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北师大版2025—2026学年八年级上册期末模拟刷透真题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·南海期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024八上·天元期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·通道期末）下列语句是命题的是（ ）
A．把绕着点A旋转
B．三角形三个角的平分线的交点是这个三角形的重心吗？
C．作的边上的高
D．三角形一个外角大于这个三角形的任何一个内角
4．（2024八上·罗湖期末）已知一次函数，则该函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·宝安期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2024八上·农安期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．中，
B．中，，
C．中，
D．中，三边之比为
7．（2024八上·雨湖期末）下列说法中正确的个数是（ ）
①（－3）2的平方根是＋3；②－m2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023八上·新城期末）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形，如果一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10dm B．12dm C．13dm D．15dm
9．（2024八上·深圳期末）已知两地相距300千米，甲骑摩托车从地出发匀速驶向地，当甲行驶1后，乙骑自行车以 的速度从地出发匀速驶向地.甲到达地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离（）与甲行驶时间之间的函数关系如图所示.下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米.其中说法正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10．（2023八上·萧山期末）如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·义乌期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则m的值是 .
12．（2024八上·罗湖期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图像交点坐标为 ．
13．（2023八上·达川期末）在一个长为5 米， 宽为3米的长方形草地 上， 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点处到处需要走的最短路程是 米.
14．（2025八上·贵州期末）如果a，b分别是2025的两个平方根，那 ．
15．（2025八上·淳安期末）已知等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式 ．
16．（2024八上·武威期末）求值： ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·深圳期末）解方程组：
（1）
（2）
18．（2024八上·深圳期末）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．（2024八上·顺德期末）某校为培养学生的数学思维，激发学生的学习兴趣，开展了学生数学说题比赛，八年级（1）班和八年级（2）班各选出5位选手参赛，成绩（满分为100分）如下：
八（1）班：82，88，90，75，90；
八（2）班：78，95，85，82，85．
数据整理分析如下：
平均分 中位数 众数 方差
八（1）班 85 88
八（2）班 85 85
（1）表中_▲_，_▲_，求出方差的值；
（2）你认为选哪个班代表八年级参加学校的决赛比较好，说明理由．（参考信息：）
20．（2024八上·大竹期末）中国象棋是经典国粹，备受人们喜爱．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处等．如对象棋棋盘建立恰当平面直角坐标系，可以便于研究和解决问题．
（1）如图，若“帅”所在点的坐标为，“马”所在的点的坐标为，则“相”所在点的坐标为 ；
（2）如图，若C点的坐标为，D点的坐标为，按“马”走的规则，图中“马”由所在的位置走一步可以直接到的点的坐标为 ．
21．（2024八上·成华期末）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的：
，，，．
．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）已知，求的值．
22．（2024八上·达州期末）如图，在Rt中，，，，于．
求：
（1）斜边的长；
（2）高的长．
23．（2025八上·定海期末）渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当时，h的值是多少？
在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围．
24．（2024八上·番禺期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组：
；
；
；
；
…
（1）根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值；
（2）若为基本勾股数组，当时，求x与z的值；
（3）请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
25．（2024八上·南关期末）如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，动点P从点C出发沿C﹣A﹣B以每秒2个单位的速度运动，到达点B时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）AC＝ ．
（2）时，AP的长为 ．点P在AB边上时，线段AP的长为 （用含t的代数式表示）．
（3）当点P在AB的中垂线上时，求t的值．
（4）如图②，当点P在AB上运动时，连结CP，作点A关于CP的对称点A'，连结A'C，A'P．当存在△A'PC的边与△ABC的边平行时，直接写出t的值．
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北师大版2025—2026学年八年级上册期末模拟刷透真题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·南海期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点P在第二象限，
故答案为：B.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
2．（2024八上·天元期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、无法计算，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次根式的混合运算结合题意对选项逐一运算，进而即可求解。
3．（2024八上·通道期末）下列语句是命题的是（ ）
A．把绕着点A旋转
B．三角形三个角的平分线的交点是这个三角形的重心吗？
C．作的边上的高
D．三角形一个外角大于这个三角形的任何一个内角
【答案】D
【解析】【解答】解：∵A，C选项未表述完整，无法判断正误，故不是命题，B选项是问句不是陈述句，故不是命题，
故答案为：D
【分析】根据命题的定义：一般地，在数学中，我们把在一定范围内可以用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，进而结合题意分析即可求解。
4．（2024八上·罗湖期末）已知一次函数，则该函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：对于y＝x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，当y＝0时，x＝1，
∴一次函数y＝x﹣1是过点（1，0）和点（0，﹣1）的一条直线，
只有选项A，符合题意；
故答案为：A．
【分析】先分别求出一次函数与x轴，y轴的交点坐标，则可得知它的图象是过点（1，0）和点（0，﹣1）的一条直线，即可解答．
5．（2024八上·宝安期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴甲的方差最小，
∴射击成绩最稳定的是甲，
故答案为：A.
【分析】根据方差的意义“方差越小越稳定”，要射击成绩最稳定选择方差最小的即可解答．
6．（2024八上·农安期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．中，
B．中，，
C．中，
D．中，三边之比为
【答案】A
【解析】【解答】解：A、中，，设，
则：，解得：，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
B、中，，则：，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、中，，则：，∴是直角三角形，不符合题意；
D、中，三边之比为，
设三角形的三边长分别为：，
∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
7．（2024八上·雨湖期末）下列说法中正确的个数是（ ）
①（－3）2的平方根是＋3；②－m2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】①∵（－3）2的平方根是±3，∴①不正确；
②∵当m=0时，－m2的平方根是0，∴②不正确；
③∵正数的平方根由两个且互为相反数，∴③不正确；
④∵负数没有平方根，∴④正确；
⑤∵0和1的平方根等于本身，∴⑤正确；
综上，正确的结论是④⑤，共2个，
故答案为：B.
【分析】利用平方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
8．（2023八上·新城期末）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形，如果一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．10dm B．12dm C．13dm D．15dm
【答案】D
【解析】【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6dm，BD＝6+9＝15（dm），
AB＝ ＝3 （dm）；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，
AC＝6+6＝12（dm），BC＝9dm，AB＝ ＝15（dm），
③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB＝ ＝15（dm），
由于 ，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm.
故答案为：D.
【分析】①将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6dm，BD＝6+9＝15（dm），利用勾股定理可得AB；②将长方体的正面和右面展开在同一平面内，同理求出AB的值；③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理求出AB的值，然后进行比较即可得到最短路程.
9．（2024八上·深圳期末）已知两地相距300千米，甲骑摩托车从地出发匀速驶向地，当甲行驶1后，乙骑自行车以 的速度从地出发匀速驶向地.甲到达地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离（）与甲行驶时间之间的函数关系如图所示.下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米.其中说法正确的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】【解答】解：①(300 20×3)÷4=60(km/h)，
300÷60=5(小时)，
设甲最终追上乙时乙行驶了a小时，由题意得：60(a+1) 300=20a，
解得：a=6，故①错误；
②300 60×1=240(km)，所以P的纵坐标为240，②正确；
③20+60=80(km)，所以M坐标为(5，80)，又因为Q的坐标为(4，0)，
设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，
解得：，
所以y=80x 320③错误；
④x=时，300 60× 20×( 1)=60(km)；
x=时，(20+60)×( 4)=60(km)；
x=时，20×( 1) (60× 300)=60(km)，④正确；
综上所述：②④正确.
故答案为D．
【分析】由题意可得两人起始距离为300km，求出甲的速度，再求出甲到B地的时间，再根据题意建立代数式可判断①；当甲行驶1小时，两人的距离等于300km减去甲1小时走的路程，可判断②；由题意可得M坐标为(5，80)，Q的坐标为(4，0)，设线段QM所在直线的解析式y=kx+b，根据待定系数法将点M，Q坐标代入解析式可判断③；计算当x=，，时，甲、乙两人之间距离，可判断④.
10．（2023八上·萧山期末）如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，
点E，F将对角线三等分，且，
，，
点M与点F关于对称，是等腰直角三角形，
，，，
，
，
∴，
∴在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为，
在点H右侧，当点P与点C重合时，则，
点P在上时，，有一个点P使，
在点H左侧，当点P与点B重合时，，
在和中，
，
，
，
，
点P在上时，，有一个点P使，
在线段上的左右两边各有一个点P使，
同理在线段、上也都存在两个点使，
∴共有6个点P满足，
故答案为：D．
【分析】作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，根据等腰直角三角形、轴对称的性质求得在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为，然后求出当点P分别与点C、B重合时的PE+PF的取值范围，于是可知在线段上的左右两边各有一个点P使，同理在线段、上也都存在两个点使，据此即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·义乌期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则m的值是 .
【答案】－3
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴
故答案为：-3.
【分析】y轴上的点，横坐标为0，则m+3=0，求解可得m的值.
12．（2024八上·罗湖期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图像交点坐标为 ．
【答案】(-4，2)
【解析】【解答】解：∵已知关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴一次函数和的图像交点坐标为．
故答案为．
【分析】一次函数和的图像交点坐标即是二元一次方程组的解，据此即得结论.
13．（2023八上·达川期末）在一个长为5 米， 宽为3米的长方形草地 上， 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为1 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点处到处需要走的最短路程是 米.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，
长方形的长为米，
长方形的宽为3米，
一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，
米，
故答案为.
【分析】如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程就是对角线AC的值，在直角三角形ABC中，用勾股定理即可求解.
14．（2025八上·贵州期末）如果a，b分别是2025的两个平方根，那 ．
【答案】2025
【解析】【解答】解：∵分别是2025的两个平方根，
，
，
，
故答案为：2025．
【分析】根据平方根的定义得到，然后利用解答即可．
15．（2025八上·淳安期末）已知等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
∴与的函数表达式为．
故答案为：．
【分析】
根据三角形的周长得到函数关系式，然后利用三角形三边关系得到的取值范围解题．
16．（2024八上·武威期末）求值： ．
【答案】
【解析】【解答】解：
，
∴原式
，
故答案为：．
【分析】先推导公式，然后利用公式计算即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·深圳期末）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①代入②得： 3 + 4=8，
解得：x=3，
将x＝3代入①得： =3 4= 1，
所以原方程组的解是
（2）解：
①+②得： 2 =4，
解得：x=2
解得：y=-1 ，
所以原方程组的解是
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
18．（2024八上·深圳期末）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∵
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定，同位角相等，即可得到两直线平行；
(2)依据平行线的性质，可得出∠CED=∠GHD，可知EC//GF， 又因为问题1已证AB//CD，即可得出∠FED =∠D=30°，∠CED =∠EHFD=80°；进而可求∠AEM =∠CEF=110°.
19．（2024八上·顺德期末）某校为培养学生的数学思维，激发学生的学习兴趣，开展了学生数学说题比赛，八年级（1）班和八年级（2）班各选出5位选手参赛，成绩（满分为100分）如下：
八（1）班：82，88，90，75，90；
八（2）班：78，95，85，82，85．
数据整理分析如下：
平均分 中位数 众数 方差
八（1）班 85 88
八（2）班 85 85
（1）表中_▲_，_▲_，求出方差的值；
（2）你认为选哪个班代表八年级参加学校的决赛比较好，说明理由．（参考信息：）
【答案】（1）解：由题意可得，，
∵90出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是90，即b=90；
八（1）班的方差是：，
故答案为：85，90.
（2）解：八（1）班中位数88分高于八（2）班85分，说明八（1）班成绩更好，
八（1）班众数90分高于八（2）班85分，说明八（1）班成绩更好，
八（1）班方差33.6分高于八（2）班31.6分，说明八（2）班成绩更好，
两个班平均分都是85分，成绩一样，
综上得知，八（1）班成绩更好，应选八（1）班代表八年级参加学校的决赛比较好.
【解析】【分析】（1）根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数、一组数据中出现次数最多的数据叫做众数、一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差分别计算即可求解；
（2）根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好进行分析即可求解.
20．（2024八上·大竹期末）中国象棋是经典国粹，备受人们喜爱．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处等．如对象棋棋盘建立恰当平面直角坐标系，可以便于研究和解决问题．
（1）如图，若“帅”所在点的坐标为，“马”所在的点的坐标为，则“相”所在点的坐标为 ；
（2）如图，若C点的坐标为，D点的坐标为，按“马”走的规则，图中“马”由所在的位置走一步可以直接到的点的坐标为 ．
【答案】（1）
（2），，
【解析】【解答】解：
(1) 依据“帅”所在点的坐标、“马”所在点的坐标，建立如下图所示的平面直角坐标系：
所以，“相”所在点的坐标为(5，1).
故答案为： (5，1)；
(2)依据C点、D点两点的坐标，建立同（1）中的平面直角坐标系：
依据题意，因为棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，所以棋子“马”可以直接走到的点坐标为(0，0)、（-1，1）、（-3，1）.
故答案为： (0，0)， (-1，1)， (-3，1).
【分析】(1)依据已知点的坐标，结合图示确定原点，画出满足题意的平面直角坐标系，从而确定所求点的坐标；
(2)平面直角坐标系的确定方法同（1）.读懂棋子“马”走的规则，先确定“马”可以直接走到的点，再写出对应的坐标.本题须注意题中仅明确“马”走的规则，但未明确走的方向，须分多种情况综合分析.
21．（2024八上·成华期末）小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的：
，，，．
．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
即，
，
，
原式．
【解析】【分析】
（1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）先分母有理化得，再变形为，将等式两边分别平方可得，用表示可得，用降次的方法将原式转化为：原式，然后把的值代入计算即可求解．
（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
即，
，
，
原式．
22．（2024八上·达州期末）如图，在Rt中，，，，于．
求：
（1）斜边的长；
（2）高的长．
【答案】（1）解：在中，，，，
；
（2）解：，
，
解得．
故高的长为．
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可求解；
（2）由 建立方程求解即可.
23．（2025八上·定海期末）渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示．
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当时，h的值是多少？
在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围．
【答案】（1）解：由图象可知，对于每一个变化的t，h都有唯一确定的值与其对应，∴变量h是关于t的函数
（2）解：①由图象可知：当时，，
②由图象可知：时，h随t的增大而增大
【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义以及函数图象的分析，熟知函数的定义及正确识别所给函数图象是解题的关键．
（1）根据函数的定义(对于每一个自变量t，都有唯一的h与之对应)判断h是否为t的函数；
（2）①观察观察函数图象，读取时的h值即可解答；②利用所给函数图象，找出在0-4s时间范围内，h随t增大而增大的取值范围．
（1）解：由图象可知，对于每一个变化的t，h都有唯一确定的值与其对应，
∴变量h是关于t的函数．
（2）解：①由图象可知：当时，，
②由图象可知：时，h随t的增大而增大．
24．（2024八上·番禺期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且，则称数组为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组：
；
；
；
；
…
（1）根据以上规律，写出时，基本勾股数组中y，z之值；
（2）若为基本勾股数组，当时，求x与z的值；
（3）请你猜想基本勾股数组中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：观察数据我们发现：中，，
中，，
中，，
中，，
中，，
∴当时，。
（2）解：∵为基本勾股数组，
∴，即，
∴，
已知，则，
设为正整数，且，
则，
解得，
又 ∵，且为正整数，与互素，
对 64 进行因数分解．
①当时，（舍去， 2 不是正整数）；
②当时，，
∵和 15 互素，
∴符合题意；
③当时，，
∵和 8 有公约数，不互素，
∴，不符合题意；
④当时，（舍去，不是正整数）；
综上，；
（3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．证明：∵，
∴互素，
，
，
则
，
，
．
【解析】【分析】（1）观察所给数据，找出规律中，，最后代入求解即可；
（2）根据题意可知，因为和均为整数，所以将 64 因式分解，再分四种情况进行逐一讨论计算即可；
（3）当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．然后代入验证是否符合即可得证．
（1）解：观察数据我们发现：
中，，
中，，
中，，
中，，
中，，
∴当时，；
（2）解：∵为基本勾股数组，
∴，即，
∴，
已知，则，
设为正整数，且，
则，
解得，
又 ∵，且为正整数，与互素，
对 64 进行因数分解．
①当时，（舍去， 2 不是正整数）；
②当时，，
∵和 15 互素，
∴符合题意；
③当时，，
∵和 8 有公约数，不互素，
∴，不符合题意；
④当时，（舍去，不是正整数）；
综上，；
（3）解：猜想：当为大于 1 的奇数时，（为正整数），．
证明：∵，
∴互素，
，
，
则
，
，
．
25．（2024八上·南关期末）如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，动点P从点C出发沿C﹣A﹣B以每秒2个单位的速度运动，到达点B时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）AC＝ ．
（2）时，AP的长为 ．点P在AB边上时，线段AP的长为 （用含t的代数式表示）．
（3）当点P在AB的中垂线上时，求t的值．
（4）如图②，当点P在AB上运动时，连结CP，作点A关于CP的对称点A'，连结A'C，A'P．当存在△A'PC的边与△ABC的边平行时，直接写出t的值．
【答案】（1）4
（2）3；2t﹣4
（3）解：如图，设的垂直平分线与交于点 ，
∵，
∴，
当点在上时，，
∴，
∴，
∴；
当点与点重合时，，
∴；
综上所述，的值为或；
（4）解：的值为或．
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵点在边上，
∴，
∴，
故答案为：，
（4）解：如图，当 时，延长交于点，
∵点关于的对称点为，
∴，
又∵，，
∴，，
在中，，
∴，
解得或，
当时，，
∴不合，舍去；
如图，当 时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴时，，；
综上所述，的值为或．
【分析】本题考查了勾股定理，三角函保存进入下一题数，线段的和差，平行线的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，利用分类讨论和数形结合思想进行解答是解题的关键．
（）利用勾股定理直接求AC得长即可；
（）根据，2t=AC+AP=4+AP，即可求解；
（）设的垂直平分线与交于点 ，分点在上和点与点重合两种情况解答；当点在上时，， 求出，则；当点与点重合时，.
（）分和两种情况画出图形解答.当 时，延长交于点， ，， 在中，，由勾股定理可求或（舍）；当 时，可推导出AC=PA，则4=2t-4，此时，.
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