安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题卷（含答案）

定远育才学校2025-2026学年高二上学期12月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点，分别为，的中点，若，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知点是直线：上的动点，过点引圆：的两条切线．为切点，当的最大值为时，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知正方体的棱长为，下列结论中错误的是( )
A. 直线与直线所成的角为
B. 直线与平面所成角的余弦值为
C. 平面
D. 点到平面的距离为
5.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点若，且，则此抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，右焦点为，直线与直线相交于点若垂直于轴，则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
7.在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果某校数学兴趣小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点，在直线上，是边长为的等边三角形，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，，依次类推其中点，，，，共线，点，，，，共线，点，，，，共线由上述圆弧组成的曲线与直线恰有个交点时，曲线长度的最小值为
A. B. C. D.
8.若双曲线：，，分别为左右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分
C. 若，，则
D. 不存在点，使得取得最小值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
10.在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线，则( )
A. 存在实数，使得曲线上所有的点到点的距离大于
B. 存在实数，使得曲线上有两点到点与的距离之和为
C. 存在实数，使得曲线上有两点到点与的距离之差为
D. 存在实数，使得曲线上有两点到点的距离与到直线的距离相等
11.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有( )
A. 过点且平行于的直线的方程为
B. 直线的方程为
C. 点的坐标为
D. 边的垂直平分线的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则________．
13.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆的方程为 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线的右顶点，直线过点且与轴垂直，点为直线上异于点的任意一点，以点为圆心，线段长为半径作圆，过点、分别作圆的切线和、与轴不重合，切线和相交于点，则点到直线的最小距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，，为数列的前项和．
求证：数列是等比数列
求数列的通项公式
求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆：，圆，其中．
若，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程
设圆与圆的公共弦所在直线为，且圆的圆心到直线的距离为，求直线的方程以及公共弦长．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，底面，，为的中点，为的中点．
Ⅰ证明：直线平面；
Ⅱ求异面直线与所成角的大小．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．
求椭圆的标准方程；
若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点与双曲线的一个焦点重合，过焦点的直线交抛物线于，两点。
求抛物线的方程；
记抛物线的准线与轴的交点为，试问是否存在常数，使得且都成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.证明：对，
等式两边同时除以可得，
等式两边再同时减得，
即，
又由，可得，故，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
由得的通项公式为，
得，所以．
由知，
所以
．
16.解：当时，
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
圆心距，所以两圆内切；
因为两圆内切，所以公切线只有一条，
且两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到，即为：，
故两圆公切线方程为：；
两圆公共弦所在直线的方程为：，
圆的圆心到直线的距离，
于是或舍，所以直线的方程为 ；
因为圆半径 ，弦心距，
由勾股定理可得半弦长为，所以公共弦长为．
17. 解：作于点，如图，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，
，，
，，．
，
，，
设平面的法向量为，
则，，
即，
取，解得
，
又平面，
平面．
设与所成的角为，
，
，
，即与所成角的大小为．
18.解：由题意可知：椭圆的离心率，则，
椭圆的准线方程，由，
由解得：，，
则，
椭圆的标准方程：；
设，
当时，直线斜率不存在，此时直线，的交点为，不满足题意；
故，
则直线的斜率，
则直线的斜率，直线的方程，
直线的斜率，
则直线的斜率，直线的方程，
联立，解得：，则，
由，在椭圆上，，的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则，
，
则，解得：，则，
又在第一象限，所以的坐标为：

19.解：双曲线中，所以，，所以，
所以抛物线的方程为．
由题意可得，设直线：，
设，联立，消去，得，；
所以 且 ，
又，
所以，即，
代入得，消去，
得，易知，则
，
由，解得，所以，
故存在满足条件．
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