微专题20 不等式
1.基本不等式链
≤≤≤
(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号).
2．解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)要注意a>0和a<0的讨论．
3．一元二次不等式恒成立问题的解题方法
(1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大
于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
(2)分离参数法：一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
(3)更换主元法：一般思路为，将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解．
微点一 不等式的性质及应用
例1 (1)已知实数a，b，c，d满足：a>b>c>d，则下列选项中正确的是 ( )
A．a＋d>b＋c B．a＋c>b＋d
C．ad>bc D．ac>bd
(2)已知－1
A．－15C．－2[听课记录]____________________________________________________________
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训练1 (2025·广东一模)(多选题)下列命题正确的是 ( )
A．若a>b，则a2>b2
B．若aC．若a>b>0，>，则m<0
D．若2微点二 基本不等式
例2 (1)(2025·广东二模)若x>0，y>0，且x＋y＝xy，则＋的最小值为 ( )
A．2 B．2 C．3 D．
(2)(2025·贵州模拟)若x4＋9y4＝10，则x2y2的最大值为________，此时x2＝________．
[听课记录]____________________________________________________________
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(1)利用基本不等式求最值的常用方法：拼凑法，常值代换法，消元法．
(2)运用基本不等式求最值的条件是“一正，二定，三相等”．
(3)连续使用基本不等式时，要注意检验等号能否同时成立．训练2 (1)(2025·汕头二模)已知a>0，b>0，a＋＝1，则＋b的最小值是 ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)若正实数x，y满足xy(x＋y)＝4，则2x＋y的最小值为 ( )
A．3 B．2 C．2 D．3
微点三 不等式的综合应用
例3 (1)(2025·河南五市联考)函数f(x)＝loga(x－1)＋1过定点A，若A∈{(x，y)|mx＋ny＝1，m>0，n>0}，则＋的最小值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
(2)(2025·广西一模)现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100 g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡．则两次实际称得的药品总重量 ( )
A．等于200 g B．大于200 g
C．小于200 g D．以上都有可能
[听课记录]____________________________________________________________
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基本不等式在函数及实际问题中的应用，关键是列出函数表达式，合理变形，满足基本不等式的应用条件才能应用基本不等式解决问题．训练3 (2025·南通一模)在公差不为0的等差数列{an}中，若as＋at＝2a3，则＋的最小值为 ( )
A． B． C． D．
1．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是 ( )
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2}
C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1}
2．(2020·新课标Ⅰ卷)(多选题)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则 ( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤
3．(2022·新课标Ⅱ卷)(多选题)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 ( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
4．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则 ( )
A．a>0>b B．a>b>0
C．b>a>0 D．b>0>a
5．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是 ( )
A．y＝x2＋2x＋4
B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22-x
D．y＝ln x＋
微专题20 不等式
例1 (1)B 解析 选项A，如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此时a＋db＋c>b＋d，故B正确；选项C，D，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时ad(2)D 解析 因为－1训练1 BCD 解析 对于A，取a＝1，b＝－2，满足a>b，但是a2ab，不等式两边同时乘以负数b，不等式方向改变，所以ab>b2，所以b2b>0，－＝＝＝，又因为>，所以>0，而a>b>0，即b－a<0，m(a＋m)<0，所以m<0，故C正确；对于D，设3a＋b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即3a＋b＝(x＋y)a＋(x－y)b，则解得x＝2，y＝1，所以3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，又2例2 (1)B 解析 因为x＋y＝xy，即xy－x－y＋1＝1，即(x－1)(y－1)＝1，且x>0，y>0，则x>1，y>1，则＋≥2＝2＝2，当且仅当＝时，即x＝1＋，y＝1＋时，等号成立，所以＋的最小值为2.故选B.
(2) 解析 由10＝x4＋9y4≥2x2·3y2，则x2y2≤，当且仅当x2＝3y2＝时等号成立，即x2y2的最大值为，此时x2＝.
训练2 (1)C 解析 因为a>0，b>0，a＋＝1，所以＋b＝＝2＋＋ab≥2＋2＝4，当且仅当＝ab，即a＝，b＝2时取等号．故选C.
(2)C 解析 因为正实数x，y满足xy(x＋y)＝4，所以x(x＋y)＝.所以(2x＋y)2＝y2＋4x(x＋y)＝y2＋＝y2＋＋≥3＝12，当且仅当即时等号成立，所以2x＋y的最小值是2.故选C.
例3 (1)C 解析 当x－1＝1，即x＝2时，恒有y＝1，即y＝loga(x－1)＋1过定点A(2，1)，因为A∈{(x，y)|mx＋ny＝1，m>0，n>0}，所以点A在mx＋ny＝1上，则2m＋n＝1，且m>0，n>0，于是得＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即n＝2m时取“＝”，由2m＋n＝1且n＝2m得：m＝，n＝，所以当m＝，n＝时，＋取得最小值8.故选C.
(2)B 解析 设天平左臂长为m，右臂长为n，m>0，n>0且m≠n，左盘放的药品为x1克，右盘放的药品为x2克，则解得x1＝，x2＝，x＝x1＋x2＝＋≥2＝200，当且仅当m＝n时，取等号，而m≠n，所以x>200.故选B.
训练3 D 解析 因为as＋at＝2a3，所以s＋t＝6，所以＋＝1，显然s，t∈N*，所以＋＝＝＋＋＋≥＋2＝＝，当且仅当＝，即t＝2，s＝4时取等号．故选D.
真题巧用·明技法
1．C 解析 由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x<1，故选C.
2．ABD 解析 因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥(当且仅当a＝b＝时取等号)，A正确；易知02-1＝，B正确；令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2<－2，C错误；因为＝a＋b＋2≤1＋2·＝2，所以＋≤(当且仅当a＝b＝时取等号)，D正确．故选ABD.
3．BC 解析 对于A，B：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－3xy＝1，即3xy＝(x＋y)2－1≤3，即(x＋y)2≤4，所以－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y时取等号，所以A不正确，B正确；对于C：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确；对于D：当x＝，y＝－时，x2＋y2＝<1，所以D不正确．综上可知，选BC.
4．A 解析 因为9m＝10，所以m＝log910，所以a＝10m－11＝10log910－11＝10log910－10log1011.因为log910－log1011＝－＝>＝>0，所以a>0.b＝8log910－9＝8log910－8log89，因为log910－log89＝－＝<＝<0，所以b<0.综上，a>0>b.故选A.
5．C 解析 因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以A不符合题意．因为y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以B不符合题意．因为y＝2x＋22-x≥2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝2－x，x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以C符合题意．当0赢在微点 考前顶层设计 数学
专题六
函数、导数与不等式
专题六 函数、导数与不等式
微专题20
不等式
核心整合
核心整合
解析
解析
解析
解析
解析
解析
方法提炼
解析
解析
解析
解析
方法提炼
解析
解析
解析
解析
解析
解析
8当
0
01
:
以题梳点
和考君
真题巧用
明技君微练(三十二) 不等式
班级： 姓名：
基础过关练
一、单项选择题
1．(2025·北京高考)已知a>0，b>0，则 ( )
A.a2＋b2>2ab B. ＋≥
C.a＋b> D. ＋≤
2．(2025·广东一模)已知a>0，b>0，a＋b＝4，则ab的最大值为 ( )
A.1 B．2 C．4 D．不存在
3．若正实数a，b满足a2＋b2＝m，则a＋b的最大值为 ( )
A. B．m C．2 D．2m
4．(2025·攀枝花模拟)已知a，b∈R，下列命题中正确的是 ( )
A.若ab＝1，则a＋b≥2
B.若a>b，则tan a－tan b>0
C.若a>b，则ln (a－b)>0
D.若a>b>0，则a＋>b＋
5．(2025·湘豫名校联考)已知点(m，n)是函数y＝x-1在第一象限内的图象上的一点，则＋的最小值为 ( )
A.4 B．3 C．2 D．1
6．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项和几何中项的定义与今天大致相同．若2a＋2b＝1，则(4a＋1)(4b＋1)的最小值为 ( )
A. B． C． D．
7．(2025·安徽一模)已知x>0，y>0，x＋3y＝x3y2，则＋的最小值为 ( )
A.2 B． C．2 D．2
8．若函数y＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象所过定点恰好在椭圆＋＝1(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为 ( )
A.6 B．12 C．16 D．18
二、多项选择题
9．已知a>0，b>0，若a＋2b＝1，则 ( )
A.ab的最大值为
B.a2＋b2的最小值为1
C.＋的最小值为8
D.2a＋4b的最小值为2
10．(2025·辽宁名校联盟模拟)已知a>0，b>0，则下列结论正确的是 ( )
A.若a＋b＝1，则a2＋4b2≥
B.若a＋b＝1，则＋的最大值为
C.若a＋b＝2，则＋的最小值为1
D.若a＋b＝2，则＋的最大值为
11．已知函数f(x)＝x＋(x>0)，若f(a)＝f(b)，且aA.ab＝1 B．a2＋b2>2
C.＋≥2 D．logab三、填空题
12．(2025·山西一模)正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋9y的最小值是________．
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC＝，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a＋4c的最小值为________．
14．(2025·江西一模)已知直线emx－y(em＋1)2＋1＝0(m∈R)的斜率为k，则k的最大值为________．
能力提升练
15.若实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且x>y>z，则的取值范围为 ( )
A. B．
C. D．(－1，1)
16．(2025·江西一模)已知幂函数f(x)＝(n2－6n＋9)xn-3在(0，＋∞)上单调递增，若正数a，b满足3a＋4b＝n，则＋的最小值为________．
微练(三十二) 不等式
1．C 解析 对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于BD，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6<＝8＝，＋＝2＋4＝6>＝4＝，故BD错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2>，故C正确．故选C.
2．C 解析 由基本不等式得：ab≤()2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选C.
3．A 解析 因为a2＋b2＝m，a>0，b>0，所以≤，即a＋b≤·＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以a＋b的最大值为.故选A.
4．D 解析 对于A：当a＝－2，b＝－，满足ab＝1，但是a＋b＝－<2，故A错误；对于B：当a＝π，b＝，满足a>b，但是tan a－tan b＝tan π－tan ＝－<0，故B错误；对于C：若a＝1，b＝0，满足a－b>0，但是ln (a－b)＝0，故C错误；对于D：因为y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，若a>b>0，则a－>b－，所以a＋>b＋，故D正确．故选D.
5．A 解析 由题意可知，m>0，n>0且有n＝m-1＝，所以＋＝＋4m≥2＝4，当且仅当时，即当m＝时，等号成立，故＋的最小值为4.故选A.
6．D 解析 不妨设m＝2a，n＝2b，则m>0，n>0，所以1＝m＋n≥2，当且仅当m＝n＝时取等号，即07．D 解析 已知x>0，y>0，x＋3y＝x3y2，所以＋＝x2y，则(＋)2＝＋＋＝＋＝＋x2y＝＋4x2≥2＝12，所以＋≥2，当且仅当＝4x2，即x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为2.故选D.
8．C 解析 由题意得，函数y＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象所过定点为(3，1)，则＋＝1，所以m＋n＝(m＋n)·＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即m＝12，n＝4时等号成立．故选C.
9．ACD 解析 对于A，由基本不等式可得a＋2b＝1≥2，解得ab≤，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以A正确．对于B，a2＋b2＝(1－2b)2＋b2＝5b2－4b＋1＝5＋，当且仅当b＝，a＝时，a2＋b2取到最小值，故B错误．对于C，由＋＝(＋)(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以C正确．对于D，2a＋4b≥2＝2＝2，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以D正确．综上，选ACD.
10．BCD 解析 由题意得a2＋4b2＝(1－b)2＋4b2＝5(b－)2＋≥，A项错误；(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以＋≤(当且仅当a＝b＝时取等号)，B项正确；＋＝＋＝＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]·≥1，当且仅当a＝b＝1时取等号，C项正确；＋＝＝，又因为a＋b＝2≥2 011．ABC 解析 因为f(x)＝x＋(x>0)，f(a)＝f(b)，所以a＋＝b＋(a>0，b>0)，即a－b＝－＝.因为a2ab＝2，故B正确．＋≥2＝2，当且仅当即时“＝”成立，故C正确．因为ab＝1，所以a＝，b＝，所以logab＝logba＝－1，故D错误．故选ABC.
12．16 解析 由正数x，y满足x＋y＝xy，得＋＝1，则x＋9y＝(x＋9y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝3y＝4取等号，所以x＋9y的最小值是16.
13．18 解析
如图所示，则△ABC的面积为ac sin ＝a·2sin ＋c·2sin ，则ac＝2a＋2c，所以＋＝，显然a，c>0，故a＋4c＝(a＋4c)·×2＝2×≥2＝18，当且仅当即时取等号．所以a＋4c的最小值为18.
14． 解析 k＝＝≤＝，当且仅当m＝0时取等号，所以k的最大值为.
15．A 解析 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以y＝－(x＋z)且x>－(x＋z)>z，故－2<<－且x>0，所以－<＋≤－2，故－≤<－，－1≤<－，所以2＝＝＝1＋＝1＋∈，所以∈，故选A.
16．12 解析 因为幂函数f(x)＝(n2－6n＋9)xn-3在(0，＋∞)上单调递增，则解得n＝4，正数a，b满足3a＋4b＝4，则＋＝(3a＋4b)＝(24＋＋)≥＝12，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，＋的最小值为12.(共31张PPT)
微练(三十二) 不等式
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