2025~2026学年山东省济南天桥区泺口实验学校九年级上学期12月份数学考试试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025~2026学年山东省济南天桥区泺口实验学校九年级上学期12月份数学考试试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 354.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-31 20:06:27 | ||
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文档简介
九年级上学期12 月数学测试
（满分150分 时间120分钟）
一、单选题。（每小题4分，共150分）
1.如图所示几何体的俯视图是（ ）
2.下列三角函数中，值为的是（ ）
A. cos30 B. tan30 C. sin45 D. cos60
3.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A=80 ，∠D′=55 ，则∠C的度数为（ ）
A. 125 B. 135 C.115 D. 120
4.如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为4，则k的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
5.如图 1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图 2 是它的平面示意图，行李箱的正面可看成一个矩形，若AC=70cm，则下列说法正确的是（ ）
A. BD<70cm B. BD=70cm C. BD>70cm D. 无法确定BD的长
6.若关于x的一元二次方程x2 3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A. B. C. D.
7.中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献。某中学拟从这 4 部数学名著中选择 2 部作为校本课程 “数学文化” 的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.关于抛物线y= 2(x 1)2+3，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴是直线x=1 B. 与y轴交于点(0,3)
C. 开口向上 D. x>1时，y随x增大而增大
9.定义运算 “※” 为：a※b=，如：1※(﹣2)==，则函数y=4※x的图象大致是（ ）
A. B. C.D.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc>0；②2a b=0；③4ac b2>0；④9a+3b+c>0；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；⑥
8a+c<0。其中正确的是（ ）
A. ①②③⑤ B. ①③④⑥ C. ①⑤⑥ D. ①④⑤⑥
11.计算 1+tan60 +sin45 2cos30 +π0结果是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
12.方程(x+3)2=4的根是（ ）
A. x1= 1，x2= 5 B. x1=1，x2= 5 C. x1=x2= 1 D. x1= 1，x2=5
13.x=是下列哪一个一元二次方程的根（ ）
A. 2x2+3x+1=0 B. 2x2 3x+1=0 C. 2x2+3x 1=0 D. 2x2 3x 1=0
14.方程2x(x+1)=3(x+1)的根为（ ）
A. x= B. x= 1 C. x1= 1，x2= D. x1= 1，x2=
15.镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋，为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶 25 元降至每瓶 16 元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A. 16(1+2x)=25 B. 16(1+x2)=25 C. 25(1 x)2=16 D. 16(1 x)2=25
二、填空题。（每小题4分，共32分）
16.已知=，则的值是 。
17.如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为______。
18.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上。若∠ABC=60 ，则∠D的度数为______。
19.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上，若OA=1，则点G的坐标为______。
20.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F，G分别是BC，AE的中点，延长GF，DE交于点H。若AD=12，FG=3，DE=2HE，则AB的长为______。
21.在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出 5 个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出 5 个球，其中有 1 个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有______个球。
22.随着科技的飞速发展，AI 人工智能应运而生，小赵和小亮分别从 “DeepSeek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝” 中随机选择一个 AI 软件验证数学问题，则两人选择 AI 软件相同的概率为______。
23.如图，要利用一面墙（墙长 25m）建羊圈，用 100m 的围栏围成总面积为 400m 的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB=______m。
三、解答题
24.（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD。求证：BE=DF。
25.（8分）如图 1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA=20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB，BO，AO构成一个三角形。如图 2，当窗钩端点B与点O之间的距离是 7cm 时（即OB=7cm），窗户打开的∠AOB的度数为37 ，过点A作AD⊥OF，垂足为点D。
(1) 求此时AD的长；
(2) 求此时sin∠BAO的值。（参考数据：tan37 =0.75）
26.（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90 ，连接PC。
(1) 求证：PC与⊙O相切；
(2) 若AO=3，OP=5，求AC的长。
27.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点B( 1,6)和点E(n, 3)，交y轴于点A，以AB为边在AB左侧作正方形ABCD。
(1) 直接写出m的值： ，n的值： ；
(2) 写出不等式ax+b>的解集为： ；
(3)①求一次函数y=ax+b的解析式；
②请判断点D是否在反比例函数y=的图象上？并说明理由；
(4) 记一次函数y=kx 2k+2(k≠0)的图象为l，若l与反比例函数y=的图象没有公共点，直接写出k的取值范围： 。
28.（12分）已知二次函数的图像经过点A( 1,0)，B(3,0)和C(0, 3)，点P是抛物线上的一个动点，且在直线BC的下方。
(1) 求该二次函数的解析式。
(2) 在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由。
(3) 在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
29.（12分）某数学小组的同学在学习了反比例图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究。
【特例探究】：如图 1，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD是斜边AB上的高。
(1) 求证：AC2=AD AB；
【类比研究】：(2) 如图 2，F为线段CD的延长线上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，BE，使得∠ACE=∠AFC。请判断△AEB的形状，并说明理由；
【拓展应用】：(3) 如图 3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90 ，AC=2，BC=8，平面内有一点D满足AD=AC，连接CD并延长至点E，使得∠CEB=∠CBD，请直接写出线段BE的最小值。
答案
一、单选题。（每小题4分，共150分）
1.如图所示几何体的俯视图是（ A ）
2.下列三角函数中，值为的是（ D ）
A. cos30 B. tan30 C. sin45 D. cos60
3.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A=80 ，∠D′=55 ，则∠C的度数为（ B ）
A. 125 B. 135 C.115 D. 120
4.如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为4，则k的值为（ C ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
5.如图 1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图 2 是它的平面示意图，行李箱的正面可看成一个矩形，若AC=70cm，则下列说法正确的是（ B ）
A. BD<70cm B. BD=70cm C. BD>70cm D. 无法确定BD的长
6.若关于x的一元二次方程x2 3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ C ）
A. B. C. D.
7.中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献。某中学拟从这 4 部数学名著中选择 2 部作为校本课程 “数学文化” 的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ D ）
A. B. C. D.
8.关于抛物线y= 2(x 1)2+3，下列说法正确的是（ A ）
A. 对称轴是直线x=1 B. 与y轴交于点(0,3)
C. 开口向上 D. x>1时，y随x增大而增大
9.定义运算 “※” 为：a※b=，如：1※(﹣2)==，则函数y=4※x的图象大致是（ C ）
A. B. C.D.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc>0；②2a b=0；③4ac b2>0；④9a+3b+c>0；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；⑥
8a+c<0。其中正确的是（ C ）
A. ①②③⑤ B. ①③④⑥ C. ①⑤⑥ D. ①④⑤⑥
11.计算 1+tan60 +sin45 2cos30 +π0结果是（ C ）
A. 2 B. C. 1 D.
12.方程(x+3)2=4的根是（ A ）
A. x1= 1，x2= 5 B. x1=1，x2= 5 C. x1=x2= 1 D. x1= 1，x2=5
13.x=是下列哪一个一元二次方程的根（ C ）
A. 2x2+3x+1=0 B. 2x2 3x+1=0 C. 2x2+3x 1=0 D. 2x2 3x 1=0
14.方程2x(x+1)=3(x+1)的根为（ C ）
A. x= B. x= 1 C. x1= 1，x2= D. x1= 1，x2=
15.镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋，为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶 25 元降至每瓶 16 元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程为（ C ）
A. 16(1+2x)=25 B. 16(1+x2)=25 C. 25(1 x)2=16 D. 16(1 x)2=25
二、填空题。（每小题4分，共32分）
16.已知=，则的值是 。
17.如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为______。
18.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上。若∠ABC=60 ，则∠D的度数为___30°___。
19.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上，若OA=1，则点G的坐标为___（3，9）___。
20.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F，G分别是BC，AE的中点，延长GF，DE交于点H。若AD=12，FG=3，DE=2HE，则AB的长为___8___。
21.在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出 5 个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出 5 个球，其中有 1 个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有___25___个球。
22.随着科技的飞速发展，AI 人工智能应运而生，小赵和小亮分别从 “DeepSeek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝” 中随机选择一个 AI 软件验证数学问题，则两人选择 AI 软件相同的概率为______。
23.如图，要利用一面墙（墙长 25m）建羊圈，用 100m 的围栏围成总面积为 400m 的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB=___8___m。
三、解答题
24.（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD。求证：BE=DF。
证明：∵在菱形ABCD中
∴AB=AD ∠B=∠D
在△ABE和△AFD中
∴△ABE≌△AFD
∴BE=DF
25.（8分）如图 1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA=20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB，BO，AO构成一个三角形。如图 2，当窗钩端点B与点O之间的距离是 7cm 时（即OB=7cm），窗户打开的∠AOB的度数为37 ，过点A作AD⊥OF，垂足为点D。
(1) 求此时AD的长；
(2) 求此时sin∠BAO的值。（参考数据：tan37 =0.75）
（1）∵tan37 =0.75
∴sin37°=
在△AOD中，∠AOD=37°，OA=20cm
∴AD=OA·sin37°=20×=12cm
（2）由（1）知OA=20,AD=12
∴OB==16
∵OB=7
∴BD=12﹣7=95
∴AB==13
过点B作BM⊥OA
∴BM==
∴sin∠BAO==
26.（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90 ，连接PC。
(1) 求证：PC与⊙O相切；
(2) 若AO=3，OP=5，求AC的长。
(1）证明：如图，连接 OC
∵OC = OA
∴∠OAC =∠OCA .
∵OP // AC
∴∠OAC =∠BOP ,∠OCA =∠COP
∴∠COP=∠BOP
在△COP 和△BOP 中，
∴△COP ≌△BOP ( SAS )
∴∠OCP =∠OBP =90°
∴OC⊥PC.
又∵OC 是⊙O 的半径， PC 与⊙O 相切．
(2）如图，连接 BC 交 OP 于点 D .
由（1）知△COP≌△BOP
∴PC = PB , OB = OC
∴OP 垂直平分 BC .
∵BO = AO =3,OP=5, ∠OBP =90°
∴BP =4.
∵S△OBP=OB·BP =OP·BD ,
∴BD=
∵AB 是⊙O 的直径，
∴AB =20A=6,∠ACB =90°
∴AC =
27.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点B( 1,6)和点E(n, 3)，交y轴于点A，以AB为边在AB左侧作正方形ABCD。
(1) 直接写出m的值： ，n的值： ；
(2) 写出不等式ax+b>的解集为： ；
(3)①求一次函数y=ax+b的解析式；
②请判断点D是否在反比例函数y=的图象上？并说明理由；
(4) 记一次函数y=kx 2k+2(k≠0)的图象为l，若l与反比例函数y=的图象没有公共点，直接写出k的取值范围： 。
（1）﹣6 2
（2）x＜﹣1或0＜x＜2
（3）①将B( 1,6)和点E(2, 3)代入y=ax+b中
解得
∴y=﹣3x+3
②D在反比例函数的图象上
（4）﹣9＜k＜0或0＜k＜1
28.（12分）已知二次函数的图像经过点A( 1,0)，B(3,0)和C(0, 3)，点P是抛物线上的一个动点，且在直线BC的下方。
(1) 求该二次函数的解析式。
(2) 在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由。
(3) 在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）解设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
将A( 1,0)，B(3,0)和C(0, 3)代入y=ax2+bx+c
解得
∴y=x2﹣2x﹣3
（2）P（，﹣） 面积最大为
（3）（2，3）或（﹣4，﹣3）或（4，﹣3）
29.（12分）某数学小组的同学在学习了反比例图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究。
【特例探究】：如图 1，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD是斜边AB上的高。
(1) 求证：AC2=AD AB；
【类比研究】：(2) 如图 2，F为线段CD的延长线上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，BE，使得∠ACE=∠AFC。请判断△AEB的形状，并说明理由；
【拓展应用】：(3) 如图 3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90 ，AC=2，BC=8，平面内有一点D满足AD=AC，连接CD并延长至点E，使得∠CEB=∠CBD，请直接写出线段BE的最小值。
（1）∵∠ACB=90 ，CD是斜边AB上的高
∴∠ADC=∠ACB=90°
∵∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
∴=
∴AC2=AD·AB
（2）直角三角形
（3）8﹣2
（满分150分 时间120分钟）
一、单选题。（每小题4分，共150分）
1.如图所示几何体的俯视图是（ ）
2.下列三角函数中，值为的是（ ）
A. cos30 B. tan30 C. sin45 D. cos60
3.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A=80 ，∠D′=55 ，则∠C的度数为（ ）
A. 125 B. 135 C.115 D. 120
4.如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为4，则k的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
5.如图 1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图 2 是它的平面示意图，行李箱的正面可看成一个矩形，若AC=70cm，则下列说法正确的是（ ）
A. BD<70cm B. BD=70cm C. BD>70cm D. 无法确定BD的长
6.若关于x的一元二次方程x2 3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A. B. C. D.
7.中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献。某中学拟从这 4 部数学名著中选择 2 部作为校本课程 “数学文化” 的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.关于抛物线y= 2(x 1)2+3，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴是直线x=1 B. 与y轴交于点(0,3)
C. 开口向上 D. x>1时，y随x增大而增大
9.定义运算 “※” 为：a※b=，如：1※(﹣2)==，则函数y=4※x的图象大致是（ ）
A. B. C.D.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc>0；②2a b=0；③4ac b2>0；④9a+3b+c>0；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；⑥
8a+c<0。其中正确的是（ ）
A. ①②③⑤ B. ①③④⑥ C. ①⑤⑥ D. ①④⑤⑥
11.计算 1+tan60 +sin45 2cos30 +π0结果是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
12.方程(x+3)2=4的根是（ ）
A. x1= 1，x2= 5 B. x1=1，x2= 5 C. x1=x2= 1 D. x1= 1，x2=5
13.x=是下列哪一个一元二次方程的根（ ）
A. 2x2+3x+1=0 B. 2x2 3x+1=0 C. 2x2+3x 1=0 D. 2x2 3x 1=0
14.方程2x(x+1)=3(x+1)的根为（ ）
A. x= B. x= 1 C. x1= 1，x2= D. x1= 1，x2=
15.镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋，为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶 25 元降至每瓶 16 元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ）
A. 16(1+2x)=25 B. 16(1+x2)=25 C. 25(1 x)2=16 D. 16(1 x)2=25
二、填空题。（每小题4分，共32分）
16.已知=，则的值是 。
17.如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为______。
18.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上。若∠ABC=60 ，则∠D的度数为______。
19.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上，若OA=1，则点G的坐标为______。
20.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F，G分别是BC，AE的中点，延长GF，DE交于点H。若AD=12，FG=3，DE=2HE，则AB的长为______。
21.在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出 5 个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出 5 个球，其中有 1 个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有______个球。
22.随着科技的飞速发展，AI 人工智能应运而生，小赵和小亮分别从 “DeepSeek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝” 中随机选择一个 AI 软件验证数学问题，则两人选择 AI 软件相同的概率为______。
23.如图，要利用一面墙（墙长 25m）建羊圈，用 100m 的围栏围成总面积为 400m 的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB=______m。
三、解答题
24.（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD。求证：BE=DF。
25.（8分）如图 1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA=20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB，BO，AO构成一个三角形。如图 2，当窗钩端点B与点O之间的距离是 7cm 时（即OB=7cm），窗户打开的∠AOB的度数为37 ，过点A作AD⊥OF，垂足为点D。
(1) 求此时AD的长；
(2) 求此时sin∠BAO的值。（参考数据：tan37 =0.75）
26.（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90 ，连接PC。
(1) 求证：PC与⊙O相切；
(2) 若AO=3，OP=5，求AC的长。
27.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点B( 1,6)和点E(n, 3)，交y轴于点A，以AB为边在AB左侧作正方形ABCD。
(1) 直接写出m的值： ，n的值： ；
(2) 写出不等式ax+b>的解集为： ；
(3)①求一次函数y=ax+b的解析式；
②请判断点D是否在反比例函数y=的图象上？并说明理由；
(4) 记一次函数y=kx 2k+2(k≠0)的图象为l，若l与反比例函数y=的图象没有公共点，直接写出k的取值范围： 。
28.（12分）已知二次函数的图像经过点A( 1,0)，B(3,0)和C(0, 3)，点P是抛物线上的一个动点，且在直线BC的下方。
(1) 求该二次函数的解析式。
(2) 在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由。
(3) 在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
29.（12分）某数学小组的同学在学习了反比例图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究。
【特例探究】：如图 1，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD是斜边AB上的高。
(1) 求证：AC2=AD AB；
【类比研究】：(2) 如图 2，F为线段CD的延长线上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，BE，使得∠ACE=∠AFC。请判断△AEB的形状，并说明理由；
【拓展应用】：(3) 如图 3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90 ，AC=2，BC=8，平面内有一点D满足AD=AC，连接CD并延长至点E，使得∠CEB=∠CBD，请直接写出线段BE的最小值。
答案
一、单选题。（每小题4分，共150分）
1.如图所示几何体的俯视图是（ A ）
2.下列三角函数中，值为的是（ D ）
A. cos30 B. tan30 C. sin45 D. cos60
3.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB⊥BC，∠A=80 ，∠D′=55 ，则∠C的度数为（ B ）
A. 125 B. 135 C.115 D. 120
4.如图，点P在反比例函数y=(k≠0)的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为4，则k的值为（ C ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
5.如图 1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图 2 是它的平面示意图，行李箱的正面可看成一个矩形，若AC=70cm，则下列说法正确的是（ B ）
A. BD<70cm B. BD=70cm C. BD>70cm D. 无法确定BD的长
6.若关于x的一元二次方程x2 3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ C ）
A. B. C. D.
7.中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献。某中学拟从这 4 部数学名著中选择 2 部作为校本课程 “数学文化” 的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ D ）
A. B. C. D.
8.关于抛物线y= 2(x 1)2+3，下列说法正确的是（ A ）
A. 对称轴是直线x=1 B. 与y轴交于点(0,3)
C. 开口向上 D. x>1时，y随x增大而增大
9.定义运算 “※” 为：a※b=，如：1※(﹣2)==，则函数y=4※x的图象大致是（ C ）
A. B. C.D.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①abc>0；②2a b=0；③4ac b2>0；④9a+3b+c>0；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0有两个相等的实数根；⑥
8a+c<0。其中正确的是（ C ）
A. ①②③⑤ B. ①③④⑥ C. ①⑤⑥ D. ①④⑤⑥
11.计算 1+tan60 +sin45 2cos30 +π0结果是（ C ）
A. 2 B. C. 1 D.
12.方程(x+3)2=4的根是（ A ）
A. x1= 1，x2= 5 B. x1=1，x2= 5 C. x1=x2= 1 D. x1= 1，x2=5
13.x=是下列哪一个一元二次方程的根（ C ）
A. 2x2+3x+1=0 B. 2x2 3x+1=0 C. 2x2+3x 1=0 D. 2x2 3x 1=0
14.方程2x(x+1)=3(x+1)的根为（ C ）
A. x= B. x= 1 C. x1= 1，x2= D. x1= 1，x2=
15.镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋，为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶 25 元降至每瓶 16 元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程为（ C ）
A. 16(1+2x)=25 B. 16(1+x2)=25 C. 25(1 x)2=16 D. 16(1 x)2=25
二、填空题。（每小题4分，共32分）
16.已知=，则的值是 。
17.如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为______。
18.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上。若∠ABC=60 ，则∠D的度数为___30°___。
19.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A，B，E在x轴上，若OA=1，则点G的坐标为___（3，9）___。
20.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F，G分别是BC，AE的中点，延长GF，DE交于点H。若AD=12，FG=3，DE=2HE，则AB的长为___8___。
21.在一黑色不透明的袋子里装有大小颜色相同的小球若干，在袋中随机摸出 5 个小球做上记号后放回袋子中，摇匀后再随机摸出 5 个球，其中有 1 个是带记号的小球，则可以估计这个袋子中一共大约有___25___个球。
22.随着科技的飞速发展，AI 人工智能应运而生，小赵和小亮分别从 “DeepSeek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝” 中随机选择一个 AI 软件验证数学问题，则两人选择 AI 软件相同的概率为______。
23.如图，要利用一面墙（墙长 25m）建羊圈，用 100m 的围栏围成总面积为 400m 的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB=___8___m。
三、解答题
24.（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD。求证：BE=DF。
证明：∵在菱形ABCD中
∴AB=AD ∠B=∠D
在△ABE和△AFD中
∴△ABE≌△AFD
∴BE=DF
25.（8分）如图 1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA=20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB，BO，AO构成一个三角形。如图 2，当窗钩端点B与点O之间的距离是 7cm 时（即OB=7cm），窗户打开的∠AOB的度数为37 ，过点A作AD⊥OF，垂足为点D。
(1) 求此时AD的长；
(2) 求此时sin∠BAO的值。（参考数据：tan37 =0.75）
（1）∵tan37 =0.75
∴sin37°=
在△AOD中，∠AOD=37°，OA=20cm
∴AD=OA·sin37°=20×=12cm
（2）由（1）知OA=20,AD=12
∴OB==16
∵OB=7
∴BD=12﹣7=95
∴AB==13
过点B作BM⊥OA
∴BM==
∴sin∠BAO==
26.（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90 ，连接PC。
(1) 求证：PC与⊙O相切；
(2) 若AO=3，OP=5，求AC的长。
(1）证明：如图，连接 OC
∵OC = OA
∴∠OAC =∠OCA .
∵OP // AC
∴∠OAC =∠BOP ,∠OCA =∠COP
∴∠COP=∠BOP
在△COP 和△BOP 中，
∴△COP ≌△BOP ( SAS )
∴∠OCP =∠OBP =90°
∴OC⊥PC.
又∵OC 是⊙O 的半径， PC 与⊙O 相切．
(2）如图，连接 BC 交 OP 于点 D .
由（1）知△COP≌△BOP
∴PC = PB , OB = OC
∴OP 垂直平分 BC .
∵BO = AO =3,OP=5, ∠OBP =90°
∴BP =4.
∵S△OBP=OB·BP =OP·BD ,
∴BD=
∵AB 是⊙O 的直径，
∴AB =20A=6,∠ACB =90°
∴AC =
27.（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点B( 1,6)和点E(n, 3)，交y轴于点A，以AB为边在AB左侧作正方形ABCD。
(1) 直接写出m的值： ，n的值： ；
(2) 写出不等式ax+b>的解集为： ；
(3)①求一次函数y=ax+b的解析式；
②请判断点D是否在反比例函数y=的图象上？并说明理由；
(4) 记一次函数y=kx 2k+2(k≠0)的图象为l，若l与反比例函数y=的图象没有公共点，直接写出k的取值范围： 。
（1）﹣6 2
（2）x＜﹣1或0＜x＜2
（3）①将B( 1,6)和点E(2, 3)代入y=ax+b中
解得
∴y=﹣3x+3
②D在反比例函数的图象上
（4）﹣9＜k＜0或0＜k＜1
28.（12分）已知二次函数的图像经过点A( 1,0)，B(3,0)和C(0, 3)，点P是抛物线上的一个动点，且在直线BC的下方。
(1) 求该二次函数的解析式。
(2) 在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由。
(3) 在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）解设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
将A( 1,0)，B(3,0)和C(0, 3)代入y=ax2+bx+c
解得
∴y=x2﹣2x﹣3
（2）P（，﹣） 面积最大为
（3）（2，3）或（﹣4，﹣3）或（4，﹣3）
29.（12分）某数学小组的同学在学习了反比例图形的相似这一单元后，对直角三角形的相似做出了深入探究。
【特例探究】：如图 1，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD是斜边AB上的高。
(1) 求证：AC2=AD AB；
【类比研究】：(2) 如图 2，F为线段CD的延长线上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，BE，使得∠ACE=∠AFC。请判断△AEB的形状，并说明理由；
【拓展应用】：(3) 如图 3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90 ，AC=2，BC=8，平面内有一点D满足AD=AC，连接CD并延长至点E，使得∠CEB=∠CBD，请直接写出线段BE的最小值。
（1）∵∠ACB=90 ，CD是斜边AB上的高
∴∠ADC=∠ACB=90°
∵∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
∴=
∴AC2=AD·AB
（2）直角三角形
（3）8﹣2
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