9 导数中常见的放缩技巧
高考试题中的函数与导数的综合应用中，涉及函数或方程中的不等式恒成立以及综合应用问题，特别是与之相关的指数切线不等式ex≥x＋1、对数切线不等式ln x≤x－1及三角不等式sin x
1．指数放缩
(1)放缩成一次函数：ex≥x＋1，ex>x，ex≥ex.
(2)放缩成反比例函数：ex≤(x<1)，ex<－(x<0).
2．对数放缩
(1)放缩成一次函数：ln x≤x－1，ln x(2)放缩成反比例函数：ln x≥1－，ln (1＋x)≥.
3．三角放缩
sin x0)，x类型一 指数放缩
例1 (2025·上饶二模)已知函数f(x)＝ex－x－1.
(1)求证：f(x)≥0；
(2)当m≤1时，求证：不等式ex－mx＋cosx－2≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立．
,,
指数切线不等式ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)及其对应的变形不等式，是函数与导数的综合应用中指数放缩的一大重要方向．此类问题往往基于指数式ex的应用场景，结合不等式的构建，合理放缩成一次函数或类反比例函数等形式，给问题的深入与应用创造条件．
类型二 对数放缩
例2 已知函数f(x)＝ex－ax的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(e－1)x.
(1)求a的值；
(2)当x>0且x≠1时，求证：f(x)>.
对数切线不等式ln x≤x－1(当且仅当x＝1时取等号)及其对应的变形不等式是函数与导数的综合应用中对数放缩的一大重要方向．此类问题往往基于对数式ln x的应用场景，结合不等式的构建，合理放缩成一次函数或类反比例函数等形式，实现问题的切入与深入应用．
类型三 三角放缩
例3 (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)＋sinx<0，求a的取值范围．
三角不等式sin x进阶点9 导数中常见的放缩技巧
例1 证明 (1)依题意得，f′(x)＝ex－1.当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)min＝f(0)＝0，即ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f(x)≥0.
(2)令函数g(x)＝ex－mx＋cos x－2，则g′(x)＝ex－m－sin x.由(1)可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1.又因为m≤1，所以g′(x)≥x＋1－1－sin x＝x－sin x．令函数h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x．当x≥0时，h′(x)≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以当x∈[0，＋∞)时，h(x)≥h(0)＝0.所以g′(x)≥0，则g(x)在x∈[0，＋∞)上单调递增，所以当x∈[0，＋∞)时，g(x)≥g(0)＝0，即ex－mx＋cos x－2≥0.所以当m≤1时，不等式ex－mx＋cos x－2≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立．
例2 解 (1)f(x)＝ex－ax，则f′(x)＝ex－a，f′(1)＝e－a＝e－1.解得a＝1.
(2)证明：要证f(x)>，即证ex－x>.令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，则h′(x)＝(x>0).当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以h(x)≥h(1)＝1－1－ln 1＝0恒成立，即x－1≥ln x，当且仅当x＝1时等号成立．当x∈(0，1)时，由x－1>ln x，得<1.易知f′(x)＝ex－1，f′(x)>0在(0，1)上恒成立，所以f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)>e0－0＝1(x>0).所以f(x)>在(0，1)上成立．当x∈(1，＋∞)时，由x－1>ln x，可得－1>ln ，即ln x>1－，可得0在(1，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，可得g(x)＝ex－x－x>e－2>0，即ex－x>x(x∈(1，＋∞)).所以f(x)>在(1，＋∞)上成立．综上所述，f(x)>在x>0且x≠1时成立．
例3 解 (1)(cos2x)′＝(cosx cos x)′＝－sin x cos x＋cos x·(－sin x)＝－2sin x cos x，f′(x)＝a－＝a－＝a－＝a－.当a＝1时，f′(x)＝1－＝＝.因为x∈，所以cosx∈(0，1)，故f′(x)<0，故当a＝1时，f(x)在上单调递减．
(2)依题意，f(x)＋sin x＝ax－＋sinx＝ax＋sin x(1－)，x∈.
①当a≤0时，易知f(x)＋sinx<0；②当a>0时，先证x∈时，sin x0，g(x)在上单调递增，所以g(x)>g(0)＝0，故有当x∈时，x>sin x成立．所以f(x)＋sin x＝ax＋sin x>a sinx＋sin x＝sinx(a＋1－)，因为函数y＝的值域为(1，＋∞)，a＋1>1，所以对于任意大于0的参数a，一定存在x0∈，使得0，故a>0不能确保f(x)＋sin x<0，与题意矛盾，故a>0不成立．综上，a的取值范围为(－∞，0].(共16张PPT)
9 导数中常见的放缩技巧
高考试题中的函数与导数的综合应用中，涉及函数或方程中的不等式恒成立以及综合应用问题，特别是与之相关的指数切线不等式ex≥x＋1、对数切线不等式ln x≤x－1及三角不等式sin x证明
证明
方法提炼
解
证明
解
方法提炼
解
解
解
解
方法提炼
进微练(三十七) 导数中常见的放缩技巧
班级： 姓名：
1．已知函数f(x)＝cos x，x∈.
(1)求证：tan x·f(x)≤x；
(2)求证：2ex·f(x)≥(1＋x)(2－x2).
2．(2025·正定模拟)已知函数f(x)＝x ln x＋ax＋1(a∈R).
(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；
(2)当x>1时，证明：ex ln x>e(x－1).
3.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝.
(1)若f(x)(2)求证：··…·<.
微练(三十七) 导数中常见的放缩技巧
1．证明 (1)依题意，tan x·f(x)＝sin x．记函数g(x)＝sin x－x，则当x∈时，g′(x)＝cos x－1≤0，所以g(x)在上是减函数，所以g(x)≤g(0)＝0，即tan x·f(x)≤x.
(2)要证2ex·f(x)≥(1＋x)(2－x2)，即证ex·cos x≥，x∈.因为ex≥x＋1，又由(1)可知，当x∈时，sin x≤x，所以ex cos x＝ex≥(x＋1)＝(1＋x).故2ex·f(x)≥(1＋x)(2－x2).
2．解 (1)由已知得，－a≤ln x＋在(0，＋∞)上恒成立，设g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝，令g′(x)>0，得x>1，令g′(x)<0，得0(2)证明：由(1)知a≥－1时，f(x)≥0恒成立，取a＝－1，得ln x≥，当且仅当x＝1时等号成立．所以当x>1时，ex ln x>，设h(x)＝ex－ex，则h′(x)＝ex－e，当x>1时，h′(x)>0，所以h(x)＝ex－ex在(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，h(x)>h(1)＝0，所以ex>ex.所以当x>1时，>e，>e(x－1).由此可证，当x>1时，ex ln x>e(x－1)成立．
3．解 (1)依题意得，f(x)0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．又h(1)＝0，则h(x)>h(1)＝0，即f(x)1，当x∈时，h′(x)>0，所以h(x)在上单调递增，则h(x)>h(1)＝0，所以f(x)(2)由(1)可知，当a＝2时，f(x)1，k＝1，2，…，n，则ln [1＋]<.所以ln ＝ln {[1＋]··…·}<＋＋…＋＝＝<.所以··…·<.(共9张PPT)
微练(三十七)
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