(共28张PPT)
阶段提升课
01
知识网络·体系构建
02
重点题型·深研突破
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2.诱导公式的应用思路
任意负角的三角函数 任意正角的三角函数
0~2π内的角的三角函数 锐角三角函数.
3.同角三角函数关系公式运用的两种思路
(1)化弦法:当切函数的项比较少时,常常化弦达到化简目的;
(2)化切法:当弦函数比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时,常常化切,便于化简.
【总结升华】
解三角函数应用问题的基本步骤
03
易错提示·规避陷阱
正弦
正弦线
正角、负角、零角
任意角的
有向线段
余弦
余弦线
象限角
任意角
三角函数
正切
角与弧度
正切线
弧长公式
弧度制
三角函
同角三角
sin a +cosa=1
扇形面积公式
数概念
函数关系
tana=
Sin a
三角函数
三角
cosa
最小正周期
的周期性
函数
三角函数的
奇变偶不变，符号看象限
诱导公式
图象
三角函数
三角函数
的图象与
的图象和
性质
性质
性质
三角函
应用三角函数模型解决实际问题
函数y=
数应用
图象变换
Asin(@x+p)
题组一同角三角函数基本关系式和诱导公式
解析】
选BC对于A,当n=2k,k∈Z时，sim(nm+=sin(2ka
十
当n=2k+1,k∈Z时，sin(m+=sin[(2k+1)x+]=sin(a
,故A选项措误
对于B,c0s(Q2mm -c0s(骨-c0sg,如选项正确；
对于C,in[(2m+1m=sin(元孕=sing-Y,故C选项正确
对于D,c0s(n+
cos(2
in否，故D选项错误
题组二三角函数的图象性质综合应用
1.函数fx)=sin2x+V3cos2x的图象向右平移"个单位长度后得到y=g(x)的图
象，则(
A.g(x)=2sin 2x
B.g(x)=2sin(2x+)
C.g(x)=2sin(2x+)
D.g()-2sin(2x+)
【解析】选A.因为fx)=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+),所以g(x)=2sin[2(x
爱+g]=2sin2x
2
0
元
2π
X
6
3
【解析】选C.由图象可知，4=2，由0-=红
可得7=r0子，且T-所以2解得ω-3，
所以x)=2sin(3x+p)
②=河得
-2,所以2
=2s10
即+p-+2m,k∈Z,
即p=+2km,keZ,且p<,当k=1时，p-4,所以x-2sin(3x+
则g-2sim(+=-V2.阶段提升课
知识网络·体系构建
重点题型·深研突破
题组一 同角三角函数基本关系式和诱导公式
(多选)下列三角函数值为的是(n∈Z) ( )
A.sin(nπ+)
B.cos(2nπ-)
C.sin [ (2n+1)π-]
D.cos(π+)
【解析】选BC.对于A,当n=2k,k∈Z时,sin(nπ+)=sin(2kπ+)=sin =;
当n=2k+1,k∈Z时,sin(nπ+)
=sin[ (2k+1)π+]=sin(π+=-sin =-,故A选项错误;
对于B,cos(2nπ-)=cos(-)=cos=,故B选项正确;
对于C,sin [ (2n+1)π-]=sin(π-)=sin =,故C选项正确;
对于D,cos(π+)=cos(2nπ+π+)=cos(π+)=-sin =-,故D选项错误.
【总结升华】
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2.诱导公式的应用思路
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角三角函数.
3.同角三角函数关系公式运用的两种思路
(1)化弦法:当切函数的项比较少时,常常化弦达到化简目的;
(2)化切法:当弦函数比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时,常常化切,便于化简.
题组二 三角函数的图象性质综合应用
1.函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到y=g(x)的图象,则 ( )
A.g(x)=2sin 2x
B.g(x)=2sin(2x+)
C.g(x)=2sin(2x+)
D.g(x)=2sin(2x+)
【解析】选A.因为f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),所以g(x)=2sin[2(x-)+]=2sin 2x.
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,f(0)=f()=f(),则f(-)= ( )
A.0 B.-1 C.- D.-
【解析】选C.由图象可知,A=2,由f(0)=f()=f()可得T=π-0=π,
且T=,所以π=,解得ω=3,
所以f(x)=2sin(3x+φ),
由f()=f()可得,f()=f(π)=-2,所以f(π)=2sin(π+φ)=-2,即π+φ=-+2kπ,k∈Z,
即φ=-π+2kπ,k∈Z,且|φ|<,当k=1时,φ=,所以f(x)=2sin(3x+),
则f(-)=2sin(-+)=-.
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,图象与x轴的交点为M(,0),与y轴的交点为N,最高点为P(1,A),且满足NM⊥NP.则下列说法正确的是 ( )
A.f(π)>f(5)
B.函数f(x)在(4,7)上单调递减
C.若f(x1)=f(x2)=(x1≠x2),则|x1-x2|的最小值是1
D.把y=Asin ωx的图象向左平移1个单位长度,得到y=f(x)的图象
【解析】选C.函数f(x)的周期T=4(-1)=6,即=6,解得ω=,
由f(1)=A,得+φ=+2kπ,k∈Z,而|φ|<,则k=0,φ=,f(x)=Asin(x+),
则点N(0,A),由NM⊥NP,得NP2+MN2=MP2,即1+A2++A2=+A2,
解得A=,因此f(x)=sin(x+).
对于A,由f(4)=-,得函数f(x)的图象关于x=4对称,则f(5)=f(3),
由图象知,函数f(x)在[1,4]上单调递减,
则f(3)>f(π),因此f(π)对于B,由于函数f(x)的图象关于x=4对称,且在[1,4]上单调递减,则f(x)在(4,7)上单调递增,B错误;
对于C,由f(x)=,得sin(x+)=,则x1+=+2k1π,k1∈Z,x2+=+2k2π,k2∈Z,两式相减得(x2-x1)=+2(k2-k1)π,k1,k2∈Z,
即x2-x1=1+6(k2-k1),k1,k2∈Z,所以|x2-x1|min=1,C正确;
对于D,把y=sin x的图象向左平移1个单位长度,得y=sin (x+1)=sin(x+)≠f(x),D错误.
【总结升华】
1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)的图象时,确定五个关键点的方法是分别令ωx+φ=0,,π,,2π.
2.由函数y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象时,应注意先相位变换再周期变换,还是先周期变换再相位变换,二者平移量不同.
3.已知函数图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式,需要确定A,ω,φ,其中φ的求法可以通过五点法、最值法、单调性法、平移法等求出.更应注意只有限定φ的取值范围,才能得出唯一的解析式,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.
题组三 三角函数的实际应用
1.(多选)(2025·武汉一中高一质检)如图,弹簧挂着的小球做上下运动,它在t s时相对于平衡位置的高度h(单位:cm)由关系式h=Asin(ωt+φ),t∈[0,+∞)确定,其中A>0,ω>0,φ∈(0,π].小球从最高点出发,经过2 s后,第一次回到最高点,则 ( )
A.φ=
B.ω=π
C.t=3.75与t=10时的相对于平衡位置的高度h之比为
D.t=3.75与t=10时的相对于平衡位置的高度h之比为
【解析】选BC.由题可知小球运动的周期T=2 s,又ω>0,所以=2,解得ω=π,当t=0时,Asin φ=A,又φ∈(0,π],所以φ=,故A错误,B正确;
因为h=Asin(πt+)=Acos πt,
所以t=3.75与t=10时的相对于平衡位置的高度之比为===,故C正确,D错误.
2.(2025·盐城中学高一质检)声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin ωt,但我们平时听到的乐音不止是一个音在响,而是许多个音的结合,称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+sin 2x(x∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的一个周期为π
B.f(x)的最大值为
C.f(x)的图象关于点(,0)对称
D.f(x)在区间[0,π]上有2个零点
【解析】选D.对于A,因为y=sin x的周期为2π,y=sin 2x的周期为π,所以f(x)=sin x+sin 2x的周期为2π,故A错误;
对于B,因为函数y=sin x的最大值为1,y=sin 2x的最大值为,故两个函数同时取最大值时,f(x)的最大值为,此时需满足x=+2kπ,k∈Z且2x=+2kπ,k∈Z,但不能同时成立,故最大值不能同时取到,故f(x)的最大值不为,则B错误;
对于C,f(π-x)=sin(π-x)+sin[2(π-x)]=sin x-sin 2x,则f(x)+f(π-x)=2sin x≠0,故f(x)的图象不关于点(,0)对称,C错误;
对于D,因为f(x)=sin x+sin 2x=sin x(1+cos x)=0时,sin x=0,又x∈[0,π],
所以x=0或者x=π;或者1+cos x=0,
此时cos x=-1,又x∈[0,π],所以x=π,综上可知,f(x)在区间[0,π]上有2个零点,故D正确.
【总结升华】
解三角函数应用问题的基本步骤
易错提示·规避陷阱
易错点一 忽略分类讨论而致误
1.化简:(1)cos +cos +cos +cos ;
(2)sin (2nπ-)·cos (nπ+) (n∈Z).
【解析】(1)cos +cos +cos +cos
=cos +cos +cos (π-)+cos (π-)
=cos +cos -cos -cos =0;
(2)原式=sin (-)·cos (nπ+),
当n=2k,k∈Z时,原式=(-)·cos (2kπ+)=(-)×(-)=,
当n=2k+1,k∈Z时,原式=(-)·cos (2kπ+π+)=(-)×=-.
【误区警示】
三角函数的恒等变换的应用中,角nπ+α中,n的取值会对角的终边所在象限产生影响,所以必须对n分为奇数和偶数进行讨论.
易错点二 因抓不住图象平移变换的本质而致误
2.将函数y=2sin (2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数解析式为 ( )
A.y=2sin (2x+)
B.y=2sin (2x+)
C.y=2sin (2x-)
D.y=2sin (2x-)
【解析】选D.函数y=2sin (2x+)的周期为T==π,由题意即为函数y=2sin (2x+)的图象向右平移个单位长度,可得图象对应的函数解析式为y=2sin [2(x-)+],即有y=2sin (2x-).
【误区警示】
在函数的左右平移中,平移单位是相对x而言的,在函数y=Asin(ωx+φ)中,ωx+φ=ω(x+),所以由函数y=Asin (ωx)的图象得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象时,平移的长度不是|φ|,而是||,这点很容易出错.
易错点三 忽略正切函数的定义域致误
3.(1)求函数y=的定义域;
(2)求函数y=+的定义域.
【解析】(1)要使函数y=有意义,
则,
解①得:+2kπ解②得:+kπ解③得:x≠+2kπ,k∈Z.
取交集得+2kπ所以原函数的定义域为(+2kπ,+2kπ),k∈Z.
(2)要使函数y=+有意义,
则,解得:0所以原函数的定义域为(0,)∪[π,4].
【误区警示】
求解关于正切函数的定义域时,容易忽略正切函数自身的定义域,即{x|x≠kπ+,k∈Z}.
