(共15张PPT)
7.4 三角函数应用(二)
01
关键能力 师生共研
【总结升华】
匀速圆周运动的数学模型总结
如图,点P从P0(t=0)开始,逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω),则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H=rsin (ωt+φ)+h.
【即学即练】
(2025·长郡中学高一月考)如图,摩天轮的半径为40米,摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米,摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最高点处,下面的有关结论不正确的是( )
A.经过3分钟,点P首次到达最低点
B.第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C.从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距
离地面的高度一直在降低
D.摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟
距离地面不低于65米
题型二 三角函数模型的简单拟合
【典例2】下表所示的是芝加哥1951~1981年的月平均气温(℉).
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
【解析】(1)根据题表数据画图,并用曲线拟合这些数据,如图所示.
【总结升华】
利用三角函数拟合的步骤
根据收集的数据,先画出相应的散点图,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题.
【即学即练】
物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表所示,则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 .
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.07.4 三角函数应用(一)
【学习目标】
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
2.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
3.借助教材实例,了解y=Asin (ωx+φ)的图象的物理意义,能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相位.
4.利用收集的数据,进行函数拟合,从而得到函数模型.
【育人目标】
情感价值:借助图象抽象三角函数中各量的物理意义,发展学生的抽象概括能力;通过具体实例,明确三角函数解决的问题类型,提升学生用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.
学科素养:数学抽象、数学建模、直观想象
【问题导学】
1.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述
2.运用三角函数可以解决哪些实际问题
【教材认知】
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
(1)A,ω,φ的物理意义:
①简谐运动的振幅就是A;
②简谐运动的周期T=;
③简谐运动的频率f==;
④ωx+φ称为相位;
⑤x=0时的相位φ称为初相位.
(2)本质:A,ω,φ有各自的物理意义,各自决定了函数性质中的一部分.
(3)应用:根据A,ω,φ的物理意义,在解题时能比较简单地求出函数解析式.
【教材提炼】
运用三角函数模型解决问题的几种类型
(1)由图象求解析式:首先由图象确定解析式的基本形式,例如:y=Asin(ωx+φ),然后根据图象特征确定解析式中的字母参数,在求解过程中还要结合函数性质.
(2)由图象研究函数的性质:通过观察分析函数图象,能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性.
(3)利用三角函数研究实际问题:首先分析、归纳实际问题,抽象概括出数学模型,再利用图象及性质解答数学问题,最后解决实际问题.
关键能力·师生共研
题型一 简谐运动
【典例1】(1)智能主动降噪耳机工作的原理是:通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音(如图).已知某噪音的声波曲线y=Asin (ωx+φ) (A>0,ω>0,0≤φ<)的振幅为1,周期为2π,初相位为0,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为 ( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=-sin x D.y=-cos x
【解析】选C.由某噪音的声波曲线y=Asin (ωx+φ) (A>0,ω>0,0≤φ<)的振幅为1,周期为2π,初相位为0,知该噪音的声波曲线为y=sin x,通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为y=-sin x.
(2)(教材例1节选)在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时.则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为 ( )
A.x=sin (t-)
B.x=3sin (t)
C.x=sin (3t+)
D.x=3sin (t+)
【解析】选D.设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin (ωt+φ)(ω>0),
根据题中条件,可得A=3,周期T==3,故ω==,由题意可知当x=0时,f(t)取得最大值3,故3sin φ=3,则φ=+2kπ(k∈Z),
所以x=3sin (t++2kπ)=3sin (t+).
【总结升华】
简谐运动中常见物理量的确定方法
(1)A表示简谐运动离开平衡位置的最大距离,也可以用最大值减最小值除以2得到;
(2)周期T=表示简谐运动往返运动一次所需要的时间;频率f==表示运动物体在单位时间内往返运动的次数;
(3)初相位φ是相位ωx+φ(ω>0)在x=0时的值.
【即学即练】
已知某简谐运动的方程是f(x)=Asin (ωx+φ)+B(A>0,ω>0),该方程的部分图象如图.经测量,振幅为.图中的最高点D与最低点E,F为等腰三角形的顶点,则振动的频率是 ( )
A.0.125 B.0.25 C.0.4 D.0.5
【解析】选B.设该简谐运动的周期为T,T>0,因为DE=EF,则+=T2,
解得T=4,所以f===0.25.
题型二 三角函数在物理中的应用
【典例2】如图是电流强度I(单位:A)与时间t(单位:s)的解析式I=Asin (ωt+φ) (A>0,ω>0,-<φ<)在一个周期内的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调递减区间;
(3)为了使I=Asin (ωt+φ)中t在任意一段 s的时间内I能同时取得最大值和最小值,求正整数ω的最小值.(π取3.142)
【解析】(1)由题图可知,A=300,周期T=-(-)=;
由=T ω==100π;
当t=-时,ωt+φ=0,
即φ=-ωt=-100π·(-)=;
故函数的解析式为I=300sin (100πt+).
(2)由2kπ+≤100πt+≤2kπ+,k∈Z,可得+≤t≤+,k∈Z,
故函数的单调递减区间为[+,+] (k∈Z).
(3)要使t在任意一段秒的时间内I能同时取得最大值和最小值,必须使得周期T≤;
即≤,ω≥100π,ω≥314.2,由于ω为正整数,故ω的最小值为315.
【总结升华】
利用三角函数处理物理学问题的策略
(1)三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题,解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相位、相位的实际意义和表示方法.
(2)将图形语言转化成符号语言,根据图形信息利用待定系数法,求函数模型y=Asin (ωx+φ)中的未知参数后,再由解析式及性质解决具体问题.
【即学即练】
如图,一台发电机产生的电流是正弦式电流,即电压U(单位:V)和时间t(单位:s)满足U=311sin (ωt+φ) (ω>0,|φ|<).在一个周期内,电压的绝对值超过的时间为 .(答案用分数表示)
【解析】由已知T=0.02,ω==100π,φ=0,
U=311sin(100πt).
在区间[0,0.02]内,令311sin (100πt)=,
100πt=或100πt=,
可得t1=,t2==;
同理令311sin (100πt)=-,
可得t3=,t4=.
综上,电压的绝对值超过的时间为2×(-)=(s).
答案: s
题型三 三角函数在生活中的应用
【典例3】(多选)(2025·苏州中学高一月考)气候变化是人类面临的全球性问题,随着各国二氧化碳排放,温室气体猛增,对生命系统形成威胁,我国积极参与全球气候治理,加速全社会绿色低碳转型,力争2030年前实现碳达峰,2060年前实现碳中和目标.某校高一数学研究性学习小组研究的课题是“碳排放与气候变化问题”,研究小组观察记录某天从6h到14h的温度变化,其变化曲线近似满足函数f(x)=Asin (ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),以下说法正确的是 ( )
A.φ=
B.函数f(x)的最小正周期为16π
C. x∈R,f(x)+f(x+8)=40
D.若g(x)=f(x+m)是偶函数,则|m|的最小值为2
【解析】选ACD.根据题图可知解得所以f(x)=10sin (ωx+φ)+20.
根据题图可知=14-6=8,T=16,B错误.
ω===,f(x)=10sin (x+φ)+20,
f(6)=10sin (+φ)+20=10,即sin (+φ)=-1.又0<φ<π,所以<+φ<,所以+φ=,解得φ=,A正确.
f(x)=10sin (x+)+20,f(x+8)
=10sin+20
=10sin (x++π)+20
=-10sin (x+)+20,所以f(x)+f(x+8)=40,C正确.
因为g(x)=f(x+m)=10sin+20=10sin(x+m+)+20是偶函数,所以m+=kπ+,k∈Z,得m=8k-2,k∈Z,所以当k=0时,|m|取最小值,为2,D正确.
【即学即练】
人的血压在不断地变化,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的数值就是收缩压和舒张压,120/80 mmHg为标准值.设甲某的血压满足函数式p(t)=102+24sin(160πt),其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),对于甲某而言,下列说法正确的是 ( )
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值
D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值
【解析】选C.因为p(t)=102+24sin(160πt),所以p(t)min=102-24=78,p(t)max=102+24=126.
所以,甲某血压的收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg.因此,收缩压高于标准值、舒张压低于标准值.(共21张PPT)
7.4 三角函数应用(一)
【学习目标】
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
2.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.
3.借助教材实例,了解y=Asin (ωx+φ)的图象的物理意义,能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相位.
4.利用收集的数据,进行函数拟合,从而得到函数模型.
【育人目标】
情感价值:借助图象抽象三角函数中各量的物理意义,发展学生的抽象概括能力;通过具体实例,明确三角函数解决的问题类型,提升学生用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.
学科素养:数学抽象、数学建模、直观想象
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述
2.运用三角函数可以解决哪些实际问题
A
ωx+φ
φ
(2)本质:A,ω,φ有各自的物理意义,各自决定了函数性质中的一部分.
(3)应用:根据A,ω,φ的物理意义,在解题时能比较简单地求出函数解析式.
【教材提炼】
运用三角函数模型解决问题的几种类型
(1)由图象求解析式:首先由图象确定解析式的基本形式,例如:y=Asin(ωx+φ),然后根据图象特征确定解析式中的字母参数,在求解过程中还要结合函数性质.
(2)由图象研究函数的性质:通过观察分析函数图象,能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性.
(3)利用三角函数研究实际问题:首先分析、归纳实际问题,抽象概括出数学模型,再利用图象及性质解答数学问题,最后解决实际问题.
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
利用三角函数处理物理学问题的策略
(1)三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题,解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相位、相位的实际意义和表示方法.
(2)将图形语言转化成符号语言,根据图形信息利用待定系数法,求函数模型y=Asin (ωx+φ)中的未知参数后,再由解析式及性质解决具体问题.
【即学即练】
人的血压在不断地变化,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的数值就是收缩压和舒张压,120/80 mmHg为标准值.设甲某的血压满足函数式p(t)=102+24sin(160πt),其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),对于甲某而言,下列说法正确的是( )
A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值 D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值
【解析】选C.因为p(t)=102+24sin(160πt),所以p(t)min=102-24=78,p(t)max=102+24=126.
所以,甲某血压的收缩压为126 mmHg,舒张压为78 mmHg.因此,收缩压高于标准值、舒张压低于标准值.7.4 三角函数应用(二)
题型一 三角函数在圆周运动模型中的应用
【典例1】(多选)(2025·镇江中学高一质检)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.如图,一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,-<φ<).以下说法正确的有 ( )
A.K=2
B.ω=
C.φ=
D.盛水筒出水后到达最高点的最小时间为 s
【解析】选ABD.因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,所以T==40,
则ω==,故B正确;
振幅A为筒车的半径,即A=4,K==2,故A正确;
由题意,t=0时,d=0,所以0=4sin φ+2,即sin φ=-,因为-<φ<,所以φ=-,故C错误;
d=4sin(t-)+2,由d=6,得6=4sin(t-)+2,所以sin(t-)=1,所以t-=+2kπ,k∈Z,得t=+40k,k∈Z.所以当k=0时,t取最小值为,故D正确.
【总结升华】
匀速圆周运动的数学模型总结
如图,点P从P0(t=0)开始,逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω),则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H=rsin (ωt+φ)+h.
【即学即练】
(2025·长郡中学高一月考)如图,摩天轮的半径为40米,摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米,摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最高点处,下面的有关结论不正确的是 ( )
A.经过3分钟,点P首次到达最低点
B.第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C.从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D.摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米
【解析】选C.设P(t,y),则y=45+40cos(·t)=40cos t+45(t为摩天轮匀速逆时针旋转的时间,单位为分钟).
对于A选项,由于摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,所以经过3分钟,点P首次到达最低点,A选项正确.
对于B选项,当t=4时,y=40cos +45=25;当t=8时,y=40cos +45=25.所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高,B选项正确.
对于C选项,由于摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,所以第7分钟至第10分钟,相当于第1分钟至第4分钟,根据A选项可知,经过3分钟,点P首次到达最低点,所以第1分钟至第3分钟,摩天轮高度降低,第3分钟至第4分钟,摩天轮高度上升,C选项错误.
对于D选项,由40cos t+45≥65得cos t≥,其中0≤t≤6,所以0≤t≤2π,故0≤t≤或≤t≤2π,即0≤t≤1或5≤t≤6,故摩天轮在旋转一周的过程中点P有1+1=2分钟距离地面不低于65米,D选项正确.
题型二 三角函数模型的简单拟合
【典例2】下表所示的是芝加哥1951~1981年的月平均气温(℉).
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
(1)以月份为横坐标,对应平均气温作为纵坐标,画出图象;
(2)这个函数的周期是多少
(3)估计这个正弦曲线的振幅A;
(4)若以月份为x轴,x=月份-1,平均气温为y轴建立直角坐标系,则下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据
①=cos ;②=cos ;
③=cos ;④=sin .
【解析】(1)根据题表数据画图,并用曲线拟合这些数据,如图所示.
(2)1月份的平均气温最低,为21.4 ℉,7月份的平均气温最高,为73.0 ℉,根据散点图知=7-1=6,所以T=12.
(3)2A=最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.
(4)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0,
代入①,得=>1≠cos ,所以①不适合,
代入②,得=<0≠cos ,
所以②不适合,同理,④不适合,所以③最适合.
【总结升华】
利用三角函数拟合的步骤
根据收集的数据,先画出相应的散点图,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题.
【即学即练】
物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如表所示,则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 .
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0
【解析】设y=Asin (ωt+φ)(A>0,ω>0),则从题表中数据可以看到A=4,ω===.
又由4sin φ=-4.0,得sin φ=-1,取φ=-,则y=4sin (t-),即y=-4cos t.
答案:y=-4cos t(答案形式不唯一)
