期末练习卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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期末练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．和1 B．2和 C．和 D．和1
2．如图所示是中国部分城市关于冰雪活动设计的中，中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
4．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
5．如图，是半圆的直径，，是弧上两点，连接，并延长交于点，连接，．如果，那么的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数可能是（　　）
A．6 B． C． D．
7．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：；；；；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
11．如图，将正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，若，则的长度为
12．若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ．
13．如图，是的直径，是的切线，切点为D，直线与的延长线交于点C，若，，则的长度为 ．
14．一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 个．
15．抛物线上三点分别为，则的大小关系为 （用“>”号连接）．
16．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，则正确的结论有 ．（填写序号）
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点B是点的“倍增点”，则的最小值是．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两个实数根，满足，求的值．
19．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．
(1)若，则的长为______；
(2)若，求的大小．
20．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
(1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率；
(2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
21．如图，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
(1)如图①，内接于，D是劣弧的中点，画出的中点E；
(2)如图②，BC是的直径，A是内一点，画出的高．
22．某市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了100名不戴头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄（岁） 人数 男性占比
12
15
6
(1)统计表中的值为___________；
(2)在这100人中女性有___________人；
(3)若从年龄在“”的骑行者中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
23．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．
①若，求的长；
②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大．求a的取值范围．
24．如图，是的直径，是的弦，延长至D，，过C作交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，的半径为2时，求长．
25．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点，
(1)求抛物线的表达式；
(2)设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值；
(3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《期末练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D C C C C A B C
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．
将方程化为标准形式后，再根据一元二次方程的一般形式求解即可．
【详解】解：，
∴ 移项得，
∴ 一次项系数为，常数项为，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解： D项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
A、B、C选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解此题的关键．由垂径定理求出，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，，
∵的直径为5，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验．
【详解】解：由题意知，试验的频率约为，
A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符；
B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符；
C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有 1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致；
D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据三角形的内角和定理可得，根据圆周角定理可得，，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查用频率估计概率，已知概率求数量，掌握相关知识是解决问题的关键．根据频率稳定估计概率，计算白球的概率后乘以总球数．
【详解】解：∵摸到红色球的频率稳定在，黑色球的频率稳定在，
∴摸到白色球的频率为，
∴白色球的个数为
故选：C．
7．A
【分析】此题考查了二次函数的平移．先确定原抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移规则“左减右加，上加下减”，再计算平移后的顶点坐标，从而得到新解析式．
【详解】解：∵原抛物线 的顶点为，
∴向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为；向上平移3个单位长度，顶点纵坐标变为．
∴平移后顶点为，
∴平移后所得抛物线的解析式为．
故选：A
8．B
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，设该圆锥的底面圆的半径为，圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，利用此关系列方程求解即可．
【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为，
则，
解得，
∴该圆锥的底面圆的半径为，
故选：B．
9．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
先根据抛物线的对称轴是可得解答①；再分别判断a，b，c的值，即可解答②；然后根据抛物线与x轴有两个不同的交点，可得，判断③；再根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，解答④；接下来根据二次函数的图象与有一个交点，解答⑤；对于⑥，先根据当时，，可得，最后结合，可得答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是
∴，
即．
所以①不正确；
∵抛物线的开口向上，
∴；
∵抛物线的对称轴是，
∴；
∵抛物线交y轴负半轴，
∴，
∴，
所以②正确；
由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
即，
所以③正确；
根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，
当时，，
所以时，，即，
所以④正确；
∵二次函数的最小值为，
∴二次函数的图象与有一个交点，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
所以⑤正确；
由图可知，当时，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴⑥不正确．
所以正确的有4个．
故选：C．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把直接代入方程即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵方程的一个根是，
∴，
解得，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理；连接、，由旋转的性质可得等边三角形，可得，再利用勾股定理求出即可.
【详解】解：连接、，如图所示：
∵正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：.
12．
【分析】根据一元二次方程有实数根的条件，判别式需大于等于零，且二次项系数不为零；根据直线经过第一、二、三象限的条件，可知．综合这些条件求出整数的值，并计算它们的和．
【详解】解：方程 为一元二次方程，
，
解得：，
一元二次方程有实数根，
，
解得：，
且；
直线经过第一、二、三象限，
，
解得：，
且，
又为整数，
为 ，，，
它们的和为 ．
故答案为：
13．
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，掌握见切线连圆心和切点，得垂直的辅助线做法是解题的关键．
连接，根据中、求出线段的长度，从而得到，再根据切线得到，根据圆周角定理得到，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，
，
又，，
，
，
是的切线，
，
又，
，
．
故答案为：．
14．12
【分析】根据频率估计概率，红球出现的频率稳定在附近，即红球的概率为，利用概率公式列方程求解白球数量．
【详解】解：设白球有x个，则总球数为个．
根据题意得：．
，
即，
移项得，
即，
解得．
检验：当时，分母，方程成立．
故答案为12．
15．
【分析】本题考查抛物线的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据抛物线解析式，分别将点B、点C和点A的横坐标代入解析式，得出纵坐标的值，比较大小即可．
【详解】解：由抛物线解析式可得，
当时，；
当时，；
当时，．
由于为常数，故，即．
故答案为．
16．①③④
【分析】本题考查了新定义，求点的坐标，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，勾股定理及解一元二次方程等知识，理解新定义是解题的关键．
根据“倍增点”的定义，对于点和点，满足，逐一验证每个结论的正确性．
【详解】解：对于①，点：，，相等；
点：，，相等，
故①正确；
对于②，设点，代入定义得，解得，点，
故②错误；
对于③，设点，代入定义得，
整理得，
解得或，
对应点和，有两个点，
故③正确；
对于④，设点，则，
即，
∴，
当时，取得值为，
故④正确．
故答案为：①③④．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和整体思想是解题关键．
（1）运用因式分解法解方程即可；
（2）移项后，用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得，，
解得，，；
（2）解：，
移项得，，
因式分解得，，
解得，，．
18．(1)
(2)
【分析】（）根据列出关于的不等式解答即可求解；
（）利用一元二次方程根和系数的关系及完全平方公式解答即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：由根和系数的关系得，，，
∵，
∴，
即，
整理得，，
解得或，
∵，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由旋转得，，由勾股定理得；
（2）由旋转得，，，可得，则，即可得．
【详解】（1）解：∵将绕点A顺时针旋转后得到，
，，
，
故答案为：；
（2）解：∵将绕点A顺时针旋转后得到，
，，，
，
，
．
20．(1)
(2)21万元
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键．
（1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可；
（2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可．
【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得：
，
解得：（舍去），
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为．
（2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得：
，
整理得：，
解得：，
∵要尽量让利于顾客，
∴；
答：下调后每辆汽车的售价为万元．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，垂径定理推论，圆周角定理，三角形中线、高的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）如图，连接交于点，则点即为所求；
（）如图，延长交于，延长交于，连接，，延长交的延长线于点，作直线交于点，线段即为所求．
【详解】（1）解：如图中，连接交于点，则点即为所求；
理由：∵是劣弧的中点，
∴垂直平分，且与交于点，
则点是线段的中点，
∴点即为所求；
（2）解：如图中，延长交于，延长交于，连接，，延长交的延长线于点，作直线交于点，
理由：∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴线段即为所求；
22．(1)
35
(2)
42
(3)
【分析】本题主要考查了画树状图求概率，频数分布表，
对于（1），用总人数分别减去其它5组的人数可得答案；
对于（2），用各组的总人数分别乘以女性所占的百分比求出各组的女性人数，再相加即可；
对于（3），画出树状图，再根据概率公式计算得出答案．
【详解】（1）解：．
故答案为：35；
（2）解：．
故答案为：42；
（3）解：根据题意，得年龄在的骑行人数中有女生3名，男生3名，
画出树状图如下：
一共有30种可能出现的结果，恰好抽到男，女生各一名可能性有18种，
所以抽到男，女生各一名的概率是．
23．(1)，．
(2)①的长为9；②．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
（1）将和点代入解析式即可求解；
（2）①当，抛物线表达式为，直线表达式为，继而求出，，则，即可求解；
②先求出，，得到，
令，即，解得或，推导出，分类讨论：第一种情况：分，第二种情况：，逐个分析求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线，经过点和点，
∴，
∴
∴；
（2）①如图，
当时，，抛物线表达式为，直线表达式为，
∵点作x轴的垂线，，
∴当时，，即，
，即，
∴；
②当点P从点O运动到点的过程中，
∵轴，，
∴，
将，代入，得
，即，
将代入，可得，即，
∴，
令，即，解得或，
∵在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，
∴，
第一种情况：当时，有，即点在轴右侧，即点从原点向右运动，如图
有点N在点M的上方，，
∴
，
，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，随t的增大而增大，
∵从点O运动到点的过程中，的长始终随的长的增大而增大，
∴，即，
∵，
∴．
第二种情况：当时，，即点在轴左侧，即点P(t，0)从原点向左运动，如图
有点M在点N的上方，且，
∴
，
，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，的值随t的增大而增大，
∵
∴
∴当时，随t的增大而增大，此时随t的增大而减小，
即当时，随t的增大而增大，而从点O向左运动到点的过程中，的长会先随的长的增大而减小，不符合题意，舍去．
综上所述，．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的证明及性质，切线的证明及性质，勾股定理以及含30度的直角三角形，能够正确作出辅助线是解题关键；
（1）连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）设交于，连接，根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，，得到，进而求出，再根据勾股定理得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
，，
是的中位线
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：设交于，连接，
∵的半径为2，
∴，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
∴，
，，，
，
，，
，
，
．
25．(1)
(2)，最大值是4
(3)存在，或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据抛物线与轴交点可得交点式，化简即可求解；
（2）求出点坐标后可求得直线的表达式，设点，则，利用二次函数的性质即可求出的最大值；
（3）当四边形是菱形时，，设点，由方程，求出的值即得答案．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
抛物线与轴交于点、，
，
故抛物线的表达式为；
（2）解：抛物线的表达式为，
时，，即，
设直线的表达式为，
将代入得，
解得，
则直线的表达式为，
设点，则，
则，
，
其中，
有最大值，当时，取最大值；
（3）解：存在，理由如下：
当时，点，
抛物线的表达式为，
抛物线对称轴为，
设点，而，
四边形是菱形，
，
即，
解得，
即点的坐标为或．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合、二次函数交点式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
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