2025-2026学年人教A版数学必修第一册期末综合检测练习卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教A版数学必修第一册期末综合检测练习卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 168.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-04 10:44:59 | ||
图片预览
文档简介
人教A版数学必修第一册期末综合检测练习卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪( RQ)=( )
A.[2,3] B.(-2,3]
C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
2.设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为,则a+b的值是( )
A.10 B.-10 C.14 D.-14
4.若aA. B. C. D.
5.(2024·新高考Ⅱ卷,6)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=( )
A.-1 B. C.1 D.2
6.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≤-3 B.m≥-3
C.-3≤m≤0 D.m≤-3或m≥0
7.已知a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a8.(2025·新高考Ⅰ卷,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·新高考Ⅱ卷,9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
10.函数f(x)=|x|-(其中m∈R)的图象可能是( )
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列说法错误的是( )
A.函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称
B.函数y=f(x)的图象关于点对称
C.函数y=f(x)在区间上单调递减
D.该图象对应的函数式为f(x)=2sin
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.存在实数x,y,使得2x2+3y2≤0,用符号“ ”或“ ”可表示为 ,其否定为 (第一空3分,第二空2分).
13.函数y=的定义域是 .
14.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知集合A={y|y=x2-x+1,-≤x≤2},集合B={x||x-m|≥1,m∈R},p:x∈A,q:x∈B,并且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
16.(15分)已知函数y=a-bcos 3x(b>0)的最大值为,最小值为-,函数f(x)=-4asin(3bx).
(1)求函数f(x)的周期、最值,并求取得最值时x的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
17.(15分)数据显示,某公司2025年2~6月份5个月的收入情况如下表所示:
月份 2 3 4 5 6
月收入/万元 1.4 2.56 5.31 11 21.3
根据上述数据,在建立该公司2025年月收入y(单位:万元)与月份x的函数模型时,给出两个函数模型y=与y=供选择.
(1)你认为哪个函数模型较好 并简单说明理由.
(2)试用你认为较好的函数模型,分析大约从几月份开始,该公司的月收入会超过100万元 (参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
18.(17分)已知函数f(x)=(x≠a,a为非零常数).
(1)解不等式f(x)(2)当x>a时,f(x)有最小值为6,求a的值.
19.(17分)已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1).
(1)若f(5a-3)>f(3a),求实数a的取值范围.
(2)若a=2,求证:
①f(x)的零点在区间内;
②对任意λ>0,存在μ>0,使f(x)<0在区间(0,λμ)内恒成立.
人教A版数学必修第一册期末综合检测练习卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.B
Q={x|x≥2,或x≤-2}, RQ={x|-22.B
若甲成立,即sin2α+sin2β=1,则sin2α=cos2β,可得sin α-cos β=0,或sin α+cos β=0,故乙不一定成立.
若乙成立,sin α+cos β=0,则sin α=-cos β,可得sin2α=cos2β,可得sin2α+sin2β=1,故甲成立.
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
3.D
由题意,得
∴a+b=-14.
4.B
∵a∴<0,即.
经验证,其他选项中的不等关系均成立.
5.D
h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x.又x∈(-1,1),h(x)为偶函数,唯一零点只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.故选D.
6.A
令y=x2-4x,∵y=x2-4x在区间[0,1]上单调递减,∴ymin=1-4=-3.∵关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立,∴m≤-3.
7.C
∵c=1.50.6>1,0∴b8.C
在同一平面直角坐标系中,画出区间[0,2π]上的曲线y=sin x与y=2sin(3x-),如图所示.
由图可知,在区间[0,2π]上,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)有6个交点.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.BC
由f(x)=0,得2x=kπ,k∈Z,此时g(x)=sin≠0,A错误;
两函数的最大值均为1,B正确;
两函数的最小正周期都为π,C正确;
函数f(x)图象的对称轴为x=,k∈Z,函数g(x)图象的对称轴为x=,k∈Z,D错误.
故选BC.
10.ABD
由f(x)=|x|-则当m>0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,-)内单调递减,在区间(-,0)内单调递增,即选项D满足题意;当m=0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减,即选项A满足题意;当m<0时,函数f(x)在区间(0,)内单调递减,在区间(,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减,即选项B满足题意;C不满足题意.故选ABD.
11.ABC
由题中函数的图象可得A=2.由,及ω>0,得ω=2.因为函数f(x)的图象过点,所以2sin=2,所以2×+φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|<,所以φ=,所以函数f(x)=2sin,故选项D中说法正确.当x=-时,f(x)=0,不是最值,故选项A中说法错误;当x=-时,f(x)=-2,不等于零,故选项B中说法错误;由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=-1时,可得f(x)的一个单调递减区间为[-,-],故选项C中说法错误.故选ABC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. x,y∈R,使得2x2+3y2≤0 x,y∈R,2x2+3y2>0
13.∪[π,4]
由题意知,2+lox≥0,且tan x≥0,所以014.-
设f(x)的最小正周期为T,由题中图象可知,T=,则T=π,所以|ω|=2.当ω=2时,由2cos=2,得φ=-+2kπ,k∈Z;当ω=-2时,由2cos(-+φ)=2,得φ=+2kπ,k∈Z;所以f(x)=2cos,则f=2cos=-.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
y=x2-x+1=,
∵-≤x≤2,∴≤y≤2,∴A=.
由|x-m|≥1,解得x≥m+1或x≤m-1,
∴B={x|x≥m+1,或x≤m-1}.
∵p是q的充分条件,∴A B.
∴m+1≤或m-1≥2,解得m≤-或m≥3.
故实数m的取值范围是.
16∵y=a-bcos 3x(b>0),
∴解得
∴函数f(x)=-4asin(3bx)=-2sin 3x.
(1)函数f(x)的周期T=.
当x=(k∈Z)时,函数f(x)取得最小值-2;
当x=(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值2.
(2)∵f(-x)=-2sin(-3x)=2sin 3x=-f(x),且x∈R,∴函数f(x)为奇函数.
17.(15分)
(1)根据题表数据在平面直角坐标系中画出散点图,如图.
易知函数y=的图象与散点图基本吻合,因此用y=这一函数模型较好.
(2)(方法一)当>100时,2x>300,
∴lg 2x>lg 300,即xlg 2>2+lg 3,
∴x>≈8.23.
故大约从9月份开始,该公司的月收入会超过100万元.
(方法二)当>100时,2x>300,28=256<300,29=512>300,故大约从9月份开始,该公司的月收入会超过100万元.
18.(17分)
(1)f(x)化为(ax+3)(x-a)<0.(*)
当a>0时,(*)式可化为(x-a)<0,解得-当a<0时,(*)式可化为(x-a)>0,解得x>-或x综上所述,当a>0时,不等式的解集为{x当a<0时,不等式的解集为{x|x>-,或x(2)设t=x-a(t>0),则x=t+a,
∴f(x)==t++2a≥2+2a=2+2a,当且仅当t=,
即t=时,f(x)有最小值2+2a.依题意知2+2a=6,解得a=1.
19.(17分)
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a>1时,f(x)是增函数,由f(5a-3)>f(3a),得5a-3>3a>0,解得a>,又a>1,∴a>;当0f(3a),得0<5a-3<3a,
解得综上,实数a的取值范围为.
(2)∵a=2,∴f(x)=2x+log2x.
证明:①∵f(x)=2x+log2 x在区间(0,+∞)内是增函数,且函数图象连续,又f+log2-2<0,f+log2-1>0,
∴f(x)的零点在区间内.
②由①知f(x)的零点x0∈,
又f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,且函数图象连续,∴当x∈(0,x0)时,f(x)<0,∴对任意λ>0,存在μ=>0,使f(x)<0在区间(0,λμ)内恒成立.
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪( RQ)=( )
A.[2,3] B.(-2,3]
C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
2.设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为,则a+b的值是( )
A.10 B.-10 C.14 D.-14
4.若a
5.(2024·新高考Ⅱ卷,6)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=( )
A.-1 B. C.1 D.2
6.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≤-3 B.m≥-3
C.-3≤m≤0 D.m≤-3或m≥0
7.已知a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a
A.3 B.4 C.6 D.8
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·新高考Ⅱ卷,9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
10.函数f(x)=|x|-(其中m∈R)的图象可能是( )
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列说法错误的是( )
A.函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称
B.函数y=f(x)的图象关于点对称
C.函数y=f(x)在区间上单调递减
D.该图象对应的函数式为f(x)=2sin
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.存在实数x,y,使得2x2+3y2≤0,用符号“ ”或“ ”可表示为 ,其否定为 (第一空3分,第二空2分).
13.函数y=的定义域是 .
14.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知集合A={y|y=x2-x+1,-≤x≤2},集合B={x||x-m|≥1,m∈R},p:x∈A,q:x∈B,并且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
16.(15分)已知函数y=a-bcos 3x(b>0)的最大值为,最小值为-,函数f(x)=-4asin(3bx).
(1)求函数f(x)的周期、最值,并求取得最值时x的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
17.(15分)数据显示,某公司2025年2~6月份5个月的收入情况如下表所示:
月份 2 3 4 5 6
月收入/万元 1.4 2.56 5.31 11 21.3
根据上述数据,在建立该公司2025年月收入y(单位:万元)与月份x的函数模型时,给出两个函数模型y=与y=供选择.
(1)你认为哪个函数模型较好 并简单说明理由.
(2)试用你认为较好的函数模型,分析大约从几月份开始,该公司的月收入会超过100万元 (参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
18.(17分)已知函数f(x)=(x≠a,a为非零常数).
(1)解不等式f(x)
19.(17分)已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a≠1).
(1)若f(5a-3)>f(3a),求实数a的取值范围.
(2)若a=2,求证:
①f(x)的零点在区间内;
②对任意λ>0,存在μ>0,使f(x)<0在区间(0,λμ)内恒成立.
人教A版数学必修第一册期末综合检测练习卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.B
Q={x|x≥2,或x≤-2}, RQ={x|-2
若甲成立,即sin2α+sin2β=1,则sin2α=cos2β,可得sin α-cos β=0,或sin α+cos β=0,故乙不一定成立.
若乙成立,sin α+cos β=0,则sin α=-cos β,可得sin2α=cos2β,可得sin2α+sin2β=1,故甲成立.
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
3.D
由题意,得
∴a+b=-14.
4.B
∵a
经验证,其他选项中的不等关系均成立.
5.D
h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x.又x∈(-1,1),h(x)为偶函数,唯一零点只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.故选D.
6.A
令y=x2-4x,∵y=x2-4x在区间[0,1]上单调递减,∴ymin=1-4=-3.∵关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立,∴m≤-3.
7.C
∵c=1.50.6>1,0
在同一平面直角坐标系中,画出区间[0,2π]上的曲线y=sin x与y=2sin(3x-),如图所示.
由图可知,在区间[0,2π]上,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)有6个交点.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.BC
由f(x)=0,得2x=kπ,k∈Z,此时g(x)=sin≠0,A错误;
两函数的最大值均为1,B正确;
两函数的最小正周期都为π,C正确;
函数f(x)图象的对称轴为x=,k∈Z,函数g(x)图象的对称轴为x=,k∈Z,D错误.
故选BC.
10.ABD
由f(x)=|x|-则当m>0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,-)内单调递减,在区间(-,0)内单调递增,即选项D满足题意;当m=0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减,即选项A满足题意;当m<0时,函数f(x)在区间(0,)内单调递减,在区间(,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减,即选项B满足题意;C不满足题意.故选ABD.
11.ABC
由题中函数的图象可得A=2.由,及ω>0,得ω=2.因为函数f(x)的图象过点,所以2sin=2,所以2×+φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|<,所以φ=,所以函数f(x)=2sin,故选项D中说法正确.当x=-时,f(x)=0,不是最值,故选项A中说法错误;当x=-时,f(x)=-2,不等于零,故选项B中说法错误;由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=-1时,可得f(x)的一个单调递减区间为[-,-],故选项C中说法错误.故选ABC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. x,y∈R,使得2x2+3y2≤0 x,y∈R,2x2+3y2>0
13.∪[π,4]
由题意知,2+lox≥0,且tan x≥0,所以0
设f(x)的最小正周期为T,由题中图象可知,T=,则T=π,所以|ω|=2.当ω=2时,由2cos=2,得φ=-+2kπ,k∈Z;当ω=-2时,由2cos(-+φ)=2,得φ=+2kπ,k∈Z;所以f(x)=2cos,则f=2cos=-.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
y=x2-x+1=,
∵-≤x≤2,∴≤y≤2,∴A=.
由|x-m|≥1,解得x≥m+1或x≤m-1,
∴B={x|x≥m+1,或x≤m-1}.
∵p是q的充分条件,∴A B.
∴m+1≤或m-1≥2,解得m≤-或m≥3.
故实数m的取值范围是.
16∵y=a-bcos 3x(b>0),
∴解得
∴函数f(x)=-4asin(3bx)=-2sin 3x.
(1)函数f(x)的周期T=.
当x=(k∈Z)时,函数f(x)取得最小值-2;
当x=(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值2.
(2)∵f(-x)=-2sin(-3x)=2sin 3x=-f(x),且x∈R,∴函数f(x)为奇函数.
17.(15分)
(1)根据题表数据在平面直角坐标系中画出散点图,如图.
易知函数y=的图象与散点图基本吻合,因此用y=这一函数模型较好.
(2)(方法一)当>100时,2x>300,
∴lg 2x>lg 300,即xlg 2>2+lg 3,
∴x>≈8.23.
故大约从9月份开始,该公司的月收入会超过100万元.
(方法二)当>100时,2x>300,28=256<300,29=512>300,故大约从9月份开始,该公司的月收入会超过100万元.
18.(17分)
(1)f(x)
当a>0时,(*)式可化为(x-a)<0,解得-
∴f(x)==t++2a≥2+2a=2+2a,当且仅当t=,
即t=时,f(x)有最小值2+2a.依题意知2+2a=6,解得a=1.
19.(17分)
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a>1时,f(x)是增函数,由f(5a-3)>f(3a),得5a-3>3a>0,解得a>,又a>1,∴a>;当0
解得
(2)∵a=2,∴f(x)=2x+log2x.
证明:①∵f(x)=2x+log2 x在区间(0,+∞)内是增函数,且函数图象连续,又f+log2-2<0,f+log2-1>0,
∴f(x)的零点在区间内.
②由①知f(x)的零点x0∈,
又f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,且函数图象连续,∴当x∈(0,x0)时,f(x)<0,∴对任意λ>0,存在μ=>0,使f(x)<0在区间(0,λμ)内恒成立.
同课章节目录
- 第一章 集合与常用逻辑用语
- 1.1 集合的概念
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.3 集合的基本运算
- 1.4 充分条件与必要条件
- 1.5 全称量词与存在量词
- 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2.1 等式性质与不等式性质
- 2.2 基本不等式
- 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
- 第三章 函数概念与性质
- 3.1 函数的概念及其表示
- 3.2 函数的基本性质
- 3.3 幂函数
- 3.4 函数的应用（一）
- 第四章 指数函数与对数函数
- 4.1 指数
- 4.2 指数函数
- 4.3 对数
- 4.4 对数函数
- 4.5 函数的应用（二）
- 第五章 三角函数
- 5.1 任意角和弧度制
- 5.2 三角函数的概念
- 5.3 诱导公式
- 5.4 三角函数的图象与性质
- 5.5 三角恒等变换
- 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
- 5.7 三角函数的应用