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北师大版2025—2026学年七年级上册期末复习练透考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·旺苍期末）下列各组中，不是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．（2025七上·茶陵期末）如图所示是一个计算机程序图，如果开始输入，那么最后输出的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023七上·永善期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天 若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七上·黔南期末）已知点表示的数的绝对值为，则点可能在下列哪个位置（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七上·播州期末）下列三个生活中的现象：①用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2023七上·龙川期末）已知，则代数式的值为（ ）
A．9 B．11 C．7 D．
7．（2023七上·南海期末）把一个棱长为a米的正方体、任意截成两个长方体，这两个长方体的表面积是（ ）
A．6a2平方米 B．7a2平方米 C．8a2平方米 D．12a2平方米
8．（2024七上·宜州期末） a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是.已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（ ）
A．3 B． C． D．
9．（2024七上·番禺期末）按照以下图形变化的规律，则第15个图形中黑色正方形的数量是（ ）．
A．23 B．24 C．25 D．26
10．（2024九上·婺城期末）如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中组斜数列用字母、，，代替，如图，则的值为（ ）
A．9801 B．10000 C．10201 D．10500
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·坪山期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为 ．
-1 3 2 4 -3 5 4 6 a 10
0 -1 3 14 -2 -13 5 34 …… b x ……
第1个 第2个 第3个 第4个 ……
12．（2024七上·永年期末） 如果单项式 与 的和仍是单项式， 那么 = 。
13．（2024七上·韶关期末）已知点在同一直线上，，，则 ．
14．（2024七上·深圳期末）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC＝∠AOD，则∠BOD＝ °
15．（2024七上·吴兴期末）某饼干包装袋上印有“总质量 的字样.小明称重发现这袋饼干的实际质量为97g，该饼干厂家 (填“有”或“没有”)欺诈行为.
16．（2024七上·月考）如图，点A表示﹣10，点B表示10，点C表示17，我们称点A和点C相距27个单位长度．动点P，Q同时出发，点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，问：当P，O两点相距的长度与Q，B两点相距的长度相等时，t的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·三台期末）解方程：
（1）
（2）
18．（2025七上·柯桥期末）已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到．
（1）求多项式．
（2）求的正确结果是多少？
19．（2024七上·岳池期末）如图是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体的名称是 ；
（2）将该展开图还原成几何体，若相对的两个面上的数互为相反数，求的值．
20．（2024七上·龙岗期末）某学校初一年级体育入学测试已经结束，现从初一年级随机抽取部分学生的入学体育成绩进行统计分析成绩得分用表示，共分成个等级，：，：，：，：，绘制了统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，的值是 ；对应的扇形圆心角的度数是 ．
21．（2024七上·香洲期末）某市出租车采取“时距并计”的方式收费，具体收费标准如下表：
起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计）
（单价：元） 10 2.6 等候的前4分钟不收费。之后每2分钟1元
某日上午，出租车司机小李运营线路全是在某条东西走向的路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：．
（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点 （东/西） 千米；
（2）若出租车耗油量为8升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？
（3）小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为18分钟。求第三位乘客需支付车费多少元？
22．（2024七上·渠县期末）如图，已知在同一平面内，．
（1）填空： ；
（2）如果平分，平分，求的度数；
（3）如果在（2）的条件下将改为，其他条件不变，求的度数．
23．（2024七上·天河期末）先阅读两则材料，然后解决问题：
材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解：
令①，
则②，
得：，
即．
材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；．
【解决问题】
（1）填空：______；______；
（2）已知，且，求的值；
（3）设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值．
24．（2024七上·旺苍期末）以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．
（1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
（2）将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，
①若恰好平分，求此时的度数；
②若，求此时的度数；
（3）直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．
25．（2024七上·信宜期末）综合应用
春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？
（3）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共60件，所用资金恰好为5600元，在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这60件商品全部售出所获利润率为25%，求每件乙种商品售价为多少元？
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北师大版2025—2026学年七年级上册期末复习练透考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·旺苍期末）下列各组中，不是同类项的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【解析】【解答】解：A、与，是同类项，A不符合题意；
B、与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，B不符合题意；
C、与 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，C不符合题意；
D、与不是同类项，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，逐一判断即可.
2．（2025七上·茶陵期末）如图所示是一个计算机程序图，如果开始输入，那么最后输出的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
∴输出的结果为．
故选：C．
【分析】本题考查流程图与代数式求值．根据流程图，将代入，按照程序流程图的逻辑，多次代入代数式计算，直到结果满足”＜-4“的输出条件．
3．（2023七上·永善期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天 若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设总工程量为1，完成这项工程共需x天，
∵甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，
∴甲的工作效率为，乙的工作效率，
∵由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程，
∴.
故答案为：D.
【分析】设总工程量为1，完成这项工程共需x天，由甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，
得到甲的工作效率为，乙的工作效率，再根据等量关系甲的工作量+乙的工作量=1，即可求解.
4．（2024七上·黔南期末）已知点表示的数的绝对值为，则点可能在下列哪个位置（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵点表示的数的绝对值为，
∴点P表示的数为±5，
故答案为：C.
【分析】利用绝对值的性质求出点P表示的数为±5，再结合数轴求解即可.
5．（2024七上·播州期末）下列三个生活中的现象：①用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【解析】【解答】①∵用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上不可以用两点之间，线段最短来解释，∴①不符合题意；
②∵从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设可以用两点之间，线段最短来解释，∴②符合题意；
③∵把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用两点之间，线段最短来解释，∴③符合题意；
综上，符合题意的是②③，
故答案为：C.
【分析】利用线段的性质两点之间线段最短逐项分析判断即可.
6．（2023七上·龙川期末）已知，则代数式的值为（ ）
A．9 B．11 C．7 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：当时，
=4（a-b）-5=4×4-5=11.
故答案为：B.
【分析】将代数式的前两项提取系数4，然后整体代入即可.
7．（2023七上·南海期末）把一个棱长为a米的正方体、任意截成两个长方体，这两个长方体的表面积是（ ）
A．6a2平方米 B．7a2平方米 C．8a2平方米 D．12a2平方米
【答案】C
【解析】【解答】解： 把一个棱长为a米的正方体、任意截成两个长方体时，设这两个长方形的长宽不变都是a米，高分别是m米，n米，m+n=a，
则两个长方体的表面积为(平方米).
故答案为：C.
【分析】计算出每个长方体的表面积，再相加即可. 表面积=2（长×宽+长×高+高×宽）.
8．（2024七上·宜州期末） a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是.已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
，
∴该数列每4个数为一周期循环，
∵余3，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意计算出，，，，进而即可得到该数列每4个数为一周期循环，再结合题意即可求解。
9．（2024七上·番禺期末）按照以下图形变化的规律，则第15个图形中黑色正方形的数量是（ ）．
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】A
【解析】【解答】解：根据所给图形可知，
第1个图形中黑色正方形的数量是：2＝2；
第2个图形中黑色正方形的数量是：3＝2＋1；
第3个图形中黑色正方形的数量是：5＝2＋1＋2；
第4个图形中黑色正方形的数量是：6＝2＋1＋2＋1；
第5个图形中黑色正方形的数量是：8＝2＋1＋2＋1＋2；
…，
∴第n个图形中黑色正方形的数量是：，
当n＝15时，（个），
∴第15个图形中黑色正方形的数量是23个．
故答案为：A．
【分析】先根据前几幅图中黑色正方形的数量与序号的关系可得规律第n个图形中黑色正方形的数量是：，再求解即可.
10．（2024九上·婺城期末）如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中组斜数列用字母、，，代替，如图，则的值为（ ）
A．9801 B．10000 C．10201 D．10500
【答案】B
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
则
故答案为：B．
【分析】先求出规律，所以，再计算即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·坪山期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定x的值为 ．
-1 3 2 4 -3 5 4 6 a 10
0 -1 3 14 -2 -13 5 34 …… b x ……
第1个 第2个 第3个 第4个 ……
【答案】98
【解析】【解答】由图形中的数字分析得到：
，
，
，
，
，
根据表格规律可知，第n个表格中右上角的数，
∵，
∴，
即10在第8个表格中，
第n个表格中左上角的数，
∴，
根据表格规律可知，，
．
故答案为：98．
【分析】本题考查数字变化的规律．观察表格中四个数之间的关系为：第n个表格中右上角的数，第n个表格中左上角的数，据此可推断10所在的位置，先求出a的值，b的值，进而求出x的值.
12．（2024七上·永年期末） 如果单项式 与 的和仍是单项式， 那么 = 。
【答案】0
【解析】【解答】解：∵单项式 与 的和仍是单项式，
∴ 与 是同类项，
∴m+2=4，n+3=1，
解得：m=2，n=-2，
∴，
故答案为：0.
【分析】先证出 与 是同类项，再利用同类项的定义可得m+2=4，n+3=1，求出m、n的值，最后将其代入计算即可.
13．（2024七上·韶关期末）已知点在同一直线上，，，则 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：如图1所示，点C在AB之间，
则AC＝AB-BC＝10-4＝6；
如图2所示，
点C不在AB之间，
则AC＝AB＋BC＝10＋4＝14．
故A，C两点间的距离是14或6．
故答案为：14或6．
【分析】分类讨论：①点C在AB之间，②点C不在AB之间，再利用线段的和差的计算方法分析求出AC的长即可.
14．（2024七上·深圳期末）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC＝∠AOD，则∠BOD＝ °
【答案】70
【解析】【解答】解： ∵∠BOC＝∠AOD， ∠AOD=∠COD+∠AOB-∠BOC=90°+90°-∠BOC，
∴∠BOC＝（90°+90°-∠BOC），
解得∠BOC=20°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-20°=70°.
故答案为：70.
【分析】由∠BOC＝∠AOD，∠AOD=90°+90°-∠BOC可求出∠BOC的度数，再利用∠BOD=∠COD-∠BOC即可求解.
15．（2024七上·吴兴期末）某饼干包装袋上印有“总质量 的字样.小明称重发现这袋饼干的实际质量为97g，该饼干厂家 (填“有”或“没有”)欺诈行为.
【答案】没有
【解析】【解答】解：食品的质量在（）g，
即食品在与之间都合格．
在范围内，故合格，
该饼干厂家没有欺诈行为，
故答案为：没有．
【分析】食品的质量在（）g，即食品在与之间都合格，据此可判断是否合格，进而可作出决策.
16．（2024七上·月考）如图，点A表示﹣10，点B表示10，点C表示17，我们称点A和点C相距27个单位长度．动点P，Q同时出发，点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，问：当P，O两点相距的长度与Q，B两点相距的长度相等时，t的值为 ．
【答案】3 或 6 或 9 或 18
【解析】【解答】解：当P，O两点相距的长度与Q，B两点相距的长度相等有4种可能，
①当点Q在CB上，点P在AO上时，
则7-t=10-2t，
解得：t=3；
②当点Q在CB上，点P在BO上时，
则7-t=(t-5)×1，
解得：t=6；
③当点Q在BO上，点P在BO上时，
则2(t-7)=(t-5)×1，
解得：t=9；
④当点Q在上OA，点P在BC上时，
则(t-7-5)×1=2(t-5-10)，
解得：t=18；
综上所述，t的值为3或6或9或18，
故答案为：3或6或9或18.
【分析】分为①当点Q在CB上，点P在AO上时；②当点Q在CB上，点P在BO上时；③当点Q在BO上，点P在BO上时；④当点Q在上OA，点P在BC上时；四种情况讨论即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·三台期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：移项，得：.
合并同类项，得：.
系数化为1，得：.
（2）解：去分母（方程两边乘6），得
.
去括号，得：.
移项，得：.
合并同类项，得：25x＝23.
系数化为1，得： .
【解析】【分析】（1）根据题意移项，合并同类项，最后系数化为1即可求解；
（2）先个根据题意去分母，进而去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可求解。
18．（2025七上·柯桥期末）已知，小明在计算时，误将其按计算，结果得到．
（1）求多项式．
（2）求的正确结果是多少？
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）将错就错，先利用错误的结果表示出整式B，再利用整式的加减运算去括号并合并同类项即可；
（2）利用整式的加减运算去括号并合并同类项即可．
（1）；
（2）．
19．（2024七上·岳池期末）如图是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体的名称是 ；
（2）将该展开图还原成几何体，若相对的两个面上的数互为相反数，求的值．
【答案】（1）长方体
（2）解：由题意及图知，，
所以．
【解析】【解答】（1）根据展开图的特征可得：这个展开图是长方体的展开图，
故答案为：长方体.
【分析】（1）利用长方体展开图的特征分析求解即可；
（2）先求出a、b、c的值，再将a、b、c的值代入计算即可.
20．（2024七上·龙岗期末）某学校初一年级体育入学测试已经结束，现从初一年级随机抽取部分学生的入学体育成绩进行统计分析成绩得分用表示，共分成个等级，：，：，：，：，绘制了统计图，请根据统计图信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，的值是 ；对应的扇形圆心角的度数是 ．
【答案】（1）50
（2）解：成绩在“等级”的学生人数为：名，补全条形统计图如下：
（3）10；
【解析】【解答】解：（1）本次共调查的学生人数为：20÷40％=50名.
故答案为：50.
（3）m％=，
∴m=10；
对应的扇形圆心角的度数为360°×10％=36°.
故答案为：10，36°.
【分析】（1）利用两统计图，由成绩在“D等级”的学生人数÷D等级”的学生人数所占的百分比，列式计算即可.
（2）先求出成绩在“C等级”的学生人数，再补全条形统计图.
（3）用C组的人数÷抽取的学生人数×100％，可求出m的值；对应的扇形圆心角的度数等于360°×"C等级”的学生人数所占的百分比，列式计算即可.
21．（2024七上·香洲期末）某市出租车采取“时距并计”的方式收费，具体收费标准如下表：
起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计）
（单价：元） 10 2.6 等候的前4分钟不收费。之后每2分钟1元
某日上午，出租车司机小李运营线路全是在某条东西走向的路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：．
（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点 （东/西） 千米；
（2）若出租车耗油量为8升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？
（3）小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为18分钟。求第三位乘客需支付车费多少元？
【答案】（1）西；1
（2）解：．
（升）
答：出租车共耗油352升．
（3）解：（元）
答：第三位乘客需支付车费27.4元．
【解析】【解答】解：（1） 6.5＋5＋（ 7）＋10＋6.5＋（ 9）
＝ 6.5＋5 7＋10＋6.5 9
＝ 1，
即将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点西1千米处；
故答案为：西，1.
【分析】（1）将题干中的数据相加，再根据结果分析判断即可；
（2）先求出总路程，再结合“出租车耗油量为8升/千米”列出算式求解即可；
（3）利用“总费用=起步价+路程价+等候费”列出算式求解即可.
22．（2024七上·渠县期末）如图，已知在同一平面内，．
（1）填空： ；
（2）如果平分，平分，求的度数；
（3）如果在（2）的条件下将改为，其他条件不变，求的度数．
【答案】（1）
（2）解：∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=90°，∠AOB=60°
∴∠BOC=∠AOC+∠AOB=90°+60°=150°
故答案为：150°
【分析】本题考查角平分线的定义和角的和差运算
（1）由图可知∠BOC=∠AOC+∠AOB，代入即可得出答案；
（2）由角平分线的定义可知：，由角的和差运算可知：∠DOE=∠COD-∠COE=45°，从而得出答案；
（3）根据角的和差运算可知：∠BOC=∠AOC+∠AOB=90°+2α，在由角平分线的定义可知：，由角的和差运算可知：∠DOE=∠COD-∠COE=45°，从而得出答案.
23．（2024七上·天河期末）先阅读两则材料，然后解决问题：
材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解：
令①，
则②，
得：，
即．
材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；．
【解决问题】
（1）填空：______；______；
（2）已知，且，求的值；
（3）设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值．
【答案】（1）
（2）解：，且，
，
；
（3）解：，
，
，
，
线段的长为4，
，
，
当时，
，
当时，
，
综上所述，M的值为．
【解析】【解答】解：（1）解：，，
故答案为：；
【分析】
本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键；
（1）根据题设中新定义的运算法则，直接列出算式，进行计算求值，即可得到答案；
（2）根据题意，先判断y的范围，结合题设中新定义，列出算式，进行化简，整体代入求值，即可得到答案；
（3）根据非负性，求得，结合新定义，得到，求出a的值，再根据数轴上两点之间的距离公式，列式求得，分类讨论，列式求解，即可得到答案.
（1）解：，，
故答案为：；
（2）解：，且，
，
；
（3）解：，
，
，
，
线段的长为4，
，
，
当时，
，
当时，
，
综上所述，M的值为．
24．（2024七上·旺苍期末）以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．
（1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
（2）将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，
①若恰好平分，求此时的度数；
②若，求此时的度数；
（3）直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．
【答案】（1）40°；
（2）解：①∵，∴，
∵恰好平分，
∴，
∴；
②当在的内部时，如图所示：
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40°；
（3）当在内部时，如图所示，
∵，，
∴．
当在外部时，如图所示，
∵，，
∴；
综合上述，则；
【分析】（1）根据互余计算即可；
（2）①根据平角定义先求出，再根据角平分线的定义求出∠COE，最后利用平角计算即可；
②根据角的运算和平角计算即可；
（3）分当在内部时和在外部时，两种情况计算即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40°；
（2）解：①∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴；
②如图，当在的内部时，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：当在内部时，如图所示，
∵，，
∴．
当在外部时，如图所示，
∵，，
∴；
综合上述，则；
25．（2024七上·信宜期末）综合应用
春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？
（3）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共60件，所用资金恰好为5600元，在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这60件商品全部售出所获利润率为25%，求每件乙种商品售价为多少元？
【答案】（1）解：设甲种商品的进价元，则乙种商品的进价元，
由题意可得，，
解得，
（元），
甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元；
（2）解：甲商品的标价为：80+40=120（元），
设甲种商品打了折，
由题意可知，，
解得，
甲种商品打了七五折出售；
（3）解：设购进甲种商品件，乙种商品的售价为元，
由题意可得，
，
解得，
（件），
即购进乙种商品40件．
，
解得，
乙种商品的售价为125元.
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系，买甲10件的花费+买乙2件的花费=1000，据此列方程求解即可；
（2）先确定甲的标价，再根据“打折卖6件的利润=降价35元卖12件的利润”，列方程求解即可；
（3）先确定甲和乙的购进件数，再确定乙的售价，根据“80×买甲的件数+100×买乙的件数=5600”列方程求解得到甲和乙的购进件数；再设乙的售价为m元，根据“甲的利润+乙的利润=5600×25%”列方程求解的乙的售价.
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