第3课时 指数函数及其性质的应用(二)
关键能力·师生共研
题型一 指数函数的综合应用
角度1 指数函数与二次函数综合
【典例1】(2025·徐州一中高一质检)已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(3,8).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f2(x)-2f(x)+5在x∈[-1,2]上的值域.
【解析】(1)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(3,8),则f(3)=a3=8,
解得a=2,因此,f(x)=2x.
(2)g(x)=-2×2x+5,令t=2x,
因为x∈[-1,2],则t∈[,4],
令h(t)=t2-2t+5=(t-1)2+4,当t∈[,1]时,函数h(t)单调递减,此时,x∈[-1,0],
当t∈(1,4]时,函数h(t)单调递增,此时,x∈(0,2],
故当x∈[-1,2]时,g(x)min=g(0)=4,
又因为g(-1)=(-1)2+4=,g(2)=(4-1)2+4=13,故g(x)max=13,
所以函数g(x)在[-1,2]上的值域为[4,13].
角度2 指数函数与单调性奇偶性综合
【典例2】(2025·宁波中学高一质检)已知函数f(x)=(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明;
(3) x∈[1,2],使得t·f(x)≥2x-2成立,求实数t的取值范围.
【思路导引】(1)利用奇函数在原点上有定义,则f(0)=0即可求解.
(2)根据单调性定义即可证明.
(3)先将不等式t·f(x)≥2x-2化为t≥(2x-1)-+1,再利用换元法结合函数单调性求出(2x-1)-+1的最小值即可求解.
【解析】(1)因为f(x)=(a>0,a≠1),x∈R,定义域关于原点对称,令x=0,所以f(0)==0,故a=2.
(2)f(x)=是R上的增函数.
证明:任取x1,x2∈R,且x1
f(x1)-f(x2)=-
=
=,
所以x10,+1>0,0<<,
所以-<0,(+1)(+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)是R上的增函数.
(3)当x∈[1,2]时,不等式t·f(x)≥2x-2,即t≥,
故t≥=(2x-1)-+1,
则令v=2x-1,由题意可知 v∈[1,3],t≥v-+1,
因为函数y=x,y=-为[1,3]上的增函数,
故y=v-+1在v∈[1,3]上单调递增,
故(v-+1)min=1-+1=0,所以t≥0.
【总结升华】
1.指数函数与二次函数综合,主要解题策略是通过换元法,把指数函数问题转化为二次函数问题求解.
2.指数函数与单调性奇偶性综合,一般是解不等式或研究不等式恒成立问题,具体做法是利用函数单调性,奇偶性来求解.
【即学即练】
1.已知函数f(x)=4x+m·2x,m∈R.
(1)若m=-3,解关于x的不等式f(x)>4;
(2)若函数y=f(x)+f(-x)的最小值为-4,求m的值.
【解析】(1)当m=-3时,由f(x)=4x-3×2x>4得,4x-3×2x-4>0,(2x+1)(2x-4)>0,
因为2x+1>0,所以2x-4>0,解得x>2,
所以原不等式的解集为(2,+∞).
(2)因为y=f(x)+f(-x)=(4x+4-x)+m·
(2x+2-x)=+m·(2x+2-x)-2,
令t=2x+2-x,因为2x>0,2-x>0,
所以t=2x+2-x≥2=2,
当且仅当x=0时取得等号,
则y=g(t)=t2+m·t-2=--2,t≥2,
①当-≤2,即m≥-4时,g(t)在[2,+∞)上单调递增,
当t=2,即x=0时,ymin=2m+2,
所以2m+2=-4,解得m=-3,符合题意;
②当->2,即m<-4时,
g(t)在[2,-]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增,当t=-时,ymin=--2,
所以--2=-4,解得m=±2,不符合题意,舍去.
综上,m的值为-3.
2.设a∈R,函数f(x)=.
(1)求a的值,使得y=f(x)为奇函数;
(2)若f(2)=a,求满足f(x)>a的实数x的取值范围.
【解析】(1)由f(x)为奇函数,可知f(-1)=-f(1),
即-(1+2a)=-(2+a),解得a=1,
当a=1时,f(x)=,f(-x)===-f(x)对一切非零实数x恒成立,故当a=1时,y=f(x)为奇函数.
(2)由f(2)=a,可得=a,解得a=2,
所以f(x)>a >2 <0 1<2x<4,
解得0a的实数x的取值范围是(0,2).
题型二 指数函数的实际应用
【典例3】某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)存在函数关系y=c(c,m为常数).
(1)求c,m的值;
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常,问:至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态
【解析】(1)由题意可得
解得
(2)由(1)知y=128×,令128×≤,即≤,解得t≥32,即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.
【总结升华】
应用指数型函数解决实际问题时需注意的事项
(1)在利用指数增长(减少)模型解决实际问题时,要注意自变量x的取值要准确.在实际问题中,经常会遇到类似的指数增长模型:设原来的产量为N,平均增长率为p,经过x次增长达到y,则有y=N(1+p)x,x∈N,这是非常有用的函数模型.
(2)对于指数型函数y=kax,不仅要注意a的取值,还要注意k的符号对函数性质的影响.
【即学即练】
一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原面积的.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已被砍伐了多少年
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0解得x=1-();
(2)设到今年为止,该森林已被砍伐了m年,则a(1-x)m=a,即()=(),
即=,解得m=5,故到今年为止,该森林已被砍伐了5年.6.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象和性质
学习目标 育人目标
1.能从教材实例中抽象出指数函数的概念. 2.能从实例中归纳出指数函数的图象和性质. 3.掌握指数函数图象和性质的初步应用. 情感价值:通过指数函数概念的学习,提升学生的抽象概括能力;通过性质的探究,提升学生的探究能力;通过性质的应用,提升学生应用数学模型解决实际问题的能力. 学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象
必备知识·自主导学
【问题导学】
1.当指数函数的底数a=0,a=1,a<0时,对自变量x的取值有何影响
2.指数函数的解析式有什么特征 与幂函数图象有什么区别
3.在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限
4.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性取决于哪个量
5.如何判断形如y=f(ax)(a>0,a≠1)的函数的单调性
【教材认知】
1.指数函数
一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域是R.
2.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质
项目 a>1 0图象
性质 (1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)图象过定点(0,1),图象在x轴的上方
(4)增函数; 当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,01
3.指数函数的图象变换
已知函数y=ax(a>0且a≠1)
(1)平移变换
①y=axy=ax+k.
②y=axy=ax-k.
③y=axy=ax+h.
④y=axy=ax-h.
(2)对称变换
①y=axy=a-x.
②y=axy=-ax.
③y=axy=-a-x.
(3)翻折变换
y=axy=a|x|(去掉y轴左侧图象,保留y轴右侧图象,将y轴右侧图象翻折到y轴左侧).
【教材提炼】
1.在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数的大小有如下关系:
(1)在y轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大;
(2)在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x=1时,y的取值去理解.如图所示:
2.解指数方程、不等式
(1)形如>的不等式,可借助y=ax的单调性求解.
(2)形如>b的不等式,可将b化为以a为底数的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式,可借助两个函数y=ax,y=bx的图象求解.
3.指数型函数的单调性
一般地,形如y=(a>0,且a≠1)的函数的性质有:
(1)函数y=与函数y=f(x)有相同的定义域.
(2)当a>1时,函数y=与y=f(x)具有相同的单调性;当0关键能力·师生共研
题型一 指数函数的概念
【典例1】下列函数:①y=2×3x;②y=3x+1;③y=πx;④y=xx.其中为指数函数的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.指数函数解析式为y=ax(a>0且a≠1),对于①②④,y=2×3x、y=3x+1和y=xx不符合指数函数解析式特征,①②④错误;对于③,y=πx符合指数函数解析式特征,③正确,共1个.
【典例2】指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,),那么f(4)f(2)= ( )
A.8 B.16 C.32 D.64
【解析】选D.设f(x)=ax(a>0,且a≠1),因为y=f(x)的图象经过点(-2,),所以a-2=,a=2,f(x)=2x,所以f(4)f(2)=24×22=64.
【总结升华】
判断一个函数是否为指数函数的方法
只需判断其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构特征.
【即学即练】
1.下列函数:①y=;②y=6x;③y=6×2x;④y=8x+1;⑤y=-6x.其中一定为指数函数的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选B.形如y=ax(a>0且a≠1)的函数为指数函数,
其解析式需满足(1)底数为大于0,且不等于1的常数,(2)系数为1,(3)指数为自变量,所以只有②是指数函数,①③④⑤都不是指数函数,故一定为指数函数的有1个.
2.若函数y=a2(2-a)x是指数函数,则a= .
【解析】由题意解得a=-1.
答案:-1
题型二 与指数函数有关的定义域值域问题
【典例3】求下列函数的定义域和值域:
(1)y=; (2)y=;
(3)y=; (4)y=.
【思路导引】求与指数函数有关的函数的定义域时,只需使函数式有意义即可.求值域时可以从相应指数函数的值域入手或依据单调性求解.
【解析】(1)要使函数式有意义,则1-3x≥0,即3x≤1=30,因为函数y=3x在R上单调递增,
所以x≤0,
故函数y=的定义域为(-∞,0].
因为x≤0,所以0<3x≤1,所以0≤1-3x<1,
即函数y=的值域为[0,1).
(2)要使函数式有意义,则x-4≠0,解得x≠4,
所以函数y=的定义域为{x|x≠4}.
因为≠0,所以≠1,
即函数y=的值域为{y|y>0且y≠1}.
(3)要使函数式有意义,则-|x|≥0,解得x=0,
所以函数y=的定义域为{x|x=0}.
因为x=0,所以==1,
即函数y=的值域为{y|y=1}.
(4)定义域为R.因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,所以≤=16.
又>0,所以函数y=的值域为(0,16].
【总结升华】
求指数型函数的定义域和值域的一般方法
1.求指数型函数的定义域时,先观察函数是y=ax型还是y=af(x)型.
(1)由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同.
(2)对于函数y=f(ax)(a>0,且a≠1)的定义域,关键是找出t=ax的值域的哪些部分在y=f(t)的定义域中.
(3)求y=型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).
2.求与指数函数有关的函数值域的关注点:
(1)指数函数的值域为(0,+∞).
(2)在求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数值域时,先求得f(x)的值域(即函数t=f(x)中t的范围),再根据y=at的单调性,列出指数不等式(组),得出at的范围,即y=af(x)的值域.
【即学即练】
1.(多选)下列函数中,其定义域与函数y=的定义域相同的是 ( )
A.y= B.y= C.y= D.y=ln ex
【解析】选BC.函数y==的定义域为[0,+∞).
对于A选项,函数y=的定义域为R;
对于B选项,函数y=的定义域为[0,+∞);
对于C选项,由2x-1≥0,可得x≥0,所以函数y=的定义域为[0,+∞);
对于D选项,对任意的x∈R,ex>0,所以函数y=ln ex的定义域为R.
2.函数y=()的值域为 .
【解析】由于≠0,故()>0且()≠1,故函数y=()的值域为(0,1)∪(1,+∞).
答案:(0,1)∪(1,+∞)
题型三 指数函数单调性的应用
角度1 比较大小
【典例4】(教材例1改编)(类题·节节高)
(1)若a=0.,b=0.,c=0.,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a【解析】选B.因为函数y=0.5x在R上单调递减,又因为>>,所以0.<0.<0.,则a(2)已知a=()-0.3,b=1.10.7,c=(),将a,b,c按照从小到大的顺序排列为 ( )
A.c,b,a B.b,a,c C.c,a,b D.b,c,a
【解析】选C.a=()-0.3∈(0,1),c=()∈(0,1)且()-0.3>(),b=1.10.7>1,所以b>a>c.
(3)已知a=,b=,c=,d=,则 ( )
A.b【解析】选D.由题得a==,b==,c=,d==,因为函数y=在R上单调递增,所以a(4)若0A.y【解析】选D.由0所以0幂函数g(x)=xb在(0,+∞)上是增函数,
所以0=g(0)角度2 解不等式
【典例5】(1)解不等式>a-3x-2(a>0且a≠1).
【解析】当a>1时,因为y=ax在R上单调递增,所以x2>-3x-2,解得x>-1或x<-2;
当0综上:当a>1时,解集为(-∞,-2)∪(-1,+∞);当0(2)(2025·无锡一中高一质检)已知f(x)=2x-2-x,则使f(x)A.(-,1) B.(-1,) C.(-∞,1)∪(,+∞) D.(-∞,-)∪(1,+∞)
【解析】选A.因为f(x)=2x-2-x=2x-()x,y=2x和y=-()x都在R上单调递增,所以f(x)在R上单调递增,又因为f(x)【总结升华】
1.比较两个幂的大小的常用方法
(1)作差(商)法;
(2)函数单调性法;
(3)中间值法,即要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再分别比较A与C,B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B的大小.
2.指数不等式的三种类型
(1)形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式,利用函数图象求解.
【即学即练】
1.已知a=0.30.2,b=0.20.3,c=20.3,则它们的大小关系是 ( )
A.a【解析】选B.由c=20.3>20=1=0.30>a=0.30.2>0.20.2>b=0.20.3,所以b2.已知函数f(x)=1-2x,且f(3-2t)>f(t),则t的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(-1,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞)
【解析】选D.根据指数函数单调性知f(x)=1-2x为单调递减函数,因为f(3-2t)>f(t),则3-2t1,则t的取值范围是(1,+∞).(共17张PPT)
第2课时 对数函数及其性质的应用(一)
01
关键能力 师生共研
【总结升华】
对数函数的图象变换的问题
(1)函数y=logax(a>0且a≠1)
y=loga(x+b)(a>0且a≠1);
(2)函数y=logax(a>0且a≠1)
y=logax+b(a>0且a≠1);
(3)函数y=logax(a>0且a≠1)
y=loga|x|(a>0且a≠1);
(4)函数y=logax(a>0且a≠1)
y=|logax|(a>0且a≠1).
【即学即练】
作出函数y=|log2(x+1)|的图象.
【解析】第一步:作y=log2x的图象,如图(1)所示;
第二步:将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得y=log2(x+1)的图象,如图(2)所示;
第三步:将y=log2(x+1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换,得y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示.
(3)若2x>2x>log2x,则x的取值范围为 ( )
A.(3,4) B.(4,+∞) C.(0,2) D.(1,2)
【解析】选D.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=2x,y=log2x的图象如图所示,
数形结合可知:当12x>log2x,所以x的取值范围为(1,2).
【总结升华】
应用对数函数图象的解题策略
1.求函数y=m+logaf(x)(a>0且a≠1)的图象经过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).
2.给出函数解析式判断函数的图象,应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种;其次找出函数图象的特殊点,判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等;最后综合上述几个方面将图象选出,解决此类题目常采用排除法.
3.根据对数函数图象判断底数大小的方法:作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
【即学即练】
1.如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则( )
A.0b>1 D.b>a>1
【解析】选B.作直线y=1(图略),则直线与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知02.函数f(x)=loga(-x+1)+3(a>0,且a≠1)的图象一定过定点 .
【解析】令-x+1=1,则x=0,所以f(0)=loga1+3=3,所以f(x)过定点(0,3).
答案:(0,3)
题型三对数函数的实际应用
【典例3】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明,声音强度D(分贝)由公式D=alg I+b(a,b为非零常数)给出,其中I(W/cm2)为声音能量.当声音强度D1,D2,D3满足D1+2D2=3D3时,声音能量I1,I2,I3满足的等量关系式为 ;当人们低声说话,声音能量为
10-13W/cm2时,声音强度为30分贝;当人们正常说话,声音能量为10-12W/cm2时,声音强度为40分贝,当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在(150,160)区间内,此时声音能量数值的范围是 .
【总结升华】
用对数函数解决实际问题的步骤
(1)理解题意,厘清量与量之间的关系;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象为数学中的对数函数问题;
(3)利用对数函数的性质,得到实际问题的解.第2课时 指数函数及其性质的应用(一)
关键能力·师生共研
题型一 指数函数的图象及其应用
角度1 指数函数的图象特征
【典例1】(1)(2025·泰州中学高一质检)已知函数f(x)=ax-1-2(a>0,a≠1)恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m+xn的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.因为a0=1,所以f(x)=ax-1-2恒过定点(1,-1),所以m=1,n=-1,所以g(x)=1+,其图象不经过第四象限.
(2)要使函数y=+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围是 ( )
A.{m|m≥-1} B.{m|m≤-1} C.{m|m≤-2} D.{m|m≥-2}
【解析】选B.函数是单调递减函数,若函数不经过第一象限,则当x=0时,1+m≤0,解得m≤-1.
【典例2】函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象如图所示,a,b,c,d分别是下列四个数:,,,中的一个,则a,b,c,d的值分别是 ( )
A.,,, B.,,, C.,,, D.,,,
【解析】选C.直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,
而>>>,所以a,b,c,d的值分别是,,,.
角度2 指数函数的图象变换
【典例3】利用函数y=f(x)=2x的图象,作出下列各函数的图象:
(1)f(x-1);(2)f(|x|);(3)f(x)-1;
(4)-f(x);(5)|f(x)-1|.
【解析】利用指数函数y=2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象.如图所示.
角度3 指数函数的图象应用
【典例4】已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.
【解析】(1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),又f(0)=1+b<0,所以b的取值范围为(-∞,-1);
(2)在平面直角坐标系中,画出函数y=|f(x)|和y=m的图象,观察图象可知,当m=0或m≥3时,两个图象有一个交点,
若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,则m的取值范围是{m|m=0或m≥3}.
【典例5】(多选)已知实数a,b满足等式=,则下列不可能成立的有 ( )
A.a=b B.0>b>a C.b>a>0 D.0>a>b
【解析】选CD.作出函数y=和y=的图象如图所示:
设==m,m>0,当m>1时,由图可知ab>0.
【总结升华】
1.指数型函数图象过定点问题的解法
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此,可解决形如y=k·+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令x=-c,得y=k+b,函数图象过定点(-c,k+b).
2.判断指数型函数图象的基本方法
先看指数型函数的底数是大于1还是小于1,再看图象过哪个定点,最后看图象的渐近线.
3.在运用图象求解问题时,要准确画出图象,特别要注意渐近线的变化情况.
【即学即练】
1.已知指数函数y=()x的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象可能是 ( )
【解析】选C.由指数函数的图象和性质可知:0<<1,若a,b均为正数,则a>b>0,根据一次函数的图象和性质得此时函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限,即C正确;若a,b均为负数,则a2.要得到函数y=22x-1的图象,只需将指数函数y=4x的图象 ( )
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【解析】选D.因为y=4x=22x,22x-1=,所以,为了得到函数y=22x-1的图象,只需将指数函数y=4x的图象向右平移个单位长度.
3.若函数y=7+ax-3(a>0且a≠1)经过的定点是P,则P点的坐标是 .
【解析】y=ax的图象过点(0,1),y=ax-3+7的图象由y=ax的图象右移3个单位长度、上移7个单位长度得到,故过定点(3,8).
答案:(3,8)
4.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围为 .
【解析】(1)当a>1时,画出两个函数在同一坐标系中的图象,
若有两个交点,则0<2a<1,所以0因为a>1,所以此种情况不存在;
(2)当0若有两个交点,则0<2a<1,所以0因为0综上,a的取值范围是{a|0答案:(0,)
题型二 指数型复合函数的单调性
【典例6】求函数y=的增区间、值域.
【解析】令t=-x2+x+2,则y=,
因为t=-+,可得t的减区间为[,+∞),因为函数y=在R上单调递减,所以函数y=的增区间为[,+∞).
又t≤,所以≥,
所以函数y=的值域为[,+∞).
【总结升华】
求指数型复合函数的单调区间和值域的方法
(1)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数求值域时,要借助换元法:令u=f(x),先求出u=f(x)的值域,再利用y=au的单调性求出y=af(x)的值域.
(2)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数单调性的判断,首先确定定义域D,再分两种情况讨论:
①当a>1时,若f(x)在区间(m,n)上(其中(m,n) D)具有单调性,则函数y=af(x)在区间(m,n)上的单调性与f(x)在区间(m,n)上的单调性相同;
②当0【即学即练】
求函数y=()的单调区间和值域.
【解析】由x2-2x≥0,可得函数的定义域为{x|x≤0或x≥2}.
令t==,
因为y=()t在定义域内单调递减,
所以函数y=()的增区间是(-∞,0],减区间是[2,+∞).
由t==≥0,则y=()t∈(0,1],所以函数的值域为(0,1].
题型三 指数型复合函数的奇偶性
【典例7】已知函数f(x)=为定义在R上的奇函数,求实数m,n的值.
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)==0,m=-1,所以f(x)=.
因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(-x)===-,
解得n=1.
综上m=-1,n=1.
【总结升华】
判断指数型复合函数的奇偶性时注意利用函数奇偶性的定义,转化为f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)恒成立求解,有时候也可以用特殊值验证求解.
【即学即练】
1.(2025·济宁一中高一月考)已知函数f(x)=(m∈R)是奇函数,则m= ( )
A.0 B.1 C.-1 D.±1
【解析】选B.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)==0,所以m=1,经验证,f(-x)=-f(x),故m=1.
2.设函数f(x)=ax-(k+2)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.求实数k的值.
【解析】函数f(x)=ax-(k+2)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数,则f(0)=a0-(k+2)a0=1-(k+2)=0,所以k=-1.
又当k=-1时,f(x)=ax-a-x,
对任意的x∈R,都有f(-x)=a-x-ax=-(ax-a-x)=-f(x)成立,满足题意,所以k=-1.第3课时 对数函数及其性质的应用(二)
关键能力·师生共研
题型一 对数型复合函数的性质探究
角度1 单调性
【典例1】(类题·节节高)
(1)函数f(x)=(-x2+3x-2)的减区间为 ( )
A.(-∞,) B.(1,) C.(,2) D.(,+∞)
【解析】选B.由-x2+3x-2>0得,1令t=-x2+3x-2,则t在(1,)上单调递增,在(,2)上单调递减;
又y=t在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=(-x2+3x-2)的单调递减区间为(1,).
(2)已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,4] B.(-∞,2] C.(-4,4] D.(-4,2]
【解析】选C.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则当x∈[2,+∞)时,x2-ax+3a>0且函数y=x2-ax+3a单调递增,即4+a>0且≤2,解得-4(3)若函数f(x)=(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为 ( )
A.[,3] B.[,2] C.[,2) D.[,+∞)
【解析】选C.由-x2+4x+5>0,解得-1在(-1,2)上单调递增,在(2,5)上单调递减.
因为y=lox在(0,+∞)上单调递减,
由复合函数单调性可得函数f(x)=(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).
要使函数f(x)=(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,
只需解得≤m<2.
【总结升华】
形如y=logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0,当a>1时,y=logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y=f(x)的单调性一致.当00的前提下与y=f(x)的单调性相反.
【即学即练】
(2025·惠州中学高一质检)设函数f(x)=ln (-x2+4x)在(a,a+1)上单调递增,则a的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.[0,2] C.(0,2) D.[0,1]
【解析】选D.由函数-x2+4x>0,得0由函数g(x)的对称轴为直线x=2,开口向下,所以g(x)在(0,2]上单调递增,在[2,4)上单调递减,又y=ln x在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)在(a,a+1)上单调递增,所以根据复合函数的单调性可知解得0≤a≤1.
角度2 奇偶性
【典例2】(2025·南京一中高一月考)若函数f(x)=ln()+b是奇函数,则a= ,b= .
【解析】因为函数f(x)=ln()+b是奇函数,
故f(0)=0,即ln 1+b=0,即b=0.
又f(x)+f(-x)=0,
故ln()+ln()=0,
即()·()=1,=1恒成立,
故a2=1,所以a=1或a=-1,当a=-1时,f(x)=ln()=ln 1=0,
此时定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,不符合题意;
当a=1时,f(x)=ln()符合题意.故a=1.
答案:1 0
【总结升华】
形如y=logaf(x)的函数的奇偶性的探究,解题方法是利用函数奇偶性的定义.
【即学即练】
(2025·张家口一中高一月考)“a=-1”是“f(x)=ln(+ax)为奇函数”的 ( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.因为f(x)=ln(+ax)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=ln(+ax)+ln(-ax)
=ln(x2+1-a2x2)=ln[(1-a2)x2+1]=0,所以(1-a2)x2+1=1,所以(1-a2)x2=0,
此式子对于定义域内的任意x皆成立,必有1-a2=0,则a=±1,故“a=-1”是“f(x)=ln(+ax)为奇函数”的充分且不必要条件,A正确.
题型二 求与对数函数有关的复合函数的值域或最值
【典例3】已知f(x)=-2log2x+4,x∈[2,4].
(1)设t=log2x,x∈[2,4],求t的最大值与最小值;
(2)求f(x)的值域.
【解析】(1)因为函数t=log2x在区间[2,4]上单调递增,
所以当x=4时,t最大=log24=2,
当x=2时,t最小=log22=1.
(2)令t=log2x,
则f(x)=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,
由(1)得t∈[1,2],因为函数g(t)在[1,2]上单调递增,
所以当t=1,即x=2时,f(x)min=3;当t=2,即x=4时,f(x)max=4,
故f(x)的值域为[3,4].
【典例4】(易错·对对碰)
(1)f(x)=log2(x+1)+log2(x-1),则f(x)的值域为 .
【解析】f(x)=log2(x+1)+log2(x-1)=log2(x2-1)在(1,+∞)上单调递增,真数能取遍所有大于0的数,故值域为R.
答案:R
(2)函数f(x)=lg(2mx2-3x+4)的值域为R,则实数m的取值范围为 .
【解析】由题可知,函数f(x)=lg(2mx2-3x+4)的值域为R,
令u=2mx2-3x+4,由题意可知(0,+∞)为函数u=2mx2-3x+4的值域的子集.
①当m=0时,u=-3x+4,此时f(x)=lg(-3x+4),函数u=-3x+4的值域为R,符合题意;
②当m≠0时,若(0,+∞)为函数u=2mx2-3x+4的值域的子集,
则解得0答案:[0,]
【总结升华】
复合函数值域的求法
(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值),关键是根据单调性求解,若需换元,需考虑新元的取值范围.
(2)对于形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数,其值域的求解步骤如下:
①分解成y=logau,u=f(x)两个函数;
②求f(x)的定义域;
③求u的取值范围;
④利用y=logau的单调性求解.
【即学即练】
(2025·启东中学高一月考)函数f(x)=log2x·log2(2x)的最小值为 .
【解析】因为f(x)=log2x·log2(2x)=log2x·(log2x+1),令t=log2x,则t∈R,则y=t(t+1)=t2+t=(t+)2-≥-,当且仅当t=-时,等号成立,所以f(x)的最小值为-.
答案:-
题型三 反函数
【典例5】函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(,a),则a的值为 ( )
A.2 B. C.2或 D.3
【解析】选B.方法一:函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数为y=logax(a>0且a≠1),故y=logax的图象过点(,a),则a=loga=.
方法二:因为函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(,a),所以函数y=ax(a>0且a≠1)的图象过点(a,),所以aa==,即a=.
【典例6】(2025·深圳中学高一调研)已知x1是方程x·3x=4的根,x2是方程x·log3x=4的根,则x1x2= ( )
A.16 B.8 C.6 D.4
【解析】选D.方程x·3x=4可变形为3x=,方程x·log3x=4可变形为log3x=,
所以x1是y=3x与y=的图象交点的横坐标,x2是y=log3x与y=的图象交点的横坐标,
因为y=3x与y=log3x互为反函数,这两个函数的图象关于直线y=x对称,在函数y=图象上任取一点(a,b),该点关于直线y=x的对称点的坐标为(b,a),由b=可得a=,则点(b,a)也在函数y=的图象上,故函数y=的图象关于直线y=x对称,所以,点与点关于直线y=x对称,所以x1=,故x1x2=4.
【总结升华】
反函数的简单性质
(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数;
(2)互为反函数的两个函数的定义域和值域互换;
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
(4)原函数为奇函数,则其反函数也是奇函数;
(5)互为反函数的两个函数的单调性相同.
【即学即练】
1.已知函数y=f(x)的反函数为y=2x,则f(3)= ( )
A.log23 B.log32 C.8 D.log26
【解析】选A.令3=2x x=log23,f(3)=log23.
2.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4,1),则实数a等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.因为函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4,1),所以由反函数性质可知函数f(x)=log2(x+1)+a过点(1,4),代入可得4=log2(1+1)+a,解得a=3.第2课时 对数函数及其性质的应用(一)
题型一 对数函数的图象变换
【典例1】画出下列函数图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调性.
(1)y=log3(x-2);(2)y=|lox|.
【思路导引】对有关对数函数的作图问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到所要作的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
【解析】(1)函数y=log3(x-2)的图象如图所示,其定义域为(2,+∞),值域为R,在区间(2,+∞)上单调递增,无减区间.
(2)y=|lox|=其图象如图所示,
其定义域为(0,+∞),值域为[0,+∞),在区间(0,1]上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递减.
【总结升华】
对数函数的图象变换的问题
(1)函数y=logax(a>0且a≠1)
y=loga(x+b)(a>0且a≠1);
(2)函数y=logax(a>0且a≠1)
y=logax+b(a>0且a≠1);
(3)函数y=logax(a>0且a≠1)
y=loga|x|(a>0且a≠1);
(4)函数y=logax(a>0且a≠1)
y=|logax|(a>0且a≠1).
【即学即练】
作出函数y=|log2(x+1)|的图象.
【解析】第一步:作y=log2x的图象,如图(1)所示;
第二步:将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得y=log2(x+1)的图象,如图(2)所示;
第三步:将y=log2(x+1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换,得y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示.
题型二 对数函数图象及应用
【典例2】(1)(2025·新海中学高一月考)函数y=loga+2(a>0且a≠1)的图象经过的定点坐标为 .
【解析】y=loga+2,取=1,解得x=-2,此时y=2,即过定点(-2,2).
答案:(-2,2)
(2)(2025·泰安一中高一质检)已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则以下说法正确的是 ( )
A.a+b<0 B.ab<-1 C.00
【解析】选C.由题干图象可知f(x)在定义域内单调递增,所以a>1,
令f(x)=loga(x-b)=0,即x=b+1,所以函数f(x)的零点为b+1,结合函数图象可知00,故A错误;
-a1,所以-a<-1,因此ab<-1不一定成立,故B错误;
因为a-1因为0<|b|<1,所以loga|b|(3)若2x>2x>log2x,则x的取值范围为 ( )
A.(3,4) B.(4,+∞) C.(0,2) D.(1,2)
【解析】选D.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=2x,y=log2x的图象如图所示,
数形结合可知:当12x>log2x,所以x的取值范围为(1,2).
【总结升华】
应用对数函数图象的解题策略
1.求函数y=m+logaf(x)(a>0且a≠1)的图象经过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).
2.给出函数解析式判断函数的图象,应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种;其次找出函数图象的特殊点,判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等;最后综合上述几个方面将图象选出,解决此类题目常采用排除法.
3.根据对数函数图象判断底数大小的方法:作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
【即学即练】
1.如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则 ( )
A.0b>1 D.b>a>1
【解析】选B.作直线y=1(图略),则直线与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知02.函数f(x)=loga(-x+1)+3(a>0,且a≠1)的图象一定过定点 .
【解析】令-x+1=1,则x=0,所以f(0)=loga1+3=3,所以f(x)过定点(0,3).
答案:(0,3)
题型三对数函数的实际应用
【典例3】噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明,声音强度D(分贝)由公式D=alg I+b(a,b为非零常数)给出,其中I(W/cm2)为声音能量.当声音强度D1,D2,D3满足D1+2D2=3D3时,声音能量I1,I2,I3满足的等量关系式为 ;当人们低声说话,声音能量为10-13W/cm2时,声音强度为30分贝;当人们正常说话,声音能量为10-12W/cm2时,声音强度为40分贝,当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在(150,160)区间内,此时声音能量数值的范围是 .
【解析】因为D1+2D2=3D3,所以alg I1+b+2(alg I2+b)=3(alg I3+b),
即lgI1+2lg I2=3lg I3,所以I1=;
30=alg 10-13+b,40=alg 10-12+b,
即30=-13a+b,40=-12a+b,
解得a=10,b=160,则D=10lg I+160,
因为火箭导弹发射时的噪音分贝数在(150,160)区间内,所以lg I∈(-1,0),所以I∈(,1).
答案:I1= (,1)
【总结升华】
用对数函数解决实际问题的步骤
(1)理解题意,厘清量与量之间的关系;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象为数学中的对数函数问题;
(3)利用对数函数的性质,得到实际问题的解.
【即学即练】
(2025·温州中学高一质检)某容量为V万立方米的小型湖,由于周边商业过度开发,长期大量排放污染物,水质变差,今年政府准备治理,用没有污染的水进行冲洗,假设每天流进和流出的水均为r万立方米,下雨和蒸发正好平衡.用函数g(t)表示经过t天后的湖水污染质量分数,已知g(t)=g(0)·,其中g(0)表示初始湖水污染质量分数.如果V=200,r=4,要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下,至少需要经过 天.(参考数据:ln 10≈2.303)
【解析】设至少需要经过x天,因为要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下,所以g(x)<10%g(0),又因为g(t)=g(0),所以g(0)<0.1g(0),由题意知g(0)≠0,r=4,V=200,所以<0.1,整理得,-x<-ln 10,解得x>115.15,所以至少需要经过116天.
答案:116阶段提升课
知识网络·体系构建
重点题型·深研突破
题组一 幂函数值、指数函数值、对数函数值大小比较
1.下列比较大小中正确的是 ( )
A.<
B.<
C.<
D.<
【解析】选C.对于A选项,因为y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,所以<,故A错误;
对于B选项,因为y=x-1在(-∞,0)上单调递减,所以>,故B错误;
对于C选项,y=为奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以y=在(-∞,0)上单调递增,
因为==,
又<,
所以<,故C正确;
对于D选项,y=在[0,+∞)上单调递增,
又=>,所以>,故D错误.
2.设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a【解析】选D.因为a=30.7>1,b==30.8>30.7=a,c=log0.70.8所以c<13.已知a=ln,b=30.3,c=log54,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a【解析】选C.因为a=ln30=1,0=log514.(2025·南京一中高一月考)若2x-2y<3-x-3-y,则 ( )
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
【解析】选A.由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y-3-y,即2x-()x<2y-()y.
设f(x)=2x-()x,则f(x)因为函数y=2x和y=-()x在R上都为增函数,所以f(x)=2x-()x在R上为增函数,则由f(x)0,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0.
【总结升华】
幂函数值、指数函数值、
对数函数值大小比较的四种常用方法
(1)单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系;若不同底,先化为同底.
(2)中间量过渡法
通过寻找中间数联系比较两个数的大小,一般是用“0”“1”或其他特殊值进行比较传递.
(3)图象法
根据图象特点观察得出大小关系.
(4)作差或作商比较法
题组二 与幂函数、指数函数、对数函数有关的图象问题
1.(多选)在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=loga(x-2)的图象可能是 ( )
【解析】选BD.当a>1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递增且其图象恒过点(0,1),
y=loga(x-2)在(2,+∞)上单调递增且其图象恒过点(3,0),则选项B符合要求;
当0y=loga(x-2)在(2,+∞)上单调递减且其图象恒过点(3,0),
则选项D符合要求;综上所述,选项B,D符合要求.
2.已知定义在R上的函数f(x)=log2(ax-b+1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 ( )
A.0<<<1 B.0<【解析】选D.由题图可知,a>1,f(0)=log2(1-b+1),故0由log2(a-1-b+1)<0可得a-1所以0<3.函数f(x)=的部分图象大致是 ( )
【解析】选B.定义域是{x|x≠0},f(-x)===-f(x),函数为奇函数,排除A;
当x>0时,4x-1>0,2x>0,x2-|x|+2=x2-x+2=+>0,所以f(x)>0,排除C,D.
4.已知函数f(x)=(a>0且a≠1)的图象经过点(-2,3).若f(x)在区间(m,m+1)上是单调函数,则m的取值范围为 .
【解析】因为函数f(x)的图象经过点(-2,3),所以a-2-1=3,解得a=(负值舍去),
所以f(x)=其图象如图所示:
可知函数f(x)的增区间是(0,2),减区间是(-∞,0),(2,+∞),
所以m+1≤0或m≥2或所以m的取值范围为{m|m≤-1或0≤m≤1或m≥2}.
答案:{m|m≤-1或0≤m≤1或m≥2}
【总结升华】
幂函数、指数函数、对数函数的图象问题
(1)根据函数定义域,判断图象的左右位置;
(2)根据函数值域,判断图象的上下位置;
(3)根据函数单调性,判断图象的变化趋势;
(4)根据函数奇偶性判断图象的对称性,再结合特殊值进行排除,找到正确答案.
题组三 指数、对数函数的性质与最值问题
1.(多选)已知函数f(x)=ax+1(a>0且a≠1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大,则a的值可以为 ( )
A. B.2 C. D.
【解析】选AC.当0当a>1时,f(x)在区间[2,3]上单调递增,此时f(x)min=f(2)=a2+1,f(x)max=f(3)=a3+1,所以a3+1-(a2+1)=,解得a=或a=0(舍去).
2.若函数f(x)=在(-∞,a]上的最大值为4,则a的取值范围为 .
【解析】因为f(x)=
当x∈(-∞,1]时,易知f(x)=2x+2在(-∞,1]上单调递增,
当x∈(1,+∞)时,f(x)=log2(x-1)在(1,+∞)上单调递增.
作出f(x)的大致图象,如图所示.
由图可知,f(1)=4,f(17)=log2(17-1)=4,
因为f(x)在(-∞,a]上的最大值为4,所以a的取值范围为[1,17].
答案:[1,17]
3.(2025·无锡一中高一质检)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+21-x为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数h(x)=g(2x)+mf(x)在区间[0,1]上的最小值为1,求m的值.
【解析】(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),①
又g(x)=f(x)+21-x为偶函数,所以f(-x)+21+x=f(x)+21-x,②
由①②联立,可得f(x)=2x-2-x.
(2)由(1)得g(x)=2x+2-x,所以h(x)=4x+4-x+m(2x-2-x),
令t=2x-2-x,则4x+4-x=t2+2.
当x∈[0,1]时,t=2x-2-x单调递增,所以t∈[0,].
令h(x)=k(t)=t2+mt+2,t∈[0,].
当-≤0,即m≥0时,k(t)在[0,]上单调递增,
所以k(t)min=k(0)=2,不符合题意,舍去,
当0<-<,即-3所以k(t)min=k(-)=2-=1,解得m=±2,又-3当-≥,即m≤-3时,k(t)在[0,]上单调递减,
所以k(t)min=k()=+m=1,解得m=-,不符合题意,舍去,
综上,m的值为-2.
4.已知f(x)是对数函数,并且它的图象过点(2,),g(x)=[f(x)]2-2b·f(x)+3,其中b∈R.
(1)当b=2时,求y=g(x)在[,16]上的最大值与最小值;
(2)求y=g(x)在[,16]上的最小值.
【解析】(1)设f(x)=logax(a>0且a≠1),
因为f(x)的图象过点(2,),
所以f(2)=,即loga2=,
所以=2=,即a=2,
所以f(x)=log2x.
因为≤x≤16,所以log2≤log2x≤log216,即≤f(x)≤4.
设t=f(x),则y=h(t)=t2-4t+3=(t-2)2-1,t∈[,4],所以ymin=h(2)=-1,
又h()=-1=,
h(4)=(4-2)2-1=3,
所以ymax=h(4)=3.
所以当b=2时,y=g(x)在[,16]上的最大值为3,最小值为-1.
(2)设a=f(x),则y=m(a)=a2-2ba+3=(a-b)2+3-b2,
由(1)知a∈[,4],对称轴为直线a=b.
①当b≤时,m(a)在[,4]上单调递增.
ymin=m()=-b;
②当③当b≥4时,m(a)在[,4]上单调递减,ymin=m(4)=19-8b.
综上所述,ymin=
【总结升华】
指数、对数函数综合问题的解题策略
(1)解决与函数奇偶性有关的问题,首先考虑函数的定义域,其次是奇、偶函数的定义,定义的本质是函数等式恒成立.
(2)解决不等式恒成立问题,有时选择数形结合的方法会事半功倍.
(3)一般不等式m≥f(x)恒成立等价于m≥f(x)max,不等式m≤f(x)恒成立等价于m≤f(x)min.
易错提示·规避陷阱
易错点一 忽略对底数的讨论致误
1.已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上函数值随x增大而减小.
(1)求m的值;
(2)求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.
【解析】(1)因为幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上函数值随x的增大而减小,所以3m-9<0,且为偶数,m∈N*,解得m=1.
(2)(a+1<(3-2a,
即(a+1<(3-2a,
可得a+1>3-2a>0,0>a+1>3-2a或a+1<0且3-2a>0.
所以【误区警示】
本题易知考虑指数相同这个条件,忽视了函数单调区间是两个不同的范围,而不是在整个定义域上都是单调递减的.在解含参数问题时,对参数进行分类讨论才能正确解答问题.
易错点二 忽略底数对指数函数值域或单调性的影响致误
2.已知函数y=f(x)=+2ax-1(a>0且a≠1),当x≥0时,求函数f(x)的值域.
【解析】令t=ax,x≥0,y=t2+2t-1=(t+1)2-2,
当a>1时,t≥1,y=(t+1)2-2≥2;
当0当t=0时,y=-1,当t=1时,y=2,
故y=(t+1)2-2∈(-1,2].
综上,当a>1时,函数的值域是[2,+∞);
当0【误区警示】
注意指数函数函数值的变化.当00,则01时,若x≤0,则00,则y>1.在综合应用时,如求复合函数的值域,一定要先确定内层函数的值域,再由a的范围确定复合函数的值域.
易错点三 忽略真数大于0致误
3.函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递增区间是 ( )
A.(1,+∞) B.(4,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,2)
【解析】选B.因为f(x)=lg(x2-2x-8),所以x2-2x-8>0,所以x<-2或x>4,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞).设t=x2-2x-8,则函数t=x2-2x-8在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(4,+∞)上单调递增.因为函数y=lg t为增函数,所以函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).
【误区警示】
在解决复合函数单调性问题时,必须保证真数大于0,忽略这一点会导致区间错误,同样,在解决真数中含参问题时,也会使参数范围扩大,从而出错.
易错点四 忽略求反函数的定义域致误
4.已知函数f(x)=ax+b的图象经过点(1,3),其反函数f-1(x)的图象经过点(2,0),则f-1(x)= .
【解析】因为其反函数y=f-1(x)的图象经过点(2,0),
所以函数f(x)=ax+b的图象经过点(0,2),
所以
解得
所以f(x)的解析式是f(x)=2x+1,
所以f-1(x)=log2(x-1),x>1.
答案:log2(x-1),x>1
【误区警示】
反函数也是函数,因此求反函数时一定要标明反函数的定义域,反函数的定义域即为原函数的值域.第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
学习目标 育人目标
1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式. 2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,掌握它们的性质. 3.能利用幂函数的单调性比较幂的大小. 情感价值:通过幂函数的概念,提升学生的抽象概括能力,通过幂函数的图象,探究幂函数的特点、性质,提升学生应用已学知识探究性质的能力. 学科素养:直观想象、数学运算、逻辑推理
【问题导学】
1.任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗
2.在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性
3.在第一象限内,幂函数的图象有什么特征
【教材认知】
1.幂函数的概念
(1)定义:一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)幂函数的特征
①y=xα中xα前的系数为“1”.
②y=xα中xα的底数是单个的自变量“x”.
③y=xα中α是常数.
2.常见幂函数的图象与性质
解析 式 y=x y=x2 y=x3 y= y=
图象
定义 域 R R R {x|x≠0} [0,+∞)
值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞)
奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶 函数
增区 间 R [0,+∞) R 无 [0,+∞)
减区 间 无 (-∞,0) 无 (-∞,0), (0,+∞) 无
定点 (1,1)
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.
(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
(3)f(x)=xα,当α>0时,f(x)=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减.
【教材提炼】
幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下:
项目 α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0,0), (1,1) 过(0,0), (1,1) 过(1,1)
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
关键能力·师生共研
题型一 幂函数的概念
【典例1】(多选)下列函数为幂函数的是 ( )
A.y=2 B.y=x0 C.y=(x+1)2 D.y=x-1
【解析】选BD.由幂函数的定义知,函数y=x0,y=x-1为幂函数.
【典例2】已知幂函数f(x)的图象过点(2,),f()= .
【解析】设f(x)=xα,由f(x)的图象过点(2,),可得2α=,解得α=-2,
所以f(x)=x-2,故f()=.
答案:
【总结升华】
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
【即学即练】
1.在函数①y=,②y=x2,③y=2x,④y=2,⑤y=2x2,⑥y=中,是幂函数的是 ( )
A.①②④⑤ B.③④⑥ C.①②⑥ D.①②④⑤⑥
【解析】选C.幂函数是形如y=xα的函数,①是α=-1的情形,②是α=2的情形,⑥是α=-的情形,所以①②⑥都是幂函数;③不是幂函数;⑤中x2的系数是2,所以不是幂函数;④不是幂函数.
2.(2025·徐州一中高一月考)已知f(x)=(m-1)xm是幂函数,则f(m)= .
【解析】因为f(x)=(m-1)xm是幂函数,所以m-1=1,解得m=2,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2,
故f(m)=f(2)=22=4.
答案:4
题型二 幂函数的图象
【典例3】(1)(2025·莱芜一中高一月考)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是 ( )
A.y= B.y= C.y=x3 D.y=
【解析】选D.对于A,函数y==的定义域为[0,+∞),显然不符合题意,故A错误;
对于B,函数y==的定义域为(0,+∞),显然不符合题意,故B错误;
对于C,函数y=x3的定义域为R,又y=x3为奇函数,但是y=x3在(0,+∞)上函数是下凸递增,故不符合题意,故C错误;
对于D,y==的定义域为R,又y=为奇函数,且y=在(0,+∞)上函数是上凸递增,故D正确.
(2)(2025·黄冈中学高一质检)如图,已知幂函数y=xa,y=xb,y=xc在(0,+∞)上的图象分别是下降,急速上升,缓慢上升,则 ( )
A.c【解析】选B.由题意结合题中图象可知a<0【总结升华】
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断.
【即学即练】
如图,①②③④对应四个幂函数的图象,其中①对应的幂函数是 ( )
A.y=x3 B.y=x2 C.y=x D.y=
【解析】选D.根据题中函数图象可得:①对应的幂函数y=xα在[0,+∞)上单调递增,且增长速度越来越慢,故α∈(0,1),故D选项符合要求.
题型三 幂函数性质的简单应用
角度1 比较大小
【典例4】(教材例2改编)比较下列各组中幂值的大小:
(1)0.213,0.233;(2),,.
【解析】(1)因为函数y=x3是增函数,且0.21<0.23,
所以0.213<0.233.
(2)=,=.
因为1.2>>1.1,且y=在[0,+∞)上单调递增,所以>>,即>>.
【总结升华】
比较幂值大小的方法
(1)若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小.
(2)若指数不同,可采用中间值法或估值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小,若中间值法不行,则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小.
【即学即练】
比较下列各组数的大小.
(1)3.1与;(2)(-与.
【解析】(1)幂函数f(x)==在定义域(0,+∞)上单调递减,因为3.14<π,所以>.
(2)幂函数f(x)==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,
因为f(-x)==-=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,
又因为->-,所以(-<.
角度2 幂函数与函数奇偶性、单调性综合
【典例5】函数f(x)=x3+(x∈R),若f(m+1)+f(2+m-m2)>0,则实数m的取值范围是 .
【解析】因为f(x)=x3+=x3+,所以f(-x)=(-x)3+=-(x3+)=-f(x),所以f(x)是定义在R上的奇函数,且显然在R上单调递增.
由f(m+1)+f(2+m-m2)>0可得,f(m+1)>-f(2+m-m2)=f(m2-m-2),
所以m+1>m2-m-2,解得-1即m的取值范围是(-1,3).
答案:(-1,3)
【总结升华】
幂函数常用性质
(1)幂函数y=xα(α=,p,q∈Z,p>1,p与q互质)奇偶性的判断方法:
①若p,q同为奇数,则y=xα为奇函数.
②若p为奇数,q为偶数,则y=xα为偶函数.
③若p为偶数,则y=xα为非奇非偶函数.
(2)幂函数单调性的判断:
对于幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在区间(0,+∞)上单调递增;当α<0时,y=xα在区间(0,+∞)上单调递减.
【即学即练】
(2025·惠州中学高一质检)已知幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递增,则m= ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.3
【解析】选B.因为函数f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以m2+2m-3<0,即(m-1)(m+3)<0,解得-3第1课时 对数函数的概念、图象和性质
学习目标 育人目标
1.理解对数函数的概念,会求与对数函数有关的定义域问题; 2.了解对数函数在生产实际中的简单应用; 3.初步掌握对数函数的图象和性质,会类比指数函数研究对数函数的性质; 4.掌握对数函数的图象和性质的简单应用; 5.了解反函数的概念及它们的图象特点; 6.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法,会解简单的对数不等式. 情感价值:通过对数函数的学习,进一步发展学生的抽象概括能力、探究能力、应用数学模型解决实际问题的能力;通过指数函数、对数函数图象的探究,引出反函数的概念,引导学生根据图象进一步探究函数性质的能力. 学科素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模
【问题导学】
1.函数y=logπx,y=log2是对数函数吗 对数函数的解析式有哪些特征
2.底数a对函数图象有什么影响
3.函数y=logax与y=ax(a>0,a≠1)的图象有什么关系
【教材认知】
1.对数函数
一般地,函数y=logax(a>0,a≠1)叫作对数函数,它的定义域是(0,+∞)
2.对数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
性质 (1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)图象过点(1,0)
(4)增函数; 当01时,y>0 减函数; 当00;当x>1时,y<0
【教材提炼】
1.底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图象越靠近x轴;当02.反函数的定义
一般地,设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如果由函数y=f(x)可解得唯一x=φ(y)也是一个函数(即对任意一个y∈B,都有唯一的x∈A与之对应),那么就称x=φ(y)是函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y).
3.反函数的性质
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
(2)若函数y=f(x)的图象上有一点(a,b),则(b,a)必在其反函数的图象上;反之,若(b,a)在反函数的图象上,则(a,b)必在原函数的图象上.
关键能力·师生共研
题型一 对数函数的概念及应用
【典例1】(1)下列函数中,是对数函数的有 ( )
①y=logax(a∈R);②y=log8x;③y=ln x;④y=logx(x+2);⑤y=2log4x.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.①y=logax在a>0且a≠1的条件下才是对数函数,故①不是对数函数;
②y=log8x和③y=ln x符合对数函数的定义,是对数函数;
④y=logx(x+2)中,底数不是常数,不是对数函数;
⑤y=2log4x中系数不是1,不是对数函数.
综上,是对数函数的有2个.
(2)若函数f(x)=(a2-a+1)lox是对数函数,则实数a= .
【解析】由a2-a+1=1,解得a=0或a=1.又底数a+1>0,且a+1≠1,所以a=1.
答案:1
【总结升华】
判断一个函数是对数函数的方法
【即学即练】
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A.y=log2x2 B.y=log(π-e)x
C.y=logx2(x>0,x≠1) D.y=log2
【解析】选B.对于A,真数为x2,而不是x,故A不是对数函数;
对于B,底数π-e为常数,且0<π-e<1,真数为x,且函数系数为1,故B是对数函数;
对于C,真数为常数,而不是x,故C不是对数函数;
对于D,真数为,而不是x,故D不是对数函数.
2.若函数f(x)=logax+(a2-4a-5)是对数函数,则a= .
【解析】因为函数f(x)=logax+(a2-4a-5)是对数函数,则解得a=5.
答案:5
题型二 对数函数单调性的应用
角度1 比较大小
【典例2】(教材例2改编)比较下列各组数的大小.
(1)log0.13与log0.1π;
(2)log45与log65;
(3)3log45与2log23;
(4)loga(a+2)与loga(a+3)(a>0且a≠1).
【解析】(1)因为函数y=log0.1x在(0,+∞)上是减函数,π>3,所以log0.13>log0.1π.
(2)因为函数y=log4x和y=log6x在(0,+∞)上都是增函数,所以log45>log44=1,log65log65.
(3)因为3log45=log453=log4125==log2125=log2,2log23=log232=log29,
又因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,>9,所以log2>log29,
即3log45>2log23.
(4)因为a+21时,loga(a+2)loga(a+3).
角度2 解对数不等式
【典例3】解不等式:(1)lox>lo(4-x);
(2)logx>1;
(3)loga(2x-5)>loga(x-1).
【思路导引】(1)直接利用对数函数的单调性求解;(2)将“1”化为logxx,然后对x进行分类讨论求解;(3)将底数a分a>1和0【解析】(1)由题意可得解得0(2)当x>1时,logx>1=logxx,解得x<,此时不等式无解;
当01=logxx,解得x>,所以(3)当a>1时,原不等式等价于
解得x>4;
当0解得综上所述,当a>1时,原不等式的解集为(4,+∞);
当0【总结升华】
1.比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同的找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
提醒:比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小.
2.对数不等式的三种考查类型
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如loa>loa(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.
【即学即练】
1.(2025·苏州中学高一月考)已知a=20.3,b=log21.5,c=log0.23,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c
【解析】选A.因为a=20.3>20=1,0=log21b>c.
2.(2025·海安中学高一质检)已知f(x)=则f(x)≥-2的解集是 .
【解析】要解不等式f(x)≥-2,
只需或
或
解得x≥或-4≤x<0或x=0,综上,不等式的解集为[-4,0]∪[,+∞).
答案:[-4,0]∪[,+∞)
题型三 对数型函数的定义域
【典例4】(教材例1提升)(1)求下列函数的定义域:
①f(x)=log4(ax2+2x+3),f(1)=1;
②y=;
③y=.
【解析】①因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,即a=-1.
所以f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0得-1即函数f(x)的定义域为(-1,3).
②要使函数有意义,则
即即
解得0即函数的定义域为(0,)∪(,].
③要使函数有意义,则
即
则或
即或
即当a>1时,函数的定义域为(-a,0);
当0(2)已知函数y=f(x+1)的定义域为[-,1],求函数y=f(log2x)的定义域.
【解析】因为函数y=f(x+1)的定义域为[-,1],
所以-≤x≤1,≤x+1≤2,所以在函数y=f(log2x)中,≤log2x≤2,
所以≤x≤4,所以函数y=f(log2x)的定义域为[,4].
(3)已知函数f(x)=lg(ax2+3x+2)的定义域为R,求实数a的取值范围.
【解析】根据条件可知ax2+3x+2>0在R上恒成立,则a>0且Δ=9-8a<0,解得a>,故a的取值范围是(,+∞).
【总结升华】
求对数型函数定义域的几种情况
(1)logaf(x)(a>0且a≠1)中f(x)>0;
(2)loa(a>0)中f(x)>0且f(x)≠1;
(3)求抽象函数或复合函数的定义域,需正确理解函数的符号及其定义域的含义.
【即学即练】
函数f(x)=的定义域为 ( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1) C.[0,1) D.[0,+∞)
【解析】选A.函数f(x)=有意义,等价于解得x≤0,故函数的定义域为(-∞,0].(共20张PPT)
第3课时 对数函数及其性质的应用(二)
01
关键能力 师生共研
【总结升华】
形如y=logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0,当a>1时,y=logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y=f(x)的单调性一致.当00的前提下与y=f(x)的单调性相反.
(2)令t=log2x,
则f(x)=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,
由(1)得t∈[1,2],因为函数g(t)在[1,2]上单调递增,
所以当t=1,即x=2时,f(x)min=3;当t=2,即x=4时,f(x)max=4,
故f(x)的值域为[3,4].
【典例4】(易错·对对碰)
(1)f(x)=log2(x+1)+log2(x-1),则f(x)的值域为 .
【解析】f(x)=log2(x+1)+log2(x-1)=log2(x2-1)在(1,+∞)上单调递增,真数能取遍所有大于0的数,故值域为R.
答案:R
(2)函数f(x)=lg(2mx2-3x+4)的值域为R,则实数m的取值范围为 .
【总结升华】
复合函数值域的求法
(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值),关键是根据单调性求解,若需换元,需考虑新元的取值范围.
(2)对于形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数,其值域的求解步骤如下:
①分解成y=logau,u=f(x)两个函数;
②求f(x)的定义域;
③求u的取值范围;
④利用y=logau的单调性求解.
【总结升华】
反函数的简单性质
(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数;
(2)互为反函数的两个函数的定义域和值域互换;
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
(4)原函数为奇函数,则其反函数也是奇函数;
(5)互为反函数的两个函数的单调性相同.
【即学即练】
1.已知函数y=f(x)的反函数为y=2x,则f(3)=( )
A.log23 B.log32 C.8 D.log26
【解析】选A.令3=2x x=log23,f(3)=log23.
2.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4,1),则实数a等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.因为函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4,1),所以由反函数性质可知函数f(x)=log2(x+1)+a过点(1,4),代入可得4=log2(1+1)+a,解得a=3.(共30张PPT)
6.3 对数函数
第1课时 对数函数的概念、图象和性质
学习目标 育人目标
1.理解对数函数的概念,会求与对数函数有关的定义域问题;
2.了解对数函数在生产实际中的简单应用;
3.初步掌握对数函数的图象和性质,会类比指数函数研究对数函数的性质;
4.掌握对数函数的图象和性质的简单应用;
5.了解反函数的概念及它们的图象特点;
6.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法,会解简单的对数不等式. 情感价值:通过对数函数的学习,进一步发展学生的抽象概括能力、探究能力、应用数学模型解决实际问题的能力;通过指数函数、对数函数图象的探究,引出反函数的概念,引导学生根据图象进一步探究函数性质的能力.
学科素养:数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模
01
必备知识 自主导学
2.对数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
性质 (1)定义域:______
(2)值域:R
(3)图象过点(1,0)
(0,+∞)
项目 a>1 0性质 (4)增函数;
当01时,y>0 减函数;
当00;当x>1时,y<0
【教材提炼】
1.底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图象越靠近x轴;当02.反函数的定义
一般地,设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如果由函数y=f(x)可解得唯一x=φ(y)也是一个函数(即对任意一个y∈B,都有唯一的x∈A与之对应),那么就称x=φ(y)是函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y).
3.反函数的性质
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
(2)若函数y=f(x)的图象上有一点(a,b),则(b,a)必在其反函数的图象上;反之,若(b,a)在反函数的图象上,则(a,b)必在原函数的图象上.
02
关键能力 师生共研
题型一 对数函数的概念及应用
【典例1】(1)下列函数中,是对数函数的有( )
①y=logax(a∈R);②y=log8x;③y=ln x;④y=logx(x+2);⑤y=2log4x.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选B.①y=logax在a>0且a≠1的条件下才是对数函数,故①不是对数函数;
②y=log8x和③y=ln x符合对数函数的定义,是对数函数;
④y=logx(x+2)中,底数不是常数,不是对数函数;
⑤y=2log4x中系数不是1,不是对数函数.
综上,是对数函数的有2个.
【总结升华】
判断一个函数是对数函数的方法
题型二 对数函数单调性的应用
角度1 比较大小
【典例2】(教材例2改编)比较下列各组数的大小.
(1)log0.13与log0.1π;
(2)log45与log65;
(3)3log45与2log23;
(4)loga(a+2)与loga(a+3)(a>0且a≠1).
【总结升华】
1.比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同的找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
提醒:比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小.
【即学即练】
1.(2025·苏州中学高一月考)已知a=20.3,b=log21.5,c=log0.23,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c
【解析】选A.因为a=20.3>20=1,0=log21c=log0.23b>c.
【解析】①因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,即a=-1.
所以f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0得-1即函数f(x)的定义域为(-1,3).(共25张PPT)
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
学习目标 育人目标
情感价值:通过幂函数的概念,提升学生的抽象概括能力,通过幂函数的图象,探究幂函数的特点、性质,提升学生应用已学知识探究性质的能力.
学科素养:直观想象、数学运算、逻辑推理
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗
2.在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性
3.在第一象限内,幂函数的图象有什么特征
【教材认知】
1.幂函数的概念
(1)定义:一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)幂函数的特征
①y=xα中xα前的系数为“1”.
②y=xα中xα的底数是单个的自变量“x”.
③y=xα中α是常数.
2.常见幂函数的图象与性质
解析
式 y=x y=x2 y=x3
图象
定义
域 R R R _______ ______
值域 R ______ R _______ ______
{x|x≠0}
[0,+∞)
[0,+∞)
{y|y≠0}
[0,+∞)
奇偶
性 ___函数 ___函数 ___函数 ___函数 _________
函数
增区
间 __ ______ __ 无 ______
减区
间 无 ______ 无 ______
______ 无
定点 _____
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.
(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
(3)f(x)=xα,当α>0时,f(x)=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减.
奇
R
偶
[0,+∞)
(-∞,0)
奇
R
奇
(-∞,0),
(0,+∞)
非奇非偶
[0,+∞)
(1,1)
【教材提炼】
幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下:
项目 α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0,0),
(1,1) 过(0,0),
(1,1) 过(1,1)
项目 α>1 0<α<1 α<0
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
2.(2025·徐州一中高一月考)已知f(x)=(m-1)xm是幂函数,则f(m)= .
【解析】因为f(x)=(m-1)xm是幂函数,所以m-1=1,解得m=2,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2,
故f(m)=f(2)=22=4.
答案:4
(2)(2025·黄冈中学高一质检)如图,已知幂函数y=xa,y=xb,y=xc在(0,+∞)上的图象分别是下降,急速上升,缓慢上升,则 ( )
A.c【解析】选B.由题意结合题中图象可知a<0【总结升华】
比较幂值大小的方法
(1)若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小.
(2)若指数不同,可采用中间值法或估值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小,若中间值法不行,则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小.(共35张PPT)
阶段提升课
01
知识网络·体系构建
02
重点题型·深研突破
【总结升华】
幂函数值、指数函数值、
对数函数值大小比较的四种常用方法
(1)单调性法
在同底的情况下直接得到大小关系;若不同底,先化为同底.
(2)中间量过渡法
通过寻找中间数联系比较两个数的大小,一般是用“0”“1”或其他特殊值进行比较传递.
(3)图象法
根据图象特点观察得出大小关系.
(4)作差或作商比较法
题组二 与幂函数、指数函数、对数函数有关的图象问题
1.(多选)在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=loga(x-2)的图象可能是( )
【解析】选BD.当a>1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递增且其图象恒过点(0,1),
y=loga(x-2)在(2,+∞)上单调递增且其图象恒过点(3,0),则选项B符合要求;
当0y=loga(x-2)在(2,+∞)上单调递减且其图象恒过点(3,0),
则选项D符合要求;综上所述,选项B,D符合要求.
【总结升华】
幂函数、指数函数、对数函数的图象问题
(1)根据函数定义域,判断图象的左右位置;
(2)根据函数值域,判断图象的上下位置;
(3)根据函数单调性,判断图象的变化趋势;
(4)根据函数奇偶性判断图象的对称性,再结合特殊值进行排除,找到正确答案.
由图可知,f(1)=4,f(17)=log2(17-1)=4,
因为f(x)在(-∞,a]上的最大值为4,所以a的取值范围为[1,17].
答案:[1,17]
3.(2025·无锡一中高一质检)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+21-x为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数h(x)=g(2x)+mf(x)在区间[0,1]上的最小值为1,求m的值.
【解析】(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),①
又g(x)=f(x)+21-x为偶函数,所以f(-x)+21+x=f(x)+21-x,
②由①②联立,可得f(x)=2x-2-x.
【总结升华】
指数、对数函数综合问题的解题策略
(1)解决与函数奇偶性有关的问题,首先考虑函数的定义域,其次是奇、偶函数的定义,定义的本质是函数等式恒成立.
(2)解决不等式恒成立问题,有时选择数形结合的方法会事半功倍.
(3)一般不等式m≥f(x)恒成立等价于m≥f(x)max,不等式m≤f(x)恒成立等价于m≤f(x)min.
03
易错提示·规避陷阱
【误区警示】
本题易知考虑指数相同这个条件,忽视了函数单调区间是两个不同的范围,而不是在整个定义域上都是单调递减的.在解含参数问题时,对参数进行分类讨论才能正确解答问题.
【误区警示】
注意指数函数函数值的变化.当00,则01时,若x≤0,则00,则y>1.在综合应用时,如求复合函数的值域,一定要先确定内层函数的值域,再由a的范围确定复合函数的值域.
易错点三 忽略真数大于0致误
3.函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A.(1,+∞) B.(4,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,2)
【解析】选B.因为f(x)=lg(x2-2x-8),所以x2-2x-8>0,所以x<-2或x>4,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞).设t=x2-2x-8,则函数t=x2-2x-8在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(4,+∞)上单调递增.因为函数y=lg t为增函数,所以函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).
【误区警示】
在解决复合函数单调性问题时,必须保证真数大于0,忽略这一点会导致区间错误,同样,在解决真数中含参问题时,也会使参数范围扩大,从而出错.
【误区警示】
反函数也是函数,因此求反函数时一定要标明反函数的定义域,反函数的定义域即为原函数的值域.(共21张PPT)
第2课时 指数函数及其性质的应用(一)
01
关键能力 师生共研
角度2 指数函数的图象变换
【典例3】利用函数y=f(x)=2x的图象,作出下列各函数的图象:
(1)f(x-1);(2)f(|x|);(3)f(x)-1;
(4)-f(x);(5)|f(x)-1|.
【解析】利用指数函数y=2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象.如图所示.
角度3 指数函数的图象应用
【典例4】已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.
【解析】(1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),又f(0)=1+b<0,所以b的取值范围为(-∞,-1);
(2)在平面直角坐标系中,画出函数y=|f(x)|和y=m的图象,观察图象可知,当m=0或m≥3时,两个图象有一个交点,
若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,则m的取值范围是{m|m=0或m≥3}.
3.若函数y=7+ax-3(a>0且a≠1)经过的定点是P,则P点的坐标是 .
【解析】y=ax的图象过点(0,1),y=ax-3+7的图象由y=ax的图象右移3个单位长度、上移7个单位长度得到,故过定点(3,8).
答案:(3,8)
【总结升华】
求指数型复合函数的单调区间和值域的方法
(1)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数求值域时,要借助换元法:令u=f(x),先求出u=f(x)的值域,再利用y=au的单调性求出y=af(x)的值域.
(2)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数单调性的判断,首先确定定义域D,再分两种情况讨论:
①当a>1时,若f(x)在区间(m,n)上(其中(m,n) D)具有单调性,则函数y=af(x)在区间(m,n)上的单调性与f(x)在区间(m,n)上的单调性相同;
②当02.设函数f(x)=ax-(k+2)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.求实数k的值.
【解析】函数f(x)=ax-(k+2)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数,则f(0)=
a0-(k+2)a0=1-(k+2)=0,所以k=-1.
又当k=-1时,f(x)=ax-a-x,
对任意的x∈R,都有f(-x)=a-x-ax=-(ax-a-x)=-f(x)成立,满足题意,所以k=-1.(共30张PPT)
6.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象和性质
学习目标 育人目标
1.能从教材实例中抽象出指数函数的概念.
2.能从实例中归纳出指数函数的图象和性质.
3.掌握指数函数图象和性质的初步应用. 情感价值:通过指数函数概念的学习,提升学生的抽象概括能力;通过性质的探究,提升学生的探究能力;通过性质的应用,提升学生应用数学模型解决实际问题的能力.
学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.当指数函数的底数a=0,a=1,a<0时,对自变量x的取值有何影响
2.指数函数的解析式有什么特征 与幂函数图象有什么区别
3.在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限
4.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性取决于哪个量
5.如何判断形如y=f(ax)(a>0,a≠1)的函数的单调性
【教材认知】
1.指数函数
一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域是R.
2.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质
项目 a>1 0图象
性质 (1)定义域:___
(2)值域:______
(3)图象过定点_____,图象在x轴的上方
(4)增函数;
当x>0时,y>1;
当x<0时,0当x>0时,0当x<0时,y>1
(0,+∞)
(0,1)
R
3.指数函数的图象变换
已知函数y=ax(a>0且a≠1)
(1)平移变换
①y=ax y=ax+k.
②y=ax y=ax-k.
③y=ax y=ax+h.
④y=ax y=ax-h.
(2)对称变换
①y=ax y=a-x.
②y=ax y=-ax.
③y=ax y=-a-x.
(3)翻折变换
y=ax y=a|x|(去掉y轴左侧图象,保留y轴右侧图象,将y轴右侧图象翻折到
y轴左侧).
【教材提炼】
1.在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数的大小有如下关系:
(1)在y轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大;
(2)在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x=1时,y的取值去理解.如图所示:
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
求指数型函数的定义域和值域的一般方法
1.求指数型函数的定义域时,先观察函数是y=ax型还是y=af(x)型.
(1)由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同.
(2)对于函数y=f(ax)(a>0,且a≠1)的定义域,关键是找出t=ax的值域的哪些部分在y=f(t)的定义域中.
(4)若0A.y【解析】选D.由0所以0幂函数g(x)=xb在(0,+∞)上是增函数,
所以0=g(0)【总结升华】
1.比较两个幂的大小的常用方法
(1)作差(商)法;
(2)函数单调性法;
(3)中间值法,即要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再分别比较A与C,B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B的大小.
2.指数不等式的三种类型
(1)形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式,利用函数图象求解.
【即学即练】
1.已知a=0.30.2,b=0.20.3,c=20.3,则它们的大小关系是( )
A.a【解析】选B.由c=20.3>20=1=0.30>a=0.30.2>0.20.2>b=0.20.3,所以b2.已知函数f(x)=1-2x,且f(3-2t)>f(t),则t的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞)
【解析】选D.根据指数函数单调性知f(x)=1-2x为单调递减函数,因为
f(3-2t)>f(t),则3-2t1,则t的取值范围是(1,+∞).(共19张PPT)
第3课时 指数函数及其性质的应用(二)
01
关键能力 师生共研
题型一 指数函数的综合应用
角度1 指数函数与二次函数综合
【典例1】(2025·徐州一中高一质检)已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(3,8).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f2(x)-2f(x)+5在x∈[-1,2]上的值域.
【解析】(1)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(3,8),则f(3)=a3=8,
解得a=2,因此,f(x)=2x.
【总结升华】
1.指数函数与二次函数综合,主要解题策略是通过换元法,把指数函数问题转化为二次函数问题求解.
2.指数函数与单调性奇偶性综合,一般是解不等式或研究不等式恒成立问题,具体做法是利用函数单调性,奇偶性来求解.
【即学即练】
1.已知函数f(x)=4x+m·2x,m∈R.
(1)若m=-3,解关于x的不等式f(x)>4;
(2)若函数y=f(x)+f(-x)的最小值为-4,求m的值.
【解析】(1)当m=-3时,由f(x)=4x-3×2x>4得,4x-3×2x-4>0,(2x+1)(2x-4)>0,
因为2x+1>0,所以2x-4>0,解得x>2,
所以原不等式的解集为(2,+∞).
【总结升华】
应用指数型函数解决实际问题时需注意的事项
(1)在利用指数增长(减少)模型解决实际问题时,要注意自变量x的取值要准确.在实际问题中,经常会遇到类似的指数增长模型:设原来的产量为N,平均增长率为p,经过x次增长达到y,则有y=N(1+p)x,x∈N,这是非常有用的函数模型.
(2)对于指数型函数y=kax,不仅要注意a的取值,还要注意k的符号对函数性质的影响.
