微专题17 圆锥曲线的综合问题
命|题|分|析
解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．热点题型有：1.直线与圆锥曲线的位置关系.2.圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解.3.轨迹方程及探索性问题的求解．
专项1 求值、证明问题
例 (2024·北京高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
求值问题一般涉及圆锥的定义、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系．合理利用直线与圆锥曲线方程联立得到的一元二次方程的根与系数的关系，结合图象的几何特征，列出关系式进而求值．
训练1 (求值问题)(2025·湖北联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，且AF2⊥F1F2.
(1)求C的标准方程；
(2)过F2的直线交双曲线C于M，N两点(M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右)，线段AM与线段F1N交于点R，若△F1RM的面积等于△ARN的面积，求|MN|.
训练2 (证明问题)(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴．
专项1 求值、证明问题
例 解 (1)由题意可知b＝，c＝，所以a＝＝2，故椭圆E的方程为＋＝1，离心率e＝＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)，联立得得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0.所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0，由根与系数的关系得 ①.由直线BD的斜率为0及椭圆的对称性可得D(－x2，y2)，因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD，所以＝，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0.由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)－(x1＋x2)＝0，整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0 ②，所以2k·＋(t－1)·＝0，解得t＝2.
训练1 解 (1)因为AF2⊥F1F2，且A，所以焦点F2(2，0)，即c＝2，又－＝1，由解得所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)由题知直线斜率不为0，如图，设过F2(2，0)的直线为x＝my＋2(m>0)，由消x得到(m2－3)y2＋4my＋1＝0，则Δ＝(4m)2－4×(m2－3)＝12(m2＋1)>0，且m≠，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由根与系数的关系有y1＋y2＝－，y1y2＝，因为S△F1RM＝S△ARN，所以S△F1NM＝S△ANM，即点F1(－2，0)和点A到直线x＝my＋2的距离相等，则有d＝＝，解得m＝4，所以|MN|＝|y1－y2|＝＝＝，故|MN|＝.
训练2 解 (1)设F′为C的左焦点，连接MF′，则|MF|＝，|FF′|＝2，在Rt△MFF′中，|MF′|＝＝＝，由椭圆的定义知2a＝|MF′|＋|MF|＝4，2c＝|FF′|＝2，所以a＝2，c＝1，又a2＝b2＋c2，所以b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：分析知直线AB的斜率存在．易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty＋4(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(1，n)，联立方程得消去x得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0，Δ>0，则y1＋y2＝，y1y2＝.因为N为线段FP的中点，F(1，0)，所以N.由N，Q，B三点共线，得kBN＝kNQ，即＝，得－y2＝n，得n＝，所以n－y1＝－y1＝－y1＝＝＝0，所以n＝y1，所以AQ⊥y轴．(共16张PPT)
专题五 平面解析几何
微专题17
圆锥曲线的综合问题
命题分析
专题五 平面解析几何
专项1
求值、证明问题
解
解
解
方法提炼
解
解
解
解
解
解
y个
A/
0
F
R
F2
X
W
M微练(二十六) 求值、证明问题
班级： 姓名：
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点与椭圆G：＋y2＝1的焦点重合，双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A，B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线l：y＝x过AB的中点，求直线AB的斜率．
2．(2025·浙江模拟)位于第一象限的一点P1(x1，y1)满足x>2y1，过P1作x2＝2y的切线，切点为A1(，)，且满足x1<，设P2(x2，y2)为P1关于A1的对称点．
(1)证明：x－2y1＝x－2y2；
(2)(ⅰ)若过P2的另一条切线切x2＝2y于A2，设P3为P2关于A2的对称点，如此重复进行下去，若Pn＋1为Pn关于切点An的对称点，设Pn(xn，yn)，证明：{xn}为等差数列；
(ⅱ)由(ⅰ)所设且P1(1，0)，求|P2 025P2 026|的值.
微练(二十六) 求值、证明问题
1．解 (1)因为椭圆G：＋y2＝1的焦点为(±2，0)，所以a2＋b2＝4.由渐近线方程为y＝±x，得＝，与a2＋b2＝4联立，得b＝1，a＝.所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M，因为点M在直线l：y＝x上，所以yM＝xM.又－y＝1，－y＝1，两式相减得－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，故－(y1－y2)yM＝0.由题意可得，AB的中点不为原点，故xMyM≠0，所以＝＝1，故直线AB的斜率为1，直线AB的方程为y＝x－xM＋xM＝x－xM.由得x2－3＝3，整理得2x2－4xMx＋x＋3＝0.当Δ＝16x－8＝x－24>0，即xM<－或xM>时，直线AB存在且斜率为1.
2．解 (1)证明：因为＝＝y′|x＝＝，所以y1－y2＝ (x1－x2)，又因为＝，所以y1－y2＝·(x1－x2)，所以x－x＝2(y1－y2)，所以x－2y1＝x－2y2.
(2)(ⅰ)设过Pn(xn，yn)的切线为：y－yn＝k(x－xn)，联立x2＝2y，得x2－2kx＋2kxn－2yn＝0，令Δ＝0 k2－2xnk＋2yn＝0，k＝＝xn±，即＝xn＋，＝xn－，又＝＝，＝＝，所以＝xn＋ ①，＝xn－ ②，①＋②得xn＋1＋xn－1＝2xn，所以{xn}为等差数列．
(ⅱ)已知P1(1，0)，过点P1(1，0)的切线的切点为A1(，)，y＝x2，y′＝x，所以k＝，所以切线方程为y－＝ (x－)，即y＝x－，又P1(1，0)在切线上，所以－＝0，所以＝0(舍去)或＝2，又＝，所以x2＝3.由(ⅰ)知{xn}为等差数列，公差为d＝x2－x1＝2，所以xn＝2n－1，x2 025＝4 049，x2 026＝4 051，＝4 050，|P2 025P2 026|＝|x2 026－x2 025|＝|x2 026－x2 025|＝×2＝2.(共11张PPT)
微练(二十六)
求值、证明问题
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