2025-2026学年北师大版数学九年级上册期末测试模拟题一[范围：九年级全册]
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025·广州）关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
2．（2025·威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
3．（2024·中山模拟）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2024九上·中山期中）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
5．（2025·西宁） 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．5 D．10
7．（2025·广元）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·长春）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
9．（2025·甘孜）对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（1，3）
C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
10．（2025·南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
11．（2024九上·长沙月考）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
12．（2025·济南）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当时，y的值随x值的增大而减小；③；
④；⑤对于任意实数t，总有．
以上结论正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2025·滨州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为 .
14．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可)
15．（2025·宿迁）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大．
16．（2025·常州）如图，在△ABC中，tanC=，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F若CF=5，EF=2，则AC= .
17．（2025·滨州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过点C.若点B的坐标为（0，6），OC=5，则 .
18．（2025·常州）如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F若AB=2，则AF= .
三、解答题（共6题，共66分）
19．（2018·绍兴）
（1）计算：
（2）解方程：x2-2x-1=0
20．（2025·巴中）如图，直线与双曲线交于，两点．
（1）求和直线的表达式；
（2）根据函数图象直接写出不等式的解集；
（3）求△的面积．
21．（2025·武汉）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径， ，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.
（1）求证：CE是⊙O的切线.
（2）若 ，求图中阴影部分的面积.
22．（2025·白银）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外）、△EFG是直角三角形，EG=EF，点G在CD的延长线上.
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说
明理由：
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF=EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由.
23．（2025·淮安）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行．
（1）【问题感知】
①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，）
（2）【问题探究】
如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
（3）【问题解决】
在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由．
24．（2023·娄底）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴抛物线开口向下，对称轴为直线
∵三点为(
∴与对称轴的距离分别为|
故答案为：C.
【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故答案为：A．
【分析】连接交于点F，设，则，根据勾股定理可得AC，根据折叠性质可得，垂直平分，再根据边之间的关系可得，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AM，再根据勾股定理可得MF，再根据正切定义即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
5．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意， 设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a，
∴小正方形EFGH的边长FG=a-b，
∵BP=BC，BG⊥PC，
∴CG=GP=b.
∴HP=a-2b.
∵DE//BG，
∴，
∴，
∴b2+2ab-a2=0，
∴，
∴（负根不合题意，舍去）
∴tan∠CBG=，
故答案为：A .
【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】设，即可得到，则，，进而得到，再由，列式解答即可．
7．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵依题意， 在. 中， 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合图形，中，根据 计算得到结果.
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】
顶点坐标为.
故正确答案为：B.
【分析】对于抛物线，其顶点坐标为，对称轴为直线，当进抛物线开口向上，且在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当进抛物线开口向下，且在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
10．【答案】C
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据正切的定义即可求解.
11．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】
设，利用正方形的性质得到，再利用AA判定三角形相似，再根据性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法计算即可解答．
12．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数y = ax2+ bx + c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1， 0). (0， m)两点，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x = -1，
∴a <0，抛物线与x轴的交点为：(1，0)和(-3，0)
图象如下所示
：
令y=n-1，即把y= n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx十c=n-1(a ≠0)有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c-n+1 =0(a≠0)有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x>-1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵抛物线与x轴的交点为：(1， 0)和(3， 0)，
∴二次函数为y = a(x - 1) (x+ 3) = a(x2 + 2x- 3) = ax2 + 2ax -3a，
∴m=-3a，
∵．
∴3 <-3a<4，
解得
结合函数图象可知，当x=-2时，y= 4a-2b+c>0，故④正确，符合题意，
∵x=
∴b=2a，
. (t + 1) (at - a+ b) = (t + 1) (at - a + 2a)
=a(t+1)(t +1)
=a(t +1)2.
∵a<0， (t+1)2>0，
∴a(t +1)2<0.
即⑤正确，符合题意，
综上，①②③④⑤都正确，共5个。
故答案为：A.
【分析】次函数y = ax2+ bc + c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1， 0). (0， m)两点，把y= n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx十c=n-1(a ≠0)有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c-n+1 =0(a≠0)有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，可得出②正确；由图象知抛物线与x轴的交点为：(1， 0)和(3， 0)，故而得出二次函数为y = a(x - 1) (x+ 3) = a(x2 + 2x- 3) = ax2 + 2ax -3a，可得出m=-3a，根据，即可得出③正确；结合函数图象可得出当x=-2时，y= 4a-2b+c>0，故④正确；再根据抛物线的对称轴，可推导得出⑤正确，综上即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】
解： ∵OC⊥AB
∴
∵ ∠AOC=60°
∴
∴sin∠BDC=
故答案为：
【分析】先根据垂径定理得到，再利用圆周角定理得到，从而计算特殊角的正弦，解答即可.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
15．【答案】5
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，作于点H，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形中，
是等腰直角三角形，
设，则，
矩形桌面的面积，
当时，S取最大值，
即当时，矩形桌面面积最大．
故答案为：5．
【分析】过点A作BC的垂线段AH，则由已知可证四边形AHCD是矩形，则CH＝AD、AH＝CD，即可求得BH＝AH，再由矩形的性质可证EF＝BF，此时可设BF＝x，则EF=x，CF＝10-x，则矩形EFCG的面积可转化为x的二次函数，且二次项系数为负，即面积有最大值，再利用二次函数的性质求出其最大值对应的自变量x的取值即可.
16．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，
∴，
设，则，
∴，
得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
【分析】过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，表示AG和AF，在中，利用勾股定理求解即可．
17．【答案】12
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
解：在Rt△AOB中，点C为AB的中点，OC= 5，
∴AB=2OC=10，
∵点B的坐标为(0， 6)，
∴OB= 6，
∴OA=
∴A(8，0)，
∴点C的坐标为，即(4，3)，
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴k=3x 4= 12，
故答案为：12，
【分析】在Rt△AOB中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到AB= 10，根据点B的坐标得到OB的长度，在利用勾股定理得到OA=8，从而得到A(8， 0)，再利用中点坐标公式得到C(4， 3)，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，解答即可.
18．【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用平行四边形的性质得，，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可．
19．【答案】（1）解 ：原式= - -1+3=2
（2）解 ：∵a=1，b=-2，c=-1
∴ =b2-4ac=4+4=8，
∴x=
x=
∴x1= ，x2=
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据特殊锐角的三角形函数值，算术平方根的意义，0指数的意义，负指数的意义，分别化简，再按实数的运算顺序计算即可；
（2）先找出原方程中a，b，c的值，计算出 的值，再根据求根公式即可算出方程的解。
20．【答案】（1）解：∵双曲线过点
∴
∴m=-12
∵点 在双曲线上
∴
∵直线过点，
∴
解得k=1，b=8
∴直线解析式为
（2）解：。
（3）解：设直线与x轴的交点为C，如图.
易求
∵，
∴
=24-8
=16
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；数形结合
【解析】【解析】解：(2)由图象可知，当自变量在A、B横坐标之间取值时，一次函数图象位于双曲线上方。
∴ 不等式的解集是。
【分析】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出m值，再将点B的横坐标代入反比例函数解析式就能进一步求出a值，然后利用A、B两点的坐标可以求出直线解析式；
(2)求不等式 的解集，就是求自变量在什么范围取值时，能让一次函数位于双曲线上方，数形结合可知；
(3)将 △的面积转化为△与△的面积之差，利用A、B、C三点的坐标可以分别求出△与△的面积，相减即得。
21．【答案】（1）证明：连接OC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
∵CE∥BD，
∴∠OCE=180°-∠BOC=90°，
∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：作BF⊥CE于点F，则∠BFE=∠BFC=90°
∵∠BFC=∠OCF=∠BOC=90°
∴四边形BOCF是矩形
∵BD是⊙O的直径，且BD=4
∴
∴四边形BOCF是正方形
∴BF=OB=2
∵∠E=∠ABD，tan∠ABD=2
∴
∴
∴
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；几何图形的面积计算-割补法；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）连接OC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC=2∠BAC=90°，再根据直线平行性质可得∠OCE=180°-∠BOC=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）作BF⊥CE于点F，则∠BFE=∠BFC=90°，根据正方形判定定理可得四边形BOCF是正方形，则BF=OB=2，再根据正切定义可得，再根据割补法求出阴影部分面积即可求出答案.
22．【答案】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，点与点重合，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由(2)得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，，从而得，然后求出，进而证明，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质求出，，然后利用“一线三垂直”全等模型证明，得；
（3）过点作于点，先推出，根据平行线分线段成比例定理得，从而得是的中位线，进而由三角形中位线定理得，然后结合（2）中的三角形全等得，于是有，最后在中，利用勾股定理即可得.
23．【答案】（1）1.8；0.26
（2）解：如图， 延长PN交AC于点F， 则(OF=EG=x，
米，
∴在 中， 米，
即
延长NM交AB于点H，过A作 交MN于I，则AI=1.8-1.6=0.2(米)， 为使头部不被淋湿，
=0.2，
解得
又·.
.
（3）解：设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，
如图，延长NM交AB于点R，过R作. 交BD于T，延长EG交CD于W， 过W作 交OG于Y，
则 所以在 中，
在 中，
<0.5，在 中，
又·. MN=0.2，
∴此时头部不会被淋湿，
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，EG的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】(1)①由题意知， OG=0.45米， GP =1.35米，
∴OP=OG+GP=0.45+1.35=1.8米，即点C到地面的距离是1.8米，
故答案为： 1.8；
②∵AC = 1米， 点O为AC中点，
米，
∵AB∥CD，
∴∠ABD =∠KDP =72°，
∵AC∥BD，
∴∠OCK =∠KDP=72°，
∴在Rt△OCK中， ×3.08 = 1.54米， 米，故答案为： 0.26；
【分析】(1)①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直角三角形求解；
(2)延长PN交AC于点F，先求出相关角，再利用 接着可得 延长NM交AB于点H， 过A作 交MN于I，为保证头部不被淋湿，即HN≥MN，建立不等式求解即可；
(3)设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时x的值，再判断此时头部是否被淋湿即可.
24．【答案】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）解：①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①先根据二次函数的性质即可得到点C的坐标，再设的解析式为：，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式，过点P作轴，交于点E，交轴于点，先根据题意即可得到，进而即可表示出的面积，再求二次函数的最值即可求解；
②由①可知，进而分类讨论：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，运用二次函数的图象与性质结合题意即可求解。
1 / 12025-2026学年北师大版数学九年级上册期末测试模拟题一[范围：九年级全册]
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025·广州）关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴方程无实根
故答案为：C
【分析】根据二次方程判别式可得方程无实根.
2．（2025·威海）已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴抛物线开口向下，对称轴为直线
∵三点为(
∴与对称轴的距离分别为|
故答案为：C.
【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可.
3．（2024·中山模拟）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故答案为：A．
【分析】连接交于点F，设，则，根据勾股定理可得AC，根据折叠性质可得，垂直平分，再根据边之间的关系可得，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AM，再根据勾股定理可得MF，再根据正切定义即可求出答案.
4．（2024九上·中山期中）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出AD的长即可.
5．（2025·西宁） 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意， 设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a，
∴小正方形EFGH的边长FG=a-b，
∵BP=BC，BG⊥PC，
∴CG=GP=b.
∴HP=a-2b.
∵DE//BG，
∴，
∴，
∴b2+2ab-a2=0，
∴，
∴（负根不合题意，舍去）
∴tan∠CBG=，
故答案为：A .
【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值.
6．（2025·无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE．若△BDE的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】设，即可得到，则，，进而得到，再由，列式解答即可．
7．（2025·广元）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
8．（2025·长春）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵依题意， 在. 中， 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合图形，中，根据 计算得到结果.
9．（2025·甘孜）对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（1，3）
C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】
顶点坐标为.
故正确答案为：B.
【分析】对于抛物线，其顶点坐标为，对称轴为直线，当进抛物线开口向上，且在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当进抛物线开口向下，且在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
10．（2025·南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据正切的定义即可求解.
11．（2024九上·长沙月考）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
由题意得：．
∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】
设，利用正方形的性质得到，再利用AA判定三角形相似，再根据性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法计算即可解答．
12．（2025·济南）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当时，y的值随x值的增大而减小；③；
④；⑤对于任意实数t，总有．
以上结论正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数y = ax2+ bx + c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1， 0). (0， m)两点，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x = -1，
∴a <0，抛物线与x轴的交点为：(1，0)和(-3，0)
图象如下所示
：
令y=n-1，即把y= n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx十c=n-1(a ≠0)有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c-n+1 =0(a≠0)有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x>-1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵抛物线与x轴的交点为：(1， 0)和(3， 0)，
∴二次函数为y = a(x - 1) (x+ 3) = a(x2 + 2x- 3) = ax2 + 2ax -3a，
∴m=-3a，
∵．
∴3 <-3a<4，
解得结合函数图象可知，当x=-2时，y= 4a-2b+c>0，故④正确，符合题意，
∵x=
∴b=2a，
. (t + 1) (at - a+ b) = (t + 1) (at - a + 2a)
=a(t+1)(t +1)
=a(t +1)2.
∵a<0， (t+1)2>0，
∴a(t +1)2<0.
即⑤正确，符合题意，
综上，①②③④⑤都正确，共5个。
故答案为：A.
【分析】次函数y = ax2+ bc + c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1， 0). (0， m)两点，把y= n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx十c=n-1(a ≠0)有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c-n+1 =0(a≠0)有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，可得出②正确；由图象知抛物线与x轴的交点为：(1， 0)和(3， 0)，故而得出二次函数为y = a(x - 1) (x+ 3) = a(x2 + 2x- 3) = ax2 + 2ax -3a，可得出m=-3a，根据，即可得出③正确；结合函数图象可得出当x=-2时，y= 4a-2b+c>0，故④正确；再根据抛物线的对称轴，可推导得出⑤正确，综上即可得出答案。
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（2025·滨州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为 .
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】
解： ∵OC⊥AB
∴
∵ ∠AOC=60°
∴
∴sin∠BDC=
故答案为：
【分析】先根据垂径定理得到，再利用圆周角定理得到，从而计算特殊角的正弦，解答即可.
14．（2025·广东）已知二次函数 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可)
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将x=c，y=0带入y=-x2+bx+c中，可得
0=-c2+bc+c 即 0=c（-c+b+1）；
有两种情况：
当c=0时，函数过（0，0），即过原点，不符合题意；
当c≠0，-c+b+1=0时，即b=c-1；
任取一数使c≠0即可；
若c=1，则b=0；
所以该函数表达式为y=-x2+1.
故答案为：y=-x2+1.（答案不唯一）
【分析】：将二次函数图象过点(c，0)这一条件代入函数表达式，再结合不经过原点确定c的值，进而得到函数表达式。
15．（2025·宿迁）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大．
【答案】5
【知识点】二次函数的最值；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，作于点H，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形中，
是等腰直角三角形，
设，则，
矩形桌面的面积，
当时，S取最大值，
即当时，矩形桌面面积最大．
故答案为：5．
【分析】过点A作BC的垂线段AH，则由已知可证四边形AHCD是矩形，则CH＝AD、AH＝CD，即可求得BH＝AH，再由矩形的性质可证EF＝BF，此时可设BF＝x，则EF=x，CF＝10-x，则矩形EFCG的面积可转化为x的二次函数，且二次项系数为负，即面积有最大值，再利用二次函数的性质求出其最大值对应的自变量x的取值即可.
16．（2025·常州）如图，在△ABC中，tanC=，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F若CF=5，EF=2，则AC= .
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，
∴，
设，则，
∴，
得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
【分析】过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，表示AG和AF，在中，利用勾股定理求解即可．
17．（2025·滨州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过点C.若点B的坐标为（0，6），OC=5，则 .
【答案】12
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
解：在Rt△AOB中，点C为AB的中点，OC= 5，
∴AB=2OC=10，
∵点B的坐标为(0， 6)，
∴OB= 6，
∴OA=
∴A(8，0)，
∴点C的坐标为，即(4，3)，
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴k=3x 4= 12，
故答案为：12，
【分析】在Rt△AOB中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到AB= 10，根据点B的坐标得到OB的长度，在利用勾股定理得到OA=8，从而得到A(8， 0)，再利用中点坐标公式得到C(4， 3)，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，解答即可.
18．（2025·常州）如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F若AB=2，则AF= .
【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用平行四边形的性质得，，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可．
三、解答题（共6题，共66分）
19．（2018·绍兴）
（1）计算：
（2）解方程：x2-2x-1=0
【答案】（1）解 ：原式= - -1+3=2
（2）解 ：∵a=1，b=-2，c=-1
∴ =b2-4ac=4+4=8，
∴x=
x=
∴x1= ，x2=
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据特殊锐角的三角形函数值，算术平方根的意义，0指数的意义，负指数的意义，分别化简，再按实数的运算顺序计算即可；
（2）先找出原方程中a，b，c的值，计算出 的值，再根据求根公式即可算出方程的解。
20．（2025·巴中）如图，直线与双曲线交于，两点．
（1）求和直线的表达式；
（2）根据函数图象直接写出不等式的解集；
（3）求△的面积．
【答案】（1）解：∵双曲线过点
∴
∴m=-12
∵点 在双曲线上
∴
∵直线过点，
∴
解得k=1，b=8
∴直线解析式为
（2）解：。
（3）解：设直线与x轴的交点为C，如图.
易求
∵，
∴
=24-8
=16
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；数形结合
【解析】【解析】解：(2)由图象可知，当自变量在A、B横坐标之间取值时，一次函数图象位于双曲线上方。
∴ 不等式的解集是。
【分析】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出m值，再将点B的横坐标代入反比例函数解析式就能进一步求出a值，然后利用A、B两点的坐标可以求出直线解析式；
(2)求不等式 的解集，就是求自变量在什么范围取值时，能让一次函数位于双曲线上方，数形结合可知；
(3)将 △的面积转化为△与△的面积之差，利用A、B、C三点的坐标可以分别求出△与△的面积，相减即得。
21．（2025·武汉）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径， ，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.
（1）求证：CE是⊙O的切线.
（2）若 ，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接OC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
∵CE∥BD，
∴∠OCE=180°-∠BOC=90°，
∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：作BF⊥CE于点F，则∠BFE=∠BFC=90°
∵∠BFC=∠OCF=∠BOC=90°
∴四边形BOCF是矩形
∵BD是⊙O的直径，且BD=4
∴
∴四边形BOCF是正方形
∴BF=OB=2
∵∠E=∠ABD，tan∠ABD=2
∴
∴
∴
【知识点】正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；几何图形的面积计算-割补法；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）连接OC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC=2∠BAC=90°，再根据直线平行性质可得∠OCE=180°-∠BOC=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）作BF⊥CE于点F，则∠BFE=∠BFC=90°，根据正方形判定定理可得四边形BOCF是正方形，则BF=OB=2，再根据正切定义可得，再根据割补法求出阴影部分面积即可求出答案.
22．（2025·白银）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外）、△EFG是直角三角形，EG=EF，点G在CD的延长线上.
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说
明理由：
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF=EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，点与点重合，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由(2)得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，，从而得，然后求出，进而证明，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质求出，，然后利用“一线三垂直”全等模型证明，得；
（3）过点作于点，先推出，根据平行线分线段成比例定理得，从而得是的中位线，进而由三角形中位线定理得，然后结合（2）中的三角形全等得，于是有，最后在中，利用勾股定理即可得.
23．（2025·淮安）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行．
（1）【问题感知】
①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，）
（2）【问题探究】
如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
（3）【问题解决】
在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由．
【答案】（1）1.8；0.26
（2）解：如图， 延长PN交AC于点F， 则(OF=EG=x，
米，
∴在 中， 米，
即
延长NM交AB于点H，过A作 交MN于I，则AI=1.8-1.6=0.2(米)， 为使头部不被淋湿，
=0.2，
解得
又·.
.
（3）解：设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，
如图，延长NM交AB于点R，过R作. 交BD于T，延长EG交CD于W， 过W作 交OG于Y，
则 所以在 中，
在 中，
<0.5，在 中，
又·. MN=0.2，
∴此时头部不会被淋湿，
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，EG的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】(1)①由题意知， OG=0.45米， GP =1.35米，
∴OP=OG+GP=0.45+1.35=1.8米，即点C到地面的距离是1.8米，
故答案为： 1.8；
②∵AC = 1米， 点O为AC中点，
米，
∵AB∥CD，
∴∠ABD =∠KDP =72°，
∵AC∥BD，
∴∠OCK =∠KDP=72°，
∴在Rt△OCK中， ×3.08 = 1.54米， 米，故答案为： 0.26；
【分析】(1)①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直角三角形求解；
(2)延长PN交AC于点F，先求出相关角，再利用 接着可得 延长NM交AB于点H， 过A作 交MN于I，为保证头部不被淋湿，即HN≥MN，建立不等式求解即可；
(3)设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时x的值，再判断此时头部是否被淋湿即可.
24．（2023·娄底）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）解：①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①先根据二次函数的性质即可得到点C的坐标，再设的解析式为：，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式，过点P作轴，交于点E，交轴于点，先根据题意即可得到，进而即可表示出的面积，再求二次函数的最值即可求解；
②由①可知，进而分类讨论：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，运用二次函数的图象与性质结合题意即可求解。
1 / 1
