(共27张PPT)
7.1.2 弧度制
学习目标 育人目标
1.借助教材实例理解弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的对应关系. 情感价值:通过对弧度制的探究,发展学生的自主归纳能力;通过弧度制与角度制的换算、弧长和扇形面积公式的探究与应用,提升学生的推理能力和计算能力.
学科素养:逻辑推理、数学运算
01
必备知识 自主导学
【教材认知】
1.角度制与弧度制
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的_______
弧度制 定义 用弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的_______
圆心角
2.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°=___ rad 2π rad=_____
180°=__ rad π rad=_____
2π
360°
π
180°
3.弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r,弧长为l,α(0<α<2π)或n°为其圆心角,则弧长公式与扇形面积公式如下:
类别/度量单位 角度制 弧度制
扇形的弧长 l=αr
扇形的面积
02
关键能力 师生共研
(2)如图所示:
①分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【总结升华】
1.弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
提醒:角度制与弧度制不能混用.
2.(2025·金陵中学高一月考)已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界),角α的终边和θ相同,则角α的集合为 ( )
(2) (2025·苏州中学高一月考)砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示,一扇环形砖雕,可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形,已知OA=0.2 m,AD=0.3 m, ∠AOB=100°,则该扇环形砖雕的面积为 m2. ( )
【总结升华】
扇形弧长与面积最值问题求解策略
(1)根据已知量、未知量之间的关系,合理选择公式,建立方程(组)、不等式(组)或函数解决问题.
(2)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利用函数或基本不等式求最值.
【解析】选A.如图所示,第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
学习目标 育人目标
1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念. 2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角. 3.理解终边相同的角的含义及表示,并能解决有关问题. 情感价值:通过对任意角的学习,发展学生的几何直观想象能力,增强运用几何直观思考问题的意识. 学科素养:直观想象、数学运算
【问题导学】
1.如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗
2.把一个角放在直角坐标系中时,这个角是否一定就是某一个象限的角
3.终边相同的角相等吗 相等的角终边相同吗
【教材认知】
1.任意角的定义
(1)角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)角的表示:如图所示,角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”,始边:OA,终边:OB,顶点O.
(3)角的分类:
类型 定义 图示
正角 一条射线绕其端点,按逆时针方向旋转所形成的角
负角 一条射线绕其端点,按顺时针方向旋转所形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转
2.象限角与终边相同的角
(1)把角放在平面直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任意与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
(3)象限角的集合表示
象限角 集合表示
第一象限角 {x|k·360°<α第二象限角 {x|k·360°+90°<α第三象限角 {x|k·360°+180°<α第四象限角 {x|k·360°+270°<α【教材提炼】
1.轴线角及其集合表示
(1)轴线角的定义:在直角坐标系中,角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,可称为轴线角.
(2)轴线角的集合表示
角的终边位置 集合表示
x轴的正半轴 {β|β=k×360°,k∈Z}
x轴的负半轴 {β|β=k×360°+180°,k∈Z}
x轴上 {β|β=k×180°,k∈Z}
y轴正半轴 {β|β=k×360°+90°,k∈Z}
y轴负半轴 {β|β=k×360°-90°,k∈Z}
y轴上 {β|β=k×180°+90°,k∈Z}
2.两角的和、互为相反角、两角的差
对于两个任意角α,β,将角α的终边旋转角β(当β是正角时,按逆时针方向旋转;当β是负角时,按顺时针方向旋转;当β是零角时,不旋转),这时终边所对应的角称为α与β的和,记作α+β.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角互为相反角.角α的相反角记为-α,于是有α-β=α+(-β).
3.角终边的对称性:角的终边是一条射线,在平面直角坐标系中,当两个角的终边具有轴对称性时,它们所对应的角也会有一定的对称性.
角α,β终边的位置关系 α,β的关系
α与β的终边关于x轴对称 β=-α+k·360°(k∈Z)
α与β的终边关于y轴对称 β=-α+(2k+1)·180°(k∈Z)
α与β的终边关于原点对称 β=α+(2k+1)·180°(k∈Z)
α与β的终边在一条直线上 β=α+k·180°(k∈Z)
α与β的终边互相垂直 β=α+90°+k·180°(k∈Z)
关键能力·师生共研
题型一 任意角的理解
【典例1】下列说法中正确的是 ( )
A.第二象限角大于第一象限角
B.若k·360°<αC.钝角一定是第二象限角
D.三角形的内角是第一或第二象限角
【解析】选C.对A选项,如-210°<30°,故A错误.
对B选项,α为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角,故B错误.
对C选项,因为钝角大于90°且小于180°,所以钝角一定是第二象限角,故C正确.
对D选项,当三角形的一个内角为90°时,不是象限角,故D错误.
【总结升华】
任意角的理解的两个关注点
(1)正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【即学即练】
①锐角都是第一象限角;②第三象限角一定是负角;③小于180°的角是钝角、直角或锐角;④始边和终边重合的角是零角.
其中正确说法的序号为 .
【解析】①锐角是大于0°且小于90°的角,终边落在第一象限,是第一象限角,所以①正确;
②210°角是第三象限角,但它是正角,所以②错误;
③0°角是小于180°的角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,所以③错误;
④360°角的始边与终边重合,但它不是零角,所以④错误.
答案:①
题型二 求终边相同的角
【典例2】在0°到360°的范围内找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角.
(1)-80°;(2)1 600°;(3)-819°36'.
【解析】(1)因为-80°=280°-360°,所以在0°到360°的范围内,与-80°角终边相同的角是280°,是第四象限角.
(2)因为1 600°=160°+4×360°,所以在0°到360°的范围内,与1 600°角终边相同的角是160°,是第二象限角.
(3)因为-819°36'=260°24'-3×360°,所以在0°到360°的范围内,与-819°36'角终边相同的角是260°24',是第三象限角.
【总结升华】
求终边相同的角的一般方法
(1)把任意角化为k·360°+α(k∈Z且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k,可以用观察法(α的绝对值较小),也可用除法.
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.
【即学即练】
与-2 025°终边相同的最小正角是 .
【解析】因为-2 025°=360°×(-6)+135°,所以与-2 025°终边相同的最小正角是135°.
答案:135°
题型三角所在的象限的确定
【典例3】(1)已知角α=-1 920°,则角α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】选C.因为-1 920°=-6×360°+240°,
所以-1 920°与240°是同一象限角,
因为240°是第三象限角,
故α=-1 920°为第三象限角.
(2)若α是第三象限角,则α-270°的终边所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.若α是第三象限角,则180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z,
所以-90°+k·360°<α-270°所以α-270°的终边所在的象限是第四象限.
(3)已知角α的终边在第四象限,确定下列各角终边所在的象限:
①;②2α;③;④3α.
【解析】①因为α为第四象限角,所以270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z,所以135°+k·180°<<180°+k·180°,k∈Z.
当k=2n时,135°+n·360°<<180°+n·360°,n∈Z,终边在第二象限;
当k=2n+1时,315°+n·360°<<360°+n·360°,n∈Z,终边在第四象限,所以的终边在第二或第四象限.
②由①得540°+k·720°<2α<720°+k·720°,k∈Z,所以2α的终边在第三或第四象限,也可在y轴的负半轴上.
③由①得90°+k·120°<<120°+k·120°,k∈Z,当k=3n时,90°+n·360°<<120°+n·360°,n∈Z,终边在第二象限,
当k=3n+1时,210°+n·360°<<240°+n·360°,n∈Z,终边在第三象限,
当k=3n+2时,330°+n·360°<<360°+n·360°,n∈Z,终边在第四象限,
所以的终边在第二、第三或第四象限.
④由①得810°+3k·360°<3α<1 080°+3k·360°,k∈Z,即90°+720°+3k·360°<3α<360°+720°+ 3k·360°,k∈Z,所以3α的终边在第二、第三或第四象限,也可在x,y轴的负半轴上.
【总结升华】
1.角的象限判定方法
第一步,将α写成α=k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
第二步,判断β的终边所在的象限;
第三步,根据β的终边所在的象限,即可确定α的终边所在的象限.
2.要确定的终边所在的象限,可以把各个象限都n等分,从x轴正半轴的上方起,按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4,则标号是几的区域就是θ为第几象限角时,的终边所在的区域,的终边所在的象限就可直观地看出.
【即学即练】
1.给出四个命题:①-60°是第四象限角;②235°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.对①:-60°是第四象限角,故①正确;
对②:180°<235°<270°,故其为第三象限角,故②正确;
对③:475°=360°+115°,又115°是第二象限角,故475°是第二象限角,③正确;
对④:-315°=-360°+45°,又45°是第一象限角,故-315°是第一象限角,④正确.故正确的有4个.
2.若α是第一象限角,则-是 ( )
A.第一象限角 B.第四象限角
C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角
【解析】选D.k·180°<题型四根据图形写出角的范围
【典例4】如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).
【解析】(1)这是对顶角区域的表示问题,结合图象终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°或k·360°+225°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}={α|n·180°+45°≤α≤n·180°
+90°,n∈Z}.
(2)在-180°到180°范围内,阴影部分为-150°~120°,终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°-150°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}.
【总结升华】
根据图形写角的范围的步骤
第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;
第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°到360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.
【即学即练】
(2025·厦门一中高一质检)已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不含边界),则角α的范围为 .
【解析】由题图可知,终边落在阴影部分的角的集合为{α|45°+k·360°<α<135°+k·360°,k∈Z}∪{α|225°+k·360°<α<315°+k·360°,k∈Z},即{α|45°+k·180°<α<135°+k·180°,k∈Z}.
答案:{α|45°+k·180°<α<135°+k·180°,k∈Z}(共30张PPT)
第7章 三角函数
7.1 角与弧度
7.1.1 任意角
学习目标 育人目标
1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念.
2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.
3.理解终边相同的角的含义及表示,并能解决有关问题. 情感价值:通过对任意角的学习,发展学生的几何直观想象能力,增强运用几何直观思考问题的意识.
学科素养:直观想象、数学运算
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗
2.把一个角放在直角坐标系中时,这个角是否一定就是某一个象限的角
3.终边相同的角相等吗 相等的角终边相同吗
【教材认知】
1.任意角的定义
(1)角的概念:角可以看成平面内一条_____绕着它的端点从一个位置_____
到另一个位置所形成的图形.
(2)角的表示:如图所示,角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”,始边:____,
终边:____,顶点O.
射线
旋转
OA
OB
(3)角的分类:
类型 定义 图示
正角 一条射线绕其端点,按_______方向
旋转所形成的角
负角 一条射线绕其端点,按_______方向
旋转所形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转
逆时针
顺时针
2.象限角与终边相同的角
(1)把角放在平面直角坐标系中,使角的顶点与_____重合,角的始边与x轴的
_____轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角
的终边在_______上,就认为这个角不属于任何一个象限.
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合
S=___________________,即任意与角α终边相同的角,都可以表示成角α与
整数个周角的和.
原点
正半
坐标轴
{β|β=α+k·360°,k∈Z}
(3)象限角的集合表示
象限角 集合表示
第一象限角 {x|k·360°<α第二象限角 {x|k·360°+90°<α第三象限角 {x|k·360°+180°<α第四象限角 {x|k·360°+270°<α【教材提炼】
1.轴线角及其集合表示
(1)轴线角的定义:在直角坐标系中,角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,可称为轴线角.
(2)轴线角的集合表示
角的终边位置 集合表示
x轴的正半轴 {β|β=k×360°,k∈Z}
x轴的负半轴 {β|β=k×360°+180°,k∈Z}
x轴上 {β|β=k×180°,k∈Z}
y轴正半轴 {β|β=k×360°+90°,k∈Z}
y轴负半轴 {β|β=k×360°-90°,k∈Z}
y轴上 {β|β=k×180°+90°,k∈Z}
2.两角的和、互为相反角、两角的差
对于两个任意角α,β,将角α的终边旋转角β(当β是正角时,按逆时针方向旋转;当β是负角时,按顺时针方向旋转;当β是零角时,不旋转),这时终边所对应的角称为α与β的和,记作α+β.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角互为相反角.角α的相反角记为-α,于是有α-β
=α+(-β).
3.角终边的对称性:角的终边是一条射线,在平面直角坐标系中,当两个角的终边具有轴对称性时,它们所对应的角也会有一定的对称性.
角α,β终边的位置关系 α,β的关系
α与β的终边关于x轴对称 β=-α+k·360°(k∈Z)
α与β的终边关于y轴对称 β=-α+(2k+1)·180°(k∈Z)
α与β的终边关于原点对称 β=α+(2k+1)·180°(k∈Z)
α与β的终边在一条直线上 β=α+k·180°(k∈Z)
α与β的终边互相垂直 β=α+90°+k·180°(k∈Z)
02
关键能力 师生共研
题型一 任意角的理解
【典例1】下列说法中正确的是 ( )
A.第二象限角大于第一象限角
B.若k·360°<αC.钝角一定是第二象限角
D.三角形的内角是第一或第二象限角
【解析】选C.对A选项,如-210°<30°,故A错误.
对B选项,α为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角,故B错误.
对C选项,因为钝角大于90°且小于180°,所以钝角一定是第二象限角,
故C正确.
对D选项,当三角形的一个内角为90°时,不是象限角,故D错误.
【总结升华】
任意角的理解的两个关注点
(1)正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可.
【即学即练】
①锐角都是第一象限角;②第三象限角一定是负角;③小于180°的角是钝角、直角或锐角;④始边和终边重合的角是零角.
其中正确说法的序号为 .
【解析】①锐角是大于0°且小于90°的角,终边落在第一象限,是第一象限角,所以①正确;
②210°角是第三象限角,但它是正角,所以②错误;
③0°角是小于180°的角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,所以③错误;
④360°角的始边与终边重合,但它不是零角,所以④错误.
答案:①
题型二 求终边相同的角
【典例2】在0°到360°的范围内找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角.
(1)-80°;(2)1 600°;(3)-819°36'.
【解析】(1)因为-80°=280°-360°,所以在0°到360°的范围内,与-80°角终边相同的角是280°,是第四象限角.
(2)因为1 600°=160°+4×360°,所以在0°到360°的范围内,与1 600°角终边相同的角是160°,是第二象限角.
(3)因为-819°36'=260°24'-3×360°,所以在0°到360°的范围内,与-819°36'角终边相同的角是260°24',是第三象限角.
【总结升华】
求终边相同的角的一般方法
(1)把任意角化为k·360°+α(k∈Z且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k,可以用观察法(α的绝对值较小),也可用除法.
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.
【即学即练】
与-2 025°终边相同的最小正角是 .
【解析】因为-2 025°=360°×(-6)+135°,所以与-2 025°终边相同的最小正角是135°.
答案:135°
题型三角所在的象限的确定
【典例3】(1)已知角α=-1 920°,则角α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【解析】选C.因为-1 920°=-6×360°+240°,
所以-1 920°与240°是同一象限角,
因为240°是第三象限角,
故α=-1 920°为第三象限角.
(2)若α是第三象限角,则α-270°的终边所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.若α是第三象限角,则180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z,
所以-90°+k·360°<α-270°所以α-270°的终边所在的象限是第四象限.
④由①得810°+3k·360°<3α<1 080°+3k·360°,k∈Z,即90°+720°+3k·360°
<3α<360°+720°+ 3k·360°,k∈Z,所以3α的终边在第二、第三或第四象限,也可在x,y轴的负半轴上.
【即学即练】
1.给出四个命题:①-60°是第四象限角;②235°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.对①:-60°是第四象限角,故①正确;
对②:180°<235°<270°,故其为第三象限角,故②正确;
对③:475°=360°+115°,又115°是第二象限角,故475°是第二象限角,③正确;
对④:-315°=-360°+45°,又45°是第一象限角,故-315°是第一象限角,④正确.故正确的有4个.
题型四根据图形写出角的范围
【典例4】如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界).
【解析】(1)这是对顶角区域的表示问题,结合图象终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°或k·360°+225°≤α≤k·360°+
270°,k∈Z}={α|n·180°+45°≤α≤n·180°
+90°,n∈Z}.
(2)在-180°到180°范围内,阴影部分为-150°~120°,终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|k·360°-150°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}.
【总结升华】
根据图形写角的范围的步骤
第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;
第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°到360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.
【即学即练】
(2025·厦门一中高一质检)已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不含边界),则角α的范围为 .
【解析】由题图可知,终边落在阴影部分的角的集合为
{α|45°+k·360°<α<135°+k·360°,k∈Z}∪{α|225°+k·360°
<α<315°+k·360°,k∈Z},即{α|45°+k·180°<α<135°+k·180°,
k∈Z}.
答案:{α|45°+k·180°<α<135°+k·180°,k∈Z}7.1.2 弧度制
学习目标 育人目标
1.借助教材实例理解弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的对应关系. 情感价值:通过对弧度制的探究,发展学生的自主归纳能力;通过弧度制与角度制的换算、弧长和扇形面积公式的探究与应用,提升学生的推理能力和计算能力. 学科素养:逻辑推理、数学运算
【问题导学】
1.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗
2.角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间换算的关键是什么
3.在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等吗
4.式子|α|=中,比值与所取的圆的半径大小是否有关
【教材认知】
1.角度制与弧度制
角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的
弧度制 定义 用弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角
2.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°=2π rad 2π rad=360°
180°=π rad π rad=180°
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=≈57.30°
度数×=弧度数 弧度数×=度数
3.弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r,弧长为l,α(0<α<2π)或n°为其圆心角,则弧长公式与扇形面积公式如下:
类别/度量单位 角度制 弧度制
扇形的弧长 l= l=αr
扇形的面积 S= S=lr=αr2
关键能力·师生共研
题型一 弧度与角度的互化
【典例1】(多选)下列结论正确的是 ( )
A.-150°化成弧度是- rad
B.- rad化成度是-40°
C.67°30'化成弧度是 rad
D. rad化成角度是15°
【解析】选BCD.对于A,-150°=-150× rad=- rad,A错误;
对于B,- rad=(-)×=-40°,B正确;
对于C,67°30'=67.5× rad= rad,C正确;
对于D, rad==15°,D正确.
【总结升华】
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π rad=180°.
(2)方法:度数×=弧度数;弧度数×=度数.
提醒:角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
【即学即练】
(多选)下列弧度与角度的转化正确的是 ( )
A.-240°=- B.=330° C.225°= D.-=-310°
【解析】选AC.对于A,-240°=-,A对;
对于B,=300°,B错;
对于C,225°=,C对;
对于D,-=-315°,D错.
题型二 弧度制的应用
【典例2】(1)已知角α=2 000°,将α改写成β+2kπ(0<β<2π)的形式,并且指出α是第几象限角.
【解析】α=2 000°=2 000×=π=10π+π,因为π rad是第三象限角,因此α是第三象限角.
(2)如图所示:
①分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【解析】①终边在OA上的角的集合为{α|α=+2kπ,k∈Z}.
终边在OB上的角的集合为{β|β=-+2kπ,k∈Z}.
②{θ|-+2kπ≤θ≤+2kπ,k∈Z}.
【总结升华】
1.弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
提醒:角度制与弧度制不能混用.
【即学即练】
1.把-375°表示成θ+2kπ,k∈Z的形式,则θ的值可以是 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选B.因为-375°=-15°-360°,
所以-375°=(--2π)rad,
所以θ的值可以是-.
2.(2025·金陵中学高一月考)已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界),角α的终边和θ相同,则角α的集合为 ( )
A.{α|+2kπ<α<+2kπ,k∈Z}
B.{α|+<α<+,k∈Z}
C.{α|+kπ<α<+kπ,k∈Z}
D.{α|+≤α≤+,k∈Z}
【解析】选C.终边落在y=x上的角为+kπ(k∈Z),终边落在y=x上的角为+kπ(k∈Z),故角α的集合为{α|+kπ<α<+kπ,k∈Z}.
题型三扇形的弧长公式及面积公式
角度1 扇形弧长计算
【典例3】 (2025·济宁一中高一质检)如图,分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C,D为圆心,边长为半径画弧,两弧交于点F,则的长为 ( )
A.π B.π C.π D.π
【解析】选A.如图,连接CF,DF,由题得△CDF为等边三角形,所以∠CDF=,又∠BCD
==,
所以∠BCF=∠BCD-∠FCD=-=,所以的长为×3=.
角度2 扇形面积与圆心角计算
【典例4】(1)(多选)(教材例5改编)已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的圆心角为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选AC.设扇形的半径和弧长分别为r,l,则由题意可知:,解得或,所以圆心角的弧度数为α==4或1.
(2) (2025·苏州中学高一月考)砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式,传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示,一扇环形砖雕,可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形,已知OA=0.2 m,AD=0.3 m,∠AOB=100°,则该扇环形砖雕的面积为 m2. ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意知,OA=0.2 m,AD=0.3 m,∠AOB=100°,可得OD=0.2+0.3=0.5(m),
可得扇形OCD的面积S1=×0.52,扇形OAB的面积S2=×0.22,所以该扇环形砖雕的面积S=S1-S2=×(0.52-0.22)=.
角度3 扇形弧长与面积最值问题
【典例5】(多选)已知扇形的半径为r,弧长为l,若其周长为4,下列说法正确的是 ( )
A.若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为1 B.该扇形面积的最大值为1
C.当该扇形面积最大时,其圆心角为2 D.+的最小值为9
【思路导引】由题意可知2r+l=4,S=lr,l=αr,直接利用公式可判断选项A,将扇形的面积表示为S=(4-2r)r,再利用二次函数的性质可判断选项B,C,举反例可判断选项D,进而可得正确选项.
【解析】选ABC.由题意知:2r+l=4,S=lr,l=αr,对于选项A:当r=1时,l=2,可得S=×2×1=1,故选项A正确;
对于选项B,C:S=(4-2r)r=(2-r)r=-r2+2r,当r=1时面积取最大值,此时l=2,α=2,故选项B,C正确;
对于选项D:当r=1时,l=2,+=2+=<9,故选项D不正确.
【总结升华】
扇形弧长与面积最值问题求解策略
(1)根据已知量、未知量之间的关系,合理选择公式,建立方程(组)、不等式(组)或函数解决问题.
(2)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利用函数或基本不等式求最值.
【即学即练】
1.如图,正方形ABCD的边AB=1,和都是以1为半径的圆弧,则无阴影部分的两部分的面积之差是 ( )
A.-1 B.1- C.-1 D.1-
【解析】选A.如图所示,
S正方形=S1+S2+S3+S4,2S扇形=2S3+S1+S2,
两式相减,得到S3-S4=2S扇形-S正方形=2××12-1=-1.
2.(多选)(2025·长沙一中高一调研)已知一根长为L的铁丝,现在要把这根铁丝正好折成一个扇形,且使得扇形的面积最大.则下列选项中正确的是( )
A.当扇形的面积最大时,扇形的半径为
B.扇形面积的最大值为
C.当扇形的面积最大时,扇形的半径为
D.扇形面积的最大值为
【解析】选BC.设扇形的半径和弧长分别为r,l,由题意知:2r+l=L,则S=lr=l·2r≤()2=L2,当且仅当l=2r=,即l=,r=时等号成立,故BC正确,AD错误.
