 设计意图 通过回顾性问题引导学生自主梳理知识，在交流总结中构建正弦、余弦函数图象的知识体系，强化对作图方法和图象变换的整体认知，同时培养归纳概括能力。
六、板书设计（板书完整呈现教与学活动的过程，最好能呈现建构知识结构与思维发展的路径与关键点） 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象1.正弦曲线 图象特征 五点作图 2.余弦曲线 图象特征 五点作图 3.例题
七、作业与拓展学习设计（关注作业的针对性、预计完成时间，发挥作业对复习巩固、引导学生深入学习的作用） 基础必做：必修一课本200页第1,2题； 拓展选做：必修一课本200页第3,4题。
八、特色学习资源分析、技术手段应用说明（结合教学特色和实际撰写） 依托单位圆模型、五点法图表等资源，结合三角函数定义与诱导公式，搭建“数”与“形”的关联，突出直观性与逻辑性。借助信息技术在[0,2π]上取点绘制精准图象，辅助学生理解曲线特征；用多媒体展示图象平移变换，突破抽象难点。
九、教学反思与改进 教学过程中，要注意引导学生积极参与思考，应给予学生充足的思考、讨论、展示和作图的时间，让他们成为学习的主人。
十、学习评价设计（从知识获得、能力提升、学习态度、学习方法、价值观念培育等方面设计过程性评价的内容、方式与工具等；过程性评价要适量、适度，通过学生的行为表现判断学习目标的达成度） 评价任务1：学生类比幂、指、对数函数的研究方法，学生们能够说出学习了三角函数的定义之后， 接下来我们应该继续研究三角函数的图象和性质。（对应目标1） 评价任务2：借助单位圆精准地作出， ∈［0,2π］的图象，并得到了R上的图象，学会了用“五点法”绘制， ∈［0,2π］简图；通过图象变换得到了 ， ∈R的图象，并用“五点法”绘制， ∈［－π，π］的简图。（对应目标2） 评价任务3：学生参与小组讨论设计正弦函数图象绘制方案，独立完成(1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]； (2)y＝-cos x，x∈[0,2π]的简图绘制，能阐述图象变换的依据，考查图象绘制与知识迁移能力。（对应目标3） 评价任务4：通过课堂提问与展示，观察学生在合作探究、自主总结中的参与度，评价其主动思考、合作交流的学习态度与方法。（综合对应目标1、2、3） 评价任务5：设置目标检测题，检验学生对知识的综合应用能力，巩固学习目标达成效果。（综合对应目标1、2、3）