7.2.3 三角函数的诱导公式(二)
必备知识·自主导学
【问题导学】
1.角-α与角α的终边有什么样的位置关系
2.从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六,有什么变化规律
3.用诱导公式化简求值的方法是什么
4.常见的角的变化技巧有哪些
【教材认知】
(1)诱导公式五、六
项目 公式五 公式六
终边关系 角-α与角α的终边关于直线y=x对称 角+α与角α的终边垂直
图形
公式 sin(-α)=cos α, cos(-α)=sin α sin(+α)=cos α, cos(+α)=-sin α
(2)本质:单位圆中,终边关于y=x对称,互相垂直的角的三角函数之间的关系.
(3)应用:与诱导公式一~四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
【教材提炼】
1.sin (-α)=-cos α,cos (-α)=-sin α,
sin (+α)=-cos α,cos (+α)=sin α.
2.观察互余、互补关系:-α与+α,+α与-α,-α与+α等互余,+θ与-θ,+θ与-θ等互补,遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换来解决问题.
关键能力·师生共研
题型一 利用诱导公式求值
【典例1】(类题·节节高)
(1)已知cos (π+α)=-,α为第一象限角,求cos (+α)的值.
【解析】因为cos (π+α)=-,所以cos α=,又因为α为第一象限角,所以cos (+α)=-sin α=-=-=-.
(2)已知sin (-α)=,求cos (+α)的值.
【解析】cos (+α)=cos [-(-α) ]
=sin (-α)=.
(3)已知cos (-β)=,求cos (+β)·sin (-β)的值.
【解析】因为cos (-β)=,
所以cos (+β)·sin (-β)=cos[π-(-β) ]·sin [+(-β) ] =-cos (-β)·cos (-β)=-=-.
【总结升华】
解决化简求值问题的策略
(1)能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值.
(2)不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系,观察时要将角看成整体,观察它们的和、差关系,是否具有互补、互余等特殊关系,再利用诱导公式转化求值.
【即学即练】
(2025·衡水中学高一月考)已知cos(α-)=,α∈(,π),则cos(α+)= ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选A.因为cos(α-)=,α∈(,π),所以0<α-<,所以sin(α-)==,
所以cos(α+)=cos[(α-)+]=-sin(α-)=-.
题型二 利用诱导公式化简与证明
【典例2】(1)求证:=.
【证明】左边===,
右边=====,所以等式成立.
(2)化简:
.
【解析】原式===-cos α.
【总结升华】
三角式化简与证明的策略
(1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,应遵循化繁为简的原则.
(2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法.
【即学即练】
(2025·盐城中学高一月考)已知f(α)=.化简f(α)= ( )
A.-cos α B.cos α C.-sin α B.sin α
【解析】选A.f(α)
=
==-cos α.
题型三诱导公式在三角形中的应用
【典例3】已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cos2+cos2=1;
(2)若cos (+A)sin (+B)tan (C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
【证明】(1)因为在△ABC中,A+B=π-C,
所以=-,
所以cos =cos (-)=sin ,
所以cos2+cos2=sin2+cos2=1,所以原等式成立.
(2)因为cos (+A)sin (+B)tan (C-π)<0,
所以-sin A·(-cos B)·tan C<0,
即sin Acos Btan C<0.
又因为A,B,C∈(0,π),所以sin A>0,
所以cos Btan C<0,
即cos B<0,tan C>0或tan C<0,cos B>0,
所以B为钝角或C为钝角,
所以△ABC为钝角三角形.
【总结升华】
三角形中的公式
(1)sin (A+B)=sin C,sin (A+C)=sin B,sin (B+C)=sin A;
(2)cos (A+B)=-cos C,cos (A+C)=-cos B,cos (B+C)=-cos A;
(3)tan (A+B)=-tan C,tan (A+C)=-tan B,tan (B+C)=-tan A;
(4)sin =cos ;sin =cos ,sin =cos ;
(5)cos =sin ,cos =sin ,cos =sin .
【即学即练】
已知A,B,C为△ABC的三个内角,求证:sin (+)=cos (-).
【证明】在△ABC中,A+B+C=π,
则=.
所以cos (-)=cos (-)
=cos (--)
=cos [-(+)]
=sin (+),
故原等式得证.(共24张PPT)
7.2.3 三角函数的诱导公式(一)
学习目标 育人目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用,理解诱导公式的推导过程.
2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
3.通过诱导公式的推导,培养学生思维的严密性与科学性以及孜孜不倦的探索精神. 情感价值:通过三角函数诱导公式的推导与应用,发展学生的抽象概括能力、探索和表述论证能力、计算能力和逻辑思维.
学科素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.诱导公式中角α只能是锐角吗
2.诱导公式一~四改变函数的名称吗 作用分别是什么
【教材认知】
诱导公式
(1)诱导公式一
sin(α+2kπ)=_____,cos(α+2kπ)=_____, tan(α+2kπ)=_____(k∈Z).
语言表达:终边相同的角的同一三角函数值相等.
sin α
cos α
tan α
(2)诱导公式二、三、四
项目 公式二 公式三 公式四
终边
关系 角-α与角α的终边关于x轴对称 角π-α与角α的终边关于y轴对称 角π+α与角α的终边关于原点对称
图形
项目 公式二 公式三 公式四
公式 sin(-α)=-sin α,
cos(-α)=_____,
tan(-α)=-tan α sin(π-α)=sin α,
cos(π-α)=-cos α,
tan(π-α)=______ sin(π+α)=______,
cos(π+α)=-cos α,
tan(π+α)=tan α
cos α
-tan α
-sin α
(3)本质:在单位圆中,不同角的终边的位置关系决定了三角函数值之间的
关系.
(4)应用:通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数,广泛应
用于计算、化简、证明之中.
【教材提炼】
各诱导公式的作用:
诱导公式 作用
公式一 将角转化为0~2π之间的角求值
公式二 将负角转化为正角求值
公式三
公式四
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
【总结升华】
解决给值求值问题的策略
(1)解决给值(式)求值问题,首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
【总结升华】
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数符号的影响.(共19张PPT)
7.2.3 三角函数的诱导公式(二)
01
必备知识 自主导学
【教材认知】
(1)诱导公式五、六
项目 公式五 公式六
终边关系
图形
项目 公式五 公式六
公式
(2)本质:单位圆中,终边关于y=x对称,互相垂直的角的三角函数之间的关系.
(3)应用:与诱导公式一~四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
cos α
sin α
cos α
-sin α
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
解决化简求值问题的策略
(1)能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值.
(2)不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系,观察时要将角看成整体,观察它们的和、差关系,是否具有互补、互余等特殊关系,再利用诱导公式转化求值.
【总结升华】
三角式化简与证明的策略
(1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,应遵循化繁为简的原则.
(2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法.
【问题导学】
1.角-a与角的终边有什么样的位置关系？
2.从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六，有什么变化规律？
3.用诱导公式化简求值的方法是什么？
4.常见的角的变化技巧有哪些？
项目
公式五
公式六
终边关系角-a与角的终边关于直线y=x对称角+a与角a的终边垂直
图形
【教材提炼】
n(-a)--cos a,cos (a)--sin a,
3π
l.sin
sin+a)=-cosa,cos(+a）-=sina
2观察互余、互补关系与+a}+与a,与}+等互余+屿
+0与3”等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变
换来解决问题，
题型一利用诱导公式求值
【典例1】（类题·节节高）
(1)已知cos(π+)=，为第一象限角，求cos+a的值
【解析】因为cos(+a)-,所以cosa-又因为a为第一象限角，所以cos(号
+a)=-sin a=-V1-cos2a--1-
【保折】cos后+d=eo片传W
-sin
【解析】因为cos
39
所以cos
((-cossin]--cos(cos
(即学即练】
【解折】选A4因为cos(a孕2a∈
厅以0
1-c0s2(-2)=
斤以cos(a+-cos[(ar2+]
-sin(a-
题型
二利用诱导公式化简与证明
【典例2
证明】左边
-2cosesin0-1
(sine+cos0)2
sin0+cos0
sin20+cos20-2sin20
(cos0+sine)(cos0-sine)
sine-cos0'
右边
tan(8r+元+e)+1tan(π+e)+1tan日+1
-c0s0
sin0+cos0
所以等式成立
tanπ+)-1
tan(π+e)一1
ta一1
sine(共30张PPT)
7.2.2 同角三角函数关系
学习目标 育人目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 情感价值:通过探究同角三角函数的关系,发展学生的探索和表述论证能力;通过同角三角函数的应用,进一步发展学生的运算能力和严谨的理性思维.
学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.“同角”一词的含义是什么 sin2α+cos2β=1恒成立吗 对任意角α,sin22α
+cos22α=1是否成立
2.平方关系和商数关系成立的条件分别是什么
3.对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少需要知道其中几个值,才能求出其他三角函数值
4.证明三角恒等式常用哪些方法
【教材认知】
同角三角函数关系
(1)基本关系式
关系 平方关系 商数关系
公式表示 _____________
语言叙述 同一个角α的正弦、余弦
的平方和等于1 同一个角α的正弦、余弦的商
等于角α的_____
sin2α+cos2α=1
tan α
正切
(2)本质:同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.
(3)应用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函数的证明、化简.
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
利用同角三角函数基本关系式求解时的注意点
(1)定符号:根据角所在的象限或角的范围确定三角函数值的符号.
(2)定值:根据三角函数的基本关系确定函数值.
【总结升华】
已知角α的正切求关于sin α,cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α,cos α的齐次式就是分式中的每一项都是关于sin α,cos α的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子、分母同除以cos α的n次幂,其式子可化为关于tan α的式子,再代入求值.
(2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2α+cos2α来替换,将分子、分母同除以cos2α,可化为关于tan α的式子,再代入求值.
【总结升华】
已知sin θ±cos θ,sin θcos θ求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有:
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们,已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,另两个式子的值均可求出.
【总结升华】
证明三角恒等式的常用方法
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等.
(3)作差法:两式作差,对差式变形化简,差式为零即得证.7.2.3 三角函数的诱导公式(一)
学习目标 育人目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用,理解诱导公式的推导过程. 2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 3.通过诱导公式的推导,培养学生思维的严密性与科学性以及孜孜不倦的探索精神. 情感价值:通过三角函数诱导公式的推导与应用,发展学生的抽象概括能力、探索和表述论证能力、计算能力和逻辑思维. 学科素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理
【问题导学】
1.诱导公式中角α只能是锐角吗
2.诱导公式一~四改变函数的名称吗 作用分别是什么
【教材认知】
诱导公式
(1)诱导公式一
sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,
tan(α+2kπ)=tan α(k∈Z).
语言表达:终边相同的角的同一三角函数值相等.
(2)诱导公式二、三、四
项目 公式二 公式三 公式四
终边 关系 角-α与角α的终边关于x轴对称 角π-α与角α的终边关于y轴对称 角π+α与角α的终边关于原点对称
图形
公式 sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α sin(π-α)=sin α, cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α sin(π+α)=-sin α, cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tan α
(3)本质:在单位圆中,不同角的终边的位置关系决定了三角函数值之间的关系.
(4)应用:通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数,广泛应用于计算、化简、证明之中.
【教材提炼】
各诱导公式的作用:
诱导公式 作用
公式一 将角转化为0~2π之间的角求值
公式二 将负角转化为正角求值
公式三 将角转化为0~之间的角求值
公式四 将角转化为0~之间的角求值
关键能力·师生共研
题型一 给角求值
【典例1】(教材例9改编)求下列各三角函数式的值:
(1)sin ;
(2)tan 405°;
(3)sin (-);
(4)cos(-);
(5)sin ;
(6)cos (-).
【解析】(1)sin =sin (+6π)=sin =1;
(2)tan 405°=tan (45°+360°)=tan 45°=1;
(3)sin (-)=-sin =-;
(4)cos (-)=cos =;
(5)sin =sin (π-)=sin =;
(6)cos (-)=cos ()=cos (π+)=-cos =-.
【总结升华】
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
【即学即练】
计算:sin(-1 200°)cos 585°+cos(-300°)sin(-750°)=( )
A. B. C. D.
【解析】选A.原式=-sin(3×360°+120°)cos(2×360°-135°)+cos(360°-60°)[-sin(2×360°+30°)]
=-sin 120°cos(-135°)-cos(-60°)sin 30°
=-sin 60°cos 135°-cos 60°sin 30°
=-sin 60°cos(180°-45°)-cos 60°sin 30°
=-sin 60°·(-cos 45°)-cos 60°sin 30°
=sin 60°cos 45°-cos 60°sin 30°
=-=.
题型二 给值(式)求值
【典例2】(类题·节节高)
(1)已知cos (π-α)=-,且α是第一象限角,则sin (-2π-α)的值是 ( )
A. B.- C.± D.
【解析】选B.因为cos (π-α)=-cos α,
所以cos α=.
因为α是第一象限角,所以sin α>0.
所以sin α===.
所以sin (-2π-α)=sin (-α)=-sin α=-.
(2)已知sin (-α)=,则sin (+α)= ( )
A. B.- C.- D.
【解析】选D.因为sin (-α)=,所以sin (+α)=sin[π-(-α) ]=sin (-α)=.
(3)已知cos(-α)=,则cos(π+α)-sin2(α-)= .
【解析】因为cos (π+α)=cos[π-(-α) ]
=-cos (-α)=-,sin2(α-)=sin2[-(-α) ]=1-cos2(-α)=1-()2=,
所以cos (π+α)-sin2(α-)=--=-.
答案:-
【总结升华】
解决给值求值问题的策略
(1)解决给值(式)求值问题,首先要仔细观察已知式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
【即学即练】
1.(2025·诸暨中学高一月考)已知tan α=-,则的值为 ( )
A.- B. C. D.-
【解析】选A.原式==tan α=-.
2.(2025·潍坊一中高一月考)已知sin(α-)=,则sin(-α)的值为 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选C.已知sin(α-)=,则sin(-α)=-sin(-α)=sin(α-)=.
题型三证明恒等式
【典例3】(一题多解)设tan (α+)=m,求证
=.
【证明】方法一:左边
=
=
===右边,
所以原等式成立.
方法二:由tan (α+)=m,得tan (α+)=m,
所以等式左边==
===右边,等式成立.
【总结升华】
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数符号的影响.
【即学即练】
证明:=(-1)ncos α,n∈Z.
【证明】当n为偶数时,令n=2k,k∈Z,
左边=
===cos α.
右边=(-1)2kcos α=cos α,所以左边=右边.
当n为奇数时,令n=2k-1,k∈Z,
左边=
=
===-cos α.
右边=(-1)2k-1cos α=-cos α,所以左边=右边.
综上所述,=(-1)ncos α,n∈Z成立.7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标 育人目标
1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号. 3.使学生认识到三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式. 情感价值:通过学习任意角的三角函数概念、各象限三角函数的符号等,发展学生的拓展探究能力,提升学生利用几何图形解决问题的能力. 学科素养:数学抽象、直观想象、逻辑推理
【问题导学】
1.三角函数定义中,自变量是什么 函数是什么
2.对于确定的角α,请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗
3.确定三角函数值的符号关键是什么
4.已知角α终边上的任意一点,如何求α的三角函数值
【教材认知】
1.三角函数的定义(坐标法)
(1)在角α的终边上异于原点,任取一点P(x,y),它与原点的距离是r,则
r=|OP|=,根据三角函数定义得出角α的三角函数的正弦、余弦、正切.
sin α==,cos α==,tan α==.
(2)本质:用坐标法定义三角函数,是根据角终边上点的坐标,构造直角三角形,将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合,简单易行,便于学生理解、掌握.
(3)应用:适用于求任意角的三角函数值,特别是弧度制条件下角的三角函数值.
2.三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
sin α=y;cos α=x;tan α=(x≠0).
3.三角函数值的符号
(1)图形表示:
(2)记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【教材提炼】
三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
1.已知角α的终边上一点P的坐标,求角α的三角函数值
方法:先求出点P到原点的距离,再利用三角函数的定义求解;
2.已知角α的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标,求与角α有关的三角函数值
方法:先求出点P到原点的距离(带参数),根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程,求出未知数,从而求解问题;
3.已知角α的终边所在的直线方程(y=kx,k≠0),求角α的三角函数值
方法:先设出终边上的一点P(a,ka)(a≠0),求出点P到原点的距离,再利用三角函数的定义求解(注意α的符号,对α分类讨论).
关键能力·师生共研
题型一 定义法求三角函数值
【典例1】(类题·节节高)
(1)若角α的终边与单位圆的交点为P(,y)(y<0),则tan α的值为 .
【解析】因为点P(,y)(y<0)在单位圆上,则+y2=1,所以y=-,所以tan α=-.
答案:-
(2)若角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,则tan α的值为 .
【解析】设射线y=2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x,y),
则解得
即P(,),故tan α=2.
答案:2
(3)若角α的终边落在直线y=2x上,则tan α的值为 .
【解析】①若α终边在第一象限内,
设点P(x,2x)(x>0)是其终边上任意一点,O为坐标原点,
因为r=|OP|==x(x>0),
所以sin α===,
cos α===,tan α===2.
②若α终边在第三象限内,设点P(x,2x)(x<0)是其终边上任意一点,O为坐标原点,
因为r=|OP|==-x(x<0),
所以sin α===-,cos α===-,tan α=2.综上,tan α=2.
答案:2
(4)(2025·南通中学高一月考)已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cos θ=,则实数a= .
【解析】由题设,可知=,且2a+1>0,即a>-,
所以=,则11a2+20a-4=0,解得a=-2(舍去)或a=.综上,a=.
答案:
【总结升华】
根据角终边上一点求该角的三角函数值
已知角α的终边上一点P(x,y)求三角函数值时,先求r=OP(O为坐标原点),再根据定义sin α=,cos α=,tan α=确定三角函数值;若条件中含有参数,要注意对参数进行讨论.
【即学即练】
已知角α终边过点P(3a,-4a)(a<0),则sin α+cos α的值为 ( )
A. B. C.- D.-
【解析】选A.由题意得,点(3a,-4a)(a<0)到原点的距离r==-5a,
根据三角函数的定义可知sin α==,cos α==-,所以sin α+cos α=.
题型二 三角函数值符号的应用
【典例2】(1)(2025·临沂一中高一月考)若cos θ>0,tan θ<0,则的终边在 ( )
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、三象限或在x轴的非负半轴上
D.第二、四象限或在x轴的非负半轴上
【解析】选B.因为cos θ>0,tan θ<0,所以θ的终边在第四象限,即+2kπ<θ<2π+2kπ(k∈Z),则+kπ<<π+kπ(k∈Z),当k=0时,的终边在第二象限;当k=1时,的终边在第四象限.
(2)(多选)(2025·福州一中高一质检)下列选项中,结果为正数的有 ( )
A.sin 1 B.cos 2 C.sin 3 D.cos 4
【解析】选AC.因为0<1<<2<3<π<4<,所以sin 1>0,cos 2<0,sin 3>0,cos 4<0.
【总结升华】
判断三角函数的符号常用的方法
1.确定角:根据题目给出条件,确定角所在的象限;
2.定符号:根据角所在象限,结合题目的具体特点,最终确定符号.
【即学即练】
(2025·盐城中学高一月考)下列函数值为负值的是 ( )
A.sin(-1 000°) B.cos(-2 200°) C.tan(-10) D.sin
【解析】选C.-1 000°=-360°×3+80°,所以-1 000°为第一象限角,故sin(-1 000°)>0,故A不符合题意;
-2 200°=-360°×6-40°,所以-2 200°为第四象限角,故cos(-2 200°)>0,故B不符合题意;
-<-10<-3π,所以-10为第二象限角,故tan(-10)<0,故C符合题意;
<<π,所以为第二象限角,故sin >0,故D不符合题意.
题型三三角函数概念的综合应用
【典例3】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,动点P,Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,则P,Q两点在第2 023次相遇时,点P的坐标是 ( )
A.(0,1) B. (-,-) C.(-1,0) D.(0,-1)
【解析】选B.因为点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,两点相遇1次的路程是单位圆的周长即2π,所以两点相遇一次用了1秒,因此当两点相遇2 023次时,共用了2 023秒,所以此时点P所转过的角度为=337π+.
由终边相同的角的概念可知,与π的终边相同,所以P点坐标为(-,-).
【总结升华】
本题关键是根据两点的速度可求出两点相遇2 023次时所用的时间,进而可求出点P所转的弧度,即可确定点P的坐标.
【即学即练】
在平面直角坐标系xOy中,单位圆上一点P从点(0,1)出发,逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为 .
【解析】OP与x轴正半轴的夹角为,设点P逆时针方向运动弧长到达Q点后OQ与x轴正半轴的夹角为α,此时α=+=,则xQ=cos α=cos =-,yQ=sin α=sin =,
故此时点Q的坐标为(-,).
答案: (-,)(共26张PPT)
7.2 三角函数概念
7.2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标 育人目标
1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.
3.使学生认识到三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式. 情感价值:通过学习任意角的三角函数概念、各象限三角函数的符号等,发展学生的拓展探究能力,提升学生利用几何图形解决问题的能力.
学科素养:数学抽象、直观想象、逻辑推理
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.三角函数定义中,自变量是什么 函数是什么
2.对于确定的角α,请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗
3.确定三角函数值的符号关键是什么
4.已知角α终边上的任意一点,如何求α的三角函数值
【教材认知】
1.三角函数的定义(坐标法)
(1)在角α的终边上异于原点,任取一点P(x,y),它与原点的距离是r,则
(2)本质:用坐标法定义三角函数,是根据角终边上点的坐标,构造直角三角形,将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合,简单易行,便于学生理解、掌握.
(3)应用:适用于求任意角的三角函数值,特别是弧度制条件下角的三角函数值.
2.三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),
那么:
y
x
3.三角函数值的符号
(1)图形表示:
(2)记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【教材提炼】
三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
1.已知角α的终边上一点P的坐标,求角α的三角函数值
方法:先求出点P到原点的距离,再利用三角函数的定义求解;
2.已知角α的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标,求与角α有关的三角函数值
方法:先求出点P到原点的距离(带参数),根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程,求出未知数,从而求解问题;
3.已知角α的终边所在的直线方程(y=kx,k≠0),求角α的三角函数值
方法:先设出终边上的一点P(a,ka)(a≠0),求出点P到原点的距离,再利用三角函数的定义求解(注意α的符号,对α分类讨论).
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
判断三角函数的符号常用的方法
1.确定角:根据题目给出条件,确定角所在的象限;
2.定符号:根据角所在象限,结合题目的具体特点,最终确定符号.
【总结升华】
本题关键是根据两点的速度可求出两点相遇2 023次时所用的时间,进而可求出点P所转的弧度,即可确定点P的坐标.(共23张PPT)
7.2.1 任意角的三角函数(二)
学习目标 育人目标
理解三角函数线,并会利用三角函数线解决不等式、比较大小等问题. 情感价值:通过三角函数线的学习,发展学生利用图形分析、解决问题的能力,提升学生应用新知识解决问题的能力.
学科素养:直观想象、数学运算、逻辑推理
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.三角函数线的方向是怎样确定的
2.三角函数线是怎样体现三角函数值的
【教材认知】
1.三角函数线的概念
(1)
图示
正弦线 角α的终边与单位圆交于P,过P作PM垂直于x轴,有向线段
____即为角α的正弦线.
余弦线 有向线段____即为角α的余弦线.
正切
线 过A(1,0)作x轴的垂线,交角α的终边或其终边的反向延长
线于T,有向线段___即为角α的正切线.
(2)本质:三角函数线是三角函数的图形表示,是数形结合思想应用的重要理论依据.
(3)应用:三角函数线能直观地表示三角函数值,常用来比较三角函数大小,解三角不等式等.
MP
OM
AT
2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
sin x R
cos x R
tan x
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点
作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交α的终边(α为第一或第四象限
角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T,即可得到正切线AT.
角度3 利用三角函数线证明不等式
【典例4】利用三角函数线证明|sin α|+|cos α|≥1.
【证明】当角α的终边在x轴上时,正弦线变成一个点,余弦线的长等于单位圆的半径,此时|sin α|+|cos α|=1;
当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正弦线的长等
于单位圆的半径,此时|sin α|+|cos α|=1;
当角α的终边落在四个象限时,设角α的终边与单位圆交于
点P(x,y)时,过点P作PM⊥x轴于点M,
则|sin α|=|MP|,|cos α|=|OM|,
利用三角形两边之和大于第三边有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|>1,
综上,|sin α|+|cos α|≥1.
【总结升华】
1.用三角函数线求解简单的三角函数不等式的两个注意点
(1)先找到“正值”区间满足条件的角的范围,然后再加上周期;
(2)注意区间是开区间还是闭区间.
2.利用三角函数线比较大小的步骤
(1)角的位置要“对号入座”;
(2)比较三角函数线的长度;
(3)确定有向线段的正负.
注意:比较大小时,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
【解析】选D.由三角函数线定义作出如图:OP是角α的终边,圆O是单位圆,
【总结升华】
求三角函数定义域的步骤
先确定三角函数的取值范围,再根据三角函数范围,利用三角函数线确定自变量的取值范围.
提醒:正切函数的终边不落在y轴上.7.2.2 同角三角函数关系
学习目标 育人目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 情感价值:通过探究同角三角函数的关系,发展学生的探索和表述论证能力;通过同角三角函数的应用,进一步发展学生的运算能力和严谨的理性思维. 学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算
【问题导学】
1.“同角”一词的含义是什么 sin2α+cos2β=1恒成立吗 对任意角α,sin22α+cos22α=1是否成立
2.平方关系和商数关系成立的条件分别是什么
3.对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少需要知道其中几个值,才能求出其他三角函数值
4.证明三角恒等式常用哪些方法
【教材认知】
同角三角函数关系
(1)基本关系式
关系 平方关系 商数关系
公式表示 sin2α+cos2α=1 =tan α (α≠+kπ,k∈Z)
语言叙述 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
(2)本质:同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.
(3)应用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函数的证明、化简.
【教材提炼】
1.注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1成立,但是sin2α+cos2β=1就不一定成立.
2.注意同角三角函数的基本关系都是对使它们有意义的角而言的.sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α≠kπ+(k∈Z)成立.
3.关系式的变形
sin2α+cos2α=1
tan α=(α≠kπ+,k∈Z)
4.已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法:
(1)若已知sin α=m,可以先应用公式cos α=±,求得cos α的值,再由公式tan α=,求得tan α的值;
(2)若已知cos α=m,可以先应用公式sin α=±,求得sin α的值,再由公式tan α=,求得tan α的值;
(3)若已知tan α=m,可以应用公式tan α==m sin α=mcos α及sin2α+cos2α=1,求得cos α=±,sin α=±的值.
关键能力·师生共研
题型一 利用同角的三角函数关系求值
【典例1】(1)已知α是第三象限角,cos α=-,则sin α= ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选B.因为α是第三象限角,所以sin α=-=-=-.
(2)(教材例6改编)已知tan α=2(0<α<),则sin α= ( )
A. B.- C.- D.
【解析】选D.由tan α=2,得sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1,结合0<α<,可得sin α=.
【总结升华】
利用同角三角函数基本关系式求解时的注意点
(1)定符号:根据角所在的象限或角的范围确定三角函数值的符号.
(2)定值:根据三角函数的基本关系确定函数值.
【即学即练】
(2025·宿迁中学高一质检)已知tan α=,α为第三象限角,则sin α+cos α= ( )
A.- B.-2 C.- D.-2
【解析】选C.由tan α=,得sin α=cos α,所以sin2α=2cos2α,联立,解得cos2α=,因为α为第三象限角,所以cos α=-,故sin α+cos α=2cos α+cos α=3cos α=3×(-)=-.
题型二 已知角α的正切求关于sin α,cos α的齐次式
【典例2】(类题·节节高)
(1)已知=2,求的值.
【解析】由=2,化简得sin α=3cos α,得tan α=3;
===.
(2)已知=2,求sin2α-2sin αcos α+1的值.
【解析】由=2,化简得sin α=3cos α,得tan α=3;
sin2α-2sin αcos α+1=+1
=+1=+1=+1=.
(3)已知=2,求+tan α的值.
【解析】由=2,化简得sin α=3cos α,得tan α=3,所以+tan α=+tan α=1+2tan 2α+tan α=22.
(4)若=2,求tan α.
【解析】因为sin2α+cos2α=1,所以=2,即=2,
所以tan α=或-1,当tan α=-1时,1-tan 2α=0,分母为0不合题意,故舍去,故tan α=.
【总结升华】
已知角α的正切求关于sin α,cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α,cos α的齐次式就是分式中的每一项都是关于sin α,cos α的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子、分母同除以cos α的n次幂,其式子可化为关于tan α的式子,再代入求值.
(2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2α+cos2α来替换,将分子、分母同除以cos2α,可化为关于tan α的式子,再代入求值.
【即学即练】
(2025·济宁一中高一月考)已知tan α=3,则的值为 .
【解析】因为tan α=3,所以====.
答案:
题型三sin α±cos α与sin αcos α关系的运用
【典例3】(多选)(2025·惠州中学高一调研)已知sin α-cos α=(0<α<π),则下列选项正确的是 ( )
A.sin αcos α= B.sin α+cos α=
C.tan α= D.cos4α+sin4α=
【解析】选ABD.将sin α-cos α=两边平方,得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
即2sin αcos α=,则sin αcos α=,选项A正确;
因为0<α<π,所以sin α>0,又因为sin αcos α=>0,所以cos α>0.
因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=,
所以sin α+cos α==,选项B正确;
联立
解得sin α=,cos α=,
所以tan α==,选项C错误;
因为cos4α+sin4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2×()2=,故选项D正确.
【总结升华】
已知sin θ±cos θ,sin θcos θ求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有:
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们,已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,另两个式子的值均可求出.
【即学即练】
若角A是△ABC的一个内角,且sin A·cos A=-,则cos A-sin A= .
【解析】因为角A是△ABC的一个内角,所以sin A>0,又sin A·cos A=-,所以cos A<0,所以cos A-sin A<0,因为(cos A-sin A)2=1-2sin Acos A=1-2×(-)=,所以cos A-sin A=-.
答案:-
题型四利用同角三角函数的关系式化简证明
【典例4】(一题多解)
(1)求证:=.
【思路导引】思路1:把左边分子分母同乘cos x,再利用公式变形;思路2:把左边分子、分母同乘(1+sin x),再利用公式变形;思路3:用作差法,化简等式为0.
【证明】方法一:左边=
===右边,所以原等式成立.
方法二:左边
=====右边.
方法三:因为-
===0,
所以=.
(2)化简:.
【解析】方法一:原式
=
==;
方法二:原式===.
【总结升华】
证明三角恒等式的常用方法
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等.
(3)作差法:两式作差,对差式变形化简,差式为零即得证.
【即学即练】
(一题多解)求证:=.
【证明】方法一:左边=
==
=,右边==,
所以左边=右边,所以原等式成立.
方法二:因为右边
=
=
=
===左边.
所以原等式成立.7.2.1 任意角的三角函数(二)
学习目标 育人目标
理解三角函数线,并会利用三角函数线解决不等式、比较大小等问题. 情感价值:通过三角函数线的学习,发展学生利用图形分析、解决问题的能力,提升学生应用新知识解决问题的能力. 学科素养:直观想象、数学运算、逻辑推理
【问题导学】
1.三角函数线的方向是怎样确定的
2.三角函数线是怎样体现三角函数值的
【教材认知】
1.三角函数线的概念
(1)
图示
正弦线 角α的终边与单位圆交于P,过P作PM垂直于x轴,有向线段MP即为角α的正弦线.
余弦线 有向线段OM即为角α的余弦线.
正切 线 过A(1,0)作x轴的垂线,交角α的终边或其终边的反向延长线于T,有向线段AT即为角α的正切线.
(2)本质:三角函数线是三角函数的图形表示,是数形结合思想应用的重要理论依据.
(3)应用:三角函数线能直观地表示三角函数值,常用来比较三角函数大小,解三角不等式等.
2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
sin x R
cos x R
tan x
【教材提炼】
当0<α<时,sin α<α关键能力·师生共研
题型一 三角函数线的概念
【典例1】作出-的正弦线、余弦线和正切线.
【解析】如图所示,则sin (-)=MP,
cos (-)=OM,tan(-)=AT.
【总结升华】
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T,即可得到正切线AT.
【即学即练】
设MP,OM和AT分别是的正弦线、余弦线和正切线,则下列式子正确的是 ( )
A.MP【解析】选B.根据题意在单位圆中作出的正弦线、余弦线和正切线,如图:
由图可知sin =MP>0,-1因为∠AOT=>,所以|AT|>|OA|=1,所以tan =AT<-1,
所以MP>0>OM>AT.
题型二 三角函数线的应用
角度1 利用三角函数线解不等式
【典例2】若θ∈(,),则sin θ的取值范围是 .
【解析】由图可知sin =,sin =-1,-1答案: (-1,)
角度2 利用三角函数线比较大小
【典例3】(2025·丹阳中学高一月考)下面四个选项中大小关系正确的是 ( )
A.sin cos
C.cos 【解析】选B.如图,在单位圆中作出角的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT,
角的正弦线D'P'、余弦线OD'、正切线AT',
由于=π-,因此和的终边关于y轴对称,由图可得sin =sin >0,cos >0>cos ,tan >0>tan ,所以sin >0>cos ,所以A,C,D均错误,B正确.
角度3 利用三角函数线证明不等式
【典例4】利用三角函数线证明|sin α|+|cos α|≥1.
【证明】当角α的终边在x轴上时,正弦线变成一个点,余弦线的长等于单位圆的半径,此时|sin α|+|cos α|=1;
当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正弦线的长等于单位圆的半径,此时|sin α|+|cos α|=1;
当角α的终边落在四个象限时,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,过点P作PM⊥x轴于点M,
则|sin α|=|MP|,|cos α|=|OM|,
利用三角形两边之和大于第三边有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|>1,
综上,|sin α|+|cos α|≥1.
【总结升华】
1.用三角函数线求解简单的三角函数不等式的两个注意点
(1)先找到“正值”区间满足条件的角的范围,然后再加上周期;
(2)注意区间是开区间还是闭区间.
2.利用三角函数线比较大小的步骤
(1)角的位置要“对号入座”;
(2)比较三角函数线的长度;
(3)确定有向线段的正负.
注意:比较大小时,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
【即学即练】
1.(2025·莱芜一中高一月考)若α∈(,),则下列关系中正确的是 ( )
A.tan αcos α
【解析】选D.由三角函数线定义作出如图:OP是角α的终边,圆O是单位圆,
则AT=tan α>1,OM=cos α,MP=sin α,因为α∈(,),所以OMsin α>cos α.
2.不等式cos x>在区间上的解集为 .
【解析】如图所示,由于cos =cos (-)=,
所以在上cos x>的解集为(-,).
答案: (-,)
题型三三角函数的定义域
【典例5】(1)函数y=3tan(2x+)的定义域是( )
A.{x|x≠kπ+,k∈Z}
B.{x|x≠π-,k∈Z}
C.{x|x≠π-,k∈Z}
D.{x|x≠π,k∈Z}
【解析】选B.要使函数有意义,则2x+≠kπ-,k∈Z,即x≠π-,k∈Z,则函数的定义域为{x|x≠π-,k∈Z}.
(2)函数y=lg(sin x-)+的定义域为 .
【思路导引】根式要满足被开方数不小于0,对数式的真数必须大于0,利用三角函数线找自变量满足的条件.应先在区间[0,2π]内确定,再确定满足题意的所有角的区间.
【解析】由题意知,自变量x应满足不等式组,即.
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,
所以函数的定义域为{x|2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z}.
答案: {x|2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z}
【总结升华】
求三角函数定义域的步骤
先确定三角函数的取值范围,再根据三角函数范围,利用三角函数线确定自变量的取值范围.
提醒:正切函数的终边不落在y轴上.
【即学即练】
函数y=log2(2cos x-)的定义域为 .
【解析】由2cos x->0,得cos x>,如图,
所以-+2kπ所以函数y=log2(2cos x-)的定义域为(2kπ-,2kπ+)(k∈Z).
答案: (2kπ-,2kπ+)(k∈Z)
