第2课时 正弦函数、余弦函数的性质
学习目标 育人目标
1.掌握函数y=sin x,y=cos x的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性. 2.利用性质解决比较大小、值域、最值问题. 情感价值:通过函数图象探究函数的基本性质,发展学生的数学归纳能力,提升学生从具体到抽象的活动经验;利用函数性质解决实际问题,进一步提升学生的逻辑思维品质、计算能力. 学科素养:逻辑推理、数学运算
【问题导学】
1.正弦函数在定义域上是增函数,而余弦函数在定义域上是减函数,这种说法对吗
2.如何比较非特殊角的三角函数值的大小
3.求三角函数的值域有哪些方法
【教材认知】
正弦函数、余弦函数的性质
(1)图象与性质
解析式 y=sin x y=cos x
图象
值域 [-1,1] [-1,1]
续表
解析式 y=sin x y=cos x
单调性 在[-+2kπ,+2kπ] (k∈Z)上单调递增,在[+2kπ,+2kπ] (k∈Z)上单调递减 在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增, 在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减
最值 当x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;当x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1 当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;当x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
(2)本质:函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质.
(3)应用:求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值.
关键能力·师生共研
题型一 正弦函数、余弦函数的单调区间
【典例1】(1)函数y=sin(2x-)的单调递减区间是( )
A.[kπ-,kπ-](k∈Z)
B.[kπ-,kπ+](k∈Z)
C.[kπ+,kπ+](k∈Z)
D.[kπ-,kπ+](k∈Z)
【解析】选C.由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ+π≤x≤kπ+π,k∈Z,
故函数y=sin(2x-)的单调递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).
(2)求函数y=1+sin (-x+),x∈[-4π,4π]的单调递减区间.
【解析】对于函数y=1+sin (-x+)=1-sin (x-),本题即求函数y=sin (x-)的单调递增区间.
令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z.
再结合x∈[-4π,4π],可得函数y=sin (x-)的单调递增区间为[-4π,-], [-,], [,4π],即函数y=1+sin (-x+),x∈[-4π,4π]的单调递减区间为[-4π,-],[-,], [,4π].
(3)已知函数f(x)=2cos ,x∈,求f(x)的单调递增区间.
【解析】f(x)=2cos 可化为f(x)=2cos ,故单调递增区间为
2kπ-π≤3x-≤2kπ,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
令k=0,-≤x≤,令k=1,π≤x≤π.
因为x∈,所以f(x)的单调递增区间是,.
【总结升华】
单调区间的求法
求形如y=Asin (ωx+φ)或y=Acos (ωx+φ)的函数的单调区间时,要先把ω化为正数,
(1)当A>0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递增区间.
(2)当A<0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递减区间;代入y=sin x或y=cos x的单调递减区间内,可求得函数的单调递增区间.
提醒:求函数y=Asin (ωx+φ)的单调区间时,把ωx+φ看作一个整体,借助y=sin x的单调区间来解决.当A<0或ω<0时,要注意原函数的单调性与y=sin x的单调性的关系.
【即学即练】
1.y=sin 的单调递增区间是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由y=sin (-2x)=-sin 2x,令+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
2.函数f(x)=sin 在上的单调递增区间是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题知f(x)=-sin ,又因为x∈,所以2x-∈,
令≤2x-≤,解得≤x≤,
所以函数f(x)=sin 在上的单调递增区间是.
3.(2025·无锡一中高一调研)函数y=sin |x|,x∈[-2π,2π]的单调递减区间为 .
【解析】列表
x 0 π 2π
y=sin |x| 0 1 0 -1 0
作图:先作出[0,2π]的图象,又原函数是偶函数,图象关于y轴对称,即可作出[-2π,0]的图象.
由图象可知函数y=sin |x|,x∈[-2π,2π]的单调递减区间为[-2π,-],[-,0],[,].
答案: [-2π,-],[-,0],[,]
题型二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
【典例2】(多选)(2025·淮阴中学高一月考)下列大小关系正确的是 ( )
A.sin
C.sin 1cos
【解析】选BCD.y=sin x在区间[0,]上单调递增,所以sin >sin ,A选项错误.
y=cos x在区间[π,2π]上单调递增,
所以cos1<<π-2<,sin 2=sin(π-2),
y=sin x在区间[0,]上单调递增,所以sin 1y=cos x在区间[0,π]上单调递减,所以cos >cos,D选项正确.
【总结升华】
三角函数值大小比较的策略
1.利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到或内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内.
2.不同名的函数化为同名的函数.
3.自变量不在同一单调区间时,先化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
【即学即练】
将cos 150°,sin 470°,cos 760°按从小到大排列为 .
【解析】cos 150°<0,sin 470°=sin 110°=cos 20°>0,cos 760°=cos 40°>0,且cos 20°>cos 40°,
所以cos 150°答案:cos 150°题型三正弦函数、余弦函数的值域、最值问题
【典例3】(类题·节节高)
(1)已知函数f(x)=cos ,求f(x)在区间上的最值.
【解析】当-≤x≤时,-≤2x+≤,
当2x+=0时,函数f(x)取得最大值1;当2x+=时,函数f(x)取得最小值-.
(2)求函数y=cos2 x+2sin x-2,x∈R的值域.
【思路导引】先用平方关系转化,即cos2 x=1-sin2 x,再将sin x看作整体,转化为二次函数的值域问题.
【解析】y=cos2 x+2sin x-2=-sin2 x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
因为-1≤sin x≤1,所以-4≤y≤0,
所以函数y=cos2 x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0].
(3)求函数f(x)=sin2 x+cos x-的最大值.
【解析】因为f(x)=sin2 x+cos x-,
f(x)=1-cos2 x+cos x-=-cos2 x+cos x+ ,令cos x=t且t∈[0,1],则y=-t2+t+=-+1,
则当t=时,f(x)取得最大值1.
(4)已知函数f(x)=asin +b(a>0).当x∈时,f(x)的最大值为,最小值是-2,求a和b的值.
【思路导引】先由x∈,求2x-的取值范围,再求sin 的取值范围,最后表示出f(x)min,f(x)max,列方程组求解.
【解析】因为0≤x≤,所以-≤2x-≤,所以-≤sin ≤1.
因为a>0,所以f(x)max=a+b=,f(x)min=-a+b=-2.
由得
【总结升华】
常见的三角函数求值域或最值的类型
(1)形如y=sin (ωx+φ)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的最值(值域).
(2)形如y=asin2 x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先设t=sin x,将函数y=asin2 x+bsin x+c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),根据二次函数的单调性求值域(最值).
(3)对于形如y=asin x(或y=acos x)的函数,求最值时还要注意对a的讨论.
【即学即练】
1.函数f(x)=sin 2x+cos x取最大值时,x的值为 ( )
A. B. C. D.0
【解析】选B.因为f(x)=sin 2x+cos x=-cos 2x+cos x+1=-+,
由x∈得cos x∈[0,1],所以当cos x=时,f(x)max=,此时x=.
2.(2025·徐州一中高一月考)已知函数f(x)=cos(x+φ)(φ>0)在区间[0,φ]上的值域为[-1,],则φ= .
【解析】依题意,函数f(x)=cos(x+φ)(φ>0)在区间[0,φ]上的值域为[-1,],
由于0≤x≤φ,φ≤x+φ≤2φ,
所以2φ=2π-=,φ=,
此时≤x+≤,
当x+=π,x=时,f(x)取得最小值-1,符合题意,所以φ=.
答案:
题型四与正弦函数、余弦函数有关的函数奇偶性
【典例4】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=cos(+2x)cos(π+x);
(2)f(x)=;
(3)f(x)=+.
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,
f(x)=cos(+2x)cos(π+x)=(-sin 2x)(-cos x)=sin 2xcos x,
故f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin 2xcos x=-f(x),故函数f(x)为奇函数;
(2)函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ+,k∈Z},不关于原点中心对称,故函数f(x)为非奇非偶函数;
(3)由cos x=1,得函数f(x)的定义域为{x|x=2kπ,k∈Z},关于原点中心对称,
此时,f(x)=+=0,则有f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),
故函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
【即学即练】
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=-cos 2x;(2)g(x)=sin xcos x.
【解析】(1)f(x)的定义域为R,f(-x)
=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),所以f(x)为偶函数.
(2)g(x)的定义域为R,g(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-g(x),
所以g(x)是奇函数.7.3.3 函数y=Asin (ωx+φ)(二)
关键能力·师生共研
题型一 与y=Asin (ωx+φ)有关的函数单调性
【典例1】(1)(2025·石家庄高一调研)函数f(x)=sin(2x-φ) (|φ|≤)在(0,)上单调递增,则φ的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.由x∈(0,)可得2x-φ∈(-φ,-φ),又|φ|≤,则≤-φ≤,且f(x)在(0,)上单调递增,所以解得≤φ≤,即φ的取值范围为.
(2)当-≤x≤时,函数f(x)=2sin (x+)有 ( )
A.最大值1,最小值-1 B.最大值1,最小值-
C.最大值2,最小值-2 D.最大值2,最小值-1
【解析】选D.因为-≤x≤,所以-≤x+≤,
所以-≤sin(x+)≤1,所以-1≤f(x)≤2.
【总结升华】
研究与y=Asin (ωx+φ)有关的函数单调性,应抓住y=Asin (ωx+φ)的单调性,即
【即学即练】
(2025·莆田中学高一月考)函数y=cos(2x+)的单调递增区间是 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】选C.由-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z.
所以函数y=cos(2x+)的单调递增区间是(k∈Z).
题型二 与y=Asin (ωx+φ)有关的函数奇偶性
【典例2】(1)(2025·菏泽一中高一调研)已知f(x)=6sin (4πx++φ)为偶函数,则|f()|= ( )
A.3 B.6 C.3 D.3
【解析】选D.因为f(x)为偶函数,所以+φ=+kπ(k∈Z),
解得φ=+kπ(k∈Z),
所以|f(x)|=|6cos 4πx|,
|f()|=|f(+k)|=|6cos (+4kπ)|=|6cos |=|6cos |=6×=3(k∈Z).
(2)将函数f(x)=cos (2x+)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为奇函数,则φ的最小值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题意,知g(x)=cos (2x+2φ+).
因为g(x)为奇函数,所以2φ+=kπ+,k∈Z,所以φ=+,k∈Z.
又φ>0,所以当k=0时,φ取得最小值,最小值为.
【总结升华】
研究与y=Asin (ωx+φ)有关的函数奇偶性
(1)函数y=Asin (ωx+φ)(x∈R)是奇函数 φ=kπ(k∈Z);
(2)函数y=Asin (ωx+φ)(x∈R)是偶函数 φ=kπ+(k∈Z);
(3)函数y=Acos (ωx+φ)(x∈R)是奇函数 φ=kπ+(k∈Z);
(4)函数y=Acos (ωx+φ)(x∈R)是偶函数 φ=kπ(k∈Z).
【即学即练】
将函数f(x)=2sin (2x+)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)的图象,则“φ=”是“函数g(x)为偶函数”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.因为函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,所以g(x)=sin (2x-2φ+),因为g(x)为偶函数,
所以-2φ+=+kπ(k∈Z),即φ=--(k∈Z),
当k=-1时,φ=可以推出函数g(x)为偶函数,
而函数g(x)为偶函数不能推出φ=,
所以“φ=”是“函数g(x)为偶函数”的充分且不必要条件.
题型三 与y=Asin (ωx+φ)有关的函数对称性与周期性
【典例3】已知函数f(x)=tan (ωx-) (ω>0)的图象与直线y=1的相邻两个交点的距离为,则f(x)的图象的一个对称中心是 ( )
A.(,0) B.(,0)
C.(,0) D.(,0)
【解析】选C.由函数f(x)=tan (ωx-) (ω>0)的图象与直线y=1的相邻两个交点的距离为,则有f(x)的周期T==,解得ω=2,于是得f(x)=tan (2x-),
所以f(x)的图象的对称中心横坐标方程满足2x-=(k∈Z),
解得x=+(k∈Z),可知(,0)为其一个对称中心.
【总结升华】
对称与周期的关系
(1)y=Asin (ωx+φ)相邻两条对称轴之间的距离是;
(2)y=Asin (ωx+φ)相邻两个对称中心的距离是;
(3)y=Asin (ωx+φ)相邻的一条对称轴与一个对称中心的距离是.
【即学即练】
1.(2025·宿迁中学高一月考)函数y=5sin (x-)的一条对称轴为 ( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
【解析】选A.函数y=5sin (x-)的对称轴满足x-=+kπ(k∈Z),
解得x=+kπ(k∈Z),令k=0,则x=.
2.(2025·芜湖一中高一调研)如果函数y=3cos (2x+φ)的图象关于点(,0)对称,那么|φ|的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为函数y=3cos (2x+φ)的图象关于点(,0)对称,所以2·+φ=kπ+,k∈Z,得φ=(k-2)π-,k∈Z,显然φ=(k-2)π-对于k∈Z是单调递增的,
当k=2时,φ=-,|φ|=,
当k=3时,φ=,|φ|=,
所以|φ|的最小值为.7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标 育人目标
1.结合教材实例掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象. 2.掌握函数y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性. 3.掌握y=sin x,y=cos x的常见图象变换. 情感价值:通过正、余弦函数图象的画法,发展学生的动手操作能力,根据画出的图象解决一些简单的数学问题,提升学生的探索归纳能力. 学科素养:直观想象、逻辑推理、数学运算
【问题导学】
1.画正弦、余弦函数图象时采用了什么方法 怎样理解五点作图法中的“五点”
2.y=cos x(x∈R)的图象可由y=sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么
3.利用正弦曲线和余弦曲线能解决哪些问题
【教材认知】
1.正弦曲线
(1)正弦曲线
正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫正弦曲线.
(2)正弦函数图象的画法
①几何法:
(ⅰ)利用正弦线画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象;
(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
②“五点法”:
(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),,(π,0),,(2π,0),用光滑的曲线连接;
(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
(3)本质:正弦曲线是正弦函数的图形表示,是正弦函数的一种直观表示.
(4)应用:根据正弦曲线,能帮助学生更直观地认识正弦函数,进而根据正弦曲线推导正弦函数的一些常用性质.
2.余弦曲线
(1)余弦曲线
余弦函数y=cos x,x∈R的图象叫余弦曲线.
(2)余弦函数图象的画法
①要得到y=cos x的图象,只需把y=sin x的图象向左平移个单位长度即可.
②用“五点法”画余弦曲线y=cos x在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1),,(π,-1),,(2π,1),再用光滑的曲线连接.
关键能力·师生共研
题型一 用“五点法”作三角函数的图象
【典例1】(教材例3改编)用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y=1-sin x(0≤x≤2π);
(2)y=cos(x+),x∈[-,].
【思路导引】求作三角函数的图象时,需要先列表,再描点,最后用光滑的曲线连线.
【解析】(1)①列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-sin x 1 0 1 2 1
②描点连线,如图所示.
(2)因为x∈[-,],所以x+∈[0,2π].
①根据“五点法”作图列表得:
x+ 0 π 2π
x -
y 1 0 -1 0 1
②描点连线,如图所示.
【总结升华】
“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤
(1)列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:
(0,y1), (,y2),(π,y3), (,y4),(2π,y5).
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.
【即学即练】
请补充完整下面用“五点法”作出y=-sin x(0≤x≤2π)图象的列表.
x 0 ① 2π
-sin x ② -1 0 ③ 0
① ;② ;③ .
【解析】用“五点法”作y=-sin x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0), (,-1),(π,0), (,1),(2π,0),故①为π,②为0,③为1.
答案:①π ②0 ③1
题型二 正弦函数、余弦函数图象的进一步认识
【典例2】(类题·节节高)
(1)下列函数图象相同的是 ( )
A.f(x)=sin x与g(x)=sin (π+x)
B.f(x)=sin 与g(x)=sin
C.f(x)=sin x与g(x)=sin (-x)
D.f(x)=sin (2π+x)与g(x)=sin x
【解析】选D.A中g(x)=-sin x;B中f(x)=-cos x,g(x)=cos x;C中g(x)=-sin x;
D中f(x)=sin x.
(2)(2025·盐城中学高一月考)函数y=f(x),其中f(x)=asin x+b(x∈[0,2π]),(a,b∈R),它的图象如图所示,则y=f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=sin x+1,x∈[0,2π]
B.f(x)=sin x+,x∈[0,2π]
C.f(x)=sin x+1,x∈[0,2π]
D.f(x)=sin x+,x∈[0,2π]
【解析】选A.点(0,1)与(,)代入f(x)=asin x+b中,,所以b=1,a=.
(3)函数y=sin x+的大致图象是 ( )
【解析】选A.因为函数y=sin x+是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,
所以其图象关于原点对称,排除选项D;
当x∈(0,π)时,sin x>0,此时sin x+>0,
所以当x∈(0,π)时,f(x)的图象在x轴上方,排除选项B;
当x=时,sin +=-1+<0,f(x)的图象在x轴下方,排除选项C.
【总结升华】
正弦函数、余弦函数图象的认识主要是抓住图象上的关键点,如最高点、最低点和零点,还要结合正弦函数、余弦函数的性质加以判断.
【即学即练】
(2025·镇江中学高一月考)如图所示,函数y=的图象是 ( )
【解析】选C.y=,
根据正弦函数的图象,作出函数图象如图所示:
题型三正弦、余弦函数图象的应用
角度1 零点个数问题
【典例3】若函数f(x)=cos x-在x∈[-,π]上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为 .
【思路导引】根据题意作图,由函数与方程的关系,可得≤<1,进而得到答案.
【解析】作出y=cos x,x∈与y=的大致图象,如图所示.
由图象可知≤<1,即-1答案:
角度2 利用正、余弦函数的图象解不等式
【典例4】(2025·岳阳一中高一月考)已知0≤x≤2π,则满足cos x+sin x<0的x的集合为 .
【解析】因为cos x+sin x<0,即cos x<-sin x,
在同一坐标系中作出y=cos x,y=-sin x的图象,可知y=cos x的图象在y=-sin x的图象的下方,由图象可得答案: (,)
【总结升华】
1.对于含三角函数的方程的解的个数问题,一般无法直接求解,我们常转化为两个函数的图象的交点个数问题求解,这就要求我们要对三角函数的图象熟练掌握.
2.利用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤:
(1)作出y=a,y=sin x(或y=cos x)的图象.
(2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值.
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集.
3.注意:解三角不等式sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出[0,2π]内x的取值范围,然后根据终边相同角的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集.
【即学即练】
1.已知函数f(x)=cos x,x∈,若方程f(x)=m有三个不同的实数根a,b,c,且三个根满足b2=ac,则实数m的值为 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选A.如图,
设方程f(x)=m的三个不同的实数根从小到大依次为a,b,c,
则,解得,
所以m=f=f=cos =-.
2.已知函数f(x)=-2cos x+3.
(1)完成下面表格,并用“五点法”作函数f(x)在[0,2π]上的简图:
x 0 π 2π
f(x)
(2)求不等式f(x)≥2的解集.
【解析】(1)补充完整的表格如下:
x 0 π 2π
f(x) 1 3 5 3 1
描点、连线得函数f(x)=-2cos x+3(0≤x≤2π)的图象如图所示,
(2)当x∈[0,2π]时,令f(x)=2,得-2cos x+3=2,即cos x=,从而得x=或x=.
结合(1)中的图象可知,当x∈[0,2π]时,f(x)≥2的解集是,
又因为函数f(x)的最小正周期为2π,
所以不等式f(x)≥2的解集为{x}.(共15张PPT)
7.3.3 函数y=Asin (ωx+φ)
(二)
01
关键能力 师生共研
题型一与y=Asim(ox+)有关的函数单调性
典例
解析】选C由xE(0,可得2x-p∈(p,p,又os,则s石且在
(0,上单调递增，所以
兰无解得
即的取值范围为[：，习
2)当2时函数x)-2sin6+9)有(
A.最大值1，最小值-1
B最大值1，最小值
C.最大值2，最小值-2
D.最大值2，最小值1
5π
【解析】选D.因为，所以sx+5
6
所以sin(x+1,所以-1≤孔x)2,
【总结升华】
研究与y=Asin(ox+p)有关的函数单调性，应抓住y=Asin(ox+p)的单调性，
ωx+9∈[-Σ+2kπ，二+2kπ](k∈Z)→单调递增区间：
即
wx+p∈巧+2km,+2kk∈Z)→单调递减区间
【即学即练】
(2025·莆田中学高一月考)函数y=cos(2x+)的单调递增区间是(
A.()
Bkm-设km-HkeZ
ckm-5km-ke刀
D.[km-&km+ke
【解析】选C.由-π+2kπ<2x+2m,k∈Z,解得2+km≤+m,k∈Z
所以函数-cos(2x+的单调递增区间是km-号km-k∈Z
题型二与y=Asi血(ox+)有关的函数奇偶性
典例2】
【解析】选D.因为)为偶函数，所以+=
+(k∈Z
解得p=S+mk∈)，所以=6cos41
()=人行+=|6cos(Cg+4m=6cos
6c0s=6×÷=3(k∈Z)
(2)将函数fx)=cos(2x+)的图象向左平移p(p>0)个单位长度，得到函数g(x)
的图象，若函数g(x)为奇函数，则的最小值是(
【解析】选A由题意知g)=cos(2x+20+)
因为g)为奇函数所以2+号-+受k∈Z所以p-受
又>0，所以当k-0时，取得最小值最小值为日
【总结升华)
研究与y=Asin(ox+p)有关的函数奇偶性
(I)函数y=Asin(ox+p)x∈R)是奇函数台p=kπ(k∈Z);
(2)函数y=Asin(ox+p)Gx∈R)是偶函数台Q=km+k∈Z):
(3)函数y=Acos(ox+p)x∈R)是奇函数台0=kπ+，(k∈Z):
(4)函数y=Acos(ox+p)(x∈R)是偶 函数→p=kπ(k∈Z)
【即学即练】
将函数x)=2sin(2x+)的图象向右平移p(p>0)个单位长度得到函数g(x)的
图象则9召是函数g)为偶函数的(
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件第3课时 正切函数的图象与性质
学习目标 育人目标
1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tan x的图象. 2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性. 3.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 情感价值:通过画正切函数的图象,归纳正切函数的性质及应用,进一步发展学生的动手操作能力,提升学生从具体到抽象的活动经验、逻辑思维品质、计算能力. 学科素养:数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算
【问题导学】
1.正切函数在整个定义域上都是增函数吗
2.正切函数y=tan x的图象与x=kπ+,k∈Z有公共点吗
3.正切曲线是中心对称图形吗 若是,对称中心是什么 是轴对称图形吗
4.若让你比较tan(-)与tan(-π)的大小,你想怎样做
【教材认知】
正切函数的图象与性质
(1)图象与性质
解析式 y=tan x
图象
定义域 {x|x∈R,且x≠+kπ,k∈Z}
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
对称中心 (,0),k∈Z
单调性 在每一个区间(-+kπ,+kπ),k∈Z上都单调递增
(2)本质:根据正切函数的解析式、图象,总结正切函数的性质.
(3)应用:画正切函数的图象,解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.
【教材提炼】
(1)正切函数的渐近线为x=+kπ,k∈Z;
(2)正切函数的对称中心为(,0),k∈Z,对称中心分两类,一类是:图象和x轴的交点(kπ,0),k∈Z;另一类是渐近线和x轴的交点: (+kπ,0),k∈Z.
(3)正切函数与正弦函数的图象在原点处都与直线l:y=x相切,并被l分隔在两边.
关键能力·师生共研
题型一 正切函数的图象认识及应用
【典例1】(1)函数y=|tan x|,y=tan(-x),y=tan|x|在(-π,π)上的大致图象依次是 .(选填序号)
【思路导引】借助正切函数的图象和性质,因为函数y=|tan x|≥0,所以在x轴下方无图象;y=tan(-x)与y=tan x的图象关于y轴对称;y=tan|x|是一个偶函数,图象关于y轴对称.
【解析】因为|tan x|≥0,所以在x轴下方无图象,所以y=|tan x|对应①;
因为y=tan(-x)与y=tan x的图象关于y轴对称,所以y=tan(-x)对应③;
因为y=tan|x|是偶函数,所以图象关于y轴对称,所以y=tan|x|对应②;故三个图象依次是①③②.
答案:①③②
(2)利用函数图象,得不等式-【解析】y=tan 2x的函数图象如图所示:
令tan 2x=1,则2x=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z;
令tan 2x=-,则2x=-+kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,因为-答案: (-+,+],k∈Z
【总结升华】
正切函数应用的关键是正确作出函数图象的草图,作由正切函数复合而成的简单函数图象,一般有两种方法:
(1)直接描点法,要注意定义域;
(2)图象变换法,即以y=tan x的图象为基础,采用反转、对称、平移等变换,作出函数的图象.
【即学即练】
1.(2025·宁德一中高一质检)函数f(x)=在区间[-π,π]内的大致图象是 ( )
【解析】选B.当x∈(-,)时,cos x>0即f(x)=tan x,所以f(x)在区间(-,)上的图象与y=tan x的图象相同;
当x∈[-π,-)∪(,π]时,cos x<0即f(x)=-tan x,
所以f(x)在区间[-π,-)和(,π]上的图象是y=tan x的图象关于x轴的对称图形.
2.(2025·南京一中高一月考)若x∈[0,)∪(,π),则不等式tan x≥-1的解集为 .
【解析】当x∈[0,)时,tan x≥0>-1;当x∈(,π)时,因为tan =-1且y=tan x在(,π)上单调递增,所以x∈[,π);综上所述:tan x≥-1的解集为[0,)∪[,π).
答案: [0,)∪[,π)
题型二 正切函数的定义域、周期性、奇偶性
【典例2】(1)求下列函数的定义域.
①y=;
②y=lg(-tan x).
(2)判断下列函数的奇偶性:
①f(x)=;
②f(x)=tan(x-)+tan(x+).
(3)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(,0)和(,0),求ω.
【解析】(1)①函数y=中,令1-tan x≠0,解得tan x≠1,即x≠+kπ,k∈Z,所以该函数的定义域为{x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z};
②函数y=lg(-tan x)中,令-tan x>0,解得tan x<,即-+kπ(2)①由得f(x)的定义域为{x|x≠kπ+且x≠kπ+,k∈Z},不关于原点对称,所以函数f(x)既不是偶函数,也不是奇函数.
②函数定义域为{x|x≠kπ-且x≠kπ+,k∈Z},关于原点对称,
又f(-x)=tan(-x-)+tan(-x+)=-tan(x+)-tan(x-)=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
(3)由题意可得f(x)的周期为T=-==,所以ω=.
【总结升华】
1.判断函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.
2.正切类函数的奇偶性判断方法
判断正切类函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.
3.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法
(1)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.
(2)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现.
【即学即练】
(多选)(2025·锡山中学高一质检)已知函数f(x)=|tan x|,则下列结论正确的是 ( )
A.2π是f(x)的一个周期
B.f(-)=f()
C.f(x)的定义域是{x|x≠+kπ,k∈Z}
D.f(x)的图象关于点(,0)对称
【解析】选ABC.对A,画出函数f(x)=|tan x|的图象(如图),易得f(x)的周期T=kπ(k∈Z),取k=2,则2π是f(x)的一个周期,故A正确;
对B,f(x)是偶函数,则f(-)=f(),故B正确;
对C,易得f(x)的定义域是{x|x≠+kπ,k∈Z},故C正确;
对D,由图可得点(,0)不是函数f(x)=|tan x|图象的对称中心,故D错误.
题型三正切函数的单调性及应用
角度1 正切函数的单调区间
【典例3】函数y=tan(x-)的单调区间为 .
【解析】函数y=tan(x-),令-+kπ答案: (-+2kπ,+2kπ),k∈Z
角度2 利用正切函数比较大小
【典例4】(1)(2025·安庆一中高一质检)下列各式中正确的是 ( )
A.tan 1>-tan 2 B.tan 735°>tan 800°
C.tan >tan D.tan >tan
【解析】选C.对于A,由0<1<,且<2<,由正切函数y=tan x的性质可知,tan 2<0且tan 2,
又0对于B,由tan 735°=tan 15°,tan 800°=tan 80°,
由正切函数y=tan x的单调性可得tan 15°对于C,正切函数y=tan x在(,π)上单调递增,
因为<,所以tan >tan ,所以C正确;
对于D,tan =tan (π+)=tan ,由正切函数的单调性,可得tan (2)tan 1,tan 2,tan 3,tan 4从小到大的排列顺序为 .
【解析】因为y=tan x在区间(,)上单调递增,
且tan 1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,
所以tan 2答案:tan 2角度3 求正切函数的值域
【典例5】(类题·节节高)
(1)函数y=(-【思路导引】根据正切函数的图象与性质,求出y=的值域即可.
【解析】当-当01,即当x∈(-,0)∪(0,)时,函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)函数y=tan(sin x)的值域是 .
【解析】因为-1≤sin x≤1,所以-<-1≤sin x≤1<.因为y=tan x在(-,)上单调递增,即-tan 1≤
tan(sin x)≤tan 1,所以函数y=tan(sin x)的值域为[-tan 1,tan 1].
答案:[-tan 1,tan 1]
(3)已知x∈[-,],f(x)=tan2x+2tan x+2,则f(x)的值域为 .
【解析】因为x∈[-,],令t=tan x∈[-,1],则函数f(x)=h(t)=t2+2t+2,对称轴为t=-1,所以h(t)在[-,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,所以h(-1)=1,h(1)=5,原函数值域为[1,5].
答案:[1,5]
【总结升华】
1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.
2.比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期性和诱导公式将角化到同一单调区间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小.
3.求与正切函数相关的值域的方法
(1)对于y=tan x在不同区间上的值域,可以结合图象,利用单调性求值域.
(2)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域.
(3)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.(共30张PPT)
第2课时 正弦函数、余弦函数的性质
学习目标 育人目标
1.掌握函数y=sin x,y=cos x的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性.
2.利用性质解决比较大小、值域、最值问题. 情感价值:通过函数图象探究函数的基本性质,发展学生的数学归纳能力,提升学生从具体到抽象的活动经验;利用函数性质解决实际问题,进一步提升学生的逻辑思维品质、计算能力.
学科素养:逻辑推理、数学运算
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.正弦函数在定义域上是增函数,而余弦函数在定义域上是减函数,这种说法对吗
2.如何比较非特殊角的三角函数值的大小
3.求三角函数的值域有哪些方法
【教材认知】
正弦函数、余弦函数的性质
(1)图象与性质
解析式 y=sin x y=cos x
图象
值域 ______ ______
[-1,1]
[-1,1]
解析式 y=sin x y=cos x
单调性 在____________________上单调
递增,在____________________
上单调递减 在__________________
上单调递增,
在_________________
上单调递减
最值 当x=__________时,ymax=__;
当x=____________时,ymin=___
[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)
[2kπ,π+2kπ](k∈Z)
2kπ(k∈Z)
1
π+2kπ(k∈Z)
-1
(2)本质:函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质.
(3)应用:求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值.
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
单调区间的求法
求形如y=Asin (ωx+φ)或y=Acos (ωx+φ)的函数的单调区间时,要先把ω化为正数,
(1)当A>0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递增区间.
(2)当A<0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递减区间;代入y=sin x或y=cos x的单调递减区间内,可求得函数的单调递增区间.
提醒:求函数y=Asin (ωx+φ)的单调区间时,把ωx+φ看作一个整体,借助y=sin x的单调区间来解决.当A<0或ω<0时,要注意原函数的单调性与y=sin x的单调性的关系.
3.(2025·无锡一中高一调研)函数y=sin |x|,x∈[-2π,2π]的单调递减区间
为 .
【解析】列表
x 0 π 2π
y=sin |x| 0 1 0 -1 0
【即学即练】
将cos 150°,sin 470°,cos 760°按从小到大排列为 .
【解析】cos 150°<0,sin 470°=sin 110°=cos 20°>0,cos 760°=cos 40°>0,且cos 20°>cos 40°,
所以cos 150°答案:cos 150°(2)求函数y=cos2 x+2sin x-2,x∈R的值域.
【思路导引】先用平方关系转化,即cos2 x=1-sin2 x,再将sin x看作整体,转化为二次函数的值域问题.
【解析】y=cos2 x+2sin x-2=-sin2 x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
因为-1≤sin x≤1,所以-4≤y≤0,
所以函数y=cos2 x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0].
【总结升华】
常见的三角函数求值域或最值的类型
(1)形如y=sin (ωx+φ)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的最值(值域).
(2)形如y=asin2 x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先设t=sin x,将函数y=asin2 x
+bsin x+c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),根据二次函数的单调性求值域(最值).
(3)对于形如y=asin x(或y=acos x)的函数,求最值时还要注意对a的讨论.(共32张PPT)
第3课时 正切函数的图象与性质
学习目标 育人目标
1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tan x的图象.
2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.
3.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题. 情感价值:通过画正切函数的图象,归纳正切函数的性质及应用,进一步发展学生的动手操作能力,提升学生从具体到抽象的活动经验、逻辑思维品质、计算能力.
学科素养:数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算
01
必备知识 自主导学
【教材认知】
正切函数的图象与性质
(1)图象与性质
解析式 y=tan x
图象
定义域 ______________________
值域 R
(2)本质:根据正切函数的解析式、图象,总结正切函数的性质.
(3)应用:画正切函数的图象,解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.
周期 π
奇偶性 ___函数
对称中心 _______,k∈Z
单调性 在每一个区间_________________上都单调递增
奇
02
关键能力 师生共研
【思路导引】借助正切函数的图象和性质,因为函数y=|tan x|≥0,所以在x轴下方无图象;y=tan(-x)与y=tan x的图象关于y轴对称;y=tan|x|是一个偶函数,图象关于y轴对称.
【解析】因为|tan x|≥0,所以在x轴下方无图象,所以y=|tan x|对应①;
因为y=tan(-x)与y=tan x的图象关于y轴对称,所以y=tan(-x)对应③;
因为y=tan|x|是偶函数,所以图象关于y轴对称,所以y=tan|x|对应②;故三个图象依次是①③②.
答案:①③②
【解析】y=tan 2x的函数图象如图所示:
【总结升华】
正切函数应用的关键是正确作出函数图象的草图,作由正切函数复合而成的简单函数图象,一般有两种方法:
(1)直接描点法,要注意定义域;
(2)图象变换法,即以y=tan x的图象为基础,采用反转、对称、平移等变换,作出函数的图象.
2.比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期性和诱导公式将角化到同一单调区间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小.
3.求与正切函数相关的值域的方法
(1)对于y=tan x在不同区间上的值域,可以结合图象,利用单调性求值域.
(2)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性
求值域.
(3)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.(共24张PPT)
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.1 三角函数的周期性
学习目标 育人目标
1.了解三角函数的周期性.
2.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 情感价值:通过三角函数图象探究,归纳函数的周期性概念,发展学生根据图象探究函数性质的能力,提升学生的抽象概括能力、运算能力.
学科素养:逻辑推理、数学抽象
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.周期函数都有最小正周期吗
2.学习周期函数有什么作用
3.求三角函数周期有哪些方法
【教材认知】
1.函数的周期性
(1)周期函数:设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在一个非零的常数T,使得对于任
意的x∈A,都有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数
T叫作这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)所有的周期中存在一个最小的_____,那么,这
个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.
(3)本质:函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.
(4)应用:函数的周期性是函数的重要性质,是高考中常见的考查知识点,在生活中
也有很多的应用.
正数
(2)如果T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.
(3)周期函数的定义域是无限集.
(4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.因此要研究某周期函数的性质,一般只需要研究它在一个周期内的性质.
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题,一般在条件中,周期性起到变量值转化的作用,也就是将所求函数值转化为已知求解.
题型三函数周期性的综合应用
【典例3】设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)
=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(1)+f(2)+…+f(2 024)+f(2 025)的值.
【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],
由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又因为f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,所以当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,f(4)=0.
又因为f(x)是周期为4的周期函数,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(5)+f(6)+f(7)+f(8)
=…=f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)+
f(2 024)=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(2 024)+f(2 025)
=0+f(2 025)=f(1)=1.
【总结升华】
利用函数的周期性求函数解析式的策略
利用函数的周期性求函数解析式时,一般利用整体代入思想,将所求函数转化到已知的函数区间内,求函数的解析式,注意求解时函数自变量所在的区间;有时还要结合函数的奇偶性等性质求解.
【即学即练】
若函数f(x)是以4为周期的奇函数,且f(3)=6,则f(1)+f(6)= .
【解析】因为函数f(x)是以4为周期的奇函数,且f(3)=f(-1)=-f(1)=6,则f(1)=-6.
因为函数f(x)是以4为周期的奇函数,所以f(2)=f(-2),f(-2)=-f(2),
所以f(2)=f(-2)=0,所以f(6)=f(2)=0,
即f(1)+f(6)=-6.
答案:-6(共29张PPT)
7.3.3 函数y=Asin (ωx+φ)
(一)
【学习目标】
1.理解参数A,ω,φ对函数y=Asin (ωx+φ)的图象的影响.
2.掌握y=sin x与y=Asin (ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.
3.会用“五点法”画函数y=Asin (ωx+φ)的简图,能根据函数y=Asin (ωx+φ)的部分图象,确定其解析式.
4.掌握函数y=Asin (ωx+φ)的性质,并能熟练运用.
【育人目标】
情感价值:通过画图进一步发展学生的动手操作能力,通过图象理解各参数的几何意义,发展学生的观察分析能力、总结归纳能力.
学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.A,ω,φ对函数y=Asin (ωx+φ)的图象有什么影响
2.先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗
3.由y=sin x的图象经过怎样的变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象
【教材认知】
1.图象变换
(1)φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响:
y=sin x的图象 y=sin(x+φ)的图象.
横
纵
纵
横
A
【教材提炼】
1.由y=sin x的图象变换得到y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法
(3)φ的求法:
①第一关键点法:通过观察图象找出第一关键点(x0,B),将第一关键点(x0,B)代入ωx0+φ=0求解.
(第一关键点判断方法:图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离y轴最近)
②最值代入法:通过观察图象的最高点(x1,M)(或者最低点(x2,m))代入解析式f(x)=Asin (ωx+φ)+B求解.
③特殊点法:当图象给出的信息缺乏①②中的条件,可以寻找图象的其他特殊点(x0,y0)代入解析式f(x)=Asin (ωx+φ)+B求解,但用此法求解,若有多个答案注意根据条件取舍答案.
02
关键能力 师生共研
【解析】(1)列表:
x 0 π
0 π
y 0 2 0 -2
对应的图象如图:
【总结升华】
五点法,“五点”指的是与x轴的交点和最值点这几个位置的点,第一步先求出角度整体的取值范围;第二步,在这个范围内找到所有的与x轴的交点和最值的位置;第三步,反解x的值;第四步,描点、连线.(共15张PPT)
第4课时 三角函数的图象与性质的综合应用
01
关键能力 师生共研
【总结升华】
若已知三角函数的最值,则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系,可以列出关于ω的不等式(组),进而求出ω的值或取值范围.
【解析】选D.将y=cos x位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方,
x轴上方(及x轴上)的图象不变,即得y=|cos x|的图象,
根据各选项判断只有D选项正确.
【总结升华】
含绝对值三角函数解题策略
(1)去绝对值,写成分段函数,将其转化为熟悉的三角函数形态;
(2)画出草图,结合图象进行判断,包括代入必要的特值.
题型一根据单调性求参数的值或范围
【典例1】(1)2025·温州中学高一质检)设甲：“函数x)=2 sin wx在[-，]上单
调递增”，乙：0<ω≤2”，则甲是乙的(
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选A若“函数x)=2 sin wx在[-]上单调递增”，则w>0,
由冬得，则
解得0
所以用是乙的充分且不必要条件
2)已知函数=-tan在（段上单调递减则
A.0B.-1≤w<0
C.o≥1
D.0≤-1
【解析】选B由x∈(3.可得ox∈(g,由题意函数-amo在
上单调递减，可得w<0且满足
2
解得-1≤w<0.
【即学即练】
(2025镇江中学高一月考)若函数x)=tanx在区间("，)上单调递增，则实
数a的取值范围是
【解析】因为受器所以a>0,
由题意函数心)-tan在区间(？，受)上单调递增
则
2,解得0答案：0,1]
题型二
根据最值求参数ω的值或范围
【典例2】
【解折】由x)=sinx(w>0)在区间[-1上单调递增
可得22+2m号s+2,keZ即S-12k,o+6kk∈Z,即0<号又网
=-sin(o>0在区间(0,2m)上恰有两个极值点可得买<2ws”,即2<
上，w的取值范围是{o子<)
答案：{ω
【解析】显然0≠0，分两种情况：
若aw>0,当xr∈[为时，ax牙0
因为函数x)-2siwx在区间-，门上的最小值为-2，所以-二w
若o<0,当x∈[]时，0≤arw,
因为函数)-2 esin在区间[7上的最小值为-2，所以os,解得os-2
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围为{⑩lo必2或心
答秦：{0l-2或w27.3.3 函数y=Asin (ωx+φ)(一)
【学习目标】
1.理解参数A,ω,φ对函数y=Asin (ωx+φ)的图象的影响.
2.掌握y=sin x与y=Asin (ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.
3.会用“五点法”画函数y=Asin (ωx+φ)的简图,能根据函数y=Asin (ωx+φ)的部分图象,确定其解析式.
4.掌握函数y=Asin (ωx+φ)的性质,并能熟练运用.
【育人目标】
情感价值:通过画图进一步发展学生的动手操作能力,通过图象理解各参数的几何意义,发展学生的观察分析能力、总结归纳能力.
学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算
【问题导学】
1.A,ω,φ对函数y=Asin (ωx+φ)的图象有什么影响
2.先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗
3.由y=sin x的图象经过怎样的变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象
【教材认知】
1.图象变换
(1)φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响:
y=sin x的图象y=sin(x+φ)的图象.
(2)ω对函数y=sin ωx的图象的影响:
y=sin x的图象各点横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y=sin ωx的图象.
(3)A对函数y=Asin x的图象的影响:
y=sin x的图象各点纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)得到y=Asin x的图象.
2.图象变换的本质
φ,ω,A分别确定了图象的左右平移、左右伸缩和上下伸缩.
3.图象变换的应用
φ,ω,A广泛应用于图形变换,求函数的最值,周期等数学问题中.
【教材提炼】
1.由y=sin x的图象变换得到y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法
2.根据图象求解析式
形如f(x)=Asin (ωx+φ)+B的解析式的求法:
(1)A,B的求法:
①观察法:A代表偏离平衡位置的最大距离;B代表平衡位置.
②代数法:记f(x)=Asin (ωx+φ)+B的最大值为M,最小值为m;则:,联立求解.
(2)ω的求法:通过观察图象,计算周期T,利用公式T=,求出ω.
(3)φ的求法:
①第一关键点法:通过观察图象找出第一关键点(x0,B),将第一关键点(x0,B)代入ωx0+φ=0求解.
(第一关键点判断方法:图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离y轴最近)
②最值代入法:通过观察图象的最高点(x1,M)(或者最低点(x2,m))代入解析式f(x)=Asin (ωx+φ)+B求解.
③特殊点法:当图象给出的信息缺乏①②中的条件,可以寻找图象的其他特殊点(x0,y0)代入解析式f(x)=Asin (ωx+φ)+B求解,但用此法求解,若有多个答案注意根据条件取舍答案.
关键能力·师生共研
题型一 图象问题
角度1 五点法作图
【典例1】已知函数f(x)=2sin(2x-).
(1)用“五点法”作出f(x)在x∈[0,π]上的简图;
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
【解析】(1)列表:
x 0 π
2x- - 0 π
y - 0 2 0 -2 -
对应的图象如图:
(2)令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z.
【总结升华】
五点法,“五点”指的是与x轴的交点和最值点这几个位置的点,第一步先求出角度整体的取值范围;第二步,在这个范围内找到所有的与x轴的交点和最值的位置;第三步,反解x的值;第四步,描点、连线.
角度2 异名函数图象的变换
【典例2】(2025·徐州一中高一质检)要得到函数y=cos x的图象,只需将函数y=sin(2x+)的图象上所有的点的 ( )
A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
【解析】选C.y=cos x=sin (x+),将y=sin(2x+)横坐标伸长原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(x+);而将y=sin(2x+)横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=sin(4x+),AB选项排除;
C选项:再向左平移个单位长度,得到y=sin(x+)=cosx符合题意;
D选项:再向右平移个单位长度,得到y=sin x,不符合题意,故D选项错误.
角度3 求图象变换前(后)的解析式
【典例3】把函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=2sin (x-)的图象.则函数f(x)的一个解析式为f(x)= ( )
A.2cos (2x+) B.2sin (2x+)
C.2cos (2x+) D.2sin (2x+)
【解析】选B.将函数y=2sin (x-)的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的,得到y=2sin (2x-)的图象,再将函数的图象向左平移个单位长度,得到f(x)=2sin (2x+)的图象.
【总结升华】
1.图象平移变换的方法
(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键.
(2)当x的系数是1时,若φ>0,则左移φ个单位长度;若φ<0,则右移|φ|个单位长度.
(3)当x的系数是ω(ω>0)时,若φ>0,则左移个单位长度;若φ<0,则右移个单位长度.
2.三角函数图象伸缩变换的方法
方法一:y=A1sin ω1xy=A2sin ω1xy=A2sin ω2x.
方法二:y=A1sin ω1xy=A1sin ω2xy=A2sin ω2x.
3.变换前后,函数的名称要一致,若不一致,应先利用诱导公式转化为同名函数;
例如:sin t=cos (t-)或cos t=sin (t+).
【即学即练】
1.(2025·胜利一中高一月考)要得到函数y=sin(2x-)的图象,只需将函数y=sin x的图象经过两次变换,则下列变换方法正确的是 ( )
A.先将函数y=sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度
B.先将函数y=sin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度
C.先将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D.先将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
【解析】选D.将函数y=sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin 2x的图象,再将所得图象向右平移个单位长度,可得函数y=sin(2x-)的图象;或者先将y=sin x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图象,再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x-)的图象.
2.(2025·厦门一中高一调研)要得到y=sin 的图象,只要将y=cos 的图象 ( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移π个单位长度
D.向右平移π个单位长度
【解析】选D.对于选项A:将y=cos 的图象向左平移个单位长度,
得到y=cos (x+)=cos =-sin (-),故A错误;
对于选项B:将y=cos 的图象向右平移个单位长度,
得到y=cos (x-)=cos =sin (+),故B错误;
对于选项C:将y=cos 的图象向左平移π个单位长度,
得到y=cos (x+π)=cos (+)=-sin ,故C错误;
对于选项D:将y=cos 的图象向右平移π个单位长度,
得到y=cos (x-π)=cos (-)=sin ,故D正确.
3.将函数y=sin x图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为 ( )
A.y=sin (2x-) B.y=sin (2x-)
C.y=sin (2x+) D.y=sin (2x+)
【解析】选C.将函数y=sin x图象上每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),可得y=sin 2x,再将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,可得y=sin 2(x+)=sin (2x+),所以所得图象的函数解析式为y=sin (2x+).
题型二 根据图象求解析式
【典例4】(类题·节节高)
(1)(2025·兴化中学高一月考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,且x2-x1=,则ω,φ的值为 ( )
A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=
C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=
【解析】选C.由题意可得=,得T=π,所以=π,得ω=2,所以f(x)=2sin (2x+φ)(|φ|<π),因为f(x)的图象过点(,-1),所以2sin(+φ)=-1,得sin (5π-+φ)=sin (+φ)=-,
所以sin (φ-)=,
所以φ-=+2kπ,k∈Z,或φ-=+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z,或φ=π+2kπ,k∈Z,因为|φ|<π,所以φ=.
(2)函数f(x)=Asin (ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 .
【解析】由题图可知A=2,=-(-)=,所以T=π,又T=,所以ω=2,
所以f(x)=2sin (2x+φ),又函数过点(,2),所以f()=2sin (+φ)=2,
所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,
所以φ=-,所以f(x)=2sin (2x-).
答案:f(x)=2sin (2x-)
(3)已知函数f(x)=sin (ωx+φ) (ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若在锐角△ABC中,f(A)=,则A= .
【解析】由题图可知,函数f(x)的最小正周期为T=4×(-)=2π,则ω==1,
因为f()=sin (+φ)=1,且-≤φ≤,则≤+φ≤,所以+φ=,可得φ=-,故f(x)=sin (x-),
因为A为锐角,则0答案:
【总结升华】
确定y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,确定函数的最值;
(2)求ω,确定函数的最小正周期T,则可得ω=;
(3)求φ,常用的方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②特殊点法:确定φ的值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下:
在“最大值点”(即图象的“峰点”)时,ωx+φ=+2kπ;在“最小值点”(即图象的“谷点”)时,ωx+φ=+2kπ.
【即学即练】
(2025·廊坊一中高一月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,该图象对应的函数解析式为 .
【解析】由题中图象可知A=2,=-,即T=π,所以ω==2,又f()=2,
可得2sin(2×+φ)=2,即sin(+φ)=1,
又因为|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin(2x+).
答案:f(x)=2sin(2x+)(共33张PPT)
7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标 育人目标
1.结合教材实例掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.
2.掌握函数y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.
3.掌握y=sin x,y=cos x的常见图象变换. 情感价值:通过正、余弦函数图象的画法,发展学生的动手操作能力,根据画出的图象解决一些简单的数学问题,提升学生的探索归纳能力.
学科素养:直观想象、逻辑推理、数学运算
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.画正弦、余弦函数图象时采用了什么方法 怎样理解五点作图法中的“五点”
2.y=cos x(x∈R)的图象可由y=sin x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么
3.利用正弦曲线和余弦曲线能解决哪些问题
【教材认知】
1.正弦曲线
(1)正弦曲线
正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫正弦曲线.
(2)正弦函数图象的画法
①几何法:
(ⅰ)利用正弦线画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象;
(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
2.余弦曲线
(1)余弦曲线
余弦函数y=cos x,x∈R的图象叫余弦曲线.
左
(π,-1)
(2π,1)
02
关键能力 师生共研
【解析】(1)①列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1-sin x 1 0 1 2 1
②描点连线,如图所示.
0 π 2π
x
y 1 0 -1 0 1
②描点连线,如图所示.
【总结升华】
“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤
(1)列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y y1 y2 y3 y4 y5
【即学即练】
请补充完整下面用“五点法”作出y=-sin x(0≤x≤2π)图象的列表.
x 0 ① 2π
-sin x ② -1 0 ③ 0
① ;② ;③ .
(2)(2025·盐城中学高一月考)函数y=f(x),其中f(x)=asin x+b(x∈[0,2π]),
(a,b∈R),它的图象如图所示,则y=f(x)的解析式为 ( )
【总结升华】
正弦函数、余弦函数图象的认识主要是抓住图象上的关键点,如最高点、最低点和零点,还要结合正弦函数、余弦函数的性质加以判断.
角度2 利用正、余弦函数的图象解不等式
【典例4】(2025·岳阳一中高一月考)已知0≤x≤2π,则满足cos x+sin x<0的x的集合为 .
【总结升华】
1.对于含三角函数的方程的解的个数问题,一般无法直接求解,我们常转化为两个函数的图象的交点个数问题求解,这就要求我们要对三角函数的图象熟练掌握.
2.利用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤:
(1)作出y=a,y=sin x(或y=cos x)的图象.
(2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值.
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集.
3.注意:解三角不等式sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出[0,2π]内x的取值范围,然后根据终边相同角的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集.
【解析】选A.如图,
2.已知函数f(x)=-2cos x+3.
(1)完成下面表格,并用“五点法”作函数f(x)在[0,2π]上的简图:
x 0 π 2π
f(x)
(2)求不等式f(x)≥2的解集.
【解析】(1)补充完整的表格如下:
x 0 π 2π
f(x) 1 3 5 3 1
描点、连线得函数f(x)=-2cos x+3(0≤x≤2π)的图象如图所示,第4课时 三角函数的图象与性质的综合应用
题型一 根据单调性求参数ω的值或范围
【典例1】(1)(2025·温州中学高一质检)设甲:“函数f(x)=2sin ωx在[-,上单调递增”,乙:“0<ω≤2”,则甲是乙的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.若“函数f(x)=2sin ωx在[-,]上单调递增”,则ω>0,
由-≤ωx≤得-≤x≤,则,解得0<ω≤,
所以甲是乙的充分且不必要条件.
(2)已知函数y=tan ωx在(-,)上单调递减,则 ( )
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1
【解析】选B.由x∈(-,),可得ωx∈(-,),由题意函数y=tan ωx在(-,)上单调递减,可得ω<0且满足,
解得-1≤ω<0.
【即学即练】
(2025·镇江中学高一月考)若函数f(x)=tan x在区间(-,)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
【解析】因为>-,所以a>0,
由题意函数f(x)=tan x在区间(-,)上单调递增,
则,解得0答案:(0,1]
题型二 根据最值求参数ω的值或范围
【典例2】(1)函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[-,]上单调递增,且在区间(0,2π)上恰有两个最值,则ω的取值范围是 .
【解析】由f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[-,]上单调递增,
可得-ω≥-+2kπ,ω≤+2kπ,k∈Z,即ω≤3-12k,ω≤+6k,k∈Z,即0<ω≤,又f(x)=sin ωx(ω>0)在区间(0,2π)上恰有两个极值点,可得<2ωπ≤,即<ω≤.综上,ω的取值范围是{ω|<ω≤}.
答案: {ω|<ω≤}
(2)函数f(x)=2sin ωx在区间[-,]上的最小值为-2,则ω的取值范围是 .
【解析】显然ω≠0,分两种情况:
若ω>0,当x∈[-,]时,-ω≤ωx≤ω.
因为函数f(x)=2sin ωx在区间[-,]上的最小值为-2,所以-ω≤-,解得ω≥.
若ω<0,当x∈[-,]时,ω≤ωx≤-ω,
因为函数f(x)=2sin ωx在区间[-,]上的最小值为-2,所以ω≤-,解得ω≤-2.
综上所述,符合条件的实数ω的取值范围为{ω|ω≤-2或ω≥}.
答案: {ω|ω≤-2或ω≥}
【总结升华】
若已知三角函数的最值,则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系,可以列出关于ω的不等式(组),进而求出ω的值或取值范围.
【即学即练】
(2025·长沙一中高一质检)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间(,π)上不存在最值,则ω的取值范围是 ( )
A. (0,] B. (0,]∪[,] C. [1,] D. (0,]∪[1,]
【解析】选D.f(x)=sin ωx(ω>0),因为函数f(x)在区间(,π)上不存在最值,
所以kπ+≤ω,且πω≤(k+1)π+对任意的k∈Z都成立,
所以k+≤ω,且ω≤k+,所以2k+1≤ω,且ω≤k+,所以0<ω≤或1≤ω≤.
题型三含绝对值的三角函数
【典例3】(1)函数y=|cos x|的一个单调递增区间是 ( )
A.[-,] B.[0,π] C.[π,] D.[,2π]
【解析】选D.将y=cos x位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方,
x轴上方(及x轴上)的图象不变,即得y=|cos x|的图象,
根据各选项判断只有D选项正确.
(2)已知函数f(x)=|sin x|+cos x,则下列说法错误的是 ( )
A.2π为f(x)的周期
B.任意x∈R,f(x)都满足f(π+x)=f(π-x)
C.函数f(x)在[,π]上单调递减
D.f(x)的最小值为-
【解析】选D.对于A,由f(x+2π)=|sin(x+2π)|+cos(x+2π)=|sin x|+cos x=f(x),
所以2π为f(x)的周期,所以A正确,不符合题意;
对于B,由f(π+x)=|sin(π+x)|+cos (π+x)=|sin x|-cos x,
f(π-x)=|sin(π-x)|+cos(π-x)=|sin x|-cos x,所以f(π+x)=f(π-x),所以B正确,不符合题意;
对于C,f(x)=|sin x|+cos x=sin x+cos x,x∈[,π],而y=sin x与y=cos x在[,π]上都单调递减,故C正确,不符合题意.
对于D,由|sin x|≥0,且-1≤cos x≤1,所以函数f(x)的最小值为-1,所以D错误,符合题意.
(3)函数f(x)=2|cos x|+cos x-在区间[0,2π]内的零点个数是 .
【解析】令f(x)=0,则2|cos x|+cos x=,
设g(x)=2|cos x|+cos x,
则当x∈[0,]∪[,2π]时,g(x)=3cos x,
当x∈(,)时,g(x)=-cos x,
画出函数y=g(x)的图象,
易知函数y=g(x)的图象与直线y=有4个不同的交点.
答案:4
【总结升华】
含绝对值三角函数解题策略
(1)去绝对值,写成分段函数,将其转化为熟悉的三角函数形态;
(2)画出草图,结合图象进行判断,包括代入必要的特值.
【即学即练】
(多选)已知函数f(x)=sin |x|+|sin x|,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)在区间[-π,π]上有4个零点
D.f(x)在区间(,π)上单调递减
【解析】选ABD.f(x)=sin |x|+|sin x|定义域为R,且f(-x)=sin |-x|+|sin(-x)|=sin |x|+|sin x|=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确.
y=sin |x|≤1,且当x=kπ+(k∈Z)时取等号;
y=|sin x|≤1,且当x=kπ+(k∈Z)时取等号,
所以f(x)=sin |x|+|sin x|≤2,当x=kπ+(k∈Z)时取等号,
即f(x)的最大值为2,故B正确;
由f(x)是偶函数且f(0)=0,可得f(x)在区间[-π,π]上的零点个数必为奇数,故C不正确;
当x∈(,π)时,f(x)=sin x+sin x=2sin x单调递减,故D正确.7.3 三角函数的图象和性质
7.3.1 三角函数的周期性
学习目标 育人目标
1.了解三角函数的周期性. 2.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 情感价值:通过三角函数图象探究,归纳函数的周期性概念,发展学生根据图象探究函数性质的能力,提升学生的抽象概括能力、运算能力. 学科素养:逻辑推理、数学抽象
【问题导学】
1.周期函数都有最小正周期吗
2.学习周期函数有什么作用
3.求三角函数周期有哪些方法
【教材认知】
1.函数的周期性
(1)周期函数:设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在一个非零的常数T,使得对于任意的x∈A,都有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)所有的周期中存在一个最小的正数,那么,这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.
(3)本质:函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.
(4)应用:函数的周期性是函数的重要性质,是高考中常见的考查知识点,在生活中也有很多的应用.
2.三角函数的周期
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为.
【教材提炼】
1.从等式f(x+T)=f(x)来看,应强调是x本身加的常数才是周期,如f(2x+T)=f(2x),T不是周期,而应写成f(2x+T)=f[2(x+) ]=f(2x),则是f(2x)的周期.
2.关于周期性的常用结论
(1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期不唯一.例如,2π,4π,6π,…以及-2π,-4π,-6π,…都是正弦函数的周期.同时,不是每一个周期函数都有最小正周期,如f(x)=2(x∈R).
(2)如果T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.
(3)周期函数的定义域是无限集.
(4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.因此要研究某周期函数的性质,一般只需要研究它在一个周期内的性质.
关键能力·师生共研
题型一 求三角函数的周期
【典例1】求下列函数的周期:
(1)f(x)=2sin(x+),x∈R;
(2)f(x)=-2cos(2ax+)(a≠0).
【解析】(1)方法一:设f(x)的周期为T,
则2sin[(x+T)+]=2sin(x+),
即2sin(x++)=2sin(x+)对任意的x都成立,即2sin(u+)=2sin u对任意的u都成立,其中u=x+.
因为y=2sin u的周期为2π,所以=2π,所以T=4π,所以f(x)=2sin(x+)的周期为4π.
方法二:因为T==4π,
所以f(x)=2sin(x+)的周期为4π.
(2)T==,所以周期为.
【总结升华】
求三角函数周期的方法
(1)定义法:找一个非零常数T,使得定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x),那么这个函数的周期为T.
(2)公式法:将函数化为y=Asin (ωx+φ)+B或y=Acos (ωx+φ)+B的形式,再利用T=求得.
(3)图象法:作出函数的图象,通过观察得到周期.
【即学即练】
1.(2025·八省联考)函数f(x)=cos(x+)的最小正周期是 ( )
A. B. C.π D.2π
【解析】选D.T===2π.
2.设函数f(x)=3sin(ωx+),ω>0且最小正周期为,则f(x)的解析式为 .
【解析】因为f(x)=3sin(ωx+),ω>0且最小正周期为,所以=,即ω=4,
所以f(x)=3sin(4x+).
答案:f(x)=3sin(4x+)
题型二 利用函数的周期性求值
【典例2】(类题·节节高)
(1)已知函数f(x)=2sin (x+φ),且f()=1,k∈Z,则f(+6k)的值为 .
【解析】f()=1,T==3,f(+6k)=f()=1.
答案:1
(2)设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数,且当x∈[0,]时,f(x)=sin x;当x∈(,π)时,f(x)=cos x,则f(π)= .
【解析】T=π,x∈(,π)时,f(x)=cos x,
所以f(π)=f(3π+)=f()=cos =cos (π-)=-cos =-.
答案:-
(3)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0,f(x+2)=对任意x∈R恒成立,则f(2 025)= .
【解析】因为f(x+2)=对任意x∈R恒成立,所以f(x+4)==f(x),
即函数f(x)是以4为周期的周期函数.
令x=-1,则f(-1+2)=,
即f(1)·f(-1)=1,又因为f(x)为偶函数,且f(x)>0,所以f(1)·f(1)=1,
即f(1)=f(-1)=1,
因此f(2 025)=f(-1+506×4)=f(1)=1.
答案:1
【总结升华】
函数的周期性与其他性质相结合是一类热点问题,一般在条件中,周期性起到变量值转化的作用,也就是将所求函数值转化为已知求解.
【即学即练】
若f(x)=sinx则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)= .
【解析】由f(x)=sinx,函数f(x)=sinx的最小正周期为=6.因为f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)
=sin+sin+sin π+sin+sin+sin 2π=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)
=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3)
=337×0+sin+sin+sin π=.
答案:
题型三函数周期性的综合应用
【典例3】设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)
=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(1)+f(2)+…+f(2 024)+f(2 025)的值.
【解析】(1)因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],
由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又因为f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,所以当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,f(4)=0.
又因为f(x)是周期为4的周期函数,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=…=f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(2 021)+f(2 022)+f(2 023)+f(2 024)=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(2 024)+f(2 025)
=0+f(2 025)=f(1)=1.
【总结升华】
利用函数的周期性求函数解析式的策略
利用函数的周期性求函数解析式时,一般利用整体代入思想,将所求函数转化到已知的函数区间内,求函数的解析式,注意求解时函数自变量所在的区间;有时还要结合函数的奇偶性等性质求解.
【即学即练】
若函数f(x)是以4为周期的奇函数,且f(3)=6,则f(1)+f(6)= .
【解析】因为函数f(x)是以4为周期的奇函数,且f(3)=f(-1)=-f(1)=6,则f(1)=-6.
因为函数f(x)是以4为周期的奇函数,所以f(2)=f(-2),f(-2)=-f(2),
所以f(2)=f(-2)=0,所以f(6)=f(2)=0,
即f(1)+f(6)=-6.
答案:-6
