《一元二次方程》精选典型题——人教版九年级上学期数学期末复习
一、单选题
1．（2025九上·南宁月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·海珠月考）已知一元二次方程有两个实数根和（），则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·余姚期中）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当时， 方程一定没有实数根
②当时，方程一定有实数根
③当时， 方程一定没有实数根
④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2025九上·广州期中）阅读下面的材料：为解方程可以将看作一个整体，然后设则原方程可化为解得，再求解的方程．上述解题方法，我们称之为换元法．则的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．
5．（2025九上·广州月考）定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
二、填空题
6．（2024九上·海淀开学考）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是
图1 图2
7．（2024九上·重庆市开学考）某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为 ．
8．（2023九上·邗江期中）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的根为 ．
9．（2025九上·天河月考）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 ．
10．（2024九上·龙马潭月考）已知：3a2﹣6a﹣11＝0，3b2﹣6b﹣11＝0，且a≠b，则a4﹣b4＝ ．
11．（2025九上·江油月考） 数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有 人．”
三、解答题
12．（2023九上·固安月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为；
（2）能否围成矩形花园面积为，为什么？
13．（2025九上·江油月考）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用34m长的栅栏围一个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋CEFG（图中阴影部分为羊的活动范围）．设AB=x m.
（1）BC的长为 m.（用含x的代数式表示）
（2）若羊的活动范围的面积为95m2，求AB的长．
（3）羊的活动范围的面积能否为130m2？若能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由．
14．（2024九下·招远期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题：
（1）方程的倒方程是 ．
（2）若是的倒方程的解，求出c的值；
（3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．
15．（2024九上·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题．
（1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下：
①变形：将方程变形为；
②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；
③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即．
这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________．
（2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．
（3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．
16．（2023九上·大冶开学考）已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
17．（2025九上·黄陂月考） 如图，△ABC中，AB＝AC，∠DAE的边AD、AE分别交直线BC于点D、E（D在E的左边），∠BAC＝2∠DAE＝a；
（1）如图1，若a＝120°，AB＝12，当点D与点B重合时，△ADE的面积为 ．
（2）若a＝90°，BC＝12，BD和CE的长度分别是方程x2﹣7x+m＝0的两根，请在图2中画出图形并求△ADE面积．
（3）如图3，若a＝60°，D、E分别在点C的两侧，CD＝3，CE＝4，求出BD的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：由条件可知：，解得，
分式方程，
去分母得，
解得，
分式方程的解为正整数，
为负整数，
，
，
或或，
整数或或，
当时，，则有，产生增根，故舍去，
当或时，，满足条件
则所有满足条件的整数的值之和为．
故选：A．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式可得，将分式方程去分母，转换为整式方程，解方程可得，再根据题意分类讨论即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵，
∴，
设，则抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴在中，当时，x的值一个小于，一个大于，即，
故答案为：B．
【分析】先将方程转换为，再将其转换为两个函数图象交点坐标问题，先作出二次函数图象的草图，再求解即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
②∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴方程一定有实数根，原说法正确；
③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
④∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，原说法错误；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式“对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根逐项判断解题即可．
4．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
∵，
又∵，二次函数开口向下，且，
∴当 时，取最大值．
故答案为：B
【分析】设，则，将解析式换元化简，结合二次函数的性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当时，方程为，
解得，
∴，
∵符合，且，
∴该方程是“友好方程”，故①正确；
②，
∴，
解得或，
∵该方程是“友好方程”，
∴方程有两个不相等的实数根，
，
∴，
当时，，且，
，且，
∵为整数，
此时的值不存在；
当时，，且，
，且，
∴，
是整数，
∴或，故②正确；
综上，①②都正确，
故选：．
【分析】①将代入方程，再解方程，再根据“友好方程”定义进行判断即可求出答案；②根据因式分解法解方程，根据“友好方程”定义可得方程有两个不相等的实数根，则判别式，则，再根据题意分类同类即可求出答案.
6．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：．
【分析】设小正方形的边长为，则矩形的长为 ，宽为 ，根据题意建立关系式可得，再将a，b值代入可得，再根据矩形面积即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，
最底层开了80盏灯，记作第一层为80盏．那么第二层开灯的数量就是第一层的盏．第三层开灯的数量盏．
三层停车库共开了380盏灯，
解得∶，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【分析】根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】整理得，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于x的方程，其中一根为，
解得．
故答案为：．
【分析】根据题意，2023是一元二次方程的根，可得 方程 的根满足，求解即可．
9．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程变形为，
∴此方程可看作关于的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于的一元二次方程有一个根为，
解得．
故答案为：2023．
【分析】移项，把方程变形为，则此方程可看作关于的一元二次方程，由题意可得，解方程即可求出答案.
10．【答案】±
【知识点】平方差公式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可知：a、b是方程3x2﹣6x﹣11＝0的两解，且a≠b，
，，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2）
＝±
故答案为：±
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，平方差公式.根据a、b是方程3x2﹣6x﹣11＝0的两解，且a≠b，利用一元二次方程根与系数的关系可得：，，利用完全平方公式计算可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab可求出，利用平方差公式变形原式可得：原式＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2），代入数据进行计算可求出答案.
11．【答案】19
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这群人有x人，依题意
解得x=19
故答案为：19 .
【分析】根据题意不难列出方程，方程左边求和是关键，这里需要用到等差数列求和公式才能顺利求解。
12．【答案】（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
故答案为：米.
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设，则，根据“ 矩形花园的面积为 ”列出方程，再求解即可；
（2）设，则，根据“ 矩形花园面积为 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
（2）不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
13．【答案】（1）（32-2x）
（2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为S长方形ABCD-S正方形CEFG，
∴x（32-2x）-1=95，即x2-16x+48=0，
解得x1=12，x2=4，
∴AB的长为12m或4m；
（3）解：羊的活动范围的面积不能为130m2．理由如下，
依题意得：x（32-2x）-1=130，即2x2-32x+131=0，
∵Δ=（-32）2-4×2×131=-24＜0，
∴羊的活动范围的面积不能为130m2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）依题意得AB=DC=x，EF=FG=1，
∵AB+DC+BC+EF+FG=34，
∴2x+BC+2=34，
∴BC=32-2x；
故答案为：（32-2x）；
【分析】(1)根据图形可知AB+DC+BC+EF+FG=34，故可得BC=32-2x；
(2)用S长方形ABCD-S正方形CEFG就是羊的活动面积，即x（32-2x）-1=95，求解即可；
(3)假设可以，建立关于x的一元二次方程，判断该方程有无解即得。
14．【答案】（1）
（2）解：由题意得：方程的倒方程为，
把代入方程
得 ：，
∴
答：c的值为
（3）解：由题意得：方程的倒方程为，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
∴
∴
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）方程的倒方程是；
故答案为：
【分析】（1）根据新定义的规定，即可求解；
（2）根据新定义的规定，先求出方程的倒方程，然后再将x=5代入倒方程中，即可求解；
（3）根据新定义的规定，先求出方程 的倒方程，然后再根据韦达定理，求出m+n和mn的值，然后再将x=n代入倒方程中，求出n和m的关系式，然后再将该关系式代入 ，即可求解。
（1）解：方程的倒方程是；
（2）解：由题意得：方程的倒方程为，
把代入方程得 ：，
∴
（3）由题意得：方程的倒方程为，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
∴
∴
；
15．【答案】（1）；
（2）将方程变形为，
画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，
则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，
∵表示边长，
∴，
即．
（3），．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由得
∴
∴原方程的另一个根是．
故答案为：
（3）∵中间围成的正方形面积为4，
∴中间正方形的边长为2，
设长方形的宽为x，则长为，
由题意得，
整理得，
，．
如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，
即，因此，可得新的一元二次方程，
∵表示边长，
∴，
即．
∴方程的一个正根为．
故答案为：，．．
【分析】（1）根据直接开配方法解方程即可求出答案.
（2）根据题意将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，再解方程即可求出答案.
（3）根据正方形面积可得中间正方形的边长为2，设长方形的宽为x，则长为，根据题意建立方程可得，，大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，再解方程即可求出答案.
（1）由得
∴
∴原方程的另一个根是．
故答案为：
（2）将方程变形为，
画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，
则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，
∵表示边长，
∴，
即．
（3）∵中间围成的正方形面积为4，
∴中间正方形的边长为2，
设长方形的宽为x，则长为，
由题意得，
整理得，
，．
如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，
∵表示边长，
∴，
即．
∴方程的一个正根为．
故答案为：，．．
16．【答案】（1）见解析；（2）16或22
（1）证明：△=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)=k2-2k+1=( k-1)2≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：当a=6为腰时，
由题意，6是方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0的一个根，
代入得36-6（3k+1）+2k2+2k=0，化简得k2-8k+15=0，k=3或k=5，
若k=3，原方程x2-10x+24=0，两根为x1=4，x2=6，此时周长为4+6+6=16；
若k=5，原方程x2-16x+60=0，两根为x1=6，x2=10，此时周长为6+6+10=22；
当a=6为底时，
由题意，方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0有两个相同实数根，
△=( k-1)2=0，k=1，
原方程x2-4x+4=0，x1=x2=2，此时三边6，2，2无法构成三角形，舍去；
综上，等腰三角形的周长为16或22．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）化简判别式后，利用判别式△≥0即可得出结论．
（2）把a作为腰或底进行分类讨论，a为腰时，a也是方程的根；a为底时，方程有两个相同实数根；由此得到k的值，代回原方程得到两根，进而求出周长．
17．【答案】（1）
（2）解：如图2，
∵ BD和CE的长度分别是方程 0的两根，
过点A作 '于点F，
，
∴DE=BC-(BD+CE)=12-7=5，
（3）解：如图3， 作∠DAG=60°， 且使AG = AD， 连接CG、EG，
∵∠BAC =a=2∠DAE=60°，
∴∠DAE =30°， ∠BAC =∠DAG，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAG-∠CAD，
即∠BAD=∠CAG，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACG(SAS)，
∴∠B=∠ACG， BD=CG，
∵∠GAE=∠DAG-∠DAE=60°-30°=30°，
∴∠DAE=∠GAE，
∵AD=AG， AE= AE，
∴△ADE≌△AGE(SAS)，
∴GE=DE=CD+CE=3+4=7，
∵AB=AC， ∠BAC =60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACG=60°，
∴∠GCE=180°-∠ACB-∠ACG=180°
-60°-60°= 60°，
过E作EH⊥CG于点H，
则∠EHC =∠EHG =90°，
∴∠CEH = 90°-∠GCE=30°，
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）
当点D与点B重合时，如图1-1，
则
∴AE平分
故答案为：
【分析】(1)当点D与点B重合时，. 由等腰三角形的性质得 BC，再由含 角的直角三角形的性质得AE=6，然后由勾股定理得 即可解决问题；
(2)由一元二次方程的根与系数的关系得BD+CE=7， 过点A作AF⊥BC于点F， 再由等腰直角三角形的性质得AF =6， 则DE=BC-(BD+CE)=5， 即可解决问题；
(3)作∠DAG =60°， 且使AG = AD， 连接CG、EG， 证△ABD≌△ACG(SAS)，得∠B =∠ACG， BD=CG， 再证△ADE≌△AGE(SAS)，得GE= DE =7， 进而证△ABC是等边三角形， 得∠B=∠ACB=60°， 则∠GCE=60°， 过E作 于点H，然后由含30°角的直角三角形的性质得CH =2，则EH =2 即可得出结论.
1 / 1《一元二次方程》精选典型题——人教版九年级上学期数学期末复习
一、单选题
1．（2025九上·南宁月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：由条件可知：，解得，
分式方程，
去分母得，
解得，
分式方程的解为正整数，
为负整数，
，
，
或或，
整数或或，
当时，，则有，产生增根，故舍去，
当或时，，满足条件
则所有满足条件的整数的值之和为．
故选：A．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式可得，将分式方程去分母，转换为整式方程，解方程可得，再根据题意分类讨论即可求出答案.
2．（2025九上·海珠月考）已知一元二次方程有两个实数根和（），则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵，
∴，
设，则抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴在中，当时，x的值一个小于，一个大于，即，
故答案为：B．
【分析】先将方程转换为，再将其转换为两个函数图象交点坐标问题，先作出二次函数图象的草图，再求解即可.
3．（2024八下·余姚期中）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当时， 方程一定没有实数根
②当时，方程一定有实数根
③当时， 方程一定没有实数根
④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
②∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴方程一定有实数根，原说法正确；
③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
④∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，原说法错误；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式“对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根逐项判断解题即可．
4．（2025九上·广州期中）阅读下面的材料：为解方程可以将看作一个整体，然后设则原方程可化为解得，再求解的方程．上述解题方法，我们称之为换元法．则的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
∵，
又∵，二次函数开口向下，且，
∴当 时，取最大值．
故答案为：B
【分析】设，则，将解析式换元化简，结合二次函数的性质即可求出答案.
5．（2025九上·广州月考）定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当时，方程为，
解得，
∴，
∵符合，且，
∴该方程是“友好方程”，故①正确；
②，
∴，
解得或，
∵该方程是“友好方程”，
∴方程有两个不相等的实数根，
，
∴，
当时，，且，
，且，
∵为整数，
此时的值不存在；
当时，，且，
，且，
∴，
是整数，
∴或，故②正确；
综上，①②都正确，
故选：．
【分析】①将代入方程，再解方程，再根据“友好方程”定义进行判断即可求出答案；②根据因式分解法解方程，根据“友好方程”定义可得方程有两个不相等的实数根，则判别式，则，再根据题意分类同类即可求出答案.
二、填空题
6．（2024九上·海淀开学考）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是
图1 图2
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：．
【分析】设小正方形的边长为，则矩形的长为 ，宽为 ，根据题意建立关系式可得，再将a，b值代入可得，再根据矩形面积即可求出答案.
7．（2024九上·重庆市开学考）某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，
最底层开了80盏灯，记作第一层为80盏．那么第二层开灯的数量就是第一层的盏．第三层开灯的数量盏．
三层停车库共开了380盏灯，
解得∶，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【分析】根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2023九上·邗江期中）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的根为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】整理得，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于x的方程，其中一根为，
解得．
故答案为：．
【分析】根据题意，2023是一元二次方程的根，可得 方程 的根满足，求解即可．
9．（2025九上·天河月考）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 ．
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程变形为，
∴此方程可看作关于的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于的一元二次方程有一个根为，
解得．
故答案为：2023．
【分析】移项，把方程变形为，则此方程可看作关于的一元二次方程，由题意可得，解方程即可求出答案.
10．（2024九上·龙马潭月考）已知：3a2﹣6a﹣11＝0，3b2﹣6b﹣11＝0，且a≠b，则a4﹣b4＝ ．
【答案】±
【知识点】平方差公式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可知：a、b是方程3x2﹣6x﹣11＝0的两解，且a≠b，
，，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2）
＝±
故答案为：±
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，平方差公式.根据a、b是方程3x2﹣6x﹣11＝0的两解，且a≠b，利用一元二次方程根与系数的关系可得：，，利用完全平方公式计算可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab可求出，利用平方差公式变形原式可得：原式＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2），代入数据进行计算可求出答案.
11．（2025九上·江油月考） 数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有 人．”
【答案】19
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这群人有x人，依题意
解得x=19
故答案为：19 .
【分析】根据题意不难列出方程，方程左边求和是关键，这里需要用到等差数列求和公式才能顺利求解。
三、解答题
12．（2023九上·固安月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为；
（2）能否围成矩形花园面积为，为什么？
【答案】（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
故答案为：米.
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设，则，根据“ 矩形花园的面积为 ”列出方程，再求解即可；
（2）设，则，根据“ 矩形花园面积为 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
（2）不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
13．（2025九上·江油月考）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用34m长的栅栏围一个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋CEFG（图中阴影部分为羊的活动范围）．设AB=x m.
（1）BC的长为 m.（用含x的代数式表示）
（2）若羊的活动范围的面积为95m2，求AB的长．
（3）羊的活动范围的面积能否为130m2？若能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）（32-2x）
（2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为S长方形ABCD-S正方形CEFG，
∴x（32-2x）-1=95，即x2-16x+48=0，
解得x1=12，x2=4，
∴AB的长为12m或4m；
（3）解：羊的活动范围的面积不能为130m2．理由如下，
依题意得：x（32-2x）-1=130，即2x2-32x+131=0，
∵Δ=（-32）2-4×2×131=-24＜0，
∴羊的活动范围的面积不能为130m2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）依题意得AB=DC=x，EF=FG=1，
∵AB+DC+BC+EF+FG=34，
∴2x+BC+2=34，
∴BC=32-2x；
故答案为：（32-2x）；
【分析】(1)根据图形可知AB+DC+BC+EF+FG=34，故可得BC=32-2x；
(2)用S长方形ABCD-S正方形CEFG就是羊的活动面积，即x（32-2x）-1=95，求解即可；
(3)假设可以，建立关于x的一元二次方程，判断该方程有无解即得。
14．（2024九下·招远期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题：
（1）方程的倒方程是 ．
（2）若是的倒方程的解，求出c的值；
（3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）解：由题意得：方程的倒方程为，
把代入方程
得 ：，
∴
答：c的值为
（3）解：由题意得：方程的倒方程为，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
∴
∴
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）方程的倒方程是；
故答案为：
【分析】（1）根据新定义的规定，即可求解；
（2）根据新定义的规定，先求出方程的倒方程，然后再将x=5代入倒方程中，即可求解；
（3）根据新定义的规定，先求出方程 的倒方程，然后再根据韦达定理，求出m+n和mn的值，然后再将x=n代入倒方程中，求出n和m的关系式，然后再将该关系式代入 ，即可求解。
（1）解：方程的倒方程是；
（2）解：由题意得：方程的倒方程为，
把代入方程得 ：，
∴
（3）由题意得：方程的倒方程为，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
∴
∴
；
15．（2024九上·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题．
（1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下：
①变形：将方程变形为；
②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；
③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即．
这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________．
（2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．
（3）拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．
【答案】（1）；
（2）将方程变形为，
画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，
则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，
∵表示边长，
∴，
即．
（3），．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由得
∴
∴原方程的另一个根是．
故答案为：
（3）∵中间围成的正方形面积为4，
∴中间正方形的边长为2，
设长方形的宽为x，则长为，
由题意得，
整理得，
，．
如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，
即，因此，可得新的一元二次方程，
∵表示边长，
∴，
即．
∴方程的一个正根为．
故答案为：，．．
【分析】（1）根据直接开配方法解方程即可求出答案.
（2）根据题意将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，再解方程即可求出答案.
（3）根据正方形面积可得中间正方形的边长为2，设长方形的宽为x，则长为，根据题意建立方程可得，，大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，再解方程即可求出答案.
（1）由得
∴
∴原方程的另一个根是．
故答案为：
（2）将方程变形为，
画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，
则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，
∵表示边长，
∴，
即．
（3）∵中间围成的正方形面积为4，
∴中间正方形的边长为2，
设长方形的宽为x，则长为，
由题意得，
整理得，
，．
如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，
∵表示边长，
∴，
即．
∴方程的一个正根为．
故答案为：，．．
16．（2023九上·大冶开学考）已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）16或22
（1）证明：△=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)=k2-2k+1=( k-1)2≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：当a=6为腰时，
由题意，6是方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0的一个根，
代入得36-6（3k+1）+2k2+2k=0，化简得k2-8k+15=0，k=3或k=5，
若k=3，原方程x2-10x+24=0，两根为x1=4，x2=6，此时周长为4+6+6=16；
若k=5，原方程x2-16x+60=0，两根为x1=6，x2=10，此时周长为6+6+10=22；
当a=6为底时，
由题意，方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0有两个相同实数根，
△=( k-1)2=0，k=1，
原方程x2-4x+4=0，x1=x2=2，此时三边6，2，2无法构成三角形，舍去；
综上，等腰三角形的周长为16或22．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）化简判别式后，利用判别式△≥0即可得出结论．
（2）把a作为腰或底进行分类讨论，a为腰时，a也是方程的根；a为底时，方程有两个相同实数根；由此得到k的值，代回原方程得到两根，进而求出周长．
17．（2025九上·黄陂月考） 如图，△ABC中，AB＝AC，∠DAE的边AD、AE分别交直线BC于点D、E（D在E的左边），∠BAC＝2∠DAE＝a；
（1）如图1，若a＝120°，AB＝12，当点D与点B重合时，△ADE的面积为 ．
（2）若a＝90°，BC＝12，BD和CE的长度分别是方程x2﹣7x+m＝0的两根，请在图2中画出图形并求△ADE面积．
（3）如图3，若a＝60°，D、E分别在点C的两侧，CD＝3，CE＝4，求出BD的长．
【答案】（1）
（2）解：如图2，
∵ BD和CE的长度分别是方程 0的两根，
过点A作 '于点F，
，
∴DE=BC-(BD+CE)=12-7=5，
（3）解：如图3， 作∠DAG=60°， 且使AG = AD， 连接CG、EG，
∵∠BAC =a=2∠DAE=60°，
∴∠DAE =30°， ∠BAC =∠DAG，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAG-∠CAD，
即∠BAD=∠CAG，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△ACG(SAS)，
∴∠B=∠ACG， BD=CG，
∵∠GAE=∠DAG-∠DAE=60°-30°=30°，
∴∠DAE=∠GAE，
∵AD=AG， AE= AE，
∴△ADE≌△AGE(SAS)，
∴GE=DE=CD+CE=3+4=7，
∵AB=AC， ∠BAC =60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACG=60°，
∴∠GCE=180°-∠ACB-∠ACG=180°
-60°-60°= 60°，
过E作EH⊥CG于点H，
则∠EHC =∠EHG =90°，
∴∠CEH = 90°-∠GCE=30°，
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）
当点D与点B重合时，如图1-1，
则
∴AE平分
故答案为：
【分析】(1)当点D与点B重合时，. 由等腰三角形的性质得 BC，再由含 角的直角三角形的性质得AE=6，然后由勾股定理得 即可解决问题；
(2)由一元二次方程的根与系数的关系得BD+CE=7， 过点A作AF⊥BC于点F， 再由等腰直角三角形的性质得AF =6， 则DE=BC-(BD+CE)=5， 即可解决问题；
(3)作∠DAG =60°， 且使AG = AD， 连接CG、EG， 证△ABD≌△ACG(SAS)，得∠B =∠ACG， BD=CG， 再证△ADE≌△AGE(SAS)，得GE= DE =7， 进而证△ABC是等边三角形， 得∠B=∠ACB=60°， 则∠GCE=60°， 过E作 于点H，然后由含30°角的直角三角形的性质得CH =2，则EH =2 即可得出结论.
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