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浙教版2025—2026学年九年级上册期末临考抢分冲刺卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·武汉期末）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，恰有两枚硬币反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·江津期末）点，都在函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（2024九上·威宁期末）如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下的矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·惠东期末）已知抛物线，且，．判断下列结论：
①抛物线与x轴负半轴必有一个交点；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤
5．（2024九上·桐乡市期末）如图，图形甲与图形乙位似，O是位似中心，已知，点A，B的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
6．（2024九上·惠城期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，．若∠CBD＝35°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
7．（2024九上·贵州期末） 下面的四个问题中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程与行驶时间
B．当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻
C．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长
8．（2024九上·遵义期末）如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·游仙期末）如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
10．（2024九上·仁寿期末）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH PC，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
12．（2024九上·大安期末） 如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度AB为60m， 拱高CD为10m， 则桥拱所在圆的半径长为
13．（2024九上·大安期末）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1， 2， 3， 4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字都是奇数的概率为
14．（2024九上·福田月考）若2x＝3y，且x≠0，则 的值为 .
15．（2023九上·海珠期末）如图，直径为的，，弦于点C，则 cm．
16．（2024九上·龙岗期末）如图所示，在边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，，，连接AE，BD交于点，则CP的长为 。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·温州期末）某县每天上学时间约有 4000 辆私家车接送，小温同学随机对 100 辆接送的私家车进行统计，结果如下表：
每辆私家车学生数（名） 1 2 3 4
私家车（辆） 60 27 7 6
（1）估计抽查一辆私家车且它载有超过 2 名学生的概率。
（2）为减少高峰拥堵，倡议仅乘坐 1 名学生的私家车改为公共交通上学。若有 的对象能响应倡议，请估算全县每天上学可减少多少辆私家车接送？
18．（2024九上·衡东期末）如图，AB是的直径，点是上的点，且，分别与相交于点E，F．
（1）求证：点M为弧的中点；
（2）若求圆O的半径．
19．（2024九上·兰州期末）垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低康．深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状星如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？
20．（2024九上·盘州期末）如图，是等边三角形，点分别在边上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．（2024九上·绵阳期末）2025年四川将迎来首届不分文理的“3+1+2”新高考，其中“3”为全国统考科目，即语文、数学、外语3门为必考科目；“1”为首选科目，考生从物理与历史2门学科中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门学科中自主选择2门，考生的文化总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择考科目成绩组成，总分750分．
（1）在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中随机选择2门，恰好有地理学科的概率是多少？（用列举法进行分析）
（2）由首选和再选科目组成的选择考3门学科共有 种不同的组合；
（3）小明同学对物理和生物很有兴趣，若在选择考3门学科的所有组合中随机选择一种组合，则该组合恰好符合小明学科兴趣要求的概率是 ．
22．（2024九上·阿克苏期末）春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元．
（1）每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利 元，可售出棉衣 件（用含x的代数式表示）
（2）若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值．
（3）当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？
23．（2024九上·惠东期末）图1是某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆O，直径，倒汤时，，如图3所示．
（1）的度数为 ；
（2）在图3中，通过计算比较直径与的长度哪个更长；
（3）请在图3中画出线段，用其长度表示汤（阴影部分）的最大深度（不说理由），并求汤的最大深度．
24．（2024九上·福州期末）如图，和分别位于两侧，为中点，连接，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，连接交于点F，在上取一点G使得．若，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，是以为斜边的等腰直角三角形，若，，请直接写出当取最大值时的面积．
25．（2024九上·绿园期末）在平面直角坐标系中，抛物线、是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）求点关于抛物线、是常数）的对称轴对称的点的坐标（用含的代数式表示）．
（3）当点在轴上方时，直接写出的取值范围．
（4）若此抛物线在点及点左侧部分的最低点的纵坐标为，求的值．
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浙教版2025—2026学年九年级上册期末临考抢分冲刺卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·武汉期末）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，恰有两枚硬币反面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有8种等可能结果，其中恰有两次正面向上的有3种，
所以恰有两次正面向上的概率为，
故答案为：C．
【分析】画出树状图，求出所有等可能得结果，再求出恰有两次正面向上的结果，再根据概率公式计算即可求出答案.
2．（2024九上·江津期末）点，都在函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线图像开口向下，
∵函数，
∴对称轴为：，
∴当时，随的增大而减小；
∵点关于抛物线的对称轴对称的点为，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据二次函数系数与图像的关系可知抛物线图像开口向下，根据“函数”可得对称轴为，再结合抛物线的增减性及抛物线对称轴的性质即可求解。
3．（2024九上·威宁期末）如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下的矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵长为8cm，宽为4cm的矩形的面积是8×4=32cm2， 留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴相似比为4：8=1：2，面积比是1：4，
∴留下的矩形的面积=32×=8cm2，
故答案为：C.
【分析】先求出相似比为4：8=1：2，面积比是1：4，再将数据代入求出阴影部分的面积即可.
4．（2024九上·惠东期末）已知抛物线，且，．判断下列结论：
①抛物线与x轴负半轴必有一个交点；②；③；④；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，②正确；
由两式相加得，，
∵，，
∴，
∴，③错误；
当时，，当时，，
∴当时，方程的两个根一个小于，一个大于1，
∴抛物线与x轴负半轴必有一个交点，①正确；
由抛物线对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，有最大值，即为，⑤正确；
由题意得，④错误；
综上所述，①②⑤正确；
故答案为：B
【分析】根据题意将，相减，进而即可判断②；将两式相加得到，从而根据二次函数的图象得到，，进而得到，再结合题意即可判断③；根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程的根得到当时，方程的两个根一个小于，一个大于1，抛物线与x轴负半轴必有一个交点，从而判断③；根据二次函数的图象与性质得到由抛物线对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，再求出最值即可判断⑤；根据题意结合整式的运算即可判断④.
5．（2024九上·桐乡市期末）如图，图形甲与图形乙位似，O是位似中心，已知，点A，B的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙位似，O是位似中心，且，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质，对应边互相成比例，据此得到：进而即可求解.
6．（2024九上·惠城期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，．若∠CBD＝35°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OC，OD，
则∠COD＝2∠CBD＝35°×2＝70°，
∵．
∴∠COB＝∠COD＝70°
∴∠DOB＝∠COD+∠COB＝70°+70°＝140°。
∵∠ODB+∠ABD＝180°-∠DOB＝180-140°＝40°
∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABD，
∴2∠ABD＝40°
∴∠ABD＝20°.
故答案为：A
【分析】连接OC，OD，根据圆周角定理及角与弧间的关系推导出∠BOD的度数，再根据等边对等角及三角形内角和定理和得出∠ABD的度数.
7．（2024九上·贵州期末） 下面的四个问题中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程与行驶时间
B．当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻
C．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长
【答案】D
【解析】【解答】解：A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程是行驶时间的一次函数，图象应该是线段，A不符合题意；
B．当电压一定时，通过某用电器的电流与该用电器的电阻成反比例关系，图象应该是双曲线的一支，B不符合题意；
C．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积与底面圆的半径成二次函数关系，开口向上，C不符合题意；
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积与一边长成二次函数关系，开口向下，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象结合题意对选项逐一分析即可求解。
8．（2024九上·遵义期末）如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据旋转可知：AE=AB=5，
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质即可得AE的长.
9．（2024九上·游仙期末）如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1.5
【答案】B
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接MG，如图所示：
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
∴∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×12=6，
∴MG=CG=×6=3，
∴HN=3，
故答案为：B
【分析】取BC的中点G，连接MG，进而根据旋转的性质得到∠MBH+∠HBN=60°，BM=BN，从而结合题意根据轴对称的性质得到HB=BG，再根据三角形全等的判定与性质证明△MBG≌△NBH（SAS）即可得到MG=NH，从而得到当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
10．（2024九上·仁寿期末）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH PC，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】【解答】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①符合题意；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②符合题意；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③不符合题意；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴ ，
∴DP2=PH PC，故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
【答案】
【解析】【解答】∵点C是靠近点的黄金分割点，
∴设BC=x，则AC=100-x，
根据题意可得：，
解得：x=，
∵支撑点是靠近点A的黄金分割点，
∴设AD=y，则BD=100-y，
根据题意可得：，
解得：y=，
∴C、D之间的距离为：100-x-y=，
故答案为：.
【分析】先利用黄金分割点的性质求出BC和AD的长，再利用线段的和差求出CD的长即可.
12．（2024九上·大安期末） 如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度AB为60m， 拱高CD为10m， 则桥拱所在圆的半径长为
【答案】50
【解析】【解答】解：根据题意可得：AD=BD=AB=×60=30，
设OA=OB=OC=r，则OD=OC-CD=r-10，
在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，
∴r2=302+（r-10）2，
解得：r=50，
故答案为：50.
【分析】设OA=OB=OC=r，则OD=OC-CD=r-10，再利用勾股定理可得r2=302+（r-10）2，最后求出r的值即可.
13．（2024九上·大安期末）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1， 2， 3， 4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字都是奇数的概率为
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意作出如图所示的树状图：
∴共有36种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有9种，
∴P（两次取出的数字都是奇数）=，
故答案为：.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
14．（2024九上·福田月考）若2x＝3y，且x≠0，则 的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵2x=3y，且x≠0，
∴两边除以2y得： ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据比例的性质求出 ，变形后代入，即可求出答案.
15．（2023九上·海珠期末）如图，直径为的，，弦于点C，则 cm．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=，
又∵2OA=10，即OA=5，
在Rt△ACO中，
.
故答案为：3.
【分析】由垂径定理及已知直径易考虑连接OA或OB，分析并结合勾股定理计算弦心距OC即可.
16．（2024九上·龙岗期末）如图所示，在边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，，，连接AE，BD交于点，则CP的长为 。
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
连接，取的中点，连接，则
∵是等边三角形且边长为6，
∴，即，
∵，.
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，.
在中，.
∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即解得：
∴ CP的长为.
故答案为：.
【分析】连接，取的中点，连接，则，根据等边三角形性质得是等边三角形，进一步得，在中，.
在中，，证明得，可证明，得，可证明，得，代入数据即可得PC.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·温州期末）某县每天上学时间约有 4000 辆私家车接送，小温同学随机对 100 辆接送的私家车进行统计，结果如下表：
每辆私家车学生数（名） 1 2 3 4
私家车（辆） 60 27 7 6
（1）估计抽查一辆私家车且它载有超过 2 名学生的概率。
（2）为减少高峰拥堵，倡议仅乘坐 1 名学生的私家车改为公共交通上学。若有 的对象能响应倡议，请估算全县每天上学可减少多少辆私家车接送？
【答案】（1）解：由表格中的数据可知，
，
故载有超过2名学生的概率为
（2）解：由表格可知，仅乘坐1名学生的私家车的概率为
(辆)。
故全县每天上学可减少800辆私家车接送.
【解析】【分析】(1)直接利用概率公式计算即可；
（2）运用4000乘以仅乘坐1名学生的私家车的占比的 即可解题.
18．（2024九上·衡东期末）如图，AB是的直径，点是上的点，且，分别与相交于点E，F．
（1）求证：点M为弧的中点；
（2）若求圆O的半径．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
点M为的中点；
（2）解：∵，，
∴，
设半径为，，
∴，
∴，
解得：，
∴半径为5．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角可得，再根据直线平行性质可得，则，即可求出答案；
（2）根据垂径定理可得，设半径为，，则，再根据勾股定理即可求出答案.
19．（2024九上·兰州期末）垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低康．深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状星如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？
【答案】（1）解：，，
，，
分别代入，得
，解得，
该抛物线的函数解析式为；
（2）解：令，则，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
故小明走出时，头顶刚好碰到树枝．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出该抛物线的函数解析式；
（2）求出当y=2时的x的值即可。
（1）解：，，
，，
分别代入，得
，解得，
该抛物线的函数解析式为；
（2）令，则，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
故小明走出时，头顶刚好碰到树枝．
20．（2024九上·盘州期末）如图，是等边三角形，点分别在边上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
是等边三角形
（2）解：如图，
是等边三角形
解得：或
即的长为3或6
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换求出，再结合即可证出；
（2）利用相似三角形的性质可得，再将数据代入可得，再求出AD的长即可.
21．（2024九上·绵阳期末）2025年四川将迎来首届不分文理的“3+1+2”新高考，其中“3”为全国统考科目，即语文、数学、外语3门为必考科目；“1”为首选科目，考生从物理与历史2门学科中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门学科中自主选择2门，考生的文化总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择考科目成绩组成，总分750分．
（1）在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中随机选择2门，恰好有地理学科的概率是多少？（用列举法进行分析）
（2）由首选和再选科目组成的选择考3门学科共有 种不同的组合；
（3）小明同学对物理和生物很有兴趣，若在选择考3门学科的所有组合中随机选择一种组合，则该组合恰好符合小明学科兴趣要求的概率是 ．
【答案】（1）解：共有6种情况，思想政治、地理；思想政治、化学；思想政治、生物；地理、化学；地理、生物；化学、生物；
恰好有地理学科的情况有3种，
恰好有地理学科的概率是；
（2）12
（3）
【解析】【解答】解：（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种结果，
共有12种不同的组合.
故答案为：12.
（3）由（2）的树状图可知，恰好符合小明学科兴趣要求的由3种结果，
该组合恰好符合小明学科兴趣要求的概率为：.
故答案为：.
【分析】（1） 用列举法列出所有可能出现的结果，找出符合要求的结果即可求出恰好有地理学科的概率.
（2）画出树状图列出所有可能出现的结果即可求解.
（3）根据（2）中的树状图找出含物理和生物结果数，再利用概率公式计算即可.
22．（2024九上·阿克苏期末）春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元．
（1）每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利 元，可售出棉衣 件（用含x的代数式表示）
（2）若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值．
（3）当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵要尽快清仓，
∴；
（3）解：设所获利润为W，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W有最大值，
∴当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元
【解析】【解答】解： 降价前每件棉衣盈利50元，现在每件棉衣降价x元，
现在每件棉衣盈利 ，
降价前可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件，
可售出棉衣 件.
故答案为：；.
【分析】（1）用原本的利润50元减去降价的钱数即可得到现在的利润，根据每件棉衣每下降1元，则可多售出2件，即可求出可售出棉衣的数量；
（2）根据每件棉衣的利润×可售出棉衣的数量=总利润，列出方程求解作答即可.
（3）设所获利润为W，根据每件棉衣的利润×可售出棉衣的数量=总利润，列出W关于x的二次函数表达式，再利用配方法求最值即可求解.
23．（2024九上·惠东期末）图1是某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆O，直径，倒汤时，，如图3所示．
（1）的度数为 ；
（2）在图3中，通过计算比较直径与的长度哪个更长；
（3）请在图3中画出线段，用其长度表示汤（阴影部分）的最大深度（不说理由），并求汤的最大深度．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴的长度更长；
（3）解：如图，过圆心作于点，交圆于点，则为汤的最大深度，且，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即汤的最大深度为．
【解析】【解答】（1）解：∵，∠CAB=60°
∴ ∠COB=2∠CAB=120°
【分析】本题考查圆的圆周角定理和圆心角的数量关系、垂径定理、30°的直角三角形和弧长公式等知识。
（1）根据同圆中，同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得∠COB=2∠CAB=120°；
（2）根据弧长公式（弧长=，n为弧所对的圆心角度数）计算 的长，与AB比较大小即可；
（3）根据垂径定理，过圆心O作ON⊥BC于点M，交圆O于点N，则MN为汤的最大深度，得BM=CM；由圆心角∠COB=120°，得．则OM=OB，得MN=ON-OM．
24．（2024九上·福州期末）如图，和分别位于两侧，为中点，连接，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，连接交于点F，在上取一点G使得．若，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，是以为斜边的等腰直角三角形，若，，请直接写出当取最大值时的面积．
【答案】（1）解：如图，过点E作，交延长线于F，
∵，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵E是中点，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：，理由如下：
如图2，延长至，使，作于，
∵，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
∵E为AD中点，
∴
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，取的中点，连接，
是的中点，
，
点在以为圆心，半径是1的上运动，
在上截取，
，
，
，
，
，
，
当、、在一条直线上时，
最大，
，
，
如图4，
连接，作于，
，
，
设，，
在中，
，
，
，（舍去），
．
【解析】【分析】（1）过点E作，交延长线于F，证明是等腰直角三角形，求出AD的长度，进而证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到求出CF，最后利用勾股定理即可求解；
（2）延长至，使，作于，证明是等边三角形，证明是等边三角形，得到，利用"SAS"证明，得到，再利用"SAS"证明，得到，进而即可求解；
（3）取的中点，连接，可得到点在以为圆心，半径是1的上运动，在上截取，证明，得到确定当、、在一条直线上时，最大，在中，利用勾股定理求出EM的长度，最后根据三角形面积计算公式即可求解.
25．（2024九上·绿园期末）在平面直角坐标系中，抛物线、是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）求点关于抛物线、是常数）的对称轴对称的点的坐标（用含的代数式表示）．
（3）当点在轴上方时，直接写出的取值范围．
（4）若此抛物线在点及点左侧部分的最低点的纵坐标为，求的值．
【答案】（1）解：把，代入，
则，
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：
∴抛物线的对称轴是直线，
设点的横坐标为n，由题意，得
∴（5分）
∵
∴
（3）解：的取值范围为或
（4）解：，
抛物线顶点为，
当时，在点左侧的图象顶点为最低点，
即，
解得；
当时，随的增大而减小，
为最低点，
即当时，，
解得（舍去），，
综上所述，的值为或．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法结合题意即可求出二次函数的解析式；
（2）先根据二次函数的图象即可得到二次函数的对称轴，设点的横坐标为n，进而结合题意即可得到，再结合题意根据二次函数的性质即可求解；
（3）求出抛物线与x轴的交点为（-3，0），（1，0），再由点A在x轴上方，求m的范围即可；
（4）先根据函数关系式即可得到抛物线的顶点坐标，进而分类讨论：当时，在点左侧的图象顶点为最低点，当时，随的增大而减小，进而结合题意即可求解。
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