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北师大版2025—2026学年九年级上册期末全优冲刺测评卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·雅安期末）若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2024九上·克孜勒苏柯尔克孜期末）已知点，，都在反比例函数（k>0）的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·遂川期末）如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
4．（2024九上·九台期末）在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·增城期末）某商店将进货价格为元的商品按单价元售出时，能卖出个已知该商品单价每上涨元，其销售量就减少个设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·汝城期末）如图所示，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高1.2m，测得1.6m，12.4m. 则建筑物的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
7．（2024九上·望奎期末）若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·清城期末）同学们探究四边形纸板是否为正方形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量四条边是否相等
B．测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等
C．测量四个内角是否是直角
D．测量两条对角线是否相等且是否互相垂直
9．（2023九上·永善期末）三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48或 D．
10．（2024九上·鄞州期末）如图，在等腰中，分别在边上，，，若已知的长，则能求出下列哪个量（ ）
A．的周长 B．的面积 C．的周长 D．的面积
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·义乌期末）现有、两种帽子和、两款围巾，那么小明同学刚好选中他所喜欢的种帽子和款围巾穿戴的概率是 ．
12．（2023九上·武义期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例.身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 .
13．（2025九上·临澧期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为 米．
14．（2025九上·东营期末）如图，矩形OABC被三条直线分割成六个小矩形，若D、E是CO边上的三等分点，反比例函数刚好经过小矩形的顶点F、G，若图中的阴影矩形面积，则反比例系数k的值为 ．
15．（2024九上·锦江期末）如图，在菱形中，，连接，点是线段上一点，过点作，垂足分别为点．若，则的值为 ．
16．（2021九上·玄武期末）关于x的方程 ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南川期末）解下列方程；
（1）；
（2）．
18．（2025九上·上虞期末）如图，，，，四张卡片上分别写有，，，四个实数．
（1）从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率．
（2）从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率．
19．（2025九上·兰州期末）通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
（1）如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________；
A． B． C． D．
（2）如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度．
20．（2024九上·钟山期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求证：四边形ABCD时菱形；
（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若，求．
21．（2024九上·献县期末）如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A（2，1）、B两点．
（1）求m及k的值．
（2）求出S△AOB的面积．
（3）直接写出x+m﹣＞0时x的取值范围．
22．（2024九上·哈尔滨期末）在菱形中，分别为上的点，且，连接并延长，与的延长线交于点，连接．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，连接，若，请直接写出长为线段长2倍的线段．
23．（2025九上·巴中期末）2024年10月巴中市举办了第六届全市中小学生运动会．各个学校选拔了优秀运动员参加此次运动会．该运动会共设置了篮球、足球、乒乓球、田径四个项目，学生任选一项参加．为了了解学生参赛情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的人数为________人，________，足球区域扇形圆心角的度数________；
（2）补全条形统计图；
（3）从田径项目总成绩前名学生中随机抽取名学生进行采访，这名学生中有名来自学校，另名学生分别来自、学校，请用树状图或列表法求抽到的名学生都来自学校的概率．
24．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接．
（1）如图1，设A点坐标为，若，，且．
①求k的值；
②若的面积为，求点B的坐标；
（2）如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由．
25．（2024九上·宁波期末）如图，在中，，，，D为AB边上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F.
（1）求证：.
（2）若，求与的面积比.
（3）设，四边形DEFB的面积为y，求y关于x的函数表达式并求其最大值.
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北师大版2025—2026学年九年级上册期末全优冲刺测评卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·雅安期末）若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：B．
【分析】比例的内项积等于外项积，据此求解。
2．（2024九上·克孜勒苏柯尔克孜期末）已知点，，都在反比例函数（k>0）的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵反比例函数的解析式为（k>0） ，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，
∴在每个象限中，函数值y随x的增大而减小，
∵-3<-1<0<3，
∴，
故答案为：D.
【分析】先证出反比例函数的图象在第一、三象限，可得在每个象限中，函数值y随x的增大而减小，再求解即可.
3．（2024九上·遂川期末）如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示
ABCD是正方形
故答案为：B
【分析】根据正方形的性质可得到判定平行四边形的条件，由平行四边形的性质可计算出正方形的边长，三角形的底和高都已知则面积可求。
4．（2024九上·九台期末）在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A：根据有两组角对应相等的两个三角形形似可以判断两三角形相似，不符合题意；
B：根据两组对边成比例且夹角相等可以判断两个三角形相似，不符合题意；
C：根据有一组直角边和一组斜边对应成比例可以判断两个三角形相似，不符合题意；
D：不是对应边成比例，不能判断两三角形形似，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据相似三角形的判定定理即可求出答案.
5．（2024九上·增城期末）某商店将进货价格为元的商品按单价元售出时，能卖出个已知该商品单价每上涨元，其销售量就减少个设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 设这种商品的售价上涨元
∴单件利润为x+16，总销售量为200-5x
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设这种商品的售价上涨元，根据题意建立方程即可求出答案.
6．（2024九上·汝城期末）如图所示，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高1.2m，测得1.6m，12.4m. 则建筑物的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【答案】B
【解析】【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，即，
∴CD=10.5（米）．
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解。
7．（2024九上·望奎期末）若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-mx+3=0的一个根是x1=1，另一个根为x2，
∴，解得：x2=3，m=4.
故答案为：D.
【分析】由题意根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=，x1x2=”可得关于x2和m的方程组，解方程组即可求解.
8．（2024九上·清城期末）同学们探究四边形纸板是否为正方形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量四条边是否相等
B．测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等
C．测量四个内角是否是直角
D．测量两条对角线是否相等且是否互相垂直
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵测量四条边是否相等可以得出四边形纸板是否为菱形，∴A不符合题意；
B、∵测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等可以得出四边形纸板是否为正方形，∴B符合题意；
C、∵测量四个内角是否是直角 可以得出四边形纸板是否为矩形，∴C不符合题意；
D、∵测量两条对角线是否相等且是否互相垂直不能判断四边形纸板是否为正方形，还要测量两条对角线是否互相平分，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用正方形的判定方法逐项分析判断即可.
9．（2023九上·永善期末）三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48或 D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 三角形第三边的长是一元二次方程的一个实数根
∴ 解方程，得x1=10，x2=6
∵ 三角形两边的长分别是6和8，
∴ 三角形的三边为6，8，10或6，6，8
（1）当三角形三边为6，8，10，则此时三角形为直角三角形， 该三角形的面积是=24；
（2）当三角形三边为6，6，8，则此时三角形为等腰三角形，
则高为， 该三角形的面积是；
综上，该三角形的面积是24或；
故答案为B
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题关键。 解方程，得x1=10，x2=6；则 三角形的三边为6，8，10或6，6，8，分别计算面积即可。
10．（2024九上·鄞州期末）如图，在等腰中，分别在边上，，，若已知的长，则能求出下列哪个量（ ）
A．的周长 B．的面积 C．的周长 D．的面积
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设交于点H，
在等腰中，，
∴，
设，则，；
由勾股定理得：；
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的周长为（定值），
而的面积不能求出，的周长与面积都不能求出．
故答案为：A
【分析】本题考查等腰三角形判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质.设交于点H，利用等腰直角三角形的性质可得：，设；利用勾股定理进行计算可得：，利用角的运算可得： ，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得： ，再进行计算可求出，利用线段的运算可求出，利用勾股定理可求出，利用三角形的周长计算公式可计算出的周长为定值，据此可选出选项．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·义乌期末）现有、两种帽子和、两款围巾，那么小明同学刚好选中他所喜欢的种帽子和款围巾穿戴的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：树状图如图．
共有4种等可能的情况，小明好选中她所喜欢的种帽子和款围巾穿戴有一种，
则概率为．
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
12．（2023九上·武义期末）已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例.身高的小明的影子长为，这时测得一棵树的影长为，则这棵树的高为 .
【答案】8
【解析】【解答】解：设这棵树的高为，依题意得，
解得：，
故答案为：8.
【分析】设这棵树的高为xm，根据同一时刻物体的高与影子的长成正比例可得，求解即可.
13．（2025九上·临澧期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为 米．
【答案】6
【解析】【解答】解：由题意知：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
经检验，是所列方程的解，
故答案为：6．
【分析】由题意知：，得出对应边成比例即可得出．
14．（2025九上·东营期末）如图，矩形OABC被三条直线分割成六个小矩形，若D、E是CO边上的三等分点，反比例函数刚好经过小矩形的顶点F、G，若图中的阴影矩形面积，则反比例系数k的值为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：是CO边上的三等分点，
，
，
反比例函数刚好经过小矩形的顶点，
，
故答案为：10．
【分析】根据题意求得，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
15．（2024九上·锦江期末）如图，在菱形中，，连接，点是线段上一点，过点作，垂足分别为点．若，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接交于，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接交于，连接，根据菱形的性质得到，的度数，解直角三角形得到，的长度，根据等面积法再根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
16．（2021九上·玄武期末）关于x的方程 ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】【解答】解：原方程可化为 ，
当该方程总有两个不相等的实数根时，
则其根的判别式 ，
解得 ，
无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p取何值，不等式 恒成立，
小于 的最小值，
由偶次方的非负性得： ，
，
的最小值为1，
，
故答案为： .
【分析】 由于无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，可得，从而得出，根据偶次方的非负性，可得，据此可得.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南川期末）解下列方程；
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，，
，
∴，
∴，
（2）解：移项得，，
因式分解得，，
∴，
∴或，
∴，．
【解析】【分析】（1）先利用根的判别式得到，由求根公式即可求解；
（2）根据移项、因式分解求解即可.
18．（2025九上·上虞期末）如图，，，，四张卡片上分别写有，，，四个实数．
（1）从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率．
（2）从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率．
【答案】（1）解：∵，，，四个实数中，无理数有，，共2个，∴从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率为；
（2）解：列表如下：
乘积
∴共有12种等可能得情况，其中乘积是负数的有8种，
∴从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率．
【解析】【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，无理数的概念以及概率公式的应用．
（1）先根据无理数的概念判断无理数的个数，再用概率公式计算即可；
（2）通过列表或树状图列出所有取两张卡片的可能情况，找出乘积为负数的情况数，最后用概率公式求解．
（1）解：∵，，，四个实数中，无理数有，，共2个，
∴从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率为；
（2）解：列表如下：
乘积
∴共有12种等可能得情况，其中乘积是负数的有8种，
∴从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率．
19．（2025九上·兰州期末）通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
（1）如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________；
A． B． C． D．
（2）如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度．
【答案】（1）D
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
【解析】【解答】（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
【分析】
（1）由于人距离光源越近影长越小，当人刚好处于光源底下时影长为0，反之当人距离光源越远时影长越大；
（2）根据题意可分别判定，由相似比可得，，由于小明身高与灯标高度不变，即有，再代值计算可分别得BD、BF的长，再利用相似即可．
（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
20．（2024九上·钟山期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求证：四边形ABCD时菱形；
（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若，求．
【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=BC
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
（2）解：如图，过点O作OF∥BC，交CD于点F ，
∵ OB=OD ，
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴在Rt△OCB中，
OC=，OB=
由勾股定理可得BC=10 ，
∴OF=，
∵，
，
∴CM=OC=6，
∵ 点B，C，M在同一条直线上
∴OF∥CM
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形 ，结合AB=BC ，由菱形的判定定理即可求解；
（2）过点O作OF∥BC，交CD于点F ，由平行线分线段成比例可得，根据菱形的性质以及勾股定理得到OC、OB、BC的值，进而求的OF的值，结合以及外角性质可得，从而得到CM=OC=6，再根据平行线分线段成比例得到，代入数据进行计算即可求解.
21．（2024九上·献县期末）如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A（2，1）、B两点．
（1）求m及k的值．
（2）求出S△AOB的面积．
（3）直接写出x+m﹣＞0时x的取值范围．
【答案】（1）解：∵把A（2，1）代入y=x+m得：1=2+m，
∴m=-1，
∵把A（2，1）代入y=得：1=，
∴k=2；
（2）解：得：或，
∴B的坐标是（-1，-2），
把x=0代入y=x-1得y=-1，
∴直线与y轴的交点C为（0，-1），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×2+×1×1=；
（3）解： x+m-＞0时x的取值范围是-1＜x＜0或x＞2．
【解析】【分析】（1）先根据题意代入A即可求出m，进而将点A坐标代入反比例函数解析式即可求解；
（2）联立解析式即可求出交点坐标，进而再根据一次函数与坐标轴的交点问题求出点C，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（3）根据题意得到要求x+m＞时x的取值范围，进而根据反比例函数与一次函数的交点问题即可求解。
22．（2024九上·哈尔滨期末）在菱形中，分别为上的点，且，连接并延长，与的延长线交于点，连接．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，连接，若，请直接写出长为线段长2倍的线段．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：长为线段长2倍的线段有．
【解析】【解答】解：（2）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴长为线段长2倍的线段有．
【分析】（1）由菱形的性质和线段的构成可得BG=DE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可求解；
（2）由平行四边形的性质并结合已知，根据线段的构成可得BG=BF=AF=AE=DE=AB=AD=CD=BC，即长为线段长2倍的线段有．
23．（2025九上·巴中期末）2024年10月巴中市举办了第六届全市中小学生运动会．各个学校选拔了优秀运动员参加此次运动会．该运动会共设置了篮球、足球、乒乓球、田径四个项目，学生任选一项参加．为了了解学生参赛情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的人数为________人，________，足球区域扇形圆心角的度数________；
（2）补全条形统计图；
（3）从田径项目总成绩前名学生中随机抽取名学生进行采访，这名学生中有名来自学校，另名学生分别来自、学校，请用树状图或列表法求抽到的名学生都来自学校的概率．
【答案】（1），，
（2）解：由（1）可得参加篮球的人数为人，
参加田径的人数为225-18-90-45=人
补全统计图如图所示，
（3）解：画树状图如下图所示：
共有12种等可能结果，其中抽到的名学生都来自学校有2种，
∴抽到的名学生都来自学校的概率为．
【解析】【解答】（1）解：本次调查的人数为（人），
篮球的人数为（人）
田径的人数为（人）
，则，
足球区域扇形圆心角的度数
故答案为：，，；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择参加乒乓球的人数除以其占比得出本次调查的总人数，用本次调查的总人数乘以选择参加篮球的人数所占的百分比即可求出选择参加篮球的人数；用选择参加足球的人数的占比乘以360°，即可得出足球区域扇形圆心角的度数；
（2）根据选择参加篮球、足球、乒乓球及田径的人数之和等于本次调查的总人数可求出选择参加田径的人数，从而即可补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可得共有12种等可能结果，其中抽到的2名学生都来自A学校有2种，从而根据概率公式计算可得答案.
（1）解：本次调查的人数为（人），
篮球的人数为（人）
田径的人数为（人）
，则，
足球区域扇形圆心角的度数
故答案为：，，．
（2）解：由（1）可得篮球的人数为人，田径的人数为人
补全统计图如图所示，
（3）画树状图如下图所示：
共有12种等可能结果，其中抽到的名学生都来自学校，有2种，
∴抽到的名学生都来自学校的概率为．
24．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接．
（1）如图1，设A点坐标为，若，，且．
①求k的值；
②若的面积为，求点B的坐标；
（2）如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：①∵，
∴m=5-n，
∵，
∴，
解得，
∵，且，
∴，
∴A点坐标为，
∴；
②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N，
设点B的坐标为，
∵反比例函数图象上有A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
即，
整理可得：，
解得（负值舍去），
∴点B的坐标为
（2）解：连接，
∵的面积与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵O为中点，
∴
∴E为中点，
∴为的中位线
∴，
∵D点坐标为，
∴A点坐标为，
则，
∴反比例函数表达式为，
设点B的坐标为，
∴点C的坐标为，
∵A点坐标为，E为中点，
∴，
∴点E的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴点E始终在直线的下方，
∴a的最小值为3
【解析】【分析】（1）①先用n表示出m，得，再解n的值，再结合，即可作答；
②过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，易得，进而用坐标可以表示出的长度，建立方程求解即可；
（2）连接，根据的面积与的面积相等，结合三角形面积的和差证点E是中点，可得为的中位线，根据平行线截线段成比例可依次表示出点D、点A坐标，求出反比例函数表达式，设出B点坐标，再表示出E点坐标，再结合点B在点A右侧即可得解．
（1）解：（1）①∵，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴A点坐标为，
∴；
②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N，
设点B的坐标为，
∵反比例函数图象上有A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
即，
整理可得：，
解得（负值舍去），
∴点B的坐标为．
（2）解：连接，
∵的面积与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵O为中点，
∴
∴E为中点，
∴为的中位线
∴，
∵D点坐标为，
∴A点坐标为，
则，
∴反比例函数表达式为，
设点B的坐标为，
∴点C的坐标为，
∵A点坐标为，E为中点，
∴，
∴点E的坐标为，
∵点B在点A右侧，
∴，
∴，
∴点E始终在直线的下方，
∴a的最小值为3．
25．（2024九上·宁波期末）如图，在中，，，，D为AB边上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F.
（1）求证：.
（2）若，求与的面积比.
（3）设，四边形DEFB的面积为y，求y关于x的函数表达式并求其最大值.
【答案】（1）解：由题意：，，
∴，，
∴
（2）(2)∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC.
∴△ADE与△ABC的面积比，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE=BF，
∵DE：CF=2：3，
∴DE：BC=2：5，
∴△ADE与△ABC的面积比=4：25
（3）(3)过点A作AH⊥BC于点H，如图，
∵∠C=60°，
∴∠HAC=30°，
∴，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∵FE∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴，
∴，
∴
，
∴y关于x的函数表达式为，
∵，
∴四边形DEFB的面积的最大值为.
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可；
(3)过点A作AH⊥BC于点H，利用勾股定理求得AH，则△ABC的面积可求；利用相似三角形的判定与性质求得△ADE，△EFC的面积，则y=S△ABC-S△ADE-S△EFC，再利用配方法求得面积的最大值.
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