8 高考中的抽象函数
视角一 抽象函数与函数性质的交汇
(1)已知f(x)是定义在R上的函数，若f(x＋a)(a∈R)是奇函数，则f(x)的图象关于点A(a，0)对称．
(2)已知f(x)是定义在R上的函数，若f(x＋a)(a∈R)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|.
(4)若函数y＝f(x)同时关于点(a，0)与点(b，0)中心对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|.
(5)若函数y＝f(x)既关于x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则函数y＝f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|.
例1 (1)(2025·沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，则 ( )
A．f(0)＝1 B．f(1)＝－1
C．f(2)＝0 D．f(3)＝0
(2)(2025·山西二模)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝0，函数y＝xf(x＋3)是奇函数，函数y＝(x＋1)f(x)的图象关于直线x＝－1对称，则 ( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x－1)是奇函数
C．f(x＋8)＝f(x) D．f(1)＝0
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视角二 双抽象函数
这类问题的处理策略是根据两个函数的关系，转化为一个函数间的关系，再判断奇偶性、单调性、周期性，进而求解．
例2 (1)(2025·河南二模)已知函数f(x)为R上的奇函数，若函数y＝g(x＋2)与y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则g(4)＝ ( )
A．1 B．0 C．－1 D．－2
(2)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则(k)＝ ( )
A．－21 B．－22 C．－23 D．－24
[听课记录]____________________________________________________________
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视角三 与导数结合的抽象函数
例3 (1)(2025·湖北二模)(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(2－3x)＝f(3x)，f′的图象关于直线x＝－2对称，f′(x)在[1，3]上单调递减，且f′(2 031)＝6，则 ( )
A．f′(x－1)是偶函数 B．f′(x＋1)是奇函数
C．f′(7)＝－6 D．f′(x)的极小值为－6
(2)(2025·秦皇岛二模)(多选题)记定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)，若f(x＋3)－g(3－x)＝4，f′(x)＝g′(x＋2)，且g(x＋2)＋g(2－x)＝0，则 ( )
A．f(－x)＝－f(x)
B．g′(x)的图象关于直线x＝2对称
C．f(x)是周期函数，且其中一个周期为8
D．(i)＝0
[听课记录]____________________________________________________________
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视角四 抽象函数还原具体函数
抽象函数还原具体函数模型的几种构造方法：
(1)f(x)＋f(y)＝f(x＋y)时，可构造f(x)＝kx.
(2)若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c，则可构造f(x)＝ax2＋bx＋c.
(3)若f(x＋y)＝f(x)f(y)，则可构造f(x)＝ax(a>0且a≠1).
(4)若f(xy)＝f(x)＋f(y)(xy≠0)，则可构造f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1).
(5)若f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，则可构造f(x)＝cos ωx.
例4 (1)(2025·四川一模)(多选题)已知函数f(x)满足： x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(1)≠0，那么 ( )
A．f(0)＝1
B．f(1)＝2
C．f(－x)＝f(x)
D．若f(π)＝，则f(x＋2π)＝f(x)
(2)(2025·重庆模拟)(多选题)已知函数f(x)是定义域为R的可导函数，若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3xy(x＋y)，且f′(0)＝－3，则 ( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是减函数
C．f()＝0
D．x＝1是f(x)的极小值点
[听课记录]____________________________________________________________
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1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是 ( )
A．f(10)>100 B．f(20)>1 000
C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000
2．(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝ ( )
A．－3 B．－2 C．0 D．1
3．(2023·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则 ( )
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
4．(2022·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x).若f，g(2＋x)均为偶函数，则 ( )
A．f(0)＝0 B．g＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
进阶点8 高考中的抽象函数
例1 (1)D 解析 根据题意，因为函数f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(1－x)＝－f(1＋x), 所以f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，所以f(1)＝0.又因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝0.故选D.
(2)B 解析 因为y＝xf(x＋3)是奇函数，所以f(x＋3)为偶函数，所以f(－x＋3)＝f(x＋3)，即f(－x)＝f(x＋6)，故f(x)的图象关于直线x＝3对称，由y＝(x＋1)f(x)的图象关于直线x＝－1对称得(x＋1)f(x)＝(－2－x＋1)f(－2－x)，即(x＋1)f(x)＝－(x＋1)f(－2－x)，即f(x)＝－f(－x－2)，所以f(x)关于(－1，0)对称，所以f(－x)＝－f(x－2)，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，故f(x－1)是奇函数，所以B选项正确；因为f(－x)＝－f(x－2)，又f(－x)＝f(x＋6)，所以f(x＋6)＝－f(x－2)，即f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故C选项错误；不能得到f(x)的奇偶性与f(1)的值，故A，D选项错误．故选B.
例2 (1)B 解析 根据题意，函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，函数y＝g(x＋2)与y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(x)＋g(2＋2－x)＝0，即f(x)＋g(4－x)＝0，所以g(4)＝－f(0)＝0.故选B.
(2)D 解析 由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，可得g(2＋x)＝g(2－x)，在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x) ①，y＝f(x)为偶函数．在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2 ②，所以y＝f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由①②可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，所以(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
例3 (1)ABD 解析 因为f′的图象关于直线x＝－2对称，所以f′＝f′，即f′(－1＋x)＝f′，所以f′(x)的图象关于直线x＝－1对称，则f′(x－1)是偶函数，故A正确；因为f(2－3x)＝f(3x)，所以f(2－x)＝f(x)，所以－f′(2－x)＝f′(x)，所以f′(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f′(x＋1)的图象关于点(0，0)对称，即f′(x＋1)是奇函数，故B正确；因为－f′(2－x)＝f′(x)，又因为f′(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f′(x)＝f′(－2－x), 所以－f′(2－x)＝f′(－2－x)，则f′(x)＝－f′(4＋x), 所以f′(x＋8)＝－f′(4＋x)＝f′(x)，所以8为f′(x)的一个周期．所以f′(2 031)＝f′(253×8＋7)＝f′(7)＝6，故C错误；因为f′(x)在[1，3]上单调递减，且f′(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f′(x)在[－1，1]上单调递减，f′(x)在[－1，3]上单调递减，因为f′(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f′(x)在[－5，－1]上单调递增，因为f′(x)是T＝8的周期函数，所以f′(x)在[3，7]上单调递增，因为x＝3时，f′(x)取得极小值，所以f′(3)＝－f′(－1)＝－f′(7)＝－6，故D正确．故选ABD.
(2)BC 解析 由题意，函数f(x)与g(x)的定义域均为R.由g(x＋2)＋g(2－x)＝0求导可得g′(x＋2)－g′(2－x)＝0，即g′(x＋2)＝g′(2－x)，所以g′(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；由f(x＋3)－g(3－x)＝4求导可得f′(x＋3)＋g′(3－x)＝0，因为f′(x)＝g′(x＋2)，所以f′(1－x)＝g′(3－x)，所以f′(x＋3)＋f′(1－x)＝0，则f(x＋3)－f(1－x)＝c(c为常数)，令x＝－1，则有f(2)－f(2)＝c＝0，所以f(x＋3)－f(1－x)＝0，即f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(x＋4)，即函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．又由f(x＋3)－g(3－x)＝4可得g(3－x)＝f(x＋3)－4，则有g(x＋2)＝f(－x＋4)－4，g(2－x)＝f(x＋4)－4，因为g(x＋2)＋g(2－x)＝0，所以f(－x＋4)－4＋f(x＋4)－4＝0，即f(－x＋4)＋f(x＋4)＝8，所以函数f(x)的图象关于点(4，4)对称．所以函数f(x)是周期函数，周期T＝4×|4－2|＝8.故C正确；对于A，因为f(－x)＝f(x＋4)，f(x)＝f(x＋8)，若f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＋f(x＋8)＝0，与f(x＋4)＋f(x＋8)＝8矛盾．故A错误；对于D，由f(x＋3)－g(3－x)＝4求导可得f′(x＋3)＋g′(3－x)＝0，则有f′(x)＋g′(6－x)＝0，因为f′(x)＝g′(x＋2)，所以g′(x＋2)＋g′(6－x)＝0，则g(x＋2)－g(6－x)＝t(t是常数)，令x＝2，可得g(4)－g(4)＝t＝0，所以g(x＋2)＝g(6－x)，即函数g(x)的图象关于直线x＝4对称．所以函数g(x)也是周期函数，周期T＝4×|4－2|＝8.因为g(x＋2)＋g(2－x)＝0，令x＝0，可得g(2)＝0，根据对称性可知，g(6)＝g(2)＝0，g(1)＋g(3)＝g(7)＋g(5)＝0，g(4)＋g(8)＝g(4)＋g(0)＝0，所以g(1)＋g(2)＋…＋g(7)＋g(8)＝0.所以(i)＝g(1)，g(1)不确定是否为0，故D错误．故选BC.
例4 (1)AC 解析 对于A，令x＝1，y＝0，f(1)＋f(1)＝2f(1)f(0)，因为f(1)≠0，所以f(0)＝1，故A正确；设f(x)＝cos x，则f(x＋y)＋f(x－y)＝cos (x＋y)＋cos (x－y)＝cos x cos y－sin x sin y＋cos x cos y＋sin x sin y＝2cos x cos y＝2f(x)f(y)，显然满足条件，但是f(1)＝cos 1≠2，故B错误；对于C，令x＝0，f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(y)＝f(－y)，又y∈R，所以f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，故C正确；对于D，设f(x)＝cos ，类似B中推导，可知满足题设条件，但最小正周期是6π，故D错误．故选AC.
(2)ACD 解析 对于选项A：令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令y＝－x，可得0＝f(x)＋f(－x)，且函数f(x)的定义域为R，所以f(x)是奇函数，故A正确；对于选项B，D，因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋3x2y＋3xy2＝f(x)＋f(y)＋(x＋y)3－x3－y3，所以f(x＋y)－(x＋y)3＝f(x)－x3＋f(y)－y3，设f(x)－x3＝kx，所以f′(x)＝3x2＋k，因为f′(0)＝－3，所以k＝－3，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)>0，解得x<－1或x>1；令f′(x)<0，解得－1真题巧用·明技法
1．B 解析 因为当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；依次类推，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；f(6)>f(5)＋f(4)>8＋5＝13；f(7)>f(6)＋f(5)>13＋8＝21；f(8)>f(7)＋f(6)>21＋13＝34；f(9)>f(8)＋f(7)>34＋21＝55；f(10)>f(9)＋f(8)>55＋34＝89；f(11)>f(10)＋f(9)>89＋55＝144；f(12)>f(11)＋f(10)>144＋89＝233；f(13)>f(12)＋f(11)>233＋144＝377；f(14)>f(13)＋f(12)>377＋233＝610；f(15)>f(14)＋f(13)>610＋377＝987；….显然f(16)>1 000，所以f(20)>1 000，故选B.
2．A 解析 因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x) ①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1) ②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.
3．ABC 解析 取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；不妨取f(x)＝0，此时f(x)符合题设，但f(x)无极值．故D不正确．综上，选ABC.
4．BC 解析 解法一(转化法)：因为f为偶函数，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f＝f，即f(－1)＝f(4)，所以C正确；因为g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)＝g(2－x)，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，因为g(x)＝f′(x)，所以函数g(x)的图象关于点对称，所以g(x)的周期T＝4×＝2，因为f(－1)＝f(4)，所以f′(－1)＝－f′(4)，即g(－1)＝－g(4)＝－g(2)，所以D不正确；因为f＝f，即f＝f，所以f′＝－f′，所以g＝－g＝－g＝－g，所以g＝0，所以B正确；不妨取f(x)＝1(x∈R)，经验证满足题意，但f(0)＝1，所以选项A不正确．综上，选BC.
解法二 (特例法)：因为f，g(2＋x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称．取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R)，则f(0)＝1，排除A；取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx，则f′(x)＝πcos πx，即g(x)＝πcos πx，所以g(－1)＝πcos (－π)＝－π，g(2)＝πcos 2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D.故选BC.(共37张PPT)
8 高考中的抽象函数
解析
解析
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解析
解析
解析
解析
解析
解析
进
真题巧用
明技君微练(三十一) 高考中的抽象函数
班级： 姓名：
一、单项选择题
1．已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x＋2)也为奇函数，若f(1)＝2，则f(2 027)的值是 ( )
A.1 B．－1 C．2 D．－2
2．(2025·杭州二模)设函数y＝f(x)－x2是奇函数．若函数g(x)＝f(x)＋5，f(4)＝9，则g(－4)＝ ( )
A.27 B．28 C．29 D．30
3．(2025·山西一模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x)＋f(1－2x)＝1，f(1－x)＝f(1＋x)，则(i)＝ ( )
A.0 B．2 025 C． D．1 013
4．设函数f(x)的定义域为R，且f(2x)＋f(2y)＝f(x＋y)f(x－y)，若f(1)＝1，且f(x)不恒等于0，则f(2 025)＝ ( )
A.－2 B．－1 C．1 D．2
5．(2025·浙江三模)已知函数f(x)满足f(1)＝2，且对 x∈R，f(x＋1)＝1－，则满足f(i)≤1 015的正整数n的最大值为 ( )
A.2 026 B．2 027 C．2 028 D．2 029
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的一个周期为4，若f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝2，则f(1)＝ ( )
A.0 B．1 C．2 D．3
7．(2025·江西一模)已知可导函数f(x)的定义域为R，f′(x)是f(x)的导函数，且f(2x－1)为偶函数，f′(2x＋1)为奇函数，f′(0)＝1，则f′(2 024)＋f′(2 025)＋f′(2 026)＝ ( )
A.－2 B．－1 C．0 D．1
8．(2025·辽宁模拟)设函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，已知f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(x＋2)，且函数g的图象关于直线x＝2对称，若g(1)＝－2，则g(i)＝ ( )
A.－3 B．－2 C．－1 D．0
二、多项选择题
9．(2025·菏泽一模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)≠0，若f(xy)＝yf(x)，则 ( )
A.f(0)＝0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)＋f(2x)＝f(3x)
10．函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝，且f(4－x)＝－f(x)，f(1)>0，下列说法正确的有 ( )
A.T＝4为f(x)的一个周期
B.f(x)为奇函数
C.f(1)＝1
D.f(2)＝0
11．(2025·河南模拟)函数f(x)的导函数f′(x)和函数g(x)都是R上的偶函数，且f(0)＝0，f(x)－g(1－x)＝2，则 ( )
A.g(x)的图象关于点(1，－2)对称
B.f(x)是周期函数
C.f(2 026)＝－1
D.＝－38
三、填空题
12．已知函数y＝f(x)为奇函数，且最大值为1，则函数y＝2f(x)＋1的最大值和最小值的和为________．
13．已知定义在R上的函数f(x)满足f＝，且 x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(1－y)＋f(y)f(1－x)，则f(2 025)＝________．
14．(2025·南通一模)已知y＝f(x)－3x是定义域为R的偶函数，f(x)的导函数f′(x)满足f′(1＋x)＝f′(1－x)，则f′(2 026)＝________.
微练(三十一) 高考中的抽象函数
1．D 解析 因为f(x＋2)为奇函数，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，用x＋2代替x得f(－x)＝－f(x＋4)，又f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(1)＝2，所以f(2 027)＝f(4×507－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选D.
2．B 解析 由函数y＝f(x)－x2是奇函数可知f(x)－x2＋f(－x)－(－x)2＝0，因此可得f(x)＋f(－x)＝2x2；又g(x)＝f(x)＋5，因此g(4)＝f(4)＋5，g(－4)＝f(－4)＋5；两式相加可得g(4)＋g(－4)＝f(4)＋5＋f(－4)＋5＝2×42＋10＝42；又g(4)＝f(4)＋5＝14，因此g(－4)＝42－14＝28.故选B.
3．D 解析 由f(2x)＋f(1－2x)＝1得f(0)＋f(1)＝1，且函数f(x)关于点对称；由f(1－x)＝f(1＋x)得f(x＋2)＝f(1＋(1＋x))＝f(1－(1＋x))＝f(－x).又由f(2x)＋f(1－2x)＝1得f(－x)＝1－f(1＋x)＝1－f(1－x)＝1－[1－f(x)]＝f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝f(x)，得函数f(x)是周期为2的函数，当i＝0时，f(2i)＋f(2i＋1)＝f(0)＋f(1)＝1，故(i)＝1 013[f(0)＋f(1)]＝1 013.故选D.
4．A 解析 由f(2x)＋f(2y)＝f(x＋y)f(x－y)，令x＋y＝m，x－y＝n，则2x＝m＋n，2y＝m－n；所以可得：f(m＋n)＋f(m－n)＝f(m)f(n)，即f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令y＝1，有f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，所以f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，两式相加得到：f(x＋2)＝－f(x－1)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，令x＝y＝0，有2f(0)＝f2(0)，则f(0)＝0或f(0)＝2.若f(0)＝0，则令x＝1，y＝0，有2f(1)＝f(1)f(0)，得f(1)＝0，与已知f(1)＝1矛盾，所以f(0)＝2.令x＝y＝1，有f(2)＋f(0)＝f2(1)，则f(2)＋2＝1，得f(2)＝－1.令x＝2，y＝1，有f(3)＋f(1)＝f(2)f(1)，得f(3)＝－2.所以f(2 025)＝f(3)＝－2，故选A.
5．C 解析 由题可得，f(x＋2)＝1－＝1－＝，f(x＋3)＝1－＝1－[1－f(x)]＝f(x)，所以函数是周期为3的周期函数，又f(1)＝2，f(2)＝1－＝，f(3)＝1－＝－1，f(i)＝675×＋2＝，f(i)＝675×＋2＋＝1 015，f(i)＝676×＝1 014，f(i)＝676×＋2＝1 016，所以满足f(i)≤1 015的正整数n的最大值为2 028.故选C.
6．C 解析 由题可得故f(－2)＝f(2)＝0.又f(3)＝f(－1)＝－f(1)，f(4)＝f(0)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.结合周期性可知f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝f(1)，故f(1)＝2.故选C.
7．C 解析 因为函数f′(2x＋1)为奇函数，则f′(－2x＋1)＝－f′(2x＋1)，即f′(－2x＋1)＋f′(2x＋1)＝0，令t＝2x，则f′(1－t)＋f′(1＋t)＝0，所以，函数f′(x)的对称中心为(1，0)，且f′(2－t)＋f′(t)＝0①，在等式①中，令t＝1可得2f′(1)＝0，解得f′(1)＝0，在等式①中，令t＝0可得f′(0)＋f′(2)＝0，f′(2)＝－1.因为函数f(2x－1)为偶函数，则f(－2x－1)＝f(2x－1)，令t＝2x，可得f(－t－1)＝f(t－1)，求导得－f′(－t－1)＝f′(t－1)，则f′(t)＋f′(－2－t)＝0②，由①②可得f′(2－t)＝f′(－2－t)，令s＝－2－t，则f′(4＋s)＝f′(s)，所以函数f′(x)是周期为4的周期函数，所以f′(2 024)＋f′(2 025)＋f′(2 026)＝f′(0)＋f′(1)＋f′(2)＝0.故选C.
8．B 解析 由f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(x＋2)，得f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，两式相加得f(x＋3)＋f(x)＝0，两边取导数得f′(x＋3)＋f′(x)＝0，即g(x)＝－g(x＋3)，则g(x＋6)＝－g(x＋3)＝g(x)，所以g(x)是以6为一个周期的周期函数，由函数g的图象关于直线x＝2对称，得g＝g，则g＝g，所以直线x＝1是g(x)图象的一条对称轴，由f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，两边取导数得g(x＋2)＋g(x)＝g(x＋1)，则g(x＋2)＝g(x＋1)－g(x)，令x＝0，得g(2)＝g(1)－g(0)，又g(2)＝g(0)，所以g(2)＝－1；令x＝1，得g(3)＝g(2)－g(1)＝1；令x＝2，得g(4)＝g(3)－g(2)＝2；令x＝3，得g(5)＝g(4)－g(3)＝1；令x＝4，得g(6)＝g(5)－g(4)＝－1.所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)＝0，所以g(i)＝337×0＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝－2－1＋1＝－2.故选B.
9．ABD 解析 对于B：令y＝－1，由题设可知f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数，故B正确；对于A：又f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0，故A正确．对于C：不妨取f(x)＝－x，则满足f(xy)＝yf(x)，且f(1)≠0，故C错误．对于D：令y＝2，则f(2x)＝2f(x)；令y＝3，则f(3x)＝3f(x)，故f(x)＋f(2x)＝f(x)＋2f(x)＝3f(x)＝f(3x)，故D正确．故选ABD.
10．ABC 解析 对于A，当f(x)有意义，且f(x)≠1，f(x)≠0时，则f(x＋1)＝≠1，则f(x＋2)＝＝＝－，f(x＋4)＝－＝f(x).当f(x)＝1时，f(x＋1)＝(无意义)，可得f(x＋2)＝＝－1，所以f(x＋3)＝＝0，所以f(x＋4)＝＝＝1＝f(x).当f(x)＝0时，f(x＋1)＝＝＝1，可得f(x＋4)＝f((x＋1)＋3)＝0，综上，总有f(x＋4)＝f(x).故T＝4为f(x)的一个周期，故A正确；对于B，f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＋f(x)＝0，函数关于点(2，0)对称．又由T＝4为f(x)的一个周期，所以f(4－x)＝f(－x)，所以f(－x)＋f(x)＝0，故f(x)为奇函数，故B正确；对于C，f(x)为奇函数，但无法直接判定f(0)有意义．但已知f(1)>0，可得f(1)有意义，故f(－1)＝－f(1)有意义，f(－1)＝－f(1)<0，所以f(0)＝分母不为零，有意义，从而f(－0)＋f(0)＝0，即f(0)＝0，所以f(1)＝＝1，故C正确；对于D，f(x)＝tan x.因为f(x＋1)＝tan (x＋1)＝tan ＝＝＝，f(4－x)＝tan (4－x)＝tan (π－x)＝－tan x＝－f(x)，f(1)＝tan ＝1>0，满足题设所有条件，但是f(2)＝tan 不存在，故D错误．故选ABC.
11．ABD 解析 由f′(x)是偶函数，得－f′(－x)＋f′(x)＝0，即[f(－x)＋f(x)]′＝0，则f(－x)＋f(x)＝C(C为常数)，由于f(0)＝0，取x＝0，得C＝0，于是f(－x)＝－f(x)，对于A，由函数g(x)是R上的偶函数，得g(x)＝g(－x)，由f(x)－g(1－x)＝2，得f(－x)－g(1＋x)＝2，即－f(x)－g(1＋x)＝2，于是g(1－x)＋g(1＋x)＝－4，函数g(x)图象关于点(1，－2)对称，A正确；对于B，由f(x)－g(1－x)＝2，得f(x＋1)－g(－x)＝2，即f(x＋1)－g(x)＝2，由－f(x)－g(1＋x)＝2，得－f(x－1)－g(x)＝2，于是f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，因此f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数，B正确；对于C，由f(0)＝0，f(x)－g(1－x)＝2，得g(1)＝f(0)－2＝－2，则g(－1)＝g(1)＝－2，f(2)＝2＋g(－1)＝2－2＝0，因此f(2 026)＝f(2)＝0，C错误；对于D，由g(1－x)＋g(1＋x)＝－4，得g＋g＝－4，g＋g＝－4，…，g＋g＝－4，因此＝－4×9＋g＝－36＋g(1)＝－38，D正确．故选ABD.
12．2 解析 奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，所以函数f(x)最大值和最小值之和为0，则函数y＝2f(x)＋1的最大值和最小值之和为2.
13．1 解析 令x＝y＝，得f(1)＝ff＋f·f＝1，令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)f(1)＋f(0)f(1)，所以f(0)＝0.将y＝1代入，可得f(x＋1)＝f(1－x).令y＝－x，得f(0)＝f(x)f(1＋x)＋f(－x)f(1－x)，又因为 x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)恒成立，且不恒为0，所以f(x)＋f(－x)＝0，从而f(x)为奇函数，又由f(x＋1)＝f(1－x)，可得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以4为f(x)的周期，于是f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝1.
14．3 解析 因为y＝f(x)－3x是定义域为R的偶函数，所以f(－x)－3(－x)＝f(x)－3x，即f(－x)＋3x＝f(x)－3x. f(－x)＋3x＝f(x)－3x两边求导，可得：－f′(－x)＋3＝f′(x)－3，可得f′(x)＋f′(－x)＝6. 因为f′(1＋x)＝f′(1－x)，所以f′(x)的图象关于直线x＝1对称，则f′(x)＝f′(2－x).用－x代替x可得f′(－x)＝f′(2＋x).将f′(－x)＝f′(2＋x)代入f′(x)＋f′(－x)＝6中，可得f′(x)＋f′(2＋x)＝6 ①.用x＋2代替x可得f′(x＋2)＋f′(x＋4)＝6 ②.由②－①可得：f′(x＋4)＝f′(x).所以f′(x)是周期为4的周期函数. 所以f′(2 026)＝f′(4×506＋2)＝f′(2).又因为f′(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f′(2)＝f′(0).在f′(x)＋f′(－x)＝6中，令x＝0，可得2f′(0)＝6，解得f′(0)＝3，所以f′(2)＝3，即f′(2 026)＝3.(共32张PPT)
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