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专项训练09 动力学临界极值问题
【解题方法总结】
1．临界、极值问题
(1)临界或极值条件的标志
①有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，即表明题述的过程存在着临界点。
②若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往对应临界状态。
③若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
④若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
(2)四种典型的临界条件
①绳子断裂的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力。
②绳子松弛的临界条件：绳子松弛的临界条件是FT＝0。
③相对滑动的临界条件：两物体相接触且相对静止时，常存在着静摩擦力，发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
④接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0。
2．求解的思维方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
题型一、绳子断裂和松弛的临界和极值问题
【典例01】如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连。两物块质量均为2kg，细线能承受的最大拉力为4N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动，则F的最大值为（ ）
A．2N B．4N C．6N D．8N
【答案】D
【详解】当细线上拉力最大时，对后面的物块，根据牛顿第二定律有
对两物块整体根据牛顿第二定律有
联立解得力F的最大值
故选D。
【变式01】（多选）如图所示，水平地面上放置相同材料制成的四个木块，其中两个质量为m的木块间用不可伸长的水平轻绳相连，下面两个木块质量分别为5m和3m。现用水平拉力F拉其中一个质量为3m的木块，使四个木块一同水平向右匀速运动，则（ ）
A．质量为3m的木块与地面间的摩擦力为
B．质量为5m的木块与地面间的摩擦力为
C．轻绳对m的拉力为
D．若轻绳能承受的最大拉力为F，则当作用在3m上的拉力为时，轻绳会被拉断
【答案】AD
【详解】A．对整体，由平衡条件有
质量为3m的木块与地面间的摩擦力为
联立解得，故A正确；
B．质量为5m的木块与地面间的摩擦力为
联立解得，故B错误；
C．对左边两个物体，由平衡条件可知轻绳子对m的拉力大小与f等大，故轻绳子对m的拉力大小为，故C错误；
D．若轻绳能承受的最大拉力为F，设轻绳刚要被拉断时作用在3m上的拉力为，对整体有
对左边两个物体有
联立解得，可以判断轻绳被拉断，故D正确。
故选AD。
题型二、相对滑动的临界和极值问题
【典例01】如图所示，水平向左的恒力F作用在物块A上，物块A、B在光滑水平面上一起向右做匀减速直线运动。物块A质量为M，物块B质量为m，它们的共同加速度大小为a，两物块间的动摩擦因数为。则在运动过程中下列选项错误的是（ ）
A．B受到的摩擦力大小为ma
B．A受到的摩擦力方向向左
C．A受到的摩擦力大小为
D．若A、B间的动摩擦因数增大，其他条件不变，则B受到的摩擦力不变
【答案】B
【详解】AB．对B物体，由牛顿第二定律知，B受到的摩擦力大小
方向向左，根据牛顿第三定律，A受到到的摩擦力方向向右，故A正确，不符合题意；B错误，符合题意；
CD．对AB整体，由牛顿第二定律，可得加速度为
则B受到的摩擦力大小
由牛顿第三定律知，A受到的摩擦力大小
可见B受到的摩擦力大小与AB间的动摩擦因数无关，则A、B间的动摩擦因数增大，其他条件不变时，B受到的摩擦力不变，故CD正确，不符合题意。
本题选错误的，故选B。
【变式01】（多选）如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上。A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对A施加一水平拉力F，则（ ）
A．无论F为何值，B的加速度不会超过μg
B．当F＝μmg时，A的加速度为
C．当F>3μmg时，A相对B滑动
D．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止
【答案】AC
【详解】B与地面间的最大静摩擦力
A与B间的最大静摩擦力
当两物体恰好发生相对运动时，对AB整体，由牛顿第二定律得
F0-fm1=3ma
对B
fm2-fm1=ma
解得
F0=3 mg
B．当时，A、B相对静止一起做匀加速直线运动，对A、B整体，由牛顿第二定律得
解得
故B错误；
CD．当拉力时，A、B都相对地面静止，当时，A、B相对静止，一起匀加速运动；当F＞F0=3μmg时A相对B滑动，故D错误，C正确；
A．当两物体未发生相对滑动时，F越大，加速度越大，当两物体发生相对滑动时，B的加速度最大，根据牛顿第二定律
代入数据解得
故A正确。
故选AC。
题型三、接触和脱离的动力学临界问题
【典例01】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端系于墙上，另一端连接在质量为m的物体A上，A、B大小相同，质量相等，A、B与水平面间的动摩擦因数分别为和且，重力加速度为g。水平外力作用在B上，让B推A使弹簧压缩。若撤去外力静止释放A、B后，A、B向右运动一段距离后会分离，则在A、B分离瞬间，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧形变量为零 B．弹簧的压缩量为
C．弹簧的伸长量为 D．弹簧的压缩量为
【答案】C
【详解】在A、B分离瞬间，A、B间的弹力为零，加速度仍相同，由于，可知此时弹簧处于伸直状态，设弹簧的伸长量为，根据牛顿第二定律得
，
联立解得
故选C。
【变式01】如图甲，轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端与物块A连接，在物块A上叠放物块B，A、B两物块的质量均为，弹簧的劲度系数为，两物块均处于静止状态。现给物块B一竖直向上的拉力作用，使物块B从静止开始向上做加速度大小为的匀加速直线运动，两物块运动的图象如图乙，重力加速度为，弹簧始终在弹性限度内，求：
(1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量；
(2)A、B两物块分离前，拉力大小随时间变化的函数关系式；
(3)从静止开始到A、B两物块分离经历的时间及两物块分离时的速度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)；
【详解】（1）系统处于静止状态时，对AB整体有
解得
（2）设从静止开始在拉力作用下向上运动的位移为，对AB整体有
因为
解得
（3）设两物块从静止开始运动到分离向上运动的位移为，对A有
解得
因为，
联立解得，
【变式02】（多选）如图所示，一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶，每个空油桶的质量均为m。在车厢底，一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一层只有一只桶C，自由地摆放在桶A、B之间，没有用绳索固定，重力加速度为g。则汽车（ ）
A．匀速运动，B对C的作用力大小为
B．向左加速前进，若加速度增大，则A和B对C的支持力可能同时增大
C．向左加速前进，当加速度为时，B对C的作用力为零
D．向右加速倒车，B对C的作用力可能为零
【答案】AD
【详解】A．若汽车匀速行驶，对C进行受力分析，如图所示
设B对C的支持力与竖直方向的夹角为，根据几何关系可得
解得
同理可得，A对C的支持力与竖直方向的夹角也为30°；水平方向根据平衡条件可得
竖直方向根据平衡条件可得
解得
故A正确；
BC．若汽车向左加速前进，以C为研究对象，则C受到的合力向左，A对C的支持力减小、B对C的支持力变大，当A对C的支持力为零时，C只受重力和B对C的支持力，如图所示
根据牛顿第二定律可得
解得加速度
所以当货车的加速度为时，A对C的支持力为零，故BC错误；
D．同理可知，向右加速倒车，加速度方向向右，A对C的支持力增大、B对C的支持力减小，当货车的加速度为时，B对C的作用力为零，故D正确。
故选AD。
题型四、斜面模型的动力学临界问题
【典例01】如图所示，一质量M=3kg、倾角为α=45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m=1kg 的光滑楔形物体。用一水平向左的恒力F作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动。重力加速度为g=10m/s ，下列判断错误的是 （ ）
A．系统做匀加速直线运动
B．F=40N
C．斜面体对楔形物体的作用力大小为
D．增大力 F，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动
【答案】C
【详解】AB．对整体受力分析如图甲所示，
由牛顿第二定律有
对楔形物体受力分析如图乙所示。由牛顿第二定律有
可得
故AB不符合题意；
C．斜面体对楔形物体的作用力
故C符合题意；
D．外力F增大，则斜面体加速度增大，斜面体对楔形物体的支持力也增大，则支持力在竖直方向的分力大于重力，有向上的加速度，所以楔形物体将会相对斜面体沿斜面上滑，故D不符合题意。
故选 C
【变式01】如图所示，一细线的一端固定于倾角为的光滑楔形滑块A上的顶端O处，细线另一端拴一质量为的小球静止在A上。若滑块从静止向左匀加速运动时加速度为a（取）（ ）
A．当时，细线上的拉力为
B．当时，小球受的支持力为
C．当时、细线上的拉力为2N
D．当时，细线上拉力为
【答案】D
【详解】BC．以小球为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系，若斜面给小球的支持力为零，由牛顿第二定律有
解得
所以当时，小球受到的支持力为零，故BC错误；
A．当，小球没有脱离楔形滑块，对小球有
解得
故A项错误；
D．当，小球脱离楔形滑块，设细线与竖直方向夹角为，对小球竖直方向有
小球水平方向有
解得
故D项正确。
故选D。
【重难点突破】
1．如图所示，小威同学在教室里做了如下实验：在水平桌面上放一张薄纸板，将一小砝码置于薄纸板上，再用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，发现砝码几乎没有移动，这就是大家熟悉的惯性演示实验。若砝码和纸板的质量分别为3m和2m，各接触面间的动摩擦因数均为μ。重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。要使纸板相对砝码运动，所需的拉力临界值大小为（ ）
A．3μmg B．8μmg C．10μmg D．12μmg
【答案】C
【详解】当纸板相对砝码运动时，对砝码分析，根据牛顿第二定律
解得砝码的加速度大小
设纸板的加速度大小为a2，对纸板，根据牛顿第二定律有
二者发生相对运动的条件是纸板的加速度大于砝码的加速度，即a2>a1
联立解得F>10μmg
故选C。
2．如图所示，沙箱置于粗糙的水平桌面上，沙和沙箱的总质量为，通过一轻绳跨过光滑定滑轮与空的轻盘相连。用手托住轻盘，从沙箱中取出质量为的沙子放入盘中。由静止释放，测得加速度为；改变重复上述操作，得到图像，则下列各图中可能正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，以沙和沙箱整体为研究对象，当沙的重力小于沙箱受到的摩擦力时，沙与沙箱静止，加速度为0；当沙的重力大于沙箱受到的摩擦力时，沙与沙箱才有一定的加速度，设沙箱与桌面的动摩擦因数为，整体根据牛顿第二定律可得
整理可得
由数学知识可知与为一次函数关系，且当趋于时，加速度趋近于。
故选C。
3．水平面上竖直固定着一根轻质弹簧，劲度系数为80N/m，弹簧上端叠放着两物块P和Q且处于静止状态，质量分别为kg，kg。时刻用一个竖直向上的外力拉物块P，如图所示，使物块P以1m/s2的加速度匀加速竖直向上运动，重力加速度g取10m/s2，不计阻力。下列图像中能正确表示拉力F与时间t的变化关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】一开始系统静止，弹簧的弹力等于P和Q的重力，即
施加拉力后，二者一起做匀加速直线运动，此时拉力最小，即
当P和Q分离的瞬间，拉力最大，即
弹簧的形变量为有，
解得N，N，s
故选B。
4．（多选）如图1所示，光滑水平面上并排静止放置着A与B两个物体（两物体接触但不黏合），A的质量。时刻，水平推力和水平拉力同时分别作用于A、B上，、随时间变化的关系如图2所示，当减小到4N时，AB间弹力恰好为0。下列说法正确的是（ ）
A．B物体的质量
B．B物体的质量
C．时刻，A、B间的距离为3m
D．时刻，A、B间的距离为0.75m
【答案】AD
【详解】AB．由题知，当减小到4N，即时，AB间弹力恰好为0，此时AB仍有相同的加速度，设为，由图2可知，时，根据牛顿第二定律，对A、B分析有，
联立解得B物体的质量，故A正确，B错误；
CD．由题知，当减小到4N，即时，AB间弹力恰好为0，则AB即将分离，设此时AB的速度为，对A分析有，根据牛顿第二定律
其中，解得
对B分析有，根据牛顿第二定律
其中，解得
故A、B从运动到的位移分别为，
其中
联立解得时刻，A、B间的距离为，故C错误，D正确。
故选AD。
5．（多选）如图所示，物体B和C叠放在竖直弹簧上，物体A和C通过跨过定滑轮的轻绳相连接。初始时用手托住物体A，整个系统处于静止状态，且轻绳恰好伸直且没拉力。已知A和B的质量均为，C的质量为，重力加速度为，弹簧的劲度系数为，不计一切摩擦。释放物体A，则（ ）
A．释放瞬间，C的加速度大小为
B．B和C分离之前，B和C之间的弹力逐渐增大
C．释放瞬间，绳子的拉力为
D．B和C分离时，B向上移动了
【答案】AD
【详解】AC．释放物体A的瞬间，A、B、C三个物体加速度大小相同，对三个物体有
解得
以A为对象有
解得释放瞬间，绳子的拉力为，故A正确，C错误；
BD．B和C分离时加速度相等、相互作用力为零，对AC有
对B有
联立解得，
由于弹簧的压缩量逐渐减小，所以B和C分离之前，B和C之间的弹力逐渐减小；由胡克定律得
初始时有
B和C分离时，B向上移动的距离，故B错误，D正确。
故选AD。
【真题在线】
1．（24-25高一上·广东深圳·期末）质量为1kg的物块放在一个纵截面为矩形的静止木箱内，物块和木箱水平底面之间的动摩擦因数为0.3，开始时物块被一根轻弹簧用1.6N的水平拉力向左拉着而保持静止；如图所示。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取。则（ ）
A．木箱以的加速度竖直向下加速时，物块与木箱之间发生相对滑动
B．木箱以的加速度竖直向上加速时，物块与木箱之间发生相对滑动
C．木箱以的加速度水平向左加速时，物块与木箱之间能相对静止
D．木箱以的加速度水平向右加速时，物块所受的摩擦力为2N
【答案】C
【详解】A．木箱以2m/s2的加速度竖直向下加速时，对物块，根据牛顿第二定律有
解得支持力为
此时的最大静摩擦力为
则物块能与木箱保持相对静止，故A错误；
B．木箱以的加速度竖直向上加速时，对物块，根据牛顿第二定律有
解得支持力为
此时的最大静摩擦力为
则物块能与木箱保持相对静止，故B错误；
C．木箱以的加速度水平向左加速时，对物块，根据牛顿第二定律有
解得
此时的最大静摩擦力为
物块与木箱保持相对静止，故C正确；
D．木箱以的加速度水平向右加速时，对物块，根据牛顿第二定律有
解得
故D错误。
故选C。
2．（24-25高一下·安徽六安·期末）用一轻弹簧把质量为m和M的甲、乙两块木板连接起来，一起竖直放在地面上、试问，对甲木板必须施加多大的压力F，才能在F突然撤去后使甲弹起，并能让乙恰好离开地面（弹簧的劲度系数为k）（ ）
A．mg B．（M m）g C．（M+m）g D．
【答案】C
【详解】在m上施加压力F，突然撤去F后，m将在重力和弹力的作用下做上下的往复运动，则有
m在最低点有
m在最高点有
因m在最高点时能让乙恰好离开地面则有
根据对称性有
故选C。
3．（多选）（24-25高一上·辽宁·期末）如图所示，在光滑水平面上有一质量M=1kg倾角θ=37°的斜面体，斜面体上放一质量m=1kg物块，物块与斜面体之间的动摩擦因数μ=0.5（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。现施加一水平外力F作用在斜面体上，使斜面体和物块一起向右做匀加速直线运动（即斜面体与物块保持相对静止），当地重力加速度大小为g=10m/s2，则水平外力F的大小可能是（sin37°=0.6，cos37°=0.8） （ ）
A．3N B．13N C．30N D．43N
【答案】BC
【详解】若物体受最大静摩擦力方向沿斜面向上，根据牛顿第二定律，有
根据平衡条件，有
联立解得
m/s2
若物体受最大静摩擦力方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律，有
根据平衡条件，有
联立解得
=20m/s2
斜面体和物块保持相对静止
N
=40N
所以外力只要满足即可，故AD错误，BC正确。
故选BC。
4．（多选）（23-24高一上·四川凉山·期末）如图所示，一辆运送沙子的自卸卡车装满沙子，沙粒之间的动摩擦因数为，沙子与车厢底板间的动摩擦因数为，车厢的倾角用表示，下列说法正确的是（ ）
A．要顺利地卸干净全部沙子，应满足
B．要顺利地卸干净全部沙子，应满足
C．只卸去部分沙子，车上还留有一部分沙子，应满足
D．只卸去部分沙子，车上还留有一部分沙子，应满足
【答案】AD
【详解】AB．由于，与车厢底部接触的沙子受到的摩擦力比在上层的沙子受到的摩擦力大，上层的沙子容易卸下，当与车厢底部接触的沙子从车上卸下时，全部沙子就能顺利地卸干净。要顺利地卸干净全部沙子，应满足重力沿车厢底部的分力应大于车厢底部沙子受到的摩擦力，即
可得
故B错误、A正确；
CD．只卸去部分沙子时，与车厢底部不接触的沙子卸下，与车厢底部接触的沙子未卸下，则
可得
故C错误、D正确。
故选AD。
5．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·期末）如图（a）所示，粗糙水平地面上静止放置一长木板，长木板右端轻放一小物块。水平向右的拉力作用在木板上，随着的增大，长木板的加速度随的变化关系如图（b）所示。设各接触面间的最大静摩擦力均与相应滑动摩擦力相等，物块始终在木板上，重力加速度取。则（ ）
A．木块的质量为
B．木板与地面间的动摩擦因数为0.5
C．当力增大至时，物块才会相对木板运动
D．当力增大至时，突然撤去力，物块一定不会随木板一起做匀减速运动
【答案】ABD
【详解】AB．设长木板质量为，长木板与地面间动摩擦因数为，长木板与小物块间动摩擦因数为，图像可知二者产生相对滑动时拉力大小为42N，则二者为产生相对滑动前，对整体有
整理得
可知图像斜率为
解得
图像纵间距为
解得
产生相对滑动后，对木板有
联立以上整理得
可知产生相对滑动后，图像斜率为
联立解得
故AB正确；
C．图像可知当力增大至时，二者仍一起加速运动，并未产生相对滑动，故C错误；
D．产生相对滑动后，设图像与纵轴截距为，则图像斜率
解得
因为
结合图像可知F为0时加速度为，则有
联立以上解得
因为
故当力增大至时，突然撤去力，物块一定不会随木板一起做匀减速运动，故D正确。
故选ABD。
6．（24-25高一上·北京大兴·期末）有一项游戏可简化如下：如图所示，滑板长，起点A到终点线的距离。开始滑板静止在水平地面上，右端与A平齐；滑板左端放一可视为质点的滑块，对滑块施一水平恒力使滑板前进；滑板右端到达处冲线，游戏结束。地面视为光滑，物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知滑块与滑板间动摩擦因数，滑块质量，滑板质量，重力加速度取，求：
(1)滑板由A滑到的最短时间；
(2)为使滑板能以最短时间到达，水平恒力的取值范围。
【答案】(1)1s；(2)
【详解】（1）滑板由A滑到B过程中一直加速，且加速度最大时，所用时间最短，滑板在水平方向只受滑块施加的滑动摩擦力，设滑板的加速度为，对滑板，根据牛顿第二定律有
解得
根据位移时间公式有
解得
（2）滑板与滑块刚好要相对滑动，水平恒力最小，设为，此过程可认为二者加速度相等，对于滑块，根据牛顿第二定律有
代入数据解得
当滑板运动到B，滑块刚好脱离时，水平恒力最大，设为，设滑块的加速度为，对于滑块，根据牛顿第二定律有
根据题意有
联立并代入数据解得
故水平恒力大小范围是
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专项训练09 动力学临界极值问题
【解题方法总结】
1．临界、极值问题
(1)临界或极值条件的标志
①有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，即表明题述的过程存在着临界点。
②若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往对应临界状态。
③若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
④若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
(2)四种典型的临界条件
①绳子断裂的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力。
②绳子松弛的临界条件：绳子松弛的临界条件是FT＝0。
③相对滑动的临界条件：两物体相接触且相对静止时，常存在着静摩擦力，发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
④接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0。
2．求解的思维方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
题型一、绳子断裂和松弛的临界和极值问题
【典例01】如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连。两物块质量均为2kg，细线能承受的最大拉力为4N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动，则F的最大值为（ ）
A．2N B．4N C．6N D．8N
【变式01】（多选）如图所示，水平地面上放置相同材料制成的四个木块，其中两个质量为m的木块间用不可伸长的水平轻绳相连，下面两个木块质量分别为5m和3m。现用水平拉力F拉其中一个质量为3m的木块，使四个木块一同水平向右匀速运动，则（ ）
A．质量为3m的木块与地面间的摩擦力为
B．质量为5m的木块与地面间的摩擦力为
C．轻绳对m的拉力为
D．若轻绳能承受的最大拉力为F，则当作用在3m上的拉力为时，轻绳会被拉断
题型二、相对滑动的临界和极值问题
【典例01】如图所示，水平向左的恒力F作用在物块A上，物块A、B在光滑水平面上一起向右做匀减速直线运动。物块A质量为M，物块B质量为m，它们的共同加速度大小为a，两物块间的动摩擦因数为。则在运动过程中下列选项错误的是（ ）
A．B受到的摩擦力大小为ma
B．A受到的摩擦力方向向左
C．A受到的摩擦力大小为
D．若A、B间的动摩擦因数增大，其他条件不变，则B受到的摩擦力不变
【变式01】（多选）如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上。A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现对A施加一水平拉力F，则（ ）
A．无论F为何值，B的加速度不会超过μg
B．当F＝μmg时，A的加速度为
C．当F>3μmg时，A相对B滑动
D．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止
题型三、接触和脱离的动力学临界问题
【典例01】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧的一端系于墙上，另一端连接在质量为m的物体A上，A、B大小相同，质量相等，A、B与水平面间的动摩擦因数分别为和且，重力加速度为g。水平外力作用在B上，让B推A使弹簧压缩。若撤去外力静止释放A、B后，A、B向右运动一段距离后会分离，则在A、B分离瞬间，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧形变量为零 B．弹簧的压缩量为
C．弹簧的伸长量为 D．弹簧的压缩量为
【变式01】如图甲，轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端与物块A连接，在物块A上叠放物块B，A、B两物块的质量均为，弹簧的劲度系数为，两物块均处于静止状态。现给物块B一竖直向上的拉力作用，使物块B从静止开始向上做加速度大小为的匀加速直线运动，两物块运动的图象如图乙，重力加速度为，弹簧始终在弹性限度内，求：
(1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量；
(2)A、B两物块分离前，拉力大小随时间变化的函数关系式；
(3)从静止开始到A、B两物块分离经历的时间及两物块分离时的速度大小。
【变式02】（多选）如图所示，一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶，每个空油桶的质量均为m。在车厢底，一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一层只有一只桶C，自由地摆放在桶A、B之间，没有用绳索固定，重力加速度为g。则汽车（ ）
A．匀速运动，B对C的作用力大小为
B．向左加速前进，若加速度增大，则A和B对C的支持力可能同时增大
C．向左加速前进，当加速度为时，B对C的作用力为零
D．向右加速倒车，B对C的作用力可能为零
题型四、斜面模型的动力学临界问题
【典例01】如图所示，一质量M=3kg、倾角为α=45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m=1kg 的光滑楔形物体。用一水平向左的恒力F作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动。重力加速度为g=10m/s ，下列判断错误的是 （ ）
A．系统做匀加速直线运动
B．F=40N
C．斜面体对楔形物体的作用力大小为
D．增大力 F，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动
【变式01】如图所示，一细线的一端固定于倾角为的光滑楔形滑块A上的顶端O处，细线另一端拴一质量为的小球静止在A上。若滑块从静止向左匀加速运动时加速度为a（取）（ ）
A．当时，细线上的拉力为
B．当时，小球受的支持力为
C．当时、细线上的拉力为2N
D．当时，细线上拉力为
【重难点突破】
1．如图所示，小威同学在教室里做了如下实验：在水平桌面上放一张薄纸板，将一小砝码置于薄纸板上，再用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，发现砝码几乎没有移动，这就是大家熟悉的惯性演示实验。若砝码和纸板的质量分别为3m和2m，各接触面间的动摩擦因数均为μ。重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。要使纸板相对砝码运动，所需的拉力临界值大小为（ ）
A．3μmg B．8μmg C．10μmg D．12μmg
2．如图所示，沙箱置于粗糙的水平桌面上，沙和沙箱的总质量为，通过一轻绳跨过光滑定滑轮与空的轻盘相连。用手托住轻盘，从沙箱中取出质量为的沙子放入盘中。由静止释放，测得加速度为；改变重复上述操作，得到图像，则下列各图中可能正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．水平面上竖直固定着一根轻质弹簧，劲度系数为80N/m，弹簧上端叠放着两物块P和Q且处于静止状态，质量分别为kg，kg。时刻用一个竖直向上的外力拉物块P，如图所示，使物块P以1m/s2的加速度匀加速竖直向上运动，重力加速度g取10m/s2，不计阻力。下列图像中能正确表示拉力F与时间t的变化关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）如图1所示，光滑水平面上并排静止放置着A与B两个物体（两物体接触但不黏合），A的质量。时刻，水平推力和水平拉力同时分别作用于A、B上，、随时间变化的关系如图2所示，当减小到4N时，AB间弹力恰好为0。下列说法正确的是（ ）
A．B物体的质量
B．B物体的质量
C．时刻，A、B间的距离为3m
D．时刻，A、B间的距离为0.75m
5．（多选）如图所示，物体B和C叠放在竖直弹簧上，物体A和C通过跨过定滑轮的轻绳相连接。初始时用手托住物体A，整个系统处于静止状态，且轻绳恰好伸直且没拉力。已知A和B的质量均为，C的质量为，重力加速度为，弹簧的劲度系数为，不计一切摩擦。释放物体A，则（ ）
A．释放瞬间，C的加速度大小为
B．B和C分离之前，B和C之间的弹力逐渐增大
C．释放瞬间，绳子的拉力为
D．B和C分离时，B向上移动了
【真题在线】
1．（24-25高一上·广东深圳·期末）质量为1kg的物块放在一个纵截面为矩形的静止木箱内，物块和木箱水平底面之间的动摩擦因数为0.3，开始时物块被一根轻弹簧用1.6N的水平拉力向左拉着而保持静止；如图所示。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取。则（ ）
A．木箱以的加速度竖直向下加速时，物块与木箱之间发生相对滑动
B．木箱以的加速度竖直向上加速时，物块与木箱之间发生相对滑动
C．木箱以的加速度水平向左加速时，物块与木箱之间能相对静止
D．木箱以的加速度水平向右加速时，物块所受的摩擦力为2N
2．（24-25高一下·安徽六安·期末）用一轻弹簧把质量为m和M的甲、乙两块木板连接起来，一起竖直放在地面上、试问，对甲木板必须施加多大的压力F，才能在F突然撤去后使甲弹起，并能让乙恰好离开地面（弹簧的劲度系数为k）（ ）
A．mg B．（M m）g C．（M+m）g D．
3．（多选）（24-25高一上·辽宁·期末）如图所示，在光滑水平面上有一质量M=1kg倾角θ=37°的斜面体，斜面体上放一质量m=1kg物块，物块与斜面体之间的动摩擦因数μ=0.5（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。现施加一水平外力F作用在斜面体上，使斜面体和物块一起向右做匀加速直线运动（即斜面体与物块保持相对静止），当地重力加速度大小为g=10m/s2，则水平外力F的大小可能是（sin37°=0.6，cos37°=0.8） （ ）
A．3N B．13N C．30N D．43N
4．（多选）（23-24高一上·四川凉山·期末）如图所示，一辆运送沙子的自卸卡车装满沙子，沙粒之间的动摩擦因数为，沙子与车厢底板间的动摩擦因数为，车厢的倾角用表示，下列说法正确的是（ ）
A．要顺利地卸干净全部沙子，应满足
B．要顺利地卸干净全部沙子，应满足
C．只卸去部分沙子，车上还留有一部分沙子，应满足
D．只卸去部分沙子，车上还留有一部分沙子，应满足
5．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·期末）如图（a）所示，粗糙水平地面上静止放置一长木板，长木板右端轻放一小物块。水平向右的拉力作用在木板上，随着的增大，长木板的加速度随的变化关系如图（b）所示。设各接触面间的最大静摩擦力均与相应滑动摩擦力相等，物块始终在木板上，重力加速度取。则（ ）
A．木块的质量为
B．木板与地面间的动摩擦因数为0.5
C．当力增大至时，物块才会相对木板运动
D．当力增大至时，突然撤去力，物块一定不会随木板一起做匀减速运动
6．（24-25高一上·北京大兴·期末）有一项游戏可简化如下：如图所示，滑板长，起点A到终点线的距离。开始滑板静止在水平地面上，右端与A平齐；滑板左端放一可视为质点的滑块，对滑块施一水平恒力使滑板前进；滑板右端到达处冲线，游戏结束。地面视为光滑，物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知滑块与滑板间动摩擦因数，滑块质量，滑板质量，重力加速度取，求：
(1)滑板由A滑到的最短时间；
(2)为使滑板能以最短时间到达，水平恒力的取值范围。
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