广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高一上学期期中数学试题
1．（2025高一上·潮阳期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·潮阳期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·潮阳期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·潮阳期中）对，使恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·潮阳期中）下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2025高一上·潮阳期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·潮阳期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（ ）
A．小于10g B．等于10g
C．大于10g D．大于或等于10g
8．（2025高一上·潮阳期中）设函数的定义域为，且，当时，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·潮阳期中）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·潮阳期中）设函数，则（ ）
A．函数为奇函数
B．
C．函数的值域为
D．函数在其定义域上为增函数
11．（2025高一上·潮阳期中）已知、均为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
12．（2025高一上·潮阳期中）
13．（2025高一上·潮阳期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为 ．
14．（2025高一上·潮阳期中）已知函数和是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数，，则 ；若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ．
15．（2025高一上·潮阳期中）已知集合，.
（1）求；
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16．（2025高一上·潮阳期中）设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
17．（2025高一上·潮阳期中）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为，宽为．
（1）若有苗区面积为，则为何值时，所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长为，则为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大；
（3）若使用的篱笆总长为，求的最小值．
18．（2025高一上·潮阳期中）已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
19．（2025高一上·潮阳期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”.
（1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”；
（2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b；
（3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：A.
【分析】明确集合的表示形式，集合是绝对值不等式且元素为整数的集合，需先求解绝对值不等式并结合整数条件确定集合的元素；集合是简单的区间表示的集合.根据交集的定义，找出同时属于集合和集合的元素，从而得到.
2．【答案】B
【知识点】其他不等式的解法；简单函数定义域
【解析】【解答】解：对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】列出让式子有意义条件，组成不等式组，由此可解得函数的定义域.
3．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故答案为：A.
【分析】
由题意首先确定函数的奇偶性，判断图象的对称性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
4．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，恒成立，则，解得，
因为，，，
则对，使恒成立的一个充分不必要条件是.
故答案为：D.
【分析】根据恒成立求得参数的取值范围，再利用区间的包含关系判断即可.
5．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、若，当时，，该选项错误，不合题意；
B、当时，满足，但，该选项错误，不合题意；
C、当时，满足，但，该选项错误，不合题意；
D、当时，，即，，即，
所以，该选项正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】代入特殊值可判断A、B、C的正误；利用作差法比较大小，将式子分别作差比较可判断D的正误.
6．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，
所以，和是方程的两个实数根，
所以，即，，，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当取等号，
所以，，即的取值范围为.
故答案为：C
【分析】由题意可得两个根为-4和1，代入韦达定理可将转化为求的范围，利用基本不等式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为天平两臂不等长，
可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，
则，，
，，
，
当且仅当时，即当时等号成立，
但，等号不成立，
则.
因此，顾客购得的黄金大于.
故答案为：C.
【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡，然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，再利用杠杆原理和基本不等式求最值的方法，从而得出顾客购得的黄金大于，进而找出正确的选项.
8．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设，则，
所以，
因为，
所以，
设时，与相交，
则，所以，
解得，所以，
则在定义域上，只有当时，函数与相交，
当时，由，解得，如图，
结合图象可知，的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件得出分段函数的解析式，从而确定函数与交点所在区间，进而求出不等式的解集，再由分段函数的图象得出其定义域上的解，从而得出实数x的取值范围.
9．【答案】C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数为非奇非偶函数，该选项错误，不合题意；
B、函数在上为单调递减函数，
当在定义域内不是单调递减函数，该选项错误，不合题意；
C、函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为奇函数，
又由函数在定义域上为单调递减函数，该选项正确，符合题意；
D、由函数，其图象如图所示，
函数的图象关于原点对称，且在定义域上为单调递减函数，该选项正确，符合题意.
故答案为：CD.
【分析】依据题意，结合基本初等函数的核心性质（单调性、值域等），以及函数奇偶性的判定规则（定义域关于原点对称且满足 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x))，对每个选项逐一分析判定，即可得出结果.
10．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、，
令定义域为，
满足，则为奇函数，故A正确；
B、，
，故B正确；
C、，令，则，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数的值域为，故C正确；
D、，
令，，
由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且，
由反比例函数单调性可知：随的增大而减小，
故当当时即时为减函数，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】将代入化简的解析式，再根据奇函数的定义判断函数的奇偶性即可判断A；直接代入对应的函数解析式即可判断B；先化简函数解析式，再根据二次函数、反比例函数性质求值域即可判断C；化简函数解析式，结合二次函数、反比例函数的性质判断函数的单调性即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最大值为，该选项正确，符合题意；
B、，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，该选项错误，不合题意；
C、
，
当且仅当时，即当或时，等号成立，
所以，的最小值为，该选项正确，符合题意；
D、
，
设，，可得，
则上式，
当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】代入基本不等式可判断A；将2换成，可化为，进而利用基本不等式可判断B；将代入原式化简为，利用基本不等式可判断C；原式可化为，设，，利用进行代换，最后用基本不等式可判断D.
12．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据根式、分数指数幂的运算法则化简求值即可.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，
则或，解得.
故答案为：
【分析】求出二次函数对称轴可判断单调性，对称轴满足或，可得.
14．【答案】x；
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：根据题意，，则，
两式相加可得，
又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
所以，即，．
若对于任意，都有，
变形可得，
令，则在上单调递增；
所以，
若，则在上单调递增，满足题意；
若，则是对称轴为的二次函数，
若在上单调递增，只需或，
解得或，
综上，，即的取值范围为：．
故答案为：；.
【分析】根据题意，通过结合奇偶函数性质构造方程的思路推导函数解析式；依据单调性定义整理不等式，构造新函数后，分 a>0 和 a<0 两种情况，结合一次函数、二次函数的性质分析求解，即可得出答案.
15．【答案】（1）解：，，
故，则或，
（2）解：由“”是“”的充分不必要条件可得是的真子集，
故或或，
解得或或，
综上可得.
【知识点】交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别解分式不等式和一元二次不等式，得两个集合，再交集和补集运算即可求解，
（2）由充分必要条件得到真子集的关系，即可分类讨论求解.
（1），，
故，则或，
（2）由“”是“”的充分不必要条件可得 ，
故或或，
解得或或，
综上可得
16．【答案】（1）解：不等式，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，要使对一切实数x恒成立，只需，解得；
综上，实数m的取值范围为；
（2）解：当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
【知识点】函数恒成立问题；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，分和讨论，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求解即可；
（2）分、讨论，结合一元二次不等式的解法求解集即可.
（1）由题设，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，只需，可得；
综上，.
（2）当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
17．【答案】（1）解：依题意，所用篱笆总长为，而，
当且仅当，即，时取等号，
所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小．
（2）解：依题意，
所以篱笆所围的育苗区面积为
当且仅当，即时等号成立，
所以育苗区的长为，宽为时，篱笆所围的育苗区面积最大．
（3）解：，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值．
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先列出篱笆总长，在根据基本不等式求解和的最小值；
（2）先列出篱笆所围的育苗区面积，再用基本不等式求解积的最大值；
（2）利用基本不等式“1”的妙用代入求出最小值．
（1）依题意，所用篱笆总长为，而，
当且仅当，即，时取等号，
所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小．
（2）依题意，
所以篱笆所围的育苗区面积为
当且仅当，即时等号成立，
所以育苗区的长为，宽为时，篱笆所围的育苗区面积最大．
（3），
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值．
18．【答案】（1）解：根据题意，
因为是奇函数，其定义域为，
所以
解得.
（2）解：由（1）的结论，得：，
则函数在上单调递减，
证明如下：任取，所以
由，
可得，
所以，
则，
所以，
则在上单调递减．
（3）解：因为方程
等价于，
又因为方程在上恰有两个不相等的实数根，
且在上单调递减，
所以在上恰有两个不相等的实数根，
令，
则方程转化为在上恰有两个不相等的实数根，
由二次函数的图象与性质，可得，
解得，
所以的取值范围是．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由奇函数的定义和已知条件，从而得出实数的值.
（2）利用单调性的定义，从而判断并证明出函数在上的单调性.
（3）利用函数的单调性与奇偶性，将等式脱去“”，再利用换元法结合二次函数的图象与性质，从而得出实数的取值范围．
（1）根据题意，因为是奇函数，其定义域为，
所以，
解得；
（2）由（1）的结论，，
函数在上单调递减，证明如下：
任取，
所以，
由，可得，
所以，
所以，即，
所以在上单调递减．
（3）方程等价于，
因为方程在上恰有两个不相等的实数根，
且在上单调递减，
所以在上恰有两个不相等的实数根，
令，则方程转化为在上恰有两个不相等的实数根，
由二次函数的图象与性质可得，解得，
所以的取值范围是．
19．【答案】（1）证明：易知函数在与上均为增函数，
若存在完美区间，则，即为的两根，
即的两根，故，即存在“完美区间”；
（2）解：若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为，
当时，易得在区间上单调递减，
则，两式相减可得，得，
则，即，解得，；
（3）解：，图象如图所示：
令，解得或，
（ⅰ）当时，，由，两式相除，，
，
，可得，与a，b范围矛盾，即实数不存在；
（ⅱ）当时，，由可得，，
即，，由，即，解得，
又因为，，所以，
由，可得，
综上，符合条件的k的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；一元二次方程的解集；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）易知函数在与上均为增函数，根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可；
（2）设定义域为，值域为，易得在区间上单调递减，根据函数单调性递减列方程组求解即可；
（3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可.
（1）在与上均为增函数，若存在完美区间，则有，即为的两根．
即的根，故，即存在“完美区间”.
（2）若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为
当时，易得在区间上单调递减，
则，两式相减可得，得，
则，即，因为，解得，.
（3），图象如图所示，令，解得或，
（ⅰ）当时，，由，两式相除，，
，
，可得，与a，b范围矛盾，即实数不存在
（ⅱ）当时，，由可得，，即，
，由，即，解得，
又，，，
由，可得，
综上，符合条件的k的取值范围为.
1 / 1广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高一上学期期中数学试题
1．（2025高一上·潮阳期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，所以.
故答案为：A.
【分析】明确集合的表示形式，集合是绝对值不等式且元素为整数的集合，需先求解绝对值不等式并结合整数条件确定集合的元素；集合是简单的区间表示的集合.根据交集的定义，找出同时属于集合和集合的元素，从而得到.
2．（2025高一上·潮阳期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】其他不等式的解法；简单函数定义域
【解析】【解答】解：对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】列出让式子有意义条件，组成不等式组，由此可解得函数的定义域.
3．（2025高一上·潮阳期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故答案为：A.
【分析】
由题意首先确定函数的奇偶性，判断图象的对称性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
4．（2025高一上·潮阳期中）对，使恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，恒成立，则，解得，
因为，，，
则对，使恒成立的一个充分不必要条件是.
故答案为：D.
【分析】根据恒成立求得参数的取值范围，再利用区间的包含关系判断即可.
5．（2025高一上·潮阳期中）下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、若，当时，，该选项错误，不合题意；
B、当时，满足，但，该选项错误，不合题意；
C、当时，满足，但，该选项错误，不合题意；
D、当时，，即，，即，
所以，该选项正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】代入特殊值可判断A、B、C的正误；利用作差法比较大小，将式子分别作差比较可判断D的正误.
6．（2025高一上·潮阳期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，
所以，和是方程的两个实数根，
所以，即，，，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当取等号，
所以，，即的取值范围为.
故答案为：C
【分析】由题意可得两个根为-4和1，代入韦达定理可将转化为求的范围，利用基本不等式求解即可.
7．（2025高一上·潮阳期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（ ）
A．小于10g B．等于10g
C．大于10g D．大于或等于10g
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为天平两臂不等长，
可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，
则，，
，，
，
当且仅当时，即当时等号成立，
但，等号不成立，
则.
因此，顾客购得的黄金大于.
故答案为：C.
【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡，然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，再利用杠杆原理和基本不等式求最值的方法，从而得出顾客购得的黄金大于，进而找出正确的选项.
8．（2025高一上·潮阳期中）设函数的定义域为，且，当时，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设，则，
所以，
因为，
所以，
设时，与相交，
则，所以，
解得，所以，
则在定义域上，只有当时，函数与相交，
当时，由，解得，如图，
结合图象可知，的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件得出分段函数的解析式，从而确定函数与交点所在区间，进而求出不等式的解集，再由分段函数的图象得出其定义域上的解，从而得出实数x的取值范围.
9．（2025高一上·潮阳期中）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数为非奇非偶函数，该选项错误，不合题意；
B、函数在上为单调递减函数，
当在定义域内不是单调递减函数，该选项错误，不合题意；
C、函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为奇函数，
又由函数在定义域上为单调递减函数，该选项正确，符合题意；
D、由函数，其图象如图所示，
函数的图象关于原点对称，且在定义域上为单调递减函数，该选项正确，符合题意.
故答案为：CD.
【分析】依据题意，结合基本初等函数的核心性质（单调性、值域等），以及函数奇偶性的判定规则（定义域关于原点对称且满足 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x))，对每个选项逐一分析判定，即可得出结果.
10．（2025高一上·潮阳期中）设函数，则（ ）
A．函数为奇函数
B．
C．函数的值域为
D．函数在其定义域上为增函数
【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、，
令定义域为，
满足，则为奇函数，故A正确；
B、，
，故B正确；
C、，令，则，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数的值域为，故C正确；
D、，
令，，
由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且，
由反比例函数单调性可知：随的增大而减小，
故当当时即时为减函数，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】将代入化简的解析式，再根据奇函数的定义判断函数的奇偶性即可判断A；直接代入对应的函数解析式即可判断B；先化简函数解析式，再根据二次函数、反比例函数性质求值域即可判断C；化简函数解析式，结合二次函数、反比例函数的性质判断函数的单调性即可判断D.
11．（2025高一上·潮阳期中）已知、均为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最大值为，该选项正确，符合题意；
B、，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，该选项错误，不合题意；
C、
，
当且仅当时，即当或时，等号成立，
所以，的最小值为，该选项正确，符合题意；
D、
，
设，，可得，
则上式，
当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】代入基本不等式可判断A；将2换成，可化为，进而利用基本不等式可判断B；将代入原式化简为，利用基本不等式可判断C；原式可化为，设，，利用进行代换，最后用基本不等式可判断D.
12．（2025高一上·潮阳期中）
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据根式、分数指数幂的运算法则化简求值即可.
13．（2025高一上·潮阳期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，
则或，解得.
故答案为：
【分析】求出二次函数对称轴可判断单调性，对称轴满足或，可得.
14．（2025高一上·潮阳期中）已知函数和是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数，，则 ；若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ．
【答案】x；
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：根据题意，，则，
两式相加可得，
又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
所以，即，．
若对于任意，都有，
变形可得，
令，则在上单调递增；
所以，
若，则在上单调递增，满足题意；
若，则是对称轴为的二次函数，
若在上单调递增，只需或，
解得或，
综上，，即的取值范围为：．
故答案为：；.
【分析】根据题意，通过结合奇偶函数性质构造方程的思路推导函数解析式；依据单调性定义整理不等式，构造新函数后，分 a>0 和 a<0 两种情况，结合一次函数、二次函数的性质分析求解，即可得出答案.
15．（2025高一上·潮阳期中）已知集合，.
（1）求；
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：，，
故，则或，
（2）解：由“”是“”的充分不必要条件可得是的真子集，
故或或，
解得或或，
综上可得.
【知识点】交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别解分式不等式和一元二次不等式，得两个集合，再交集和补集运算即可求解，
（2）由充分必要条件得到真子集的关系，即可分类讨论求解.
（1），，
故，则或，
（2）由“”是“”的充分不必要条件可得 ，
故或或，
解得或或，
综上可得
16．（2025高一上·潮阳期中）设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）解：不等式，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，要使对一切实数x恒成立，只需，解得；
综上，实数m的取值范围为；
（2）解：当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
【知识点】函数恒成立问题；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，分和讨论，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求解即可；
（2）分、讨论，结合一元二次不等式的解法求解集即可.
（1）由题设，即对一切实数x恒成立，
当时，不恒成立；
当时，只需，可得；
综上，.
（2）当时，，即，可得；解集为；
当时，，
若，则，
若，即时，可得或，解集为；
若，即时，可得，解集为；
若，即时，可得或，解集为；
若，则，可得，解集为.
17．（2025高一上·潮阳期中）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为，宽为．
（1）若有苗区面积为，则为何值时，所用篱笆总长最小；
（2）若使用的篱笆总长为，则为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大；
（3）若使用的篱笆总长为，求的最小值．
【答案】（1）解：依题意，所用篱笆总长为，而，
当且仅当，即，时取等号，
所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小．
（2）解：依题意，
所以篱笆所围的育苗区面积为
当且仅当，即时等号成立，
所以育苗区的长为，宽为时，篱笆所围的育苗区面积最大．
（3）解：，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值．
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先列出篱笆总长，在根据基本不等式求解和的最小值；
（2）先列出篱笆所围的育苗区面积，再用基本不等式求解积的最大值；
（2）利用基本不等式“1”的妙用代入求出最小值．
（1）依题意，所用篱笆总长为，而，
当且仅当，即，时取等号，
所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小．
（2）依题意，
所以篱笆所围的育苗区面积为
当且仅当，即时等号成立，
所以育苗区的长为，宽为时，篱笆所围的育苗区面积最大．
（3），
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值．
18．（2025高一上·潮阳期中）已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，
因为是奇函数，其定义域为，
所以
解得.
（2）解：由（1）的结论，得：，
则函数在上单调递减，
证明如下：任取，所以
由，
可得，
所以，
则，
所以，
则在上单调递减．
（3）解：因为方程
等价于，
又因为方程在上恰有两个不相等的实数根，
且在上单调递减，
所以在上恰有两个不相等的实数根，
令，
则方程转化为在上恰有两个不相等的实数根，
由二次函数的图象与性质，可得，
解得，
所以的取值范围是．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的奇偶性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由奇函数的定义和已知条件，从而得出实数的值.
（2）利用单调性的定义，从而判断并证明出函数在上的单调性.
（3）利用函数的单调性与奇偶性，将等式脱去“”，再利用换元法结合二次函数的图象与性质，从而得出实数的取值范围．
（1）根据题意，因为是奇函数，其定义域为，
所以，
解得；
（2）由（1）的结论，，
函数在上单调递减，证明如下：
任取，
所以，
由，可得，
所以，
所以，即，
所以在上单调递减．
（3）方程等价于，
因为方程在上恰有两个不相等的实数根，
且在上单调递减，
所以在上恰有两个不相等的实数根，
令，则方程转化为在上恰有两个不相等的实数根，
由二次函数的图象与性质可得，解得，
所以的取值范围是．
19．（2025高一上·潮阳期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”.
（1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”；
（2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b；
（3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：易知函数在与上均为增函数，
若存在完美区间，则，即为的两根，
即的两根，故，即存在“完美区间”；
（2）解：若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为，
当时，易得在区间上单调递减，
则，两式相减可得，得，
则，即，解得，；
（3）解：，图象如图所示：
令，解得或，
（ⅰ）当时，，由，两式相除，，
，
，可得，与a，b范围矛盾，即实数不存在；
（ⅱ）当时，，由可得，，
即，，由，即，解得，
又因为，，所以，
由，可得，
综上，符合条件的k的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；一元二次方程的解集；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）易知函数在与上均为增函数，根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可；
（2）设定义域为，值域为，易得在区间上单调递减，根据函数单调性递减列方程组求解即可；
（3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可.
（1）在与上均为增函数，若存在完美区间，则有，即为的两根．
即的根，故，即存在“完美区间”.
（2）若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为
当时，易得在区间上单调递减，
则，两式相减可得，得，
则，即，因为，解得，.
（3），图象如图所示，令，解得或，
（ⅰ）当时，，由，两式相除，，
，
，可得，与a，b范围矛盾，即实数不存在
（ⅱ）当时，，由可得，，即，
，由，即，解得，
又，，，
由，可得，
综上，符合条件的k的取值范围为.
1 / 1
