阶段提升课
知识网络·体系构建
题组一 函数的定义域
1.函数y=+(2x-1)0的定义域为 ( )
A.(-∞,) B.(,+∞)
C.(-∞,)∪(,3) D.(-∞,)∪
【解析】选C.要使函数y=+(2x-1)0有意义,则有,解得x<3且x≠,
所以其定义域为(-∞,)∪(,3).
2.(2025·靖江中学高一月考)将长度为2的一根铁丝折成长为x的矩形,矩形的面积y关于x的函数关系式是y=x(1-x),则函数的定义域为 ( )
A.R B.{x|x>0}
C.{x|0
【解析】选D.将长度为2的一根铁丝折成长为x的矩形,则宽为1-x,
所以,解得03.若函数f(2x-1)的定义域为,则y=的定义域为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意可知-3≤x≤1,
所以-7≤2x-1≤1,要使函数y=有意义,则解得14.若函数f(x)的定义域为,则函数f(2x-1)的定义域是 .
【解析】因为函数f(x)的定义域为,
所以-2≤2x-1≤2,解得-≤x≤,
所以函数f(2x-1)的定义域是.
答案:
5.(2025·锡山中学高一质检)已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-12,0] B.(-∞,-12] C.(-12,0) D.[-12,0]
【解析】选A.当a=0时,恒成立;当a<0时,则 -12综上:-12【总结升华】
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,比如,分母不为0,偶次根式中被开方数大于或等于0等,再如,由几个式子构成的函数,定义域是各部分定义域的交集.
(2)实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义.
(3)复合函数问题:
①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出;
②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
注意:①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同;②定义域所指永远是x的取值范围.
题组二 求函数的解析式
1.若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x(1+x),则当x<0时,f(x)= ( )
A.-x(1+x) B.-x(1-x) C.x(1+x) D.x(1-x)
【解析】选D.当x<0时,-x>0,
由奇函数的定义可得f(x)=-f(-x)=-(-x)(1-x)=x(1-x).
2.已知f(+2)=x+4,则函数f(x)的解析式为 .
【解析】方法一:设t=+2,则t≥2,=t-2,即x=(t-2)2,
所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,
所以f(x)=x2-4(x≥2).
方法二:因为f(+2)=(+2)2-4,
所以f(x)=x2-4(x≥2).
答案:f(x)=x2-4(x≥2)
3.(2025·湘潭一中高一质检)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,则f(x)= .
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+[a(x-1)2+b(x-1)+c]=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
所以解得
所以f(x)=x2-2x-1.
答案:x2-2x-1
【总结升华】
函数解析式的常见求法
(1)当已知函数解析式比较简单时,可用直接法求解;
(2)当已知函数解析式的类型时,可用待定系数法求解;
(3)当已知复合函数f(g(x))的解析式时,可用换元法求解,此时要注意“元”的取值范围,也可用配凑法;
(4)当已知抽象函数的解析式时,常用消参法求f(x);
(5)已知[a,b]上的解析式求[-b,-a]上的解析式,可用奇偶性转移法求解.
题组三 函数单调性及应用
1.若函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论不正确的是 ( )
A.>0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)≤f(x1)【解析】选C.由函数的单调性定义知,若函数f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B都正确.因为f(x)是增函数,对任意的x1≠x2则f(x1)≠f(x2),D正确.
若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故选项C不正确.
2.函数f(x)=|x|(2-x)的单调递增区间是 ( )
A.[0,1] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,2]
【解析】选A.当x≥0时,f(x)=x(2-x)=-x2+2x,开口向下,对称轴为x=1,故其递增区间是[0,1];当x<0时,f(x)=-x(2-x)=x2-2x,开口向上,对称轴为x=1,在x<0时,f(x)单调递减,
综上:f(x)=|x|(2-x)的单调递增区间是[0,1].
3.已知函数f(x)对 x1,x2∈(0,+∞),都有<0,且f(2-2m)>f(1+m),则实数m的取值范围是 ( )
A.(,+∞) B.(-∞,) C.(,1) D.(-1,)
【解析】选C.因为对 x1,x2∈(0,+∞),都有<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,
因为f(2-2m)>f(1+m),所以
解得m∈(,1).
4.已知函数f(x)=,对任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则实数m的取值范围是 .
【解析】不妨设x1f(x2),
所以函数f(x)在R上单调递减,
故,
解得2≤m≤3.
答案:[2,3]
【总结升华】
1.函数单调性的判断方法有:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;
2.函数y=f[g(x)]的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
3.求解函数不等式,其实质是函数单调性的逆用,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.
4.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是:根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.
题组四 函数奇偶性及应用
1.下列函数为奇函数的是 ( )
A.y=x2 B.y=x3 C.y=|x| D.y=
【解析】选B.对于A:y=f(x)=x2定义域为R,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以y=x2为偶函数,故A错误;
对于B:y=g(x)=x3定义域为R,且g(-x)=(-x)3=-x3=-g(x),所以y=x3为奇函数,故B正确;
对于C:y=h(x)=定义域为R,且h(-x)===h(x),所以y=为偶函数,故C错误;
对于D:y=定义域为[0,+∞),定义域不关于原点对称,故y=为非奇非偶函数,故D错误.
2.若f(x)=是奇函数,则 ( )
A.a=1,b=-1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=1 D.a=-1,b=-1
【解析】选C.易知定义域为,
由f(x)为奇函数可得,
即,
解得.
3.设f(x)为偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是 ( )
A.{x|x>1} B.{x|-1C.{x|x<-1或x>1} D.{x|-11}
【解析】选C.根据题意,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x)在[0,+∞)上为增函数且f(1)=1-1=0,又由f(x)为偶函数,则f(x)>0即f(x)>f(1),则有|x|>1,
解得x>1或x<-1,即x的取值范围是{x|x<-1或x>1}.
【总结升华】
1.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
题组五 函数性质综合运用
1.已知函数f(x)为偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是 ( )
A.(0,2) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(1,2)
【解析】选A.当x∈(-∞,0)时,f(x)=f(-x)=-x-1.由f(x-1)<0得或,
解得0所以不等式f(x-1)<0的解集为(0,2).
2.已知函数f(x-1)为偶函数,且函数f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则关于x的不等式f(1-|x|)A.(-8,8) B.(4,8) C.(-∞,8) D.(8,+∞)
【解析】选A.因为f(x-1)为偶函数,
所以f(x-1)的图象关于y轴对称,
则f(x)的图象关于直线x=-1对称.
因为f(x)在[-1,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(-∞,-1]上单调递减.
因为f(1-|x|)所以-7<1-|x|<5,解得-83.已知定义在R上的函数满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0.
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)求证:f(x)为R上的增函数;
(3)解关于x的不等式:f(ax2)-f(2x)>f(a2x)-f(2a)(其中a>0且a为常数).
【解析】(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.
再令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),
所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)令x1所以f(x1)所以f(x)为R上的增函数.
(3)不等式:f(ax2)-f(2x)>f(a2x)-f(2a)(其中a>0且a为常数).
化为:f(ax2+2a)>f(a2x+2x),
由f(x)为R上的增函数,
所以ax2+2a>a2x+2x,
化为:ax2-(2+a2)x+2a>0,
所以(x-)(x-a)>0.
若a>,可得不等式的解集为{x|x>a或x<.
若a=,可得不等式的解集为{x|x≠}.
若0或x【总结升华】
函数性质的应用方面及处理方法
(1)对于某些数学问题,通过函数的单调性可将函数值间的关系转化到自变量间的关系进行研究,从而达到化繁为简的目的,特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、研究方程根等方面应用非常广泛.而利用奇、偶函数的对称性可缩小研究的范围,使求解的问题避免进行复杂的讨论.
(2)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,先证明函数的单调性,再由单调性求最值.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
易错提示·规避陷阱
易错点一 混淆自变量而致误
1.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(x-1)的定义域是 ( )
A.[0,5] B.[-1,4] C.[-3,2] D.[-2,3]
【解析】选A.函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则对于函数y=f(x+1),有-2≤x≤3,
所以-1≤x+1≤4;
于是对于函数y=f(x),有-1≤x≤4;
所以对于函数y=f(x-1),有-1≤x-1≤4,
解得0≤x≤5,
所以函数y=f(x-1)的定义域是[0,5].
【误区警示】
对函数定义域的理解
函数的定义域永远仅指函数自变量的取值范围,即若函数f(g(x))的定义域为A,指的是x∈A,而不是g(x)∈A.
易错点二 忽视定义域而致误
2.函数y=2x+的值域为 .
【解析】令t=,则x=1-t2,t≥0,
所以y=2(1-t2)+t=-2t2+t+2=-2(t-)2+,t≥0,
所以当t=时,函数y=-2(t-)2+取得最大值,最大值为,所以函数y=2x+的值域为(-∞,].
答案:(-∞,
3.f(+1)=x-1,则f(x)= .
【解析】令+1=t(t≥1) x=(t-1)2(t≥1),
于是有f(t)=(t-1)2-1=t2-2t(t≥1) f(x)=x2-2x(x≥1).
答案:x2-2x(x≥1)
【误区警示】
函数问题中定义域的注意事项
(1)求函数的值域,要考虑函数的定义域,特别地,换元后要注意新元的取值范围.
(2)已知f(g(x))求f(x)的解析式时,要注意求出所求函数的定义域,此时f(x)的定义域为g(x)的值域,解题时不能忽略,所以函数问题一定要定义域优先.
(3)利用单调性解抽象函数不等式:关于抽象函数不等式的一般解答方法是利用单调性脱掉“f”,注意定义域对自变量的限制,函数的单调区间是函数定义域的子集,故求函数的单调区间时,必须先求函数的定义域,注意不要忽略此步骤.
(4)在判断函数奇偶性时,务必树立定义域优先的原则,在定义域关于原点对称的前提下,判断f(-x)与f(x)的关系,另外,确定函数的定义域之前不要化简函数式,否则可能导致定义域发生变化.
易错点三 对单调区间和在区间上单调这两个概念理解错误
4.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2.若f(x)的单调递减区间为(-∞,4),则实数a的值为 ;若f(x)在区间(-∞,4)上是减函数,则实数a的取值范围为 .
【解析】由题意知,
解得a=,所以实数a的值为.
当a=0时,f(x)=-2x+2在区间(-∞,4)上是减函数,所以a=0符合题意;
当a≠0时,因为f(x)在区间(-∞,4)上是减函数,
所以,解得0综上所述,实数a的取值范围为[0,.
答案: [0,
【误区警示】
若函数在某区间上单调,则该区间为函数单调区间的子集.
易错点四 忽略奇偶函数的对称性或者参数的讨论致误
5.若函数f(x)是定义域为R的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(-2)=0,使f(x)<0的x的取值范围是 ( )
A.(-2,2) B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】选A.因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(-2)=0,
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(2)=0,
所以f(x)<0的x的取值范围是(-2,2).
6.已知函数f(x)在(-∞,2]上为增函数,且函数f(x+2)是R上的偶函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1]∪[3,+∞) B.[3,+∞)
C.[1,3] D.[1,+∞)
【解析】选A.因为函数f(x)在(-∞,2]上为增函数,且函数f(x+2)是R上的偶函数,
所以f(x)关于x=2对称,且在[2,+∞)上单调递减,
当a>2时,由f(a)≤f(3)可得a≥3,所以a≥3;
当a≤2时,则f(a)≤f(3)等价于f(a)≤f(1),解得a≤1,所以a≤1,
综上,实数a的取值范围是(-∞,1]∪[3,+∞).
【误区警示】
1.奇偶函数的对称性
(1)偶函数的图象关于y轴对称,且在关于原点对称的区间上单调性相反;
(2)奇函数的图象关于原点对称,且在关于原点对称的区间上单调性相同.
2.奇偶函数含参数的处理方法
对于含有参数的函数的奇偶性判断问题,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到f(-x)与f(x)的关系,必要时,要进行分类讨论.5.2 函数的表示方法
学习目标 育人目标
1.结合教材实例会用解析法、列表法、图象法表示函数,在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,会求函数的解析式. 2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 3.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系,并能解决有关问题. 情感价值:通过学习不同的函数表示方法,提升学生计算能力和应用数学知识解决实际问题的能力. 学科素养:数学建模、直观想象、数学运算
【问题导学】
1.任何一个函数都可以用解析法、图象法或列表法三种形式表示吗
2.分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同,那么分段函数是一个函数还是几个函数
3.分段函数的定义域、值域是怎么规定的
【教材认知】
1.函数的表示法
2.函数三种表示法的优缺点比较
3.分段函数
(1)在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫作分段函数.
(2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集.
(3)作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象.
【教材提炼】
1.理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
2.函数的三种表示方法的选择
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确,采用图象法的前提是函数的变化规律清晰,采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少.
3.复合函数
若函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为D,值域为C,则当C A时,称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数,其中t叫做中间变量,t=g(x)叫做内层函数,y=f(t)叫做外层函数.
关键能力·师生共研
题型一 函数的表示方法
【典例1】已知某人1月份至6月份的月收入如下:1月份为1 000元,从2月份起每月的收入是其上一个月的2倍,分别用列表法、图象法、解析法表示该人1月份至6月份的月收入y(元)与月份序号x的函数关系,并指出该函数的定义域、值域和对应关系.
【解析】列表法:
x 1 2 3 4 5 6
y(元) 1 000 2 000 4 000 8 000 16 000 32 000
图象法:
解析法:
y=,
函数的定义域为{1,2,3,4,5,6},值域是{1 000,2 000,4 000,8 000,16 000,32 000},
对应关系是f:x→y=1 000·2x-1,x∈{1,2,3,4,5,6}.
【总结升华】
应用函数三种表示方法的三个注意点
(1)解析法必须注明函数的定义域;
(2)列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系;
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
【即学即练】
将一条长为10 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试分别用解析法、图象法、列表法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系.
【解析】这个函数的定义域为{x|1≤x<10,x∈N*}.
(1)解析法:S=()2+()2.
将上式整理得S=x2-x+,x∈{x|1≤x<10,x∈N*}.
(2)图象法:
(3)列表法:
一段铁丝长x(cm) 1 2 3 4 5
两个正方形的面积之和S(cm2)
一段铁丝长x(cm) 6 7 8 9
两个正方形的面积之和S(cm2)
题型二 求函数的解析式
角度1 待定系数法求解析式
【典例2】已知二次函数f(x)满足f(2x)+f(x-1)=10x2-7x+5,则f(f(1))= ( )
A.1 B.7 C.8 D.16
【思路导引】采用待定系数法先求解出f(x)的解析式,然后即可计算出f(f(1))的值.
【解析】选B.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(2x)+f(x-1)=10x2-7x+5,
所以4ax2+2bx+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=10x2-7x+5,
化简可得:5ax2+(3b-2a)x+a-b+2c=10x2-7x+5,
所以
所以所以f(x)=2x2-x+1,
所以f(1)=2-1+1=2,所以f(f(1))=f(2)=2×4-2+1=7.
角度2 换元法或配凑法求解析式
【典例3】(一题多解)已知f(+1)=x+3,则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x+4(x≥0) B.f(x)=x2+3(x≥0)
C.f(x)=x2-2x+4(x≥1) D.f(x)=x2+3(x≥1)
【解析】选C.方法一:令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2=t2-2t+1,
又f(+1)=x+3,所以f(t)=t2-2t+4,则f(x)=x2-2x+4(x≥1).
方法二:f(+1)=x+3=+3=-2(+1)+4,
故f(x)=x2-2x+4(x≥1).
角度3 方程组法求解析式
【典例4】(2025·丹阳中学高一月考)已知f(x)满足3f(x)+2f(1-x)=4x,则f(x)的解析式为
.
【解析】由3f(x)+2f(1-x)=4x①,
用1-x代替x可得,3f(1-x)+2f(x)=4(1-x)②,
由3×①-2×②可得:f(x)=4x-.
答案:f(x)=4x-
【总结升华】
求函数解析式的四种求法
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等),可用待定系数法.
①确定所有函数问题含待定系数的一般解析式;
②根据恒等条件,列出一组含有待定系数的方程;
③解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决.
(2)换元法:主要用于解决已知f(g(x))的解析式,求函数f(x)的解析式的问题.
①先令g(x)=t,注意分析t的取值范围;
②反解出x,即用含t的代数式表示x;
③将f(g(x))的右边用t表示即得关于f(t)的表达式,把t改为x,即可得f(x)的解析式.
(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得到f(x)的解析式.
(4)方程组法:主要解决已知f(x)与f(-x),f(),f(-)……的方程,求f(x)的解析式,例如:若条件是关于f(x)与f(-x)(或者与f()的,可把x代为-x(或者把x代为)得到第二个式子,与原式联立方程组,求出f(x).
【即学即练】
1.(2025·兴化中学高一质检)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1.则f(1)= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.因为f(0)=2,所以c=2,
而f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b,
又因为f(x+1)-f(x)=2x-1,
所以,解得,
因此f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+2.故f(1)=1.
2.若函数f(x)满足f(x-1)=x2-1,则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=-x2-2x B.f(x)=-x2+2x
C.f(x)=x2+2x D.f(x)=x2-2x
【解析】选C.f(x-1)=x2-1,令t=x-1,则t+1=x,
故f(t)=(1+t)2-1=t2+2t,
所以f(x)=x2+2x.
3.已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=3x,则f(1)等于 ( )
A.-3 B.3 C.-1 D.1
【解析】选A.由f(x)+2f(-x)=3x①,
用-x代入得f(-x)+2f(x)=-3x②,
由②×2-①得,f(x)=-3x,所以f(1)=-3.
题型三 分段函数
角度1 分段函数的求值
【典例5】(1)(2025·淮阴中学高一月考)已知函数f(x)=若f(a)=3,则a= ( )
A.1 B. C.- D.
【解析】选B.当a≤-1时,由a+2=3,得a=1舍去;
当-1当a≥2时,由2a=3得a=舍去.
综上,a=.
(2)(2025·长沙一中高一调研)f(x)=则f(5)= ( )
A.24 B.21 C.18 D.16
【解析】选A.f(5)=f(f(10)),f(10)=f(f(15))=f(18)=21,所以f(5)=f(21)=24.
角度2 分段函数与不等式
【典例6】(一题多解)已知f(x)=,则使f(x)≥-1成立的x的取值范围是 ( )
A.[-2,2] B.[-2,0] C.[-2,2) D.(0,2]
【解析】选A.方法一:当x≤0时,f(x)=2x+3,不等式f(x)≥-1可化为2x+3≥-1,解得x≥-2,
又x≤0,所以-2≤x≤0;
当x>0时,f(x)=-(x-1)2,不等式f(x)≥-1可化为-(x-1)2≥-1,解得0≤x≤2,
又x>0,所以0综上,使不等式f(x)≥-1成立的x的取值范围是[-2,2].
方法二:函数f(x)的图象如图所示,虚线表示y=-1,函数f(x)图象在虚线y=-1及以上的部分中x的取值范围即不等式f(x)≥-1的解集.
由图可知,x的取值范围就是点A的横坐标与点B的横坐标之间的范围.
在y=2x+3中,令y=-1,得x=-2,所以点A的横坐标为-2.
在y=-(x-1)2中,令y=-1,得x=0(舍去)或x=2,所以点B的横坐标为2,
所以使不等式f(x)≥-1成立的x的取值范围是[-2,2].
【总结升华】
1.分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母取值(范围)的步骤
(1)先将字母分情况代入解析式,列出方程(不等式).
(2)解方程(不等式)求字母的值(范围),并检验是否符合字母的取值范围.
(3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求.
【即学即练】
1.已知函数f(x)=,若f(x0)=2,则x0= ( )
A. B.- C.2 D.-2
【解析】选A.当x≤0时,f(x)=x≤0.当x>0时,f(x)=>0,故由f(x0)=2,得=2,所以x0=.
2.已知函数f(x)=,则不等式f(x)≥1的解集是 .
【解析】当x≤0时,由-x≥1,解得x≤-1,当x>0时,由2x-1≥1,解得x≥1,
综上不等式的解集为x≤-1或x≥1.
所以x∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)(共17张PPT)
第2课时 函数的概念(二)
01
关键能力 师生共研
【总结升华】
函数三要素的理解
(1)函数的定义域即集合A,在坐标系中是横坐标x的取值范围.
(2)函数的值域并不是集合B,是函数值的集合{f(x)|x∈A},在坐标系中是纵坐标的取值范围.
(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法,通过这种运算对应得到唯一的函数值y.
【即学即练】
1.已知函数f(x)=2x-4,若f(2a2-1)=10,则a的值等于( )
A.2 B.-2 C.±2 D.±4
【解析】选C.函数f(x)=2x-4,由f(2a2-1)=10,得2(2a2-1)-4=10,则a2=4,
解得a=±2.
2.已知函数f(x),g(x)分别由表给出
则方程g(f(x))=3的解集为 .
【解析】根据题意,若方程g(f(x))=3,必有f(x)=1,则有x=1或3,即方程g(f(x))=3的解集为{1,3}.
答案:{1,3}
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
【总结升华】
判断函数是否是同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)三个步骤:
(2)两个注意点:
①在化简解析式时,必须是等价变形;
②与用哪个字母表示变量无关.
题型三 简单的抽象函数
角度1 定义域问题
【典例3】(易错·对对碰)
(1)若函数y=f(x)的定义域是[-1,3],则f(2x+1)的定义域为 .
【解析】令-1≤2x+1≤3,解得-1≤x≤1,所以f(2x+1)的定义域为[-1,1].
答案:[-1,1]
(2)若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域为 .
【解析】函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则-2≤x≤4,-6≤3x≤12,
所以-5≤3x+1≤13, 所以函数y=f(x)的定义域是[-5,13].
答案:[-5,13]
【总结升华】
抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上的范围(值域)即定义域.
(3)已知f(g(x))的定义域为[e,f],求f(h(x))的定义域时,先求出g(x)在[e,f]上的范围(值域)[m,n],再解m≤h(x)≤n的解集即为所求定义域.
角度2 求值问题
【典例4】f(x)是定义在R上的函数,f(0)=2,且对任意x∈R,满足f(x+2)-f(x)≤2,
f(x+6)-f(x)≥6,则f(2 026)=( )
A.2 025 B.2 026 C.2 027 D.2 028
【解析】选D.因为f(x+2)-f(x)≤2,所以f(x+4)-f(x+2)≤2,
所以f(x+6)-f(x+4)≤2,三式相加得:f(x+6)-f(x)≤6,
又f(x+6)-f(x)≥6, 则f(x+6)-f(x)=6,当且仅当f(x+2)-f(x)=2时等号成立,
f(2 026)=[f(2 026)-f(2 024)]+[f(2 024)-f(2 022)]+…+[f(2)-f(0)]+f(0)=1 013×
2+2=2 028.5.4 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
学习目标 育人目标
1.能从教材实例中抽象出函数奇偶性的概念. 2.能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性. 3.掌握函数奇偶性的简单应用,了解函数图象的对称性满足的条件. 情感价值:通过函数奇偶性的概念归纳,发展学生对数学现象的抽象概括能力;通过奇偶性的性质探究及应用,提升学生的计算能力,进一步提升学生的数形结合思想和逻辑思维品质. 学科素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算
【问题导学】
1.如果函数f(x)具有奇偶性,那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗
2.若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称,则f(x),g(x)是偶函数吗
3.若函数f(x)对定义域内的任意x,都有f(x)-f(-x)=0,那么该函数是偶函数吗
【教材认知】
1.偶函数
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数.
(2)图象特征:图象关于y轴对称.
2.奇函数
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.
(2)图象特征:图象关于原点对称.
【教材提炼】
1.f(-x)=f(x)的等价形式为:f(x)-f(-x)=0,=1(f(x)≠0),
f(-x)=-f(x)的等价形式为:f(x)+f(-x)=0,=-1(f(x)≠0);
2.若奇函数y=f(x)在x=0处有意义,则有f(0)=0;偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(|x|).
3.函数的奇偶性是整体性质,函数的单调性是局部性质,奇偶性是相对于定义域来说的,这一点与研究函数的单调性不同.
4.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a5.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a6.在公共定义域内:
两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数;两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
关键能力·师生共研
题型一 函数奇偶性的判断
【典例1】(教材例1改编)判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=x+;
(2)f(x)=2-|x|;
(3)f(x)=+;
(4)f(x)=;
(5)f(x)=
【解析】(1)f(x)=x+,定义域为{x|x≠0},有f(-x)=(-x)+=-(x+)=-f(x),则函数f(x)为奇函数.
(2)f(x)=2-|x|,定义域为R,有f(-x)=2-|x|=f(x),则函数f(x)为偶函数.
(3)因为f(x)=+,所以,
则有x2=1,解得x=±1,则函数定义域为{-1,1},且f(x)=0,
所以f(x)=f(-x)和f(-x)=-f(x)同时成立,故函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)f(x)=,其定义域为{x|x≠1},其定义域不关于原点对称,则函数f(x)是非奇非偶函数.
(5)函数f(x)的定义域为R,
因为对于任意的x∈R都有-x∈R,且f(-x)=
即f(-x)=于是有f(-x)=-f(x).所以函数f(x)为奇函数.
【总结升华】
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)分段函数奇偶性的判断,要分别从关于原点对称的区间上来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.
【即学即练】
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4-2x2;
(2)f(x)=x5-x;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=|x|+x.
【解析】(1)f(x)的定义域为R,它关于原点对称.
f(-x)=(-x)4-2(-x)2=x4-2x2=f(x),故f(x)为偶函数.
(2)f(x)的定义域为R,它关于原点对称.
f(-x)=(-x)5-(-x)=-x5+x=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),它关于原点对称.
f(-x)==-f(x),故f(x)为奇函数.
(4)f(1)=|1|+1=2,f(-1)=0,故f(1)≠f(-1),f(-1)≠-f(1),故f(x)为非奇非偶函数.
题型二 奇偶函数的图象特征
【典例2】已知f(x)=.
(1)判断并证明函数y=f(x)的奇偶性;
(2)判断并证明函数y=f(x)在区间(2,+∞)上的单调性;
(3)根据函数y=f(x)的性质,画出函数y=f(x)的大致图象.
【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞)关于原点对称,
f(-x)===f(x),
所以f(x)是偶函数;
(2)任取x1,x2∈(2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-==,
因为x1,x2∈(2,+∞),所以(4-)(4-)>0,x1+x2>0,
又因为x1所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增;
(3)由(2)同理可得f(x)在区间[0,2)上单调递增,
由(1)知f(x)是偶函数,则f(x)在(-∞,-2)和(-2,0]上单调递减,
所以其图象如图所示:
【总结升华】
巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象.
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图象.
注意:作对称图象时,可以先从点的对称出发,点(x0,y0)关于原点的对称点为(-x0,-y0),关于y轴的对称点为(-x0,y0).
【即学即练】
1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,函数y=f(x)的图象如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为 ( )
A.(2,5) B.(-5,-2)∪(2,5) C.(-2,0) D.(-2,0)∪(2,5)
【解析】选D.因为原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象,知它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
2.(2025·如皋中学高一月考)函数f(x)=的大致图象是 ( )
【解析】选A.函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)===-f(x),
因此函数f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,选项B,D不满足,
当x∈(0,2)时,8-x2>0,2x3>0,即f(x)>0,选项C不满足,A符合题意.
题型三 利用函数奇偶性求值
角度1 利用函数的奇偶性求参数值
【典例3】(2025·淮安中学高一月考)若函数f(x)=是定义在[1-2a,a]上的奇函数,则a2+b2=
.
【解析】因为函数f(x)=是定义在[1-2a,a]上的奇函数,所以1-2a+a=0,解得a=1.
因为f(-x)=-f(x),所以=-,解得b=0.所以a2+b2=1.
答案:1
角度2 利用函数的奇偶性求函数值
【典例4】(类题·节节高)
(1)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(-1)=2,则f(1)= ( )
A.-1 B.-2 C.0 D.2
【解析】选B.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-2.
(2)若函数g(x)=f(x)+x3是奇函数,且f(-1)=2,则f(1)= ( )
A.-1 B.-2 C.0 D.1
【解析】选B.由函数g(x)=f(x)+x3是奇函数可得g(1)=f(1)+1=-g(-1)=-f(-1)+1,
又f(-1)=2,故f(1)=-2.
(3)已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+5,且f(-2)=7,则f(2)= .
【解析】由函数f(x)=ax5+bx3+cx+5,
令g(x)=f(x)-5,则g(x)=ax5+bx3+cx,x∈R,
由g(-x)=-ax5-bx3-cx=-g(x)可知:g(x)=ax5+bx3+cx为奇函数,
故g(-2)=f(-2)-5=2,则g(2)=-2,
所以f(2)=g(2)+5=-2+5=3.
答案:3
【总结升华】
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
提醒:注意从局部的“整体”上进行代换.
【即学即练】
1.已知函数f(x)=为奇函数,则f(a+b)= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选C.根据题意,函数f(x)=为奇函数,其定义域为R,
设x>0,则-x<0,则f(x)=ax2-2x,f(-x)=-(-x)2+b(-x)=-x2-bx,
则有f(x)+f(-x)=(ax2-2x)+(-x2-bx)=(a-1)x2-(b+2)x=0,
分析可得a=1,b=-2,故f(a+b)=f(-1)=-1+2=1.
2.(一题多解)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
【解析】方法一: f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2-(a-4)x-4a,
由f(x)为偶函数得f(x)=f(-x),则a-4=0,即a=4.
方法二:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,要使函数为偶函数,只需多项式的奇次项系数为0,即a-4
=0,则a=4.
答案:4
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x+6,则f(3)= .
【解析】函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x2+2x+6,
故f(3)=f(-3)=(-3)2+2×(-3)+6=9.
答案:9
4.已知函数f(x)=ax3-bx+2,若f(2)=5,则f(-2)= .
【解析】由f(2)=8a-2b+2=5得8a-2b=3,
所以f(-2)=-8a+2b+2=-(8a-2b)+2=-3+2=-1.
答案:-1(共28张PPT)
第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念(一)
学习目标 育人目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
2.了解构成函数的要素,借助教材实例会判断某种关系是否为函数,是否为同一函数.
3.能求简单函数的定义域和值域.
4.会画简单函数的图象,并能借助图象解决某些简单问题. 情感价值:经历从具体到抽象、从特殊到一般,进行观察、操作、归纳等探索活动,提高学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力;体会函数的模型思想,进一步发展学生的抽象思维能力和数学应用意识.
学科素养:数学抽象、数学运算、直观想象
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.函数有定义域、对应关系和值域这三要素,为什么判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系
2.对于函数f:A→B,值域一定是集合B吗 为什么
3.在函数的概念中,如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗
4.集合{x|y=f(x),x∈A},{y|y=f(x),x∈A}能表示函数的图象吗 为什么
5.函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等,那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么
【教材认知】
1.函数的定义及有关概念
(1)函数的定义:给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合
A中的_______实数x,在集合B中都有_____的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从
集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),_____.
(2)函数的有关概念
在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域;
若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与
之对应.所有输出值y组成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫作函数的值域.
(3)函数的三要素:定义域、_________和值域.
每一个
唯一
x∈A
对应关系
2.函数的图象
(1)定义:将自变量的一个值x0作为_______,相应的函数值f(x0)作为_______,
就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一
个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的
图象.
(2)集合表示:所有这些点组成的集合(点集)为_____________,即
_________________.
(3)本质:函数对应的图形,即几何意义.
横坐标
纵坐标
{(x,f(x))|x∈A}
{(x,y)|y=f(x),x∈A}
【教材提炼】
1.函数定义的几个特性:
(1)特殊性:定义中的集合A,B必须是两个非空的数集;
(2)任意性:A中任意一个数都要考虑到;
(3)唯一性:每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应;
(4)方向性:A→B.
2.常见的函数的定义域和值域
函数 一次
函数 反比例
函数 二次函数
____ ____
对应
关系 y=ax+b(a≠0) y=ax2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a≠0)
定义域 R {x|x≠0} R R
值域 R {y|y≠0}
a>0
a<0
3.关于抽象函数的定义域的理解
(1)明确函数的定义域是自变量的取值范围,如f(x+2)的定义域为[0,3],指的是0≤x≤3,而不是0≤x+2≤3;
(2)同一对应法则实施的对象范围一样.如f(x)的定义域为[0,3],则f(x+2)的定义域由0≤x+2≤3确定.
02
关键能力 师生共研
题型一 函数关系的判断
角度1 由定义判断是否为函数
【典例1】(2025·泰州中学高一月考)中文“函数(function)”一词,最早是由近代数学家李善兰翻译出来的,之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”.已知集合M={-2,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应关系,请由函数定义判断,其中能构成从M到N的函数的是( )
A.y=2x B.y=x+3 C.y=2|x| D.y=x2-2
【解析】选C.A选项,当x=-2时,y=-4,而-4 N,故A错误;
B选项,当x=4时,y=4+3=7,而7 N,故B错误;
C选项,当x=±2时,y=4∈N,当x=1时,y=2∈N,当x=4时,y=16∈N,
故y=2|x|满足要求,C正确;
D选项,当x=1时,y=12-2=-1,而-1 N,故D错误.
【总结升华】
判断一个对应关系是否为函数的方法
①判断集合A,B是否为非空数集.
②判断集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素与之对应.
满足上述两条,则该对应关系是函数,要注意“任意性”“存在性”“唯一性”,只要一个不满足便不能构成函数.
角度2 从图象判断是否为函数关系
【典例2】下列图形中不是函数图象的是( )
【解析】选A.A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,其余B,C,D均符合函数定义.
【总结升华】
从图象角度判断函数关系的方法
首先看定义域和值域的范围,其次看是否满足一个x值对应一个y值,或者是多个x值对应一个y值.
【解析】选B.A:当x=3时,y=|x-3|=0,但0 N*,所以集合A中的一个元素在集合B中没有元素和它对应,不是函数,故A错误;
B:集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应,是函数,故B正确;
C:集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应,不是函数,故C错误;
D:集合A中元素为0时,其倒数不存在,所以在集合B中无对应元素,不是函数,故D错误.
2.下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象的是 ( )
【分析】根据函数中每一个自变量有且只有唯一函数值与之对应,结合函数图象判断符合函数定义的图象即可.
【解析】选C.由函数定义:定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应,
A,B,D选项中的图象都符合;C选项中对于大于零的x而言,有两个不同的函数值与之对应,不符合函数定义.
【总结升华】
关于函数定义域的求法
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几部分构成的,那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合,也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.
(5)如果f(x)是根据实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
提醒:定义域必须用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应用并集符号“∪”连接.
2.一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为h=130t-5t2.该函数的定义域为 .
【解析】由题意可知,炮弹发射后共飞行了26 s,
所以0≤t≤26,即函数h=130t-5t2的定义域为[0,26].
答案:[0,26]
【总结升华】
关于函数值域的求法
(1)若函数的定义域是列举法给出的集合,则将x的值一一代入函数的解析式,求出函数值即可得到值域;
(2)对于一元二次函数则采用配方法或图象法;
(3)符合基本不等式条件的函数式,则采用基本不等式法,注意等号成立的条件.(共26张PPT)
5.4 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
学习目标 育人目标
1.能从教材实例中抽象出函数奇偶性的概念.
2.能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
3.掌握函数奇偶性的简单应用,了解函数图象的对称性满足的条件. 情感价值:通过函数奇偶性的概念归纳,发展学生对数学现象的抽象概括能力;通过奇偶性的性质探究及应用,提升学生的计算能力,进一步提升学生的数形结合思想和逻辑思维品质.
学科素养:数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.如果函数f(x)具有奇偶性,那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗
2.若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于y轴对称,则f(x),g(x)是偶函数吗
3.若函数f(x)对定义域内的任意x,都有f(x)-f(-x)=0,那么该函数是偶函数吗
【教材认知】
1.偶函数
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有______,
并且_________,那么称函数y=f(x)是偶函数.
(2)图象特征:图象关于____对称.
-x∈A
f(-x)=f(x)
y轴
-x∈A
f(-x)=-f(x)
原点
2.若奇函数y=f(x)在x=0处有意义,则有f(0)=0;偶函数y=f(x)必满足f(x)=f(|x|).
3.函数的奇偶性是整体性质,函数的单调性是局部性质,奇偶性是相对于定义域来说的,这一点与研究函数的单调性不同.
4.若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a5.若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a6.在公共定义域内:
两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数;两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)分段函数奇偶性的判断,要分别从关于原点对称的区间上来寻找等式
f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.
【总结升华】
巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象.
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图象.
注意:作对称图象时,可以先从点的对称出发,点(x0,y0)关于原点的对称点为(-x0,-y0),关于y轴的对称点为(-x0,y0).
【即学即练】
1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,函数y=f(x)的图象如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为( )
A.(2,5) B.(-5,-2)∪(2,5) C.(-2,0) D.(-2,0)∪(2,5)
【解析】选D.因为原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象,知它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
角度2 利用函数的奇偶性求函数值
【典例4】(类题·节节高)
(1)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(-1)=2,则f(1)=( )
A.-1 B.-2 C.0 D.2
【解析】选B.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-2.
(2)若函数g(x)=f(x)+x3是奇函数,且f(-1)=2,则f(1)=( )
A.-1 B.-2 C.0 D.1
【解析】选B.由函数g(x)=f(x)+x3是奇函数可得g(1)=f(1)+1=-g(-1)=-f(-1)
+1, 又f(-1)=2,故f(1)=-2.
(3)已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+5,且f(-2)=7,则f(2)= .
【解析】由函数f(x)=ax5+bx3+cx+5,
令g(x)=f(x)-5,则g(x)=ax5+bx3+cx,x∈R,
由g(-x)=-ax5-bx3-cx=-g(x)可知:g(x)=ax5+bx3+cx为奇函数,
故g(-2)=f(-2)-5=2,则g(2)=-2,
所以f(2)=g(2)+5=-2+5=3.
答案:3
【总结升华】
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
提醒:注意从局部的“整体”上进行代换.
2.(一题多解)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
【解析】方法一: f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2-(a-4)x-4a,由f(x)为偶函数得f(x)=f(-x),则a-4=0,即a=4.
方法二:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,要使函数为偶函数,只需多项式的奇次项系数为0,即a-4
=0,则a=4.
答案:4
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x+6,则f(3)= .
【解析】函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x2+2x+6,
故f(3)=f(-3)=(-3)2+2×(-3)+6=9.
答案:9
4.已知函数f(x)=ax3-bx+2,若f(2)=5,则f(-2)= .
【解析】由f(2)=8a-2b+2=5得8a-2b=3,
所以f(-2)=-8a+2b+2=-(8a-2b)+2=-3+2=-1.
答案:-1(共37张PPT)
阶段提升课
01
知识网络·体系构建
02
重点题型·深研突破
【总结升华】
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,比如,分母不为0,偶次根式中被开方数大于或等于0等,再如,由几个式子构成的函数,定义域是各部分定义域的交集.
(2)实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义.
(3)复合函数问题:
①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出;
②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
注意:①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同;②定义域所指永远是x的取值范围.
题组二 求函数的解析式
1.若函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x(1+x),则当x<0时,f(x)=( )
A.-x(1+x) B.-x(1-x) C.x(1+x) D.x(1-x)
【解析】选D.当x<0时,-x>0,
由奇函数的定义可得f(x)=-f(-x)=-(-x)(1-x)=x(1-x).
【总结升华】
函数解析式的常见求法
(1)当已知函数解析式比较简单时,可用直接法求解;
(2)当已知函数解析式的类型时,可用待定系数法求解;
(3)当已知复合函数f(g(x))的解析式时,可用换元法求解,此时要注意“元”的取值范围,也可用配凑法;
(4)当已知抽象函数的解析式时,常用消参法求f(x);
(5)已知[a,b]上的解析式求[-b,-a]上的解析式,可用奇偶性转移法求解.
2.函数f(x)=|x|(2-x)的单调递增区间是 ( )
A.[0,1] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,2]
【解析】选A.当x≥0时,f(x)=x(2-x)=-x2+2x,开口向下,对称轴为x=1,故其递增区间是[0,1];当x<0时,f(x)=-x(2-x)=x2-2x,开口向上,对称轴为x=1,在x<0时,f(x)单调递减,
综上:f(x)=|x|(2-x)的单调递增区间是[0,1].
【总结升华】
1.函数单调性的判断方法有:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;
2.函数y=f[g(x)]的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
3.求解函数不等式,其实质是函数单调性的逆用,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.
4.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是:根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.
3.设f(x)为偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是 ( )
A.{x|x>1} B.{x|-1C.{x|x<-1或x>1} D.{x|-11}
【解析】选C.根据题意,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x)在[0,+∞)上为增函数且f(1)=1-1=0,又由f(x)为偶函数,则f(x)>0即f(x)>f(1),则有|x|>1,
解得x>1或x<-1,即x的取值范围是{x|x<-1或x>1}.
【总结升华】
1.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
2.已知函数f(x-1)为偶函数,且函数f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则关于x的不等式f(1-|x|)A.(-8,8) B.(4,8) C.(-∞,8) D.(8,+∞)
【解析】选A.因为f(x-1)为偶函数,
所以f(x-1)的图象关于y轴对称,则f(x)的图象关于直线x=-1对称.
因为f(x)在[-1,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(-∞,-1]上单调递减.
因为f(1-|x|)所以-7<1-|x|<5,解得-83.已知定义在R上的函数满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0.
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)求证:f(x)为R上的增函数;
(3)解关于x的不等式:f(ax2)-f(2x)>f(a2x)-f(2a)(其中a>0且a为常数).
【解析】(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.
再令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)令x1又因为f(x)为奇函数,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,所以f(x1)所以f(x)为R上的增函数.
【总结升华】
函数性质的应用方面及处理方法
(1)对于某些数学问题,通过函数的单调性可将函数值间的关系转化到自变量间的关系进行研究,从而达到化繁为简的目的,特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、研究方程根等方面应用非常广泛.而利用奇、偶函数的对称性可缩小研究的范围,使求解的问题避免进行复杂的讨论.
(2)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,先证明函数的单调性,再由单调性求最值.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
03
易错提示·规避陷阱
易错点一 混淆自变量而致误
1.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(x-1)的定义域是( )
A.[0,5] B.[-1,4] C.[-3,2] D.[-2,3]
【解析】选A.函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则对于函数y=f(x+1),有-2≤x≤
3,所以-1≤x+1≤4;于是对于函数y=f(x),有-1≤x≤4;所以对于函数y=f(x-1),有
-1≤x-1≤4,解得0≤x≤5,所以函数y=f(x-1)的定义域是[0,5].
【误区警示】
对函数定义域的理解
函数的定义域永远仅指函数自变量的取值范围,即若函数f(g(x))的定义域为A,指的是x∈A,而不是g(x)∈A.
【误区警示】
函数问题中定义域的注意事项
(1)求函数的值域,要考虑函数的定义域,特别地,换元后要注意新元的取值范围.
(2)已知f(g(x))求f(x)的解析式时,要注意求出所求函数的定义域,此时f(x)的定义域为g(x)的值域,解题时不能忽略,所以函数问题一定要定义域优先.
(3)利用单调性解抽象函数不等式:关于抽象函数不等式的一般解答方法是利用单调性脱掉“f”,注意定义域对自变量的限制,函数的单调区间是函数定义域的子集,故求函数的单调区间时,必须先求函数的定义域,注意不要忽略此步骤.
(4)在判断函数奇偶性时,务必树立定义域优先的原则,在定义域关于原点对称的前提下,判断f(-x)与f(x)的关系,另外,确定函数的定义域之前不要化简函数式,否则可能导致定义域发生变化.
【误区警示】
若函数在某区间上单调,则该区间为函数单调区间的子集.
易错点四 忽略奇偶函数的对称性或者参数的讨论致误
5.若函数f(x)是定义域为R的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(-2)=0,使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-2,2) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】选A.因为函数f(x)是定义域为R的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(-2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(2)=0,
所以f(x)<0的x的取值范围是(-2,2).
6.已知函数f(x)在(-∞,2]上为增函数,且函数f(x+2)是R上的偶函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1]∪[3,+∞) B.[3,+∞) C.[1,3] D.[1,+∞)
【解析】选A.因为函数f(x)在(-∞,2]上为增函数,且函数f(x+2)是R上的偶函数,所以f(x)关于x=2对称,且在[2,+∞)上单调递减,
当a>2时,由f(a)≤f(3)可得a≥3,所以a≥3;
当a≤2时,则f(a)≤f(3)等价于f(a)≤f(1),解得a≤1,所以a≤1,
综上,实数a的取值范围是(-∞,1]∪[3,+∞).
【误区警示】
1.奇偶函数的对称性
(1)偶函数的图象关于y轴对称,且在关于原点对称的区间上单调性相反;
(2)奇函数的图象关于原点对称,且在关于原点对称的区间上单调性相同.
2.奇偶函数含参数的处理方法
对于含有参数的函数的奇偶性判断问题,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到f(-x)与f(x)的关系,必要时,要进行分类讨论.(共18张PPT)
第2课时 函数奇偶性的应用
01
关键能力 师生共研
题型一 利用奇偶性求函数的解析式
角度1 求对称区间上的解析式
【典例1】(1)函数f(x)是R上的偶函数,且当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)= .
(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)= .
【思路导引】(1)已知x<0时f(x)的解析式,利用偶函数性质通过(-x)进行过渡;
(2)已知x>0时f(x)的解析式,利用奇函数性质通过(-x)进行过渡,但别忽视x=0的情况.
【总结升华】
利用奇偶性求函数解析式的思路
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.
(2)利用已知区间内的解析式代入,求未知区间内的解析式.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而解出f(x).
提醒:看清是区间上的解析式还是整个R上的解析式,前者写一个,而后者则是分段函数的形式.
角度2 构造方程组求解析式
【典例2】设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+2x,求函数f(x),g(x)的解析式.
【思路导引】根据函数的奇偶性,用-x代替原式中的x,再利用方程思想分别求出f(x),g(x)的解析式.
【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由f(x)+g(x)=2x+x2.①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,所以f(x)-g(x)=-2x+x2,②
(①+②)÷2,得f(x)=x2.(①-②)÷2,得g(x)=2x.
【总结升华】
已知一奇一偶两函数之和,求这两个函数解析式的方法
已知一奇一偶两函数之和,用-x替换x.f(x),g(x)一奇一偶,可以把-x的负号或提或消,最终得到关于f(x),g(x)的二元方程组,从而解出f(x)和g(x).
【即学即练】
1.(2025·泉州中学高一月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=x2-3x-1,则当x>0时,f(x)=( )
A.-x2-3x+1 B.x2+3x-1 C.-x2+3x+1 D.x2-3x-1
【解析】选B.设x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2-3(-x)-1=x2+3x-1,
因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2+3x-1.
题型二 利用函数奇偶性、单调性比较大小
【典例3】(类题·节节高)
(1)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)【思路导引】根据偶函数的性质,把f(-2),f(π),f(-3)转化到同一个单调区间[0,+∞)上,再根据函数的单调性比较大小.
【解析】选A.因为函数f(x)为R上的偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).
又当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),
故f(π)>f(-3)>f(-2).
【总结升华】
比较大小的方法
(1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
(2)若函数f(x)为R上的奇函数,且图象连续不断,在(0,+∞)上单调递增,f(2)=4,则不等式-4A.[2,6) B.(2,6] C.[2,6] D.(2,6)
【解析】选B.因为函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=-4,
因为-4因为f(x)的图象连续不断且在(0,+∞)上单调递增,
所以-2【总结升华】
利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)【即学即练】
1.(2025·寿光中学高一月考)已知f(x)是奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是( )
A.f(-0.5)C.f(0)【解析】选B.因为函数f(x)为奇函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在R上单调递增,所以f(-1)2.(2025·梅州一中高一质检)若函数f(x)是R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,又f(-2)=0,则xf(x)<0的解集是 .
【解析】因为f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,则在(0,+∞)上也单调递增,又f(-2)=0,故f(2)=-f(-2)=0,
当x<-2或02时,f(x)>0,
故当-20,满足xf(x)<0,
当0综上,xf(x)<0的解集为(-2,0)∪(0,2).
答案:(-2,0)∪(0,2)(共29张PPT)
5.2 函数的表示方法
学习目标 育人目标
1.结合教材实例会用解析法、列表法、图象法表示函数,在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,会求函数的解析式.
2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
3.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系,并能解决有关问题. 情感价值:通过学习不同的函数表示方法,提升学生计算能力和应用数学知识解决实际问题的能力.
学科素养:数学建模、直观想象、数学运算
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.任何一个函数都可以用解析法、图象法或列表法三种形式表示吗
2.分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同,那么分段函数是一个函数还是几个函数
3.分段函数的定义域、值域是怎么规定的
【教材认知】
1.函数的表示法
2.函数三种表示法的优缺点比较
3.分段函数
(1)在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫作分段函数.
(2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集.
(3)作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象.
【教材提炼】
1.理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
2.函数的三种表示方法的选择
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确,采用图象法的前提是函数的变化规律清晰,采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少.
3.复合函数
若函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为D,值域为C,则当C A时,称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数,其中t叫做中间变量,t=g(x)叫做内层函数,y=f(t)叫做外层函数.
02
关键能力 师生共研
题型一 函数的表示方法
【典例1】已知某人1月份至6月份的月收入如下:1月份为1 000元,从2月份起每月的收入是其上一个月的2倍,分别用列表法、图象法、解析法表示该人1月份至6月份的月收入y(元)与月份序号x的函数关系,并指出该函数的定义域、值域和对应关系.
【解析】列表法:
x 1 2 3 4 5 6
y(元) 1 000 2 000 4 000 8 000 16 000 32 000
【总结升华】
应用函数三种表示方法的三个注意点
(1)解析法必须注明函数的定义域;
(2)列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系;
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
【即学即练】
将一条长为10 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试分别用解析法、图象法、列表法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系.
(3)列表法:
一段铁丝长x(cm) 1 2 3 4 5
两个正方形的面积之和S(cm2)
一段铁丝长x(cm) 6 7 8 9
两个正方形的面积之和S(cm2)
【总结升华】
求函数解析式的四种求法
(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等),可用待定系数法.
①确定所有函数问题含待定系数的一般解析式;
②根据恒等条件,列出一组含有待定系数的方程;
③解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决.
(2)换元法:主要用于解决已知f(g(x))的解析式,求函数f(x)的解析式的问题.
①先令g(x)=t,注意分析t的取值范围;
2.若函数f(x)满足f(x-1)=x2-1,则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=-x2-2x B.f(x)=-x2+2x C.f(x)=x2+2x D.f(x)=x2-2x
【解析】选C.f(x-1)=x2-1,令t=x-1,则t+1=x,
故f(t)=(1+t)2-1=t2+2t,所以f(x)=x2+2x.
3.已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=3x,则f(1)等于( )
A.-3 B.3 C.-1 D.1
【解析】选A.由f(x)+2f(-x)=3x①,
用-x代入得f(-x)+2f(x)=-3x②,
由②×2-①得,f(x)=-3x,所以f(1)=-3.
方法二:函数f(x)的图象如图所示,虚线
表示y=-1,函数f(x)图象在虚线y=-1及
以上的部分中x的取值范围即不等式
f(x)≥-1的解集.
由图可知,x的取值范围就是点A的横坐标与点B的横坐标之间的范围.
在y=2x+3中,令y=-1,得x=-2,所以点A的横坐标为-2.
在y=-(x-1)2中,令y=-1,得x=0(舍去)或x=2,所以点B的横坐标为2,
所以使不等式f(x)≥-1成立的x的取值范围是[-2,2].
【总结升华】
1.分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母取值(范围)的步骤
(1)先将字母分情况代入解析式,列出方程(不等式).
(2)解方程(不等式)求字母的值(范围),并检验是否符合字母的取值范围.
(3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求.(共16张PPT)
第2课时 函数的最大值、最小值
01
关键能力 师生共研
题型一 利用函数图象求最值
【典例1】已知函数f(x)=x2-2x+2,x∈[-5,5].
(1)画出函数的图象;
(2)求函数的最大值和最小值.
【解析】(1)因为f(x)的对称轴为直
线x=1,f(5)=17,f(-5)=37,f(1)=1.
作出函数f(x)=x2-2x+2,x∈[-5,5]的图象,
(2)由函数图象可知,f(x)在x=-5处取得
最大值,即f(x)max=f(-5)=37,在x=1处取
得最小值,即f(x)min=f(1)=1.
【总结升华】
图象法求最值的步骤
【总结升华】
闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意.
【总结升华】
已知函数最值求参数范围(值)首先要分析函数的单调性,必要的情况下利用函数图象辅助求解.
【即学即练】
1.(2025·南京一中高一质检)已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2]
【解析】选D.因为y=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以当x=1时,函数取得最小值2,
因为f(0)=f(2)=3,而函数闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,所以1≤m≤2.第2课时 函数奇偶性的应用
题型一 利用奇偶性求函数的解析式
角度1 求对称区间上的解析式
【典例1】(1)函数f(x)是R上的偶函数,且当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)= .
(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)= .
【思路导引】(1)已知x<0时f(x)的解析式,利用偶函数性质通过(-x)进行过渡;
(2)已知x>0时f(x)的解析式,利用奇函数性质通过(-x)进行过渡,但别忽视x=0的情况.
【解析】(1)设x>0,则-x<0,
所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).
因为函数f(x)为R上的偶函数,
故当x>0时,f(x)=f(-x)=x(x+1),
即x>0时,f(x)=x(x+1).
(2)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是R上的奇函数,
故f(x)=-f(-x)=2x2+3x-1,
即当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.
因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0.
综上,f(x)的解析式为
f(x)=
答案:(1)x(x+1) (2)
【总结升华】
利用奇偶性求函数解析式的思路
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.
(2)利用已知区间内的解析式代入,求未知区间内的解析式.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x),从而解出f(x).
提醒:看清是区间上的解析式还是整个R上的解析式,前者写一个,而后者则是分段函数的形式.
角度2 构造方程组求解析式
【典例2】设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+2x,求函数f(x),g(x)的解析式.
【思路导引】根据函数的奇偶性,用-x代替原式中的x,再利用方程思想分别求出f(x),g(x)的解析式.
【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由f(x)+g(x)=2x+x2.①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,
所以f(x)-g(x)=-2x+x2,②
(①+②)÷2,得f(x)=x2.(①-②)÷2,得g(x)=2x.
【总结升华】
已知一奇一偶两函数之和,求这两个函数解析式的方法
已知一奇一偶两函数之和,用-x替换x.f(x),g(x)一奇一偶,可以把-x的负号或提或消,最终得到关于f(x),g(x)的二元方程组,从而解出f(x)和g(x).
【即学即练】
1.(2025·泉州中学高一月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=x2-3x-1,则当x>0时,f(x)= ( )
A.-x2-3x+1 B.x2+3x-1
C.-x2+3x+1 D.x2-3x-1
【解析】选B.设x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2-3(-x)-1=x2+3x-1,
因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2+3x-1.
2.(2025·安庆一中高一调研)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,则函数f(x)=
,g(x)= .
【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),由f(x)+g(x)=,①,
用-x代替x,得f(-x)+g(-x)=,所以f(x)-g(x)=,②,
(①+②)÷2得f(x)=;(①-②)÷2得g(x)=.
答案:
题型二 利用函数奇偶性、单调性比较大小
【典例3】(类题·节节高)
(1)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 ( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)【思路导引】根据偶函数的性质,把f(-2),f(π),f(-3)转化到同一个单调区间[0,+∞)上,再根据函数的单调性比较大小.
【解析】选A.因为函数f(x)为R上的偶函数,
所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).
又当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,且π>3>2,
所以f(π)>f(3)>f(2),
故f(π)>f(-3)>f(-2).
(2)函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是 ( )
A.f(1)C.f()【解析】选B.因为函数f(x+2)是偶函数,
所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f()=f(),f()=f(),
又f(x)在[0,2]上单调递增,
所以f()【总结升华】
比较大小的方法
(1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
题型三 利用函数奇偶性、单调性研究不等式
【典例4】(类题·节节高)
(1)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)单调递减,若g(1-m)A.[-1,) B.(-∞,) C.(,+∞) D.[-1,
【解析】选A.因为g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时单调递减,
所以g(1-m)
-1≤m<.
(2)若函数f(x)为R上的奇函数,且图象连续不断,在(0,+∞)上单调递增,f(2)=4,则不等式-4A.[2,6) B.(2,6] C.[2,6] D.(2,6)
【解析】选B.因为函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=-4,
因为-4因为f(x)的图象连续不断且在(0,+∞)上单调递增,所以-2(3)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数且<0.若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+
f(2t2-k)<0恒成立,则k的取值范围为 .
【解析】因为f(x)是定义域为R上的奇函数,且对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
所以f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),
即f(t2-2t)又因为<0,
所以f(x)是R上的单调递减函数,
则有t2-2t>k-2t2恒成立,即3t2-2t>k恒成立,令g(t)=3t2-2t,t∈R,
则g(t)min=-,所以k<-,
所以k的取值范围是(-∞,-).
答案:(-∞,-)
(4)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,则不等式f(x2)≥4f(x)的解集为
.
【解析】根据题意,当x≥0时,f(x)=x2,
所以f(x)在[0,+∞)上为增函数,
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)在R上为增函数.
因为x2≥0,所以f(x2)=x4,f()=x4,
所以f(x2)=f(),
所以不等式f(x2)≥4f(x)可化为f()≥f(x),
所以≥x,解得x≤0或x≥2,
所以不等式f(x2)≥4f(x)的解集为(-∞,0]∪[2,+∞).
答案:(-∞,0]∪[2,+∞)
【总结升华】
利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)【即学即练】
1.(2025·寿光中学高一月考)已知f(x)是奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是 ( )
A.f(-0.5)C.f(0)【解析】选B.因为函数f(x)为奇函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在R上单调递增,所以f(-1)2.(2025·梅州一中高一质检)若函数f(x)是R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,又f(-2)=0,则xf(x)<0的解集是 .
【解析】因为f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,f(x)在(-∞,0)上单调递增,则在(0,+∞)上也单调递增,又f(-2)=0,故f(2)=-f(-2)=0,
当x<-2或02时,f(x)>0,
故当-20,满足xf(x)<0,
当0综上,xf(x)<0的解集为(-2,0)∪(0,2).
答案:(-2,0)∪(0,2)第3课时 函数的图象
题型一 作函数的图象
【典例1】画出下列函数的图象:
(1)y=x2+x,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)y=x2+x,x∈[-1,1).
【解析】(1)列表:
x -1 0 1 2 3
y 0 0 2 6 12
描点得该函数的图象如图:
(2)y=x2+x,x∈[-1,1)的图象是y=x2+x,x∈R的图象上x∈[-1,1)的一段,其中点(-1,0)在图象上,用实心点表示;点(1,2)不在图象上,用空心圈表示.
【总结升华】
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法:对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
(3)画函数的图象一定要注意定义域.
【即学即练】
作出下列函数的图象:
(1)y=2x2-4x-3(0≤x<3);
(2)y=(-2≤x<1且x≠0).
【解析】(1)图象如图(1)所示.
(2)图象如图(2)所示.
题型二 函数图象的简单应用
角度1 利用函数的图象求函数值域
【典例2】作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].
【解析】(1)列表:
x 0 2
y 1 5
当x∈[0,2]时,图象是直线y=2x+1的一部分,观察图象可知,其值域为[1,5].
(2)列表:
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=图象的一部分,观察图象可知,其值域为(0,1].
(3)列表:
x -2 -1 0 1 2
y 0 -1 0 3 8
画图象,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分.由图象可得函数的值域是[-1,8].
【总结升华】
利用函数的图象求值(或值域)的方法
利用函数的图象求值(或值域)的实质就是数形结合法的应用.求函数值时注意横坐标代入的准确性,不要混淆x与y的关系;求函数值域要注意找函数的最高点与最低点,并注意定义域的影响.
角度2 利用函数的图象比较大小
【典例3】(教材例6改编)(一题多变)
[母题]画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题.
①比较f(0),f(1),f(3)的大小;
②若x1【解析】①函数图象如图(1)所示.
可见f(0)=f(2),f(1)>f(2)>f(3),
所以f(1)>f(0)>f(3).
②如图(2)所示.
当x1[变式1]如果将[母题]中x1x2>1,试比较f(x1)与f(x2)的大小.
【解析】当x1>x2>1时,结合图象知f(x1)[变式2]如果将[母题]中x1【解析】当x1<0,1[变式3]已知f(x)=-x2+2x+3,求不等式xf(x)<0的解集.
【解析】结合图象知,当x>3时,f(x)<0,-10,
故不等式xf(x)<0的解集为{x|x>3或-1角度3 函数图象的实际应用
【典例4】(2025·安庆一中高一质检)如图为某无人机飞行时,从某时刻开始15分钟内的速度V(x)(单位:米/分钟)与时间x(单位:分钟)的关系.若定义“速度差函数”v(x)为无人机在时间段[0,x]内的最大速度与最小速度的差,则v(x)的图象为( )
【解析】选C.由题意可得,当x∈[0,6)时,无人机做匀加速运动,V(x)=60+x,“速度差函数”v(x)=x;
当x∈[6,10)时,无人机做匀速运动,V(x)=140,“速度差函数”v(x)=80;
当x∈[10,12)时,无人机做匀加速运动,V(x)=40+10x,“速度差函数”v(x)=-20+10x;
当x∈[12,15]时,无人机做匀减速运动,“速度差函数”v(x)=100,故选项C满足“速度差函数”解析式.
【总结升华】
关于函数图象的简单应用
利用函数图象上点的高低可以比较函数值的大小,函数图象很直观,在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质,依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点.
【即学即练】
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则:
(1)f(0)= ;
(2)f(-2)= ;
(3)f(f(2))= ;
(4)若-1答案:(1)4 (2)3 (3)2 (4)f(x1)≥f(x2)
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
【解析】(1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],则f(x)的值域是[-1,3].
3.(2025·无锡一中高一月考)列车从A地出发直达500 km外的B地,途中要经过离A地300 km的C地,假设列车匀速前进,5 h后从A地到达B地,则列车与C地距离y(单位:km)与行驶时间t(单位:h)的函数图象为 ( )
【解析】选C.由题可知,列车的运行速度为=100(km/h),所以列车到达C地的时间为=3(h),
故当t=3时,y=0.
题型三 函数图象的平移变换
【典例5】已知函数f(x)定义在[-2,2]上的图象如图所示,请分别画出下列函数的图象:
(1)y=f(x+1);
(2)y=f(x)+1.
【解析】(1)将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位长度可得函数y=f(x+1)的图象,函数y=f(x+1)的图象如图:
(2)将函数y=f(x)的图象向上平移一个单位长度可得函数y=f(x)+1的图象,函数y=f(x)+1的图象如图:
【总结升华】
函数图象平移的规则
(1)对于函数图象左右的平移,遵循自变量“左加右减”,即自变量加,向左平移;自变量减,向右平移.
(2)对于函数图象上下的平移,遵循函数值“上加下减”,即函数值加,向上平移;函数值减,向下平移.
【即学即练】
在初中我们学习过反比例函数y=(x≠0),能否由反比例函数的图象用平移的方法作出y=2+的图象
【解析】如图所示:第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念(一)
学习目标 育人目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 2.了解构成函数的要素,借助教材实例会判断某种关系是否为函数,是否为同一函数. 3.能求简单函数的定义域和值域. 4.会画简单函数的图象,并能借助图象解决某些简单问题. 情感价值:经历从具体到抽象、从特殊到一般,进行观察、操作、归纳等探索活动,提高学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力;体会函数的模型思想,进一步发展学生的抽象思维能力和数学应用意识. 学科素养:数学抽象、数学运算、直观想象
【问题导学】
1.函数有定义域、对应关系和值域这三要素,为什么判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系
2.对于函数f:A→B,值域一定是集合B吗 为什么
3.在函数的概念中,如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗
4.集合{x|y=f(x),x∈A},{y|y=f(x),x∈A}能表示函数的图象吗 为什么
5.函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等,那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么
【教材认知】
1.函数的定义及有关概念
(1)函数的定义:给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.
(2)函数的有关概念
在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域;
若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与之对应.所有输出值y组成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫作函数的值域.
(3)函数的三要素:定义域、对应关系和值域.
2.函数的图象
(1)定义:将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.
(2)集合表示:所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A}.
(3)本质:函数对应的图形,即几何意义.
【教材提炼】
1.函数定义的几个特性:
(1)特殊性:定义中的集合A,B必须是两个非空的数集;
(2)任意性:A中任意一个数都要考虑到;
(3)唯一性:每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应;
(4)方向性:A→B.
2.常见的函数的定义域和值域
函数 一次 函数 反比例 函数 二次函数
a>0 a<0
对应 关系 y=ax+b(a≠0) y=(k≠0) y=ax2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a≠0)
定义 域 R {x|x≠0} R R
值域 R {y|y≠0}
3.关于抽象函数的定义域的理解
(1)明确函数的定义域是自变量的取值范围,如f(x+2)的定义域为[0,3],指的是0≤x≤3,而不是0≤x+2≤3;
(2)同一对应法则实施的对象范围一样.如f(x)的定义域为[0,3],则f(x+2)的定义域由0≤x+2≤3确定.
关键能力·师生共研
题型一 函数关系的判断
角度1 由定义判断是否为函数
【典例1】(2025·泰州中学高一月考)中文“函数(function)”一词,最早是由近代数学家李善兰翻译出来的,之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”.已知集合M={-2,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应关系,请由函数定义判断,其中能构成从M到N的函数的是 ( )
A.y=2x B.y=x+3 C.y=2|x| D.y=x2-2
【解析】选C.A选项,当x=-2时,y=-4,而-4 N,故A错误;
B选项,当x=4时,y=4+3=7,而7 N,故B错误;
C选项,当x=±2时,y=4∈N,当x=1时,y=2∈N,当x=4时,y=16∈N,
故y=2|x|满足要求,C正确;
D选项,当x=1时,y=12-2=-1,而-1 N,故D错误.
【总结升华】
判断一个对应关系是否为函数的方法
①判断集合A,B是否为非空数集.
②判断集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素与之对应.
满足上述两条,则该对应关系是函数,要注意“任意性”“存在性”“唯一性”,只要一个不满足便不能构成函数.
角度2 从图象判断是否为函数关系
【典例2】下列图形中不是函数图象的是 ( )
【解析】选A.A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,其余B,C,D均符合函数定义.
【总结升华】
从图象角度判断函数关系的方法
首先看定义域和值域的范围,其次看是否满足一个x值对应一个y值,或者是多个x值对应一个y值.
【即学即练】
1.下列是从集合A到集合B的函数的是 ( )
A.A=B=N*,对应关系f:x→y=|x-3|
B.A=R,B={0,1},对应关系f:x→y=
C.A=B=R,对应关系f:x→y=±
D.A=Z,B=Q,对应关系f:x→y=
【解析】选B.A:当x=3时,y=|x-3|=0,但0 N*,所以集合A中的一个元素在集合B中没有元素和它对应,不是函数,故A错误;
B:集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应,是函数,故B正确;
C:集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应,不是函数,故C错误;
D:集合A中元素为0时,其倒数不存在,所以在集合B中无对应元素,不是函数,故D错误.
2.下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象的是 ( )
【分析】根据函数中每一个自变量有且只有唯一函数值与之对应,结合函数图象判断符合函数定义的图象即可.
【解析】选C.由函数定义:定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应,
A,B,D选项中的图象都符合;C选项中对于大于零的x而言,有两个不同的函数值与之对应,不符合函数定义.
题型二 求函数的定义域
【典例3】(教材例2提升)求下列函数的定义域:
(1)y=++ln(5-x);
(2)y=;
(3)y=·+(x-1)0;
(4)y=.
【解析】(1)因为y=++ln(5-x),所以解得2≤x<3或3所以函数y=++ln(5-x)的定义域为[2,3)∪(3,5).
(2)因为y=,所以
解得-所以函数y=的定义域为(-,6].
(3)因为y=·+(x-1)0,
所以解得-2≤x<1或1所以函数y=·+(x-1)0的定义域为[-2,1)∪(1,5].
(4)因为y=,所以-x2+3x-2≥0,解得1≤x≤2,
所以函数y=的定义域为[1,2].
【总结升华】
关于函数定义域的求法
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几部分构成的,那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合,也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.
(5)如果f(x)是根据实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
提醒:定义域必须用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应用并集符号“∪”连接.
【即学即练】
1.函数f(x)=+(x-2)0的定义域为 ( )
A.(,+∞) B.(,2)∪(2,+∞)
C.[,2)∪(2,+∞) D.[-,+∞)
【解析】选B.由已知得
解得x>且x≠2,
所以函数f(x)=+(x-2)0的定义域为(,2)∪(2,+∞).
2.一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为h=130t-5t2.该函数的定义域为 .
【解析】由题意可知,炮弹发射后共飞行了26 s,
所以0≤t≤26,即函数h=130t-5t2的定义域为[0,26].
答案:[0,26]
题型三 求简单函数的值域
【典例4】求下列函数的值域:
(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y=x2-4x+6,x∈{x|1≤x<5};
(3)y=;
(4)y=x+.
【解析】(1)x∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{3,5,7,9,11}.
(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,因为x∈{x|1≤x<5},如图所示,所以函数y的值域为{y|2≤y<11}.
(3)y==3-(x≠-1),
显然可取到0以外的一切实数,
即函数y的值域为{y|y∈R且y≠3}.
(4)设u=(x≥0),则x=u2(u≥0),
y=u2+u=(u+)2-(u≥0).
由u≥0,可知(u+)2≥,所以y≥0,
所以函数y=x+的值域为{y|y≥0}.
【总结升华】
关于函数值域的求法
(1)若函数的定义域是列举法给出的集合,则将x的值一一代入函数的解析式,求出函数值即可得到值域;
(2)对于一元二次函数则采用配方法或图象法;
(3)符合基本不等式条件的函数式,则采用基本不等式法,注意等号成立的条件.
【即学即练】
下列函数中,值域为(0,+∞)的是 ( )
A.y= B.y= C.y= D.y=x2-x+1
【解析】选B.对于A,y=≥0,则其值域为[0,+∞),A错误;
对于B,y=>0,则其值域为(0,+∞),B正确;
对于C,y=≠0,则其值域为(-∞,0)∪(0,+∞),C错误;
对于D,y=x2-x+1=(x-)2+≥,则其值域为[,+∞),D错误.第2课时 函数的最大值、最小值
题型一 利用函数图象求最值
【典例1】已知函数f(x)=x2-2x+2,x∈[-5,5].
(1)画出函数的图象;
(2)求函数的最大值和最小值.
【解析】(1)因为f(x)的对称轴为直线x=1,f(5)=17,f(-5)=37,f(1)=1.
作出函数f(x)=x2-2x+2,x∈[-5,5]的图象,
(2)由函数图象可知,f(x)在x=-5处取得最大值,即f(x)max=f(-5)=37,在x=1处取得最小值,即f(x)min=f(1)=1.
【总结升华】
图象法求最值的步骤
【即学即练】
1.已知函数f(x)=则f(x)的最大值为 .
【解析】f(x)的图象如图:
则f(x)的最大值为f(2)=2.
答案:2
2.画出函数y=-x(|x-2|-2),x∈[-1,5]的图象,并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值.
【解析】原函数化为y=在平面直角坐标系内作出其图象,如图.
观察图象得,函数y=-x(|x-2|-2)的减区间是[-1,0],[2,5],增区间是(0,2),
当x=2时,ymax=4,
当x=5时,ymin=-5,
所以原函数最大值为4,最小值为-5.
题型二 利用函数单调性求最值
【典例2】(2025·镇江中学高一月考)已知函数f(x)=,且f(1)=2.
(1)求a的值.
(2)用定义证明函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
(3)求函数f(x)在区间[3,6]上的最大值和最小值.
【解析】(1)由题意知函数f(x)=,且f(1)=2,故=2,则a=1.
(2)由(1)知f(x)==x+,任取x1,x2∈(1,+∞)且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=x1-x2+=(x1-x2)(1-),
因为x1,x2∈(1,+∞)且x11,0<<1,则1->0,
所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-)<0,即f(x1)所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
(3)函数f(x)在[3,6]上单调递增,所以f(x)max=f(6)=,f(x)min=f(3)=,
所以函数f(x)在区间[3,6]上的最大值为,最小值为.
【总结升华】
闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意.
【即学即练】
已知函数f(x)=x-,则f(x)在[1,4]上的最大值为 ,最小值为 .
【解析】设1≤x1因为0≤x10,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(4)=4-=,最小值为f(1)=1-=0.
答案: 0
题型三 函数最值的简单应用
角度1 已知函数最值求参数范围
【典例3】函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,求m的取值范围.
【解析】y==-1+,
因为x∈(m,n],所以-1 (m,n],
若m≥-1,则y=-1+在(m,n]上单调递减,
故y=-1+的最小值为-1+=0,
解得n=2,故-1≤m<2.
若n<-1,则y=-1+在(m,n]上单调递减,
故y=-1+的最小值为-1+=0,解得n=2,矛盾.
综上,m的取值范围为[-1,2).
【总结升华】
已知函数最值求参数范围(值)首先要分析函数的单调性,必要的情况下利用函数图象辅助求解.
角度2 利用函数最值证明不等式恒(能)成立
【典例4】(2025·宁德一中高一月考)已知函数f(x)=2x+.
(1)试判断函数f(x)在区间(0,上的单调性,并用函数单调性定义证明;
(2)对任意x∈(0,]时,f(x)≥2-m都成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)=2x+在区间(0,上单调递减,设0f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+(-)=2(x1-x2)-=(x1-x2)(2-)=(x1-x2)(),
因为00,
所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x)=2x+在区间(0,上单调递减;
(2)由(1)可知f(x)在(0,]上单调递减,
所以当x=时,f(x)取得最小值,即f(x)min=f()=2,
对任意x∈(0,时,f(x)≥2-m都成立,只需f(x)min≥2-m成立,
所以2≥2-m,解得m≥0.
故实数m的取值范围是[0,+∞).
【总结升华】
不等式恒(能)成立问题,一般可以采用分离参数法、构造函数法后求函数最值来解决.
【即学即练】
1.(2025·南京一中高一质检)已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是 ( )
A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2]
【解析】选D.因为y=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以当x=1时,函数取得最小值2,
因为f(0)=f(2)=3,而函数闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,所以1≤m≤2.
2.(2025·福州一中高一质检)若关于x的不等式x2-ax+2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-∞,3) D.(-∞,)
【解析】选D.关于x的不等式x2-ax+2>0在区间[1,5]上有解,所以ax<2+x2在x∈[1,5]上有解,
即a<+x在x∈[1,5]上能成立,所以a<(+x)max,设函数f(x)=+x,x∈[1,5],
因为函数f(x)在区间[1,)上单调递减,在区间[,5]上是单调递增,
又f(1)=3,f()=2,f(5)=,所以当x=5时,函数f(x)取最大值,最大值为,
即a的取值范围是(-∞,).第2课时 函数的概念(二)
题型一 对应关系的应用
【典例1】(2025·泉州中学高一月考)已知函数f(x)=.
(1)求f(2)+f(),f(3)+f()的值;
(2)求证:f(x)+f()是定值;
(3)求f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 025)+f()的值.
【解析】(1)因为f(x)=,
所以f(2)+f()=+=1,f(3)+f()=+=1.
(2)f(x)+f()=+=+==1.
(3)由(2)知f(x)+f()=1,
所以f(2)+f()=1,f(3)+f()=1,f(4)+f()=1,…,f(2 025)+f()=1,
所以f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 025)+f()=2 024.
【总结升华】
函数三要素的理解
(1)函数的定义域即集合A,在坐标系中是横坐标x的取值范围.
(2)函数的值域并不是集合B,是函数值的集合{f(x)|x∈A},在坐标系中是纵坐标的取值范围.
(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法,通过这种运算对应得到唯一的函数值y.
【即学即练】
1.已知函数f(x)=2x-4,若f(2a2-1)=10,则a的值等于 ( )
A.2 B.-2 C.±2 D.±4
【解析】选C.函数f(x)=2x-4,由f(2a2-1)=10,得2(2a2-1)-4=10,则a2=4,解得a=±2.
2.已知函数f(x),g(x)分别由表给出
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则方程g(f(x))=3的解集为 .
【解析】根据题意,若方程g(f(x))=3,必有f(x)=1,则有x=1或3,即方程g(f(x))=3的解集为{1,3}.
答案:{1,3}
题型二 判断同一函数
【典例2】(教材习题5.1T4改编)下列各组函数,是同一个函数的是 ( )
A.f(x)=x+1,g(x)=+1 B.f(x)=x,u=
C.f(x)=1,g(x)=(x-1)0 D.f(x)=m=|n|
【解析】选D.对于A,函数f(x)=x+1(x∈R),与g(x)=+1=x+1(x≠0)的定义域不同,不是同一个函数;对于B,函数f(x)=x(x∈R),与u==|v|(v∈R)的对应关系不同,不是同一个函数;
对于C,函数f(x)=1(x∈R),与g(x)=(x-1)0=1(x≠1)的定义域不同,不是同一个函数;
对于D,函数f(x)==|x|(x∈R),与m=|n|(n∈R)的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数.
【总结升华】
判断函数是否是同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)三个步骤:
(2)两个注意点:
①在化简解析式时,必须是等价变形;
②与用哪个字母表示变量无关.
【即学即练】
(多选)(2025·济宁一中高一月考)下列各对函数中是同一个函数的是 ( )
A.f(x)=2x-1与g(x)=2x-x0
B.f(x)=与g(x)=|2x+1|
C.f(n)=2n+2(n∈Z)与g(n)=2n(n∈Z)
D.f(x)=3x+2与g(t)=3t+2
【解析】选BD.函数g(x)=2x-x0=2x-1,函数g(x)的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不是同一个函数,故排除A;
f(x)==|2x+1|与g(x)=|2x+1|的定义域和对应关系相同,是同一个函数;
f(n)=2n+2(n∈Z)与g(n)=2n(n∈Z)的对应关系不相同,不是同一个函数,故排除C;
f(x)=3x+2与g(t)=3t+2的定义域和对应关系相同,是同一个函数.
题型三 简单的抽象函数
角度1 定义域问题
【典例3】(易错·对对碰)
(1)若函数y=f(x)的定义域是[-1,3],则f(2x+1)的定义域为 .
【解析】令-1≤2x+1≤3,解得-1≤x≤1,所以f(2x+1)的定义域为[-1,1].
答案:[-1,1]
(2)若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域为 .
【解析】函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则-2≤x≤4,-6≤3x≤12,
所以-5≤3x+1≤13,
所以函数y=f(x)的定义域是[-5,13].
答案:[-5,13]
【总结升华】
抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上的范围(值域)即定义域.
(3)已知f(g(x))的定义域为[e,f],求f(h(x))的定义域时,先求出g(x)在[e,f]上的范围(值域)[m,n],再解m≤h(x)≤n的解集即为所求定义域.
角度2 求值问题
【典例4】f(x)是定义在R上的函数,f(0)=2,且对任意x∈R,满足f(x+2)-f(x)≤2,f(x+6)-f(x)≥6,则
f(2 026)= ( )
A.2 025 B.2 026 C.2 027 D.2 028
【解析】选D.因为f(x+2)-f(x)≤2,
所以f(x+4)-f(x+2)≤2,
所以f(x+6)-f(x+4)≤2,
三式相加得:f(x+6)-f(x)≤6,
又f(x+6)-f(x)≥6,
则f(x+6)-f(x)=6,当且仅当f(x+2)-f(x)=2时等号成立,
f(2 026)=[f(2 026)-f(2 024)]+[f(2 024)-f(2 022)]+…+[f(2)-f(0)]+f(0)=1 013×2+2=2 028.
【总结升华】
抽象函数的求值问题一般采用赋值法.赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量,它是解决抽象函数问题的常用策略.常见的赋值方式有两种:①赋具体值,常选择-1,1,0进行赋值;②选择具有对偶关系的两个量进行赋值,如x和(相乘为1)或x和-x(相加为0)进行赋值.
【即学即练】
1.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],则函数y=f(2x2-1)的定义域为 ( )
A.[0,3] B.[-3,3] C.[-,] D.[-3,0]
【解析】选C.因为函数y=f(x)的定义域为[-1,5],所以-1≤2x2-1≤5,即0≤x2≤3,解得-≤x≤,
所以函数y=f(2x2-1)的定义域为[-,].
2.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],则y=f(x)的定义域是 ( )
A. B.[-3,3] C.[-1,5] D.以上都不对
【解析】选B.函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],即-1≤x≤2,
所以-4≤-2x≤2,所以-3≤-2x+1≤3,
所以y=f(x)的定义域是[-3,3].
3.函数f(x)的定义域为R,若f(x+y)=f(x)+f(y),f(8)=3,则f(2)= ( )
A.1 B. C. D.
【解析】选C.f(x+y)=f(x)+f(y),f(8)=3,
令x=y=4,则f(8)=f(4)+f(4)=3,所以f(4)=,令x=y=2,f(4)=f(2)+f(2)=,所以f(2)=.(共24张PPT)
第3课时 函数的图象
01
关键能力 师生共研
题型一 作函数的图象
【典例1】画出下列函数的图象:
(1)y=x2+x,x∈{-1,0,1,2,3};
(2)y=x2+x,x∈[-1,1).
【解析】(1)列表:
描点得该函数的图象如图:
x -1 0 1 2 3
y 0 0 2 6 12
(2)y=x2+x,x∈[-1,1)的图象是y=x2+x,x∈R的图象上x∈[-1,1)的一段,其中点(-1,0)在图象上,用实心点表示;点(1,2)不在图象上,用空心圈表示.
【总结升华】
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法:对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
(3)画函数的图象一定要注意定义域.
【解析】(1)列表:
当x∈[0,2]时,图象是直线y=2x+1的一部分,观察图象可知,其值域为[1,5].
x 0 2
y 1 5
x 2 3 4 5 …
y 1 …
(3)列表:
画图象,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分.由图象可得函数的值域是[-1,8].
x -2 -1 0 1 2
y 0 -1 0 3 8
【总结升华】
利用函数的图象求值(或值域)的方法
利用函数的图象求值(或值域)的实质就是数形结合法的应用.求函数值时注意横坐标代入的准确性,不要混淆x与y的关系;求函数值域要注意找函数的最高点与最低点,并注意定义域的影响.
角度2 利用函数的图象比较大小
【典例3】(教材例6改编)(一题多变)
[母题]画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题.
①比较f(0),f(1),f(3)的大小;
②若x1【解析】①函数图象如图(1)所示.
可见f(0)=f(2),f(1)>f(2)>f(3),
所以f(1)>f(0)>f(3).
②如图(2)所示.
当x1[变式1]如果将[母题]中x1x2>1,试比较f(x1)与f(x2)的大小.
【解析】当x1>x2>1时,结合图象知f(x1)[变式2]如果将[母题]中x1【解析】当x1<0,1[变式3]已知f(x)=-x2+2x+3,求不等式xf(x)<0的解集.
【解析】结合图象知,当x>3时,f(x)<0,-10,
故不等式xf(x)<0的解集为{x|x>3或-1角度3 函数图象的实际应用
【典例4】(2025·安庆一中高一质检)如图为某
无人机飞行时,从某时刻开始15分钟内的速
度V(x)(单位:米/分钟)与时间x(单位:分钟)的
关系.若定义“速度差函数”v(x)为无人机在
时间段[0,x]内的最大速度与最小速度的差,则v(x)的图象为( )
【总结升华】
关于函数图象的简单应用
利用函数图象上点的高低可以比较函数值的大小,函数图象很直观,在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质,依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点.
【即学即练】
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则:
(1)f(0)= ;
(2)f(-2)= ;
(3)f(f(2))= ;
(4)若-1的大小关系为 .
答案:(1)4 (2)3 (3)2 (4)f(x1)≥f(x2)
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
【解析】(1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上
所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],
则f(x)的值域是[-1,3].
题型三 函数图象的平移变换
【典例5】已知函数f(x)定义在[-2,2]上的图象如图所示,请分别画出下列函数的图象:
(1)y=f(x+1);
(2)y=f(x)+1.
【解析】(1)将函数y=f(x)的图象向左平移一个单位长度可得函数y=f(x+1)的图象,函数y=f(x+1)的图象如图:
(2)将函数y=f(x)的图象向上平移一个单位长度可得函数y=f(x)+1的图象,函数y=f(x)+1的图象如图:
【总结升华】
函数图象平移的规则
(1)对于函数图象左右的平移,遵循自变量“左加右减”,即自变量加,向左平移;自变量减,向右平移.
(2)对于函数图象上下的平移,遵循函数值“上加下减”,即函数值加,向上平移;函数值减,向下平移.5.3 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
学习目标 育人目标
1.借助教材实例理解函数单调性的定义及相关的概念. 2.借助教材实例理解函数最大(小)值的定义. 3.会用单调性的定义证明函数的单调性. 4.会利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 情感价值:通过图象抽象出函数单调性的相关概念,提高学生对已知现象的概括归纳能力和数形结合能力;通过单调性的证明,提升学生的推理论证能力;通过应用单调性确定函数的最值,提升学生的运算求解能力和应用能力. 学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算
【问题导学】
1.函数单调性的定义中,能否将“任意”改为“存在”
2.函数y=f(x)在定义域内的每一个区间D1,D2,…上都单调递减,那么函数在定义域上是减函数吗 你能举例说明吗
3.“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的意义相同吗 区别是什么
4.任何函数都有最大(小)值吗
【教材认知】
1.增函数与减函数的定义
函数 增函数 减函数
图示
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1都有f(x1)f(x2)
结论 (1)y=f(x)在区间I上单调递增 (2)I称为y=f(x)的增区间 (3)当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称f(x)是增函数 (1)y=f(x)在区间I上单调递减 (2)I称为y=f(x)的减区间 (3)当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称f(x)是减函数
2.单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上是单调递增或单调递减,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.
3.函数的最大(小)值
名称 定义 几何意义
函数的 最大值 设y=f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0). 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标
函数的 最小值 设y=f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0). 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标
4.函数的最值和值域的区别
(1)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;
(2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素;
(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.
【教材提炼】
1.单调性定义的等价形式
(1)函数f(x)在区间[a,b]上单调递增
任取x1,x2∈[a,b],且x1 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,>0
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;
(2)函数f(x)在区间[a,b]上单调递减
任取x1,x2∈[a,b],且x10
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,<0
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,<0.
2.函数单调性的性质
若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性,则在区间D上具有以下性质:
(1)f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
(2)f(x)与-f(x)的单调性相反.
(3)当a>0时,af(x)与f(x)单调性相同;当a<0时,af(x)与f(x)单调性相反.
(4)若f(x)≥0,则f(x)与具有相同的单调性.
(5)若f(x)恒为正值或恒为负值,则当a>0时,f(x)与具有相反的单调性;
当a<0时,f(x)与具有相同的单调性.
3.复合函数的单调性(同增异减)
一般地,对于复合函数y=f(g(x)),单调性如表所示,简记为“定义域优先,同增异减”,即内层函数与外层函数单调性相同时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数单调性不同时,复合函数为减函数:
y=f(g(x)):令t=g(x)和y=f(t)
t=g(x) y=f(t) y=f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
关键能力·师生共研
题型一 利用定义证明函数的单调性
【典例1】根据定义,研究函数f(x)=在x∈(-1,1)上的单调性.
【解析】当a=0时,f(x)=0,在(-1,1)上不具有单调性.
当a≠0时,设x1,x2为(-1,1)上的任意两个数,且x1所以f(x1)-f(x2)=-==,
因为x1,x2∈(-1,1)且x1所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,
所以>0,
当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)综上,当a=0时,f(x)在(-1,1)上不具有单调性;
当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.
【总结升华】
利用定义证明函数单调性的步骤
【即学即练】
已知函数f(x)=2x2+(x≠0,a∈R),用单调性的定义证明f(x)在[2,+∞)上单调递增.
【证明】任取x1,x2∈[2,+∞),且x1则f(x2)-f(x1)=(2+)-(2+)
=2(x2-x1)(x2+x1)+
=.
因为2≤x10,x1x2>4,
2x1x2(x1+x2)-1>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).
所以f(x)在[2,+∞)上单调递增.
题型二 求函数的单调区间
【典例2】(教材例1改编)
(1)函数f(x)=的减区间为 .
【解析】由2x2-7x+3≥0得x≤或x≥3,
即f(x)的定义域为(-∞,∪[3,+∞),
而y=2x2-7x+3在(-∞,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
由复合函数单调性得,f(x)的减区间为.
答案:
(2)已知函数f(x)=|x|(x-2).
①画出函数图象;
②结合图象写出函数的增区间和减区间.
【解析】①因为f(x)=|x|(x-2)=,
所以该函数的图象如图所示:
②由①中的函数图象可知,该函数的增区间为(-∞,0)和(1,+∞),减区间为(0,1).
【总结升华】
1.函数单调区间的两种求法
(1)图象法.即先画出图象,根据图象求单调区间.
(2)定义法.即先求出定义域,再利用定义进行判断求解.
2.函数单调区间的注意事项
函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示;在单调区间D上函数要么单调递增,要么单调递减,不能二者兼有.
【即学即练】
(2025·常州中学高一月考)已知f(x)=x2+2|x|+3,则函数f(x)的增区间为 .
【解析】f(x)=x2+2|x|+3=,画出函数图象,
结合图象得函数f(x)的增区间为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
题型三 函数单调性的简单应用
角度1 已知函数单调性求参数范围
【典例3】(类题·节节高)
(1)若函数f(x)=-x2+2ax-2的减区间为[3,+∞),则实数a的值是 .
【解析】函数f(x)=-x2+2ax-2为二次函数,图象开口向下,其对称轴为直线x=a,则f(x)的减区间为[a,+∞),则a=3.
答案:3
(2)若函数f(x)=-x2+2ax-2在(3,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,3] B.(-∞,1) C.[3,+∞) D.(-∞,3)
【解析】选A.函数f(x)=-x2+2ax-2为二次函数,对称轴为直线x=a,且二次函数图象开口向下,则f(x)的增区间为(-∞,a),减区间为(a,+∞),故若函数f(x)=-x2+2ax-2在(3,+∞)上单调递减,则a≤3.
(3)若函数f(x)=在区间(a,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,-24)∪(1,+∞) D.(-∞,1)∪(1,+∞)
【解析】选A.由题设可得f(x)=a2+,因为函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递减,
所以,故a>1.
(4)已知函数f(x)=是增函数,则实数a的取值范围是 .
【解析】因为函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,
当a=0时,f(x)=此时不是增函数,舍去.
又函数y=ax2-ax-1的对称轴为x=1,
所以解得-≤a<0.
即a的取值范围是.
答案:
【总结升华】
与二次函数单调性相关的参数问题
(1)若已知函数的单调区间,则对称轴即区间端点;
(2)若已知函数在某区间上的单调性,则该区间是函数相关区间的子区间,利用端点关系求范围.
(3)对于含参数的分段函数的单调性问题,要特别注意端点连接处函数值的大小关系.
角度2 利用单调性解不等式
【典例4】已知函数f(x)=-x|x|,则不等式f(1-m)A.(-2,1) B.(0,1)
C.(-2,1] D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【思路导引】将f(x)化为分段函数,判断其单调性,再利用单调性将不等式f(1-m)【解析】选A.因为f(x)=-x|x|=在(-∞,+∞)上为减函数,
所以f(1-m)m2-1
m2+m-2<0 -2【总结升华】
利用单调性解不等式问题的方法
利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,要注意函数的定义域.
角度3 比较大小
【典例5】(2025·合肥一中高一质检)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①函数y=f(x)的图象关于x=1轴对称,②y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,则f(0),f(),f(3)的大小关系为 ( )
A.f()>f(0)>f(3) B.f(3)>f(0)>f()
C.f()>f(3)>f(0) D.f(3)>f()>f(0)
【解析】选B.由函数y=f(x)的图象关于x=1轴对称,则f()=f(),f(3)=f(-1),
又函数y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,所以f(-1)>f(0)>f(),
即f(3)>f(0)>f().
【总结升华】
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
【即学即练】
1.函数f(x)在定义域[0,+∞)上是减函数,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.[2,3) D.[0,3)
【解析】选C.函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(2)=-1,所以由f(2x-4)>-1得,f(2x-4)>f(2),
所以0≤2x-4<2,解得2≤x<3,所以满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是[2,3).
2.(2025·苏州中学高一月考)已知函数f(x)在区间(0,5)上单调递减,且f(x+5)=f(-x+5),则 ( )
A.f(8)>f(3)>f(4) B.f(3)>f(8)>f(4)
C.f(3)>f(4)>f(8) D.f(4)>f(3)>f(8)
【解析】选A.因为f(x+5)=f(-x+5),所以f(8)=f(3+5)=f(-3+5)=f(2).
因为f(x)在区间(0,5)上单调递减,所以f(2)>f(3)>f(4),即f(8)>f(3)>f(4).
3.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是
.
【解析】根据题意,函数f(x)=是R上的减函数,必有≥1,且a-4<0,且1-(a+1)+7≥(a-4)+5,解得1≤a≤3,即实数a的取值范围为[1,3].
答案:[1,3](共29张PPT)
5.3 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
学习目标 育人目标
1.借助教材实例理解函数单调性的定义及相关的概念.
2.借助教材实例理解函数最大(小)值的定义.
3.会用单调性的定义证明函数的单调性.
4.会利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 情感价值:通过图象抽象出函数单调性的相关概念,提高学生对已知现象的概括归纳能力和数形结合能力;通过单调性的证明,提升学生的推理论证能力;通过应用单调性确定函数的最值,提升学生的运算求解能力和应用能力.
学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算
01
必备知识 自主导学
【问题导学】
1.函数单调性的定义中,能否将“任意”改为“存在”
2.函数y=f(x)在定义域内的每一个区间D1,D2,…上都单调递减,那么函数在定义域上是减函数吗 你能举例说明吗
3.“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的意义相同吗 区别是什么
4.任何函数都有最大(小)值吗
【教材认知】
1.增函数与减函数的定义
函数 增函数 减函数
图示
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1都有__________ 都有__________
f(x1)f(x1)>f(x2)
2.单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上是单调递增或单调递减,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.
函数 增函数 减函数
结论 (1)y=f(x)在区间I上_________
(2)I称为y=f(x)的增区间
(3)当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称f(x)是增函数 (1)y=f(x)在区间I上_________
(2)I称为y=f(x)的减区间
(3)当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称f(x)是减函数
单调递增
单调递减
3.函数的最大(小)值
名称 定义 几何意义
函数的
最大值 设y=f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A,使得
对于任意的x∈A,都有_________,那么称f(x0)
为y=f(x)的最大值,记为_________. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标
函数的
最小值 设y=f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A,使得
对于任意的x∈A,都有_________,那么称
f(x0) 为y=f(x)的最小值,记为_________. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标
f(x)≤f(x0)
ymax=f(x0)
f(x)≥f(x0)
ymin=f(x0)
4.函数的最值和值域的区别
(1)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;
(2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素;
(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.
3.复合函数的单调性(同增异减)
一般地,对于复合函数y=f(g(x)),单调性如表所示,简记为“定义域优先,同增异减”,即内层函数与外层函数单调性相同时,复合函数为增函数;内层函数与外层函数单调性不同时,复合函数为减函数:
y=f(g(x)):令t=g(x)和y=f(t)
t=g(x) y=f(t) y=f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
02
关键能力 师生共研
【总结升华】
利用定义证明函数单调性的步骤
【总结升华】
1.函数单调区间的两种求法
(1)图象法.即先画出图象,根据图象求单调区间.
(2)定义法.即先求出定义域,再利用定义进行判断求解.
2.函数单调区间的注意事项
函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示;在单调区间D上函数要么单调递增,要么单调递减,不能二者兼有.
题型三 函数单调性的简单应用
角度1 已知函数单调性求参数范围
【典例3】(类题·节节高)
(1)若函数f(x)=-x2+2ax-2的减区间为[3,+∞),则实数a的值是 .
【解析】函数f(x)=-x2+2ax-2为二次函数,图象开口向下,其对称轴为直线x=a,则f(x)的减区间为[a,+∞),则a=3.
答案:3
【总结升华】
与二次函数单调性相关的参数问题
(1)若已知函数的单调区间,则对称轴即区间端点;
(2)若已知函数在某区间上的单调性,则该区间是函数相关区间的子区间,利用端点关系求范围.
(3)对于含参数的分段函数的单调性问题,要特别注意端点连接处函数值的大小关系.
【总结升华】
利用单调性解不等式问题的方法
利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,要注意函数的定义域.
【总结升华】
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
【即学即练】
1.函数f(x)在定义域[0,+∞)上是减函数,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.[2,3) D.[0,3)
【解析】选C.函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(2)=-1,所以由f(2x-4)>-1得,f(2x-4)>f(2), 所以0≤2x-4<2,解得2≤x<3,
所以满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是[2,3).
2.(2025·苏州中学高一月考)已知函数f(x)在区间(0,5)上单调递减,且f(x+5)=f(-x+5),则 ( )
A.f(8)>f(3)>f(4) B.f(3)>f(8)>f(4) C.f(3)>f(4)>f(8) D.f(4)>f(3)>f(8)
【解析】选A.因为f(x+5)=f(-x+5),
所以f(8)=f(3+5)=f(-3+5)=f(2).
因为f(x)在区间(0,5)上单调递减,
所以f(2)>f(3)>f(4),即f(8)>f(3)>f(4).
