第四章 指数函数与对数函数题型归纳人教版2025-2026高中数学必修一（含解析）

第四章 指数函数、对数函数题型归纳
题型一 指数与指数幂的运算（共5小题）
1．（24-25高一上·北京大兴·期末）（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若，，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·江苏南通·期末）下列各式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·云南德宏·期末）
（1）计算：； （2）已知，求的值.
5．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）化简与求值：
(1)； (2)已知，求的值.
题型二 指数函数的概念（共5小题）
6．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ．
7．（24-25高一上·江苏·期末）已知，且，函数的图象恒过点P，若P在指数函数图象上，则 .
8．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（ ）
A． B．
C． D．方程有两个解
9．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是指数函数.
(1)求实数的值；
(2)已知函数，，求的值域.
10．（24-25高一上·河北·期末）已知函数（，且）的图象过点，．
(1)求，的值；
(2)求不等式的解集．
题型三 指数函数的图象（共5小题）
11．（25-26高一上·广东·期末）已知函数，不论取什么值，函数的图象恒过的定点为（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数且的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）函数（且）的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
14．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
15．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型四 判断指数型复合函数的单调性（共4小题）
16．（24-25高一上·重庆江北·期末）函数的减区间为（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ．
18．（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，则（ ）
A．的递增区间为 B．的递增区间为
C．有最大值4 D．有最小值4
19．（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数
C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数
题型五 由指数(型)函数的单调性求参数（共5小题）
20．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（24-25高一上·江西九江·期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
23．（24-25高一上·吉林·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（23-24高三上·辽宁·月考）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型六 比较指数幂的大小（共5小题）
25．（24-25高一上·广西柳州·期末）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
26．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
27．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（ ）.
A． B．
C． D．
28．（24-25高一上·广西河池·期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
29．（24-25高一上·云南昭通·期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型七 由指数函数的单调性解不等式（共4小题）
30．（23-24高一上·四川凉山·期末）不等式的解集为 ．
31．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
32．（24-25高一上·河南·期末）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
33．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八 指数函数的值域及参数求解（共5小题）
34．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增且值域为
B．在上单调递减且值域为
C．在上单调递增且值域为
D．在上单调递减且值域为
35．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
36．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型九 对数的综合计算（共8小题）
39．（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（ ）
A． B．10 C．11 D．12
40．（24-25高一下·江苏盐城·期末）设，，则（ ）
A． B． C． D．
41．（24-25高一上·河南周口·期末）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
42．（24-25高一下·浙江湖州·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
43．（24-25高一下·四川成都·期末）设，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
44．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式：
(1)； (2)．
45．（22-23高一上·陕西商洛·期末）（1）求的值；
（2）若，用表示.
46．（24-25高一上·贵州毕节·期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
题型十 对数函数的概念（共2小题）
47．（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
48．（24-25高一上·山西大同·期末）若函数为对数函数，则 ．
题型十一 对数函数的定义域（共5小题）
49．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
50．（25-26高一上·辽宁·月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
51．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
52．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
53．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
题型十二 对数函数的图象（共5小题）
54．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
55．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数，且)的图象经过定点A，则点A的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
56．（2025高一上·重庆永川·专题练习）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
57．（25-26高一上·重庆渝北·期中）已知函数且过定点，则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
58．（24-25高一上·湖北恩施·期末）已知函数，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
题型十三 对数型复合函数的单调性（共5小题）
59．（25-26高一上·河北邢台·月考）函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
60．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域是
C．是偶函数
D．的单调递减区间是
61．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
62．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递减
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递增
D．是非奇非偶函数，且在上单调递减
63．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，则下列判断中正确的是（ ）
A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数
C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数
题型十四 由对数(型)函数的单调性求参数（共5小题）
64．（24-25高一上·辽宁大连·期末）若函数在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
65．（24-25高一上·辽宁抚顺·期末）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
66．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．且 B．
C． D．
67．（24-25高一上·山东济宁·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
68．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）已知函数，且在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十五 比较指对式的大小（共10小题）
69．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
70．（25-26高一上·重庆·月考）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
71．（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
72．（25-26高一上·重庆渝北·期中）设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
73．（25-26高三上·江西赣州·期中）若，，，则，，之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
74．（25-26高一上·广东·月考）记，，则（ ）
A． B．
C． D．
75．（25-26高三上·青海西宁·月考）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
76．（25-26高一上·新疆·期末）已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
77．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
78．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型十六 对数函数的值域及参数求解（共7小题）
79．（24-25高一上·广东广州·月考）函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
80．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
81．（25-26高一上·湖北·月考）函数（）的值域为（ ）
A． B． C． D．
82．（25-26高一上·湖南·期中）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
83．（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在区间上单调递增
C．的值域为 D．的图象关于原点对称
84．（24-25高一下·福建泉州·开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
85．（22-23高一上·辽宁·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第四章 指数函数、对数函数题型归纳答案
题型一 指数与指数幂的运算（共5小题）
1．（24-25高一上·北京大兴·期末）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数运算求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：C
2．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若，，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数幂与根式关系、对数的运算性质判断各项正误.
【详解】A：，对；
B：，错；
C、D：由对数的运算性质有、，错.
故选：A
3．（24-25高一上·江苏南通·期末）下列各式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断.
【详解】对于A，，A正确，
对于B，，B错误，
对于C，因为，， ，，
所以，C正确，
对于D，因为，
，
所以，D错误，
故选：AC.
4．（24-25高一上·云南德宏·期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用指对幂的计算法则以及对数的运算性质求解即可；
（2）先求出，再求出，利用整体代入求解即可.
【详解】（1）原式
；
（2），且，
原式.
5．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）化简与求值：
(1)；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质、对数的换底公式以及特殊角的正弦值计算可得结果；
（2）利用平方关系求出的值，进而可求得的值，代入计算即可得解.
【详解】（1）原式.
（2）由，则有，
所以，，故.
题型二 指数函数的概念（共5小题）
6．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】设出解析式，代入，求出，得到答案.
【详解】设（且），将代入得，解得，负值舍去，
故该指数函数的解析式为.
故答案为：
7．（24-25高一上·江苏·期末）已知，且，函数的图象恒过点P，若P在指数函数图象上，则 .
【答案】8
【分析】利用对数函数图象性质求出点的坐标，进而求出函数及函数值.
【详解】函数，当，即时，恒有，则点，
设，由，得，，
所以.
故答案为：8
8．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（ ）
A． B．
C． D．方程有两个解
【答案】C
【分析】根据指数函数和幂函数的基本性质，求出函数解析式，作出函数图像，判断各选项正误.
【详解】设，且，
则，可得，则，
，因为且，解得，所以，，
对于A选项，，即所以A错误；
对于BCD选项，在同一直角坐标系中作出函数、的图像如下图所示：
由图可知，当时，；当时，.
所以，B错误；
，C正确；
函数、的图像有三个公共点，即方程有三个解，D错误.
故选：C.
9．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是指数函数.
(1)求实数的值；
(2)已知函数，，求的值域.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据是指数函数，由求解；
（2）由（1）得到，令，由求解.
【详解】（1）因为函数是指数函数，
所以 ，解得；
（2）由（1）知，
令，
则，
因为在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值51，
所以的值域为.
10．（24-25高一上·河北·期末）已知函数（，且）的图象过点，．
(1)求，的值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点，代入函数解析式，解方程组即可求解；
（2）根据指数函数的单调性列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为函数的图象过点，，
所以，解得.
（2）由（1）得，
由，得，所以，
所以或，
解得或，
即不等式的解集为．
题型三 指数函数的图象（共5小题）
11．（25-26高一上·广东·期末）已知函数，不论取什么值，函数的图象恒过的定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质确定函数图象所过的定点.
【详解】令，得，即函数的图象恒过定点.
故选：D
12．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数且的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先求出，从而可求幂函数，故可求.
【详解】因为，故，
设，故，故，故，
故选：D.
13．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）函数（且）的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可.
【详解】当时，在定义域上单调递减，，
，所以，则A、B均不符合题意；
当时，在定义域上单调递增，，
，所以，故C符合题意，D不符合题意.
故选：C
14．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解.
【详解】由函数的图象知，
则，
所以函数为增函数，
且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位，
所以函数的大致图象是C选项.
故选：C.
15．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解.
【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误；
因为且，所以为增函数，
当时，为增函数，此时的零点，故A错误；
当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误.
故选：C.
题型四 判断指数型复合函数的单调性（共4小题）
16．（24-25高一上·重庆江北·期末）函数的减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项.
【详解】令，，则，
∵在上为增函数，在上为减函数，
∴的减区间为.
故选：B.
17．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ．
【答案】（说明写成也给分）
【分析】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解.
【详解】因为单调递减，单调递减，单调递增，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：.
18．（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，则（ ）
A．的递增区间为 B．的递增区间为
C．有最大值4 D．有最小值4
【答案】AC
【分析】对于A、B选项，利用指数型复合函数的单调性判断即得；对于C、D选项，利用二次函数的值域和指数函数的单调性即可求得最值判断.
【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增．
因为是上的减函数，由同增异减原则，可知的递增区间为，则A正确，B错误．
因为，所以，则C正确，D错误．
故选：AC
19．（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数
C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数
【答案】B
【分析】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判断.
【详解】由，其定义域为R，关于原点对称，
，所以是奇函数.
又，
因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且，
所以在R上单调递减，则在R上单调递增，
那么在R上单调递增.
故单调递增且是奇函数.
故选：
题型五 由指数(型)函数的单调性求参数（共5小题）
20．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性求解判断.
【详解】令，对称轴为，又是R上增函数，
因为是上的增函数，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
21．（24-25高一上·江西九江·期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围.
【详解】函数在上单调递减，且在区间上单调递减，
函数在区间上单调递增，
，即，
的取值范围是.
故选：A
22．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围.
【详解】因为函数 (且)单调递增，
所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，，
故选：B.
23．（24-25高一上·吉林·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的单调性，结合指数型复合函数的单调性即可求解.
【详解】由于为单调递增函数，为开口向下的二次函数，且对称轴为，
要使在区间上单调递减，
则只需要在区间上单调递减，故，解得，
故选：A
24．（23-24高三上·辽宁·月考）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，可知内层函数在上单调递减，且，结合复合函数法可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围.
【详解】令，因为且，则内层函数在上单调递减，
且，可得，
因为函数且在区间上单调递增，
则外层函数为减函数，所以，，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
题型六 比较指数幂的大小（共5小题）
25．（24-25高一上·广西柳州·期末）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性计算判断即可.
【详解】因为指数函数在R上单调递减，
又因为，所以，
所以.
故选：A.
26．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解.
【详解】由，又在上单调递增，
又，所以，即，又，所以，
故选：D.
27．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性判断即可.
【详解】因为函数在上是增函数，函数在上是减函数，且，
所以，即.
故选：C.
28．（24-25高一上·广西河池·期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数在上单调递减，所以在上单调递增，即可得结论.
【详解】
，在上单调递减，，故，所以，
又，在上单调递增，，故，
即，所以.
故选：A.
29．（24-25高一上·云南昭通·期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由指数函数单调性及中间量1进行比较即可；
【详解】因为函数是增函数，
所以，即，
又函数是减函数，
所以，所以，
故选：C.
题型七 由指数函数的单调性解不等式（共4小题）
30．（23-24高一上·四川凉山·期末）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】首先由指数函数性质化简不等式，然后移项，解不等式即可．
【详解】不等式可化为，因为函数为增函数，
所以，移项整理为，
解得或．
所以原不等式的解集为．
故答案为：．
31．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性化简原不等式为，再转化为不等式组求解即可.
【详解】因为是R上的单调递减函数，
所以等价于，
则，解得,
即不等式的解集为，
故选：D.
32．（24-25高一上·河南·期末）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分， 和讨论求解.
【详解】解：当时，，
则在时无解；
当时，在R上单调递增；
当时，，则的解集为；
当时，，
则在时恒成立，
综上，不等式的解集为．
故选：B
33．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解.
【详解】因为,所以是单调递增函数，
又因为，所以,
所以,
所以x的取值范围为.
故选：A.
题型八 指数函数的值域及参数求解（共5小题）
34．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增且值域为
B．在上单调递减且值域为
C．在上单调递增且值域为
D．在上单调递减且值域为
【答案】B
【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可.
【详解】令，
则视为由和构成的复合函数，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
由指数函数性质得在上单调递增，
由复合函数性质得在上单调递减，
而，故，故B正确.
故选：B
35．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可；
【详解】令，则，则原函数可化为，
因为，所以，当且仅当即时取等号，
所以当时，；当时，，
所以函数的值域为；
故选：C.
36．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解.
【详解】由，可知有解，且无最大值，
即有解，且无最大值，
当时，有解，无最大值，符合题意；
当时，，则有解，
当时，有最大值，则有最大值，不符合题意；
当时，有解需满足，解得，
此时无最大值，无最大值，满足题意．
综上，实数的取值范围是．
故选：A．
37．（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设的值域为，可知，分和两种情况，结合指数函数性质运算求解.
【详解】当时，可知的值域为，
设的值域为，依题意得.
当时，在上单调递减，
即当时，，不符合题意；
当时，在上单调递增，
即当时，，可得，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故选：C.
38．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对分类讨论，利用的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求得实数的取值范围．
【详解】，
当时，，
若，当时，为减函数，此时，
当时，为增函数，且此时，要使有最小值，
则，即，，则；
若，当时为减函数，此时，
当时，为减函数，且，要使有最小值，
则，即，则．
综上所述，或．
实数的取值范围是．
故选：D．
题型九 对数的综合计算（共8小题）
39．（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（ ）
A． B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据题意利用指数与指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得到结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以.
故选：C.
40．（24-25高一下·江苏盐城·期末）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用换底公式可得，然后运用对数运算法则即可求解.
【详解】.
故选：D.
41．（24-25高一上·河南周口·期末）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】指数式化为对数式，利用对数运算法则得到，再对数式化为指数式，得到.
【详解】，
.
故选：C
42．（24-25高一下·浙江湖州·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可.
【详解】对于A，，所以，故A不正确；
对于B，由，得，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
43．（24-25高一下·四川成都·期末）设，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用对数运算法则及换底公式化简，再利用指数式与对数式互化关系求解.
【详解】依题意，，
所以.
故选：D
44．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂的性质、运算法则直接求解；.
（2）利用对数的运算法则和性质，即可求解.
【详解】（1）
（2）
45．（22-23高一上·陕西商洛·期末）（1）求的值；
（2）若，用表示.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据指数及对数的运算性质，即可求值；
（2）根据对数的运算和换底公式，即可求解.
【详解】（1）
（2）.
46．（24-25高一上·贵州毕节·期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）5；（2）2
【分析】（1）利用对数运算和指数运算法则得到答案；
（2）指数式化为对数式，并利用换底公式和对数运算法则计算出答案.
【详解】（1）
；
（2），故，
故
.
题型十 对数函数的概念（共2小题）
47．（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值.
【详解】由解得或，又，且，所以
故选：B.
48．（24-25高一上·山西大同·期末）若函数为对数函数，则 ．
【答案】2
【分析】根据对数函数的概率列式求解即可.
【详解】因为函数为对数函数，
所以，且，则（舍去）或．
故答案为：2
题型十一 对数函数的定义域（共5小题）
49．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的解析式，即可解得的定义域.
【详解】对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为.
故选：C.
50．（25-26高一上·辽宁·月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据真数大于零以及分母不为零求解.
【详解】由题意可得，解得且，所以定义域为.
故选：D.
51．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的定义域及指数函数定义域计算求解.
【详解】由题意得，即得，解得．
故选：A.
52．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据真数大于0且二次根式被开方数大于等于0可求函数的定义域.
【详解】由题意得，，即，
解得，即函数的定义域为.
故选：A.
53．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，，则，
所以，函数的定义域，
对于函数，有，即，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：D.
题型十二 对数函数的图象（共5小题）
54．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限
【答案】A
【分析】先根据对数函数的性质求出点的坐标，再求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质可得答案.
【详解】由，得，则，
所以函数（且）恒过定点，
设过点的幂函数为，则，得，
所以过点的幂函数为，
此幂函数的图象只经过第一、二象限，
故选：A
55．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数，且)的图象经过定点A，则点A的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数恒过的定点来求解即可.
【详解】令，则，
所以过的定点的坐标为．
故选：B.
56．（2025高一上·重庆永川·专题练习）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断.
【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或
故排除AC，
当,，可知其单调递增，排除B，
又，偶函数，只有D符合.
故选：D
57．（25-26高一上·重庆渝北·期中）已知函数且过定点，则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据指数函数的性质求出函数所过的定点，即可求出，再根据对数函数的图象与性质即可得解.
【详解】令，则，
所以函数且过定点，
所以，
则，其图象关于对称，且在上单调递减，
则符合的图象为D选项.
故选：D.
58．（24-25高一上·湖北恩施·期末）已知函数，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案.
【详解】，所以AD选项错误，
，所以C选项错误.
综上所述，B选项正确.
故选：B
题型十三 对数型复合函数的单调性（共5小题）
59．（25-26高一上·河北邢台·月考）函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性求解即可.
【详解】由题意中，，解得：，
又因为在上单调递增，在上单调递减，且为增函数，
根据复合函数同增异减的原则可知：函数的单调递增区间是.
故选：B.
60．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域是
C．是偶函数
D．的单调递减区间是
【答案】D
【分析】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断D.
【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得或，
所以函数定义域为，故A错误；
对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误；
对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误；
对于D，令，则，
由二次函数性质可知，在区间上单调递减，
由对数函数性质可知，在定义域内单调递增，
所以在区间上单调递减，故D正确.
故选：D
61．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案.
【详解】由，则，分解因式可得，
解得，所以函数的定义域为，
由函数在上单调递增，在上单调递减，
且函数在上单调递减，
则函数的增区间为.
故选：D.
62．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递减
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递增
D．是非奇非偶函数，且在上单调递减
【答案】B
【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及单调函数的运算判断得解.
【详解】函数的定义域为，
，因此函数是奇函数，
函数分别是上的减函数、增函数，
则函数在上单调递减.
故选：B
63．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，则下列判断中正确的是（ ）
A．是奇函数且为增函数 B．是奇函数且为减函数
C．是偶函数且为增函数 D．是偶函数且为减函数
【答案】A
【分析】先确定函数定义域，再结合函数奇偶性的定义判断其奇偶性，最后结合复合函数的单调性，即可判断其单调性.
【详解】根据题意，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称，
则，所以为奇函数；
由，
因为在上单调递增，为增函数，
所以为增函数.
故选：A
题型十四 由对数(型)函数的单调性求参数（共5小题）
64．（24-25高一上·辽宁大连·期末）若函数在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复合函数“同增异减”的性质可得在区间上是增函数，再由二次函数性质以及对数函数定义域解不等式可得.
【详解】易知在区间上是增函数，
由复合函数单调性可知在区间上是增函数，
所以，解得；
且，解得，
综上可知，的取值范围为.
故选：D
65．（24-25高一上·辽宁抚顺·期末）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由对数函数知道底数，故内层函数为减函数，由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式，求得的取值范围.
【详解】∵对数函数中，
∴中，即函数在区间上为减函数，，
令，则在区间上为增函数，即，
解得.
故选：C.
66．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．且 B．
C． D．
【答案】B
【分析】先对参数范围分类讨论，再结合复合函数的性质建立不等式，求解参数范围即可.
【详解】由对数函数性质得或，下面，我们对的范围进行分类讨论，
令，则是由和构成的复合函数，
当时，由对数函数性质得单调递增，
由一次函数性质得单调递减，
由复合函数性质得单调递减，不符合题意，故排除，
当时，由对数函数性质得单调递减，
若在区间上单调递增，故在区间上单调递减，
此时，解得，且恒成立，
由一次函数性质得的最小值为，
得到，解得，
综上，得到的取值范围为，故B正确.
故选：B
67．（24-25高一上·山东济宁·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且对任意的恒成立，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数在上单调递增，
外层函数为增函数，则内层函数在上为增函数，
且对任意的恒成立，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
68．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）已知函数，且在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数为减函数，结合对数函数、二次函数的单调性及端点值的大小列不等式组，求解即可.
【详解】由，且在上单调递减，
得，即，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
题型十五 比较指对式的大小（共10小题）
69．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数、对数函数的性质分析出、、的取值范围，比较大小即可.
【详解】指数函数在上单调递减，因为，
所以，即；
对数函数在上单调递减，因为，
所以，即，
指数函数在上单调递增，因为，所以，即.
综上，.
故选：D.
70．（25-26高一上·重庆·月考）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性分别与比较即可得解.
【详解】因为，，
，
所以，
故选：B
71．（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】可借助指数幂的运算法则可得、，再结合的单调性即可得，大小关系，也可借助幂函数及指数函数的单调性得到，大小关系，再利用对数运算可得，即可得解.
【详解】法一：由，
，
又函数为增函数，且，故，即，
又，故.
法二：由函数在上单调递增，故，
由函数在上单调递减，故，
即有，故，
又，故.
故选：B.
72．（25-26高一上·重庆渝北·期中）设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为对数函数为上的增函数，所以，
因为对数函数为上的减函数，所以，
因为指数函数为上的减函数，所以，因此.
故选：C.
73．（25-26高三上·江西赣州·期中）若，，，则，，之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小.
【详解】因为，即；
，即；
，即，
所以.
故选：D
74．（25-26高一上·广东·月考）记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题知，，故，，再结合函数是增函数，得，进而得.
【详解】显然，故必然有，
所以，，
由于，函数是增函数，
故，即，故.
故选：A.
75．（25-26高三上·青海西宁·月考）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】以1为中间量比较题中三个数与1的大小关系，得到和的关系.然后证明成立，两边取对数即可判断关系，从而得到结论.
【详解】故，
,
所以，故.
故.
故选：D.
76．（25-26高一上·新疆·期末）已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单调性，比较大小，结合幂函数的奇偶性和单调性，可得答案.
【详解】由题意，可得，解得，则，显然该函数为偶函数，
由函数在其定义域上单调递增，则，
由函数在其定义域上单调递增，则，
故，即，
由函数在上单调递减，则.
故选：C.
77．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性可得，再由指数函数以及幂函数性质可判断，可得结论.
【详解】因为，所以，可得；
则，即，
又，即，
易知指数函数单调递减，可得，
又幂函数单调递增，可知，
即可得；
因此可得.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性，限定出各数的取值范围，再综合利用指数函数、幂函数单调性可得结论.
78．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同时取对数可判定关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定关系.
【详解】由，可知，所以，
易知，
先证糖水不等式：若，则，
证明如下：作差得，得证.
所以有，即，
所以.
故选：A
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常用到结论：为定义域上增函数；糖水不等式：，则；还有作差法，作商法，基本不等式，函数单调性等等，可以适当做专题总结.
题型十六 对数函数的值域及参数求解（共7小题）
79．（24-25高一上·广东广州·月考）函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】令，因为，所以，
因为
，
所以，，
函数在区间上单调递增，
所以，，
所以函数，的值域为.
故选：.
80．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求函数的定义域，然后利用换元法将其化成二次函数，求其值域即可.
【详解】因，，对于函数，
由，解得，即函数的定义域为，
，
设，则由可得，
而在区间上单调递减，
故当时，取得最小值为.
故选：A.
81．（25-26高一上·湖北·月考）函数（）的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域.
【详解】，且，
令，则，
又的图象开口向上且对称轴为，且，
所以.
故选：B
82．（25-26高一上·湖南·期中）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合二次函数的图象性质列式求解.
【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含，
则函数的图象与轴有交点，即方程有实根，
因此，解得或；
由函数在上单调递增，而函数是减函数，
则函数在上单调递减且恒为正，则有，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
83．（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在区间上单调递增
C．的值域为 D．的图象关于原点对称
【答案】C
【分析】根据真数大于0，化简计算，即可判断A的正误；根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，化简整理，即可判定D的正误，即可得答案.
【详解】选项A：由题意，即，
所以，即，解得，故A正确；
选项B：令，
当时，单调递减，
所以在上单调递增，
又当时，函数在上单调递增，
根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确；
选项C：因为，所以，
则，所以，
则，
所以值域为，故C错误；
选项D：因为定义域为关于原点对称，且，
所以，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确.
故选：C
84．（24-25高一下·福建泉州·开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可.
【详解】因为函数的值域为，
可知在内单调递减，则，解得，
可得当时，，即在内值域为，符合题意；
且在内不单调递减，
若在内单调递增，则，解得，
此时，符合题意；
若在内为常函数，则，解得，
此时，符合题意；
综上所述：实数的取值范围是．
故选：A．
85．（22-23高一上·辽宁·月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的性质，可得内函数的值域，再分类讨论，当时利用二次函数的图像与性质进行求解即可.
【详解】当时，，由有解，可得函数的值域为，因此满足题意；
当时，要使函数的值域为，
则，解得或，
所以.
故选：D.