华师大版八年级数学上册单元测试第14章勾股定理（解析版）

第14章
勾股定理
　
一、选择题（共10小题）
1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．25
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（　　）
A．﹣1
B．
+1
C．﹣1
D．
+1
3．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（　　）
A．1
B．
C．
D．2
4．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）
A．4.8
B．4.8或3.8
C．3.8
D．5
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=9
( http: / / www.21cnjy.com )0°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=8，AD=4，则图中长为4的线段有（　　）
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
( http: / / www.21cnjy.com )DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）
A．2
B．
C．2
D．
7．在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC中，BC=AC，D、E两
( http: / / www.21cnjy.com )点分别在BC与AC上，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于F点．若AD=4，CD=3，则关于∠FBD、∠FCD、∠FCE的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．∠FBD＞∠FCD
B．∠FBD＜∠FCD
C．∠FCE＞∠FCD
D．∠FCE＜∠FCD
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（　　）
A．
B．
+1
C．
+2
D．
+3
10．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（共15小题）
11．如图，在△ABC中，
( http: / / www.21cnjy.com )AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　　．
12．在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为　　cm2．
13．如图，四边形ABCD为矩形，过点
( http: / / www.21cnjy.com )D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则x2+（y﹣4）2的值为　　．
14．正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点．若△PBE是等腰三角形，则腰长为　　．
15．如图，在一张长为7cm，宽为
( http: / / www.21cnjy.com )5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为　　．
16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于　　．
17．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是　　cm．
18．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　　．
19．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于　　
cm．
20．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，则AB=　　cm．
21．如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=，AD=，CD=13，则线段AC的长为　　．
22．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为　　．
23．如图，在Rt△ABC中，∠A
( http: / / www.21cnjy.com )CB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是　　．
24．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6
( http: / / www.21cnjy.com )）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为　　．
25．如图，在△ABC中，
( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为　　．
　
三、解答题（共5小题）
26．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2+2，求AB．
27．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．
（1）求DB的长；
（2）在△ABC中，求BC边上高的长．
28．在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．
29．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1=　　；sin2A2+sin2B2=　　；sin2A3+sin2B3=　　．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=　　．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．
30．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若=，求cos∠ABC的值．
　
第14章
勾股定理
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题）
1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．25
【考点】勾股定理．
【专题】网格型．
【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．
【解答】解：如图所示：
AB==5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．
　
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（　　）
A．﹣1
B．
+1
C．﹣1
D．
+1
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD判断出DB=DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．
【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠DAB，
∴DB=DA=，
在Rt△ADC中，
DC===1；
∴BC=+1．
故选D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题．
　
3．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（　　）
A．1
B．
C．
D．2
【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．
【分析】本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接EC．
∵FC垂直平分BE，
∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）
又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，
故EC=2，
利用勾股定理可得AB=CD==．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解．本题难度中等．
　
4．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）
A．4.8
B．4.8或3.8
C．3.8
D．5
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】动点型．
【分析】过A点作AF⊥B
( http: / / www.21cnjy.com )C于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得SABC=SABP+SACP，代入数值，解答出即可．
【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，
∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，
∴BF=4，
∴△ABF中，AF==3，
∴×8×3=×5×PD+×5×PE，
12=×5×（PD+PE）
PD+PE=4.8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
　
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=
( http: / / www.21cnjy.com )90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=8，AD=4，则图中长为4的线段有（　　）
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
【考点】勾股定理；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出BE=EC，再利用全等三角形的判定与性质得出AB=BE，进而得出答案．
【解答】解：∵∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足，
∴AD=DE=4，BE=EC，
∵DC=8，AD=4，
∴BE=EC=4，
在△ABD和△EBD中
，
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AB=BE=4，
∴图中长为4的线段有3条．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出BE=AB是解题关键．
　
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥B
( http: / / www.21cnjy.com )C，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）
A．2
B．
C．2
D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线
( http: / / www.21cnjy.com )的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，
又∵点G为AF的中点，
∴DG=AG，
∴∠GAD=∠GDA，
∴∠CGD=2∠CAD，
∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，
∴∠ACD=∠CGD，
∴CD=DG=3，
在Rt△CED中，DE==2．
故选：C．
【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．
　
7．在边长为正整数的△ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1：2的两部分，则△ABC面积的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理；三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】设这个等腰三角形的腰为x，底为y
( http: / / www.21cnjy.com )，分为的两部分边长分别为n和2n，再根据题意列出关于x、n、y的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的x、y的值，由n是正整数求出△ABC面积的最小值即可．
【解答】解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得
或，
解得或，
∵2×＜（此时不能构成三角形，舍去）
∴取，其中n是3的倍数
∴三角形的面积S△=××=n2，对于S△=n2=n2，
当n＞0时，S△随着n的增大而增大，故当n=3时，S△=取最小．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的面积及三角形的三边关系，根据题意列出关于x、n、y的方程组是解答此题的关键．
　
8．如图，△ABC中，BC=AC，D
( http: / / www.21cnjy.com )、E两点分别在BC与AC上，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于F点．若AD=4，CD=3，则关于∠FBD、∠FCD、∠FCE的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．∠FBD＞∠FCD
B．∠FBD＜∠FCD
C．∠FCE＞∠FCD
D．∠FCE＜∠FCD
【考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性．
【分析】利用勾股定理列式求出AC，即为
( http: / / www.21cnjy.com )BC的长度，然后求出BD，再根据∠FBD和∠FCD的正切值判断两个角的大小即可；根据三角形的高线的性质可得FC⊥AB，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠FCE=∠FCD．
【解答】解：∵AD⊥BC，AD=4，CD=3，
∴AC===5，
∴BC=AC=5，
BD=BC﹣CD=5﹣3=2，
∵tan∠FBD=，
tan∠FCD=，
∴tan∠FBD＞tan∠FCD，
∴∠FBD＞∠FCD，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴FC⊥AB（三角形的三条高相交于同一点），
又∵BC=AC，
∴∠FCE=∠FCD．
故选A．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的高线的定义，锐角三角函数的增减性，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
　
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（　　）
A．
B．
+1
C．
+2
D．
+3
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】计算题．
【分析】根据“直角三角形斜边上
( http: / / www.21cnjy.com )的中线等于斜边的一半求得AB=；然后利用勾股定理、三角形的面积求得（AC+BC）的值，则易求该三角形的周长．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，
∴AB=2CD=．
∴AC2+BC2=5
又∵Rt△ABC的面积为1，
∴AC BC=1，则AC BC=2．
∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC BC=9，
∴AC+BC=3（舍去负值），
∴AC+BC+AB=3+，即△ABC的周长是3+．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．此题借助于完全平方和公式求得（AC+BC）的长度，减少了繁琐的计算．
　
10．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度．
【解答】解：如图，由勾股定理得
AC==．
∵BC×2=AC BD，即×2×2=×BD
∴BD=．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积．利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键．
　
二、填空题（共15小题）
11．如图，在△ABC中，AB=BC=
( http: / / www.21cnjy.com )4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　2或2或2　．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时
( http: / / www.21cnjy.com )，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=AB sin60°=4×=2；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP===2，
在直角三角形ABP中，
AP==2，
情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
故答案为：2或2或2．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
　
12．在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为　126或66　cm2．
【考点】勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】此题分两种情况：∠B为锐角或∠B为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的长，利用三角形的面积公式得结果．
【解答】解：当∠B为锐角时（如图1），
在Rt△ABD中，
BD===5cm，
在Rt△ADC中，
CD===16cm，
∴BC=21，
∴S△ABC==×21×12=126cm2；
当∠B为钝角时（如图2），
在Rt△ABD中，
BD===5cm，
在Rt△ADC中，
CD===16cm，
∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm，
∴S△ABC==×11×12=66cm2，
故答案为：126或66．
【点评】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．
　
13．如图，四边形ABCD为
( http: / / www.21cnjy.com )矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则x2+（y﹣4）2的值为　16　．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据矩形的性质得到CD=AB=
( http: / / www.21cnjy.com )x，BC=AD=y，然后利用直角△BDE的斜边上的中线等于斜边的一半得到：BF=DF=EF=4，则在直角△DCF中，利用勾股定理求得
x2+（y﹣4）2=DF2．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=x，AD=y，
∴CD=AB=x，BC=AD=y，∠BCD=90°．
又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF=4，
∴BF=DF=EF=4．
∴CF=4﹣BC=4﹣y．
∴在直角△DCF中，DC2+CF2=DF2，即x2+（4﹣y）2=42=16，
∴x2+（y﹣4）2=x2+（4﹣y）2=16．
故答案是：16．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形
( http: / / www.21cnjy.com )斜边上的中线以及矩形的性质．根据“直角△BDE的斜边上的中线等于斜边的一半”求得BF的长度是解题的突破口．
　
14．正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点．若△PBE是等腰三角形，则腰长为　2，或，或　．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定；正方形的性质．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】分情况讨论：（1）当PB为腰时，若P为顶点，则E点和C点重合，求出PB长度即可；若B为顶点，则E点为CD中点；
（2）当PB为底时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E；
①由题意得出BM=BP=，证明△BME∽△BAP，得出比例式，即可求出BE；
②设CE=x，则DE=4﹣x，根据勾股定理得出方程求出CE，再由勾股定理求出BE即可．
【解答】解：分情况讨论：
（1）当PB为腰时，若P为顶点，则E点与C点重合，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，
∵P是AD的中点，
∴AP=DP=2，
根据勾股定理得：BP===2；
若B为顶点，则根据PB=BE′得，E′为CD中点，此时腰长PB=2；
（2）当PB为底边时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E；
①当E在AB上时，如图2所示：
则BM=BP=，
∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP，
∴△BME∽△BAP，
∴，即，
∴BE=；
②当E在CD上时，如图3所示：
设CE=x，则DE=4﹣x，
根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，PE2=DP2+DE2，
∴42+x2=22+（4﹣x）2，
解得：x=，
∴CE=，
∴BE===；
综上所述：腰长为：2，或，或；
故答案为：2，或，或．
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
15．如图，在一张长为7cm，宽为5cm
( http: / / www.21cnjy.com )的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为　8cm2或2cm2或2cm2　．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：
（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；
（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；
（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．
【解答】解：分三种情况计算：
（1）当AE=AF=4时，如图：
∴S△AEF=AE AF=×4×4=8（cm2）；
（2）当AE=EF=4时，如图：
则BE=5﹣4=1，
BF===，
∴S△AEF= AE BF=×4×=2（cm2）；
（3）当AE=EF=4时，如图：
则DE=7﹣4=3，
DF===，
∴S△AEF=AE DF=×4×=2（cm2）；
故答案为：8或2或2．
【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．
　
16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于　8　．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】计算题．
【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD===8．
故答案是：8．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．
　
17．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是　8　cm．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD=BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度．
【解答】解：如图，AD是BC边上的高线．
∵AB=AC=10cm，BC=12cm，
∴BD=CD=6cm，
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．
故答案是：8．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理．等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形．
　
18．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　5或　．
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是
( http: / / www.21cnjy.com )直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：
=；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：
=5；
综上，第三边的长为：5或．
故答案为：5或．
【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
　
19．（如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于　12　
cm．
【考点】勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据三角形的面积求得=，根据勾股定理求得AB2=BC2+36，依据这两个式子求出AB、BC的值，即可求得周长．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，
∴AB CE=BC AD，
∵AD=6，CE=8，
∴=，
∴=，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=BC，
∵AB2﹣BD2=AD2，
∴AB2=BC2+36，
∴=，
整理得；BC2=，
解得：BC=，
∴AB=×BC=×=，
∴△ABC的周长=2AB+BC=2×+=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了三角形的面积以及勾股定理的应用，找出AB与BC的数量关系是本题的关键．
　
20．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，则AB=　8　cm．
【考点】勾股定理；直角梯形．
【专题】计算题．
【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E
( http: / / www.21cnjy.com )，易得四边形BCDE是矩形，则可由勾股定理求得AE的长，易得△ACD是等腰三角形，则可求得CD与BE的长，继而求得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴四边形BCDE是矩形，
∴CD=BE，DE=BC=4cm，∠DEA=90°，
∴AE==3（cm），
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴CD=AD=5cm，
∴BE=5cm，
∴AB=AE+BE=8cm．
故答案为：8．
【点评】此题考查了梯形的性质、等腰三角
( http: / / www.21cnjy.com )形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
　
21．如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=，AD=，CD=13，则线段AC的长为　4　．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】作∠DAE=∠BAD交BC于E，
( http: / / www.21cnjy.com )作AF⊥BC交BC于F，作AG⊥BC交BC于G．根据三角函数设DF=4x，则AF=7x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得到DF=4，AF=7，设EF=y，则CE=7+y，则DE=6﹣y，在Rt△DEF中，根据勾股定理得到DE=，AE=，设DG=z，则EG=﹣z，则（）2﹣z2=（）2﹣（﹣z）2，依此可得CG=12，在Rt△ADG中，据勾股定理得到AG=8，在Rt△ACG中，据勾股定理得到AC=4．
【解答】解：作∠DAE=∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．
∵∠C+∠BAD=∠DAC，
∴∠CAE=∠ACB，
∴AE=EC，
∵tan∠BAD=，
∴设DF=4x，则AF=7x，
在Rt△ADF中，AD2=DF2+AF2，即（）2=（4x）2+（7x）2，
解得x1=﹣1（不合题意舍去），x2=1，
∴DF=4，AF=7，
设EF=y，则CE=7+y，则DE=6﹣y，
在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，即（6﹣y）2=42+y2，
解得y=，
∴DE=6﹣y=，AE=，
∴设DG=z，则EG=﹣z，则
（）2﹣z2=（）2﹣（﹣z）2，
解得z=1，
∴CG=12，
在Rt△ADG中，AG==8，
在Rt△ACG中，AC==4．
故答案为：4．
【点评】考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得到AG和CG的长．
　
22．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为　　．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长
( http: / / www.21cnjy.com )，再根据DE垂直平分AC得出OA的长，根据相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC===5，
∵DE垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∴△AOD∽△CBA，
∴=，即=，解得AD=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理及相似三
( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
　
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB
( http: / / www.21cnjy.com )=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是　﹣1　．
【考点】勾股定理；线段的性质：两点之间线段最短；等腰直角三角形．
【分析】找到BC的中点E，连
( http: / / www.21cnjy.com )接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．
【解答】解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，
可见，AP1+EP1＞AE，
即AP2是AP的最小值，
∵AE==，P2E=1，
∴AP2=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键．
　
24．如图，直径为10的⊙
( http: / / www.21cnjy.com )A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为　　．
【考点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
【分析】连接CD，易得CD是直径，在直角△
( http: / / www.21cnjy.com )OCD中运用勾股定理求出OD的长，得出cos∠ODC的值，又由圆周角定理，即可求得cos∠OBC的值．
【解答】解：连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD是直径，
即CD=10，
∵点C（0，6），
∴OC=6，
∴OD==8，
∴cos∠ODC===，
∵∠OBC=∠ODC，
∴cos∠OBC=．
故答案为：．
【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想的应用．
　
25．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，
( http: / / www.21cnjy.com )AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为　﹣1　．
【考点】勾股定理；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行线分线段成比例．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】过F点作FG∥BC．根据等腰三角形的
( http: / / www.21cnjy.com )性质和三角形内角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根据三角函数可得AF=CF=2，DF=，根据平行线分线段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4﹣2，再根据平行线分线段成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=﹣1．
【解答】解：过F点作FG∥BC．
∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=BC=1，∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，AD⊥BC，
∵∠ACE=∠BAC，
∴∠CAD=∠ACE=15°，
∴AF=CF，
∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，
∴∠DCE=75°﹣15°=60°，
在Rt△CDF中，AF=CF==2，DF=CD tan60°=，
∵FG∥BC，
∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+），
解得GF=4﹣2，
∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4﹣2）：2，
解得EF=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】综合考查了等腰三角形
( http: / / www.21cnjy.com )的性质，三角形内角和定理可得，三角函数，平行线分线段成比例，以及方程思想，本题的难点是作出辅助线，寻找解题的途径．
　
三、解答题（共5小题）
26．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2+2，求AB．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
【分析】（1）在四边形ABCD中
( http: / / www.21cnjy.com )，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；
（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．
【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，
∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，
∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，
△ADE与△BCF为等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴AE=DE==，
∵∠ABC=105°，
∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，
∴BE===，
∴AB=；
（2）设DE=x，则AE=x，BE===，
∴BD==2x，
∵∠BDF=60°，
∴∠DBF=30°，
∴DF==x，
∴BF===，
∴CF=，
∵AB=AE+BE=，
CD=DF+CF=x，
AB+CD=2+2，
∴AB=+1
【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形
( http: / / www.21cnjy.com )的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．
　
27．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．
（1）求DB的长；
（2）在△ABC中，求BC边上高的长．
【考点】勾股定理；三角形中位线定理．
【分析】（1）直接利用勾股定理得出BD的长即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理得出BD=AE，进而求出即可．
【解答】解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5，
∴BD==3；
（2）延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E，
∵DB⊥BC，AE⊥BC，
∴AE∥DB，
∵D为AC边的中点，
∴BD=AE，
∴AE=6，即BC边上高的长为6．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及平行线分线段成比例定理，得出BD=AE是解题关键．
　
28．在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理以及锐角三角函数关系求出BC的长，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：
过点D作DE⊥BC延长线于点E，
∵AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD，
∴∠BAD=90°，∠ABC=∠ACB=75°，AB=AD=DC=4，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠DBE=30°，∠DCE=45°，
∴DB=4，则DE=EC=2，BE=BDcos30°=2，
则BC=BE﹣EC=2﹣2，
则△BCD的面积为：×2（2﹣2）=4﹣4．
如图所示：过点D作DE⊥BC延长线于点E，
∵∠BAC=30°，△ACD是等边三角形，
∴∠DAB=30°，
∴AB垂直平分DC，
∴∠DBA=∠ABC=75°，BD=BC，
∴∠DBE=30°，
∴DE=BD，
∴由（1）得：△BCD的面积为：×（2﹣2）（2﹣2）=8﹣4．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，得出BC的长是解题关键．
　
29．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1=　1　；sin2A2+sin2B2=　1　；sin2A3+sin2B3=　1　．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=　1　．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．
【考点】勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形．
【专题】几何综合题；规律型．
【分析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．
( http: / / www.21cnjy.com )利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
（3）利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sinA=，进行求解．
【解答】解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；
sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；
sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B=，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1．
（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，
∴sinB==．
【点评】本题考查了在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．
　
30．（2014 菏泽）如图，AB
( http: / / www.21cnjy.com )是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若=，求cos∠ABC的值．
【考点】勾股定理；切线的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）如图，连接OC．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；
（2）由=，可设CE=2k（
( http: / / www.21cnjy.com )k＞0），则DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE==2k．则tan∠E==．所以在Rt△OCE中，tan∠E==．
在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，故cos∠ABC=cos∠AOD==．
【解答】（1）证明：如图，连接OC．
∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，
∴AD⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∵OD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OC=OB，
∴∠2=∠4．
∴∠1=∠3．
在△COD和△AOD中，
，
∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于点C．
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，
∴AD=DC=k．
∴在Rt△DAE中，AE==2k．
∴tan∠E==．
∵在Rt△OCE中，tan∠E==．
∴=，
∴OC=OA=．
∴在Rt△AOD中，OD==k，
∴cos∠ABC=cos∠AOD==．
【点评】本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．