【精品解析】《二次函数》精选典型题——人教版九年级上学期数学期末复习

《二次函数》精选典型题——人教版九年级上学期数学期末复习
一、单选题
1．（2025九上·黄埔期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2025九上·霞山月考）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·东莞期末）如图，正方形的顶点在抛物线上，点在轴上，点在轴上．若点的横坐标为，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
4．（2024九下·峄城期中）如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（　　）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
5．（2025九上·花都期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·南沙期末）如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024九上·柳南月考）矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·周村模拟）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2024·海州模拟）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．（2025九上·黄埔期中）已知抛物线，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点，设点的纵坐标为，若，则的取值范围是　 　．
11．（2025九上·广州期中）已知抛物线（是常数）开口向下，过两点，且．下列四个结论：
①
②若时，则
③若方程有四个根，且四个根和为s，则
④已知点均在抛物线上，其中，若，则n的取值范围是．
其中正确的结论有　 　（写序号）
12．（2023九上·石嘴山月考）我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x值的增大而增大；
④当或时，函数的最小值是0；
⑤当时，函数的最大值是4．
其中正确的结论有　 　．（填正确的序号）
三、解答题
13．（2025九上·惠州月考）综合与实践：
素材1 福州地铁某站在工作日早高峰期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在这两小时内，A出口的人流量y（人次）与时间t（分钟）存在如下关系：以为起始时间点（） t（分钟）0306090120y（人次）1060807030
任务1 根据已知条件，将，，，，在平面直角坐标系中描点，观察发现它们的连线形状近似于抛物线，所以猜想y与t满足二次函数的关系式，请求出该二次函数解析式．
素材2 福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如的人流量比原来增加2人，的人流量比原来增加4人，以此类推……
任务2 求时段y与t的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻；
素材3 在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵．
任务3 为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次/分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中y与t的关系式，通过计算，直接写出该出口需要启动一级客流管控的持续时长．
14．（2025九上·惠州期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2交x轴于点A，交y轴于点B，过点A的抛物线y=ax2+bx-2与y轴交点C，与直线AB的另一个交点为D，点E是线段AD上一点，点F在抛物线上，EF∥y轴，设E的横坐标为m.
（1）用含a的代数式表示b．
（2）当点D的横坐标为8时，求出a的值．
（3）在（2）的条件下，设△ABF的面积为S，求出S最大值，并求出此时m的值．
15．（2025九上·海珠月考）综合与实践
问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，需要建有一个休息室，一个洗手间．
设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸先对折，得到的垂直平分线，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为，再次摊开，铺平，连接，，得到，，四边形，四边形四个区域．一条抛物线形的路把这四个区域串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点．
工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在四边形区域内的抛物线上找一点N，使得的面积最大，在此处建一个休息室，请求出点N坐标；
（3）为了平衡布局，设计人员要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，若点H在抛物线上的四边形区域内，求点H的坐标．
16．（2025九上·天河月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”．
（1）直线上的“好点”坐标为 ；
（2）若“好点二次函数”的图象与轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；
（3）若“好点二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求的值．
17．（2025九上·黄埔期中）阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，．这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题．
已知：二次函数的函数图象上分别有，两点，其中，，分别在对称轴的异侧，是中点，是中点．利用阅读材料解决如下问题：
概念理解：
（1）如图1，若，求出，的坐标．
解决问题：
（2）如图2，点是关于轴的对称点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．试判断是否在轴上，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
②在①条件下，轴上一点，抛物线上任意一点，连接，，直接写出的最小值．
18．（2025九上·惠州期中）项目式学习
主题 矩形劳动实践基地最大面积探究
背景 习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．为促进学生全面发展、健康成长，某校计划在校园围墙内建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙．
素材 绘制设计 如图，兴趣小组利用墙和篱笆围出这个矩形劳动实践基地，在平行于墙的边上留一个1米宽的门．
操作测量 经测量，墙长为18米，另外三边用长为29米的篱笆围成（门除外）；
数学建模 设垂直于墙的一边长为米，其中，平行于墙的一边长为米，矩形劳动实践基地的面积为平方米．
任务 （1）请直接写出与，与的函数关系式； （2）当平方米时，求垂直于墙的一边长； （3）兴趣小组根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14米，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
19．（2024·威远模拟）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
20．（2024·定日模拟）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
21．（2025九上·广州期中）已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点C，顶点为，对称轴为直线
（1）根据题目信息填空：__________，的面积＝__________；
（2）直线与抛物线相交于两点，当最小时，求M，N的坐标；
（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为，若线段在轴上移动，求的最小值，并求此时点的坐标．
22．（2025九上·海珠期末）已知抛物线（m为常数，且）．
（1）不论为何值，抛物线的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标；
（2）若对于任意自变量，都有点与点分别到点的距离相等，则与形成的函数称为抛物线（异于）是抛物线的“倍相伴函数”．
①求抛物线的“2倍相伴函数”是的解析式；
②在①的情况下，的图象经过两个定点和（在左边），横坐标分别为、，若存在时，与都随着的增大而增大，求的取值范围．
23．（2025九上·惠州期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标．
24．（2025九上·长沙月考）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 　 　 ；（填序号）
①y＝﹣2x+1；②y＝x2+x+1．
（2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
25．（2024九上·蔡甸期中）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）点P是抛物线上的一点，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，将直线向下平移与抛物线交于M、N两点，直线交于Q点，请问点Q的横坐标是否为定值，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由抛物线图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
，对称轴为，即，，
，故①正确；
抛物线与x轴有两个交点，
，
，故②错误；
，
点A的坐标为，代入解析式得，
∵，等式两边同时除以得，故③正确；
设，，
二次函数的图象与x轴交于A，B两点，
和是方程的两根，
，
，
，故④正确；
综上所述：正确的有①③④，共3个，
故选：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，
设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则，
根据“焦点”定义可知：，，
∵点为抛物线顶点坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
∴，，
由得：，
∴，
即：
整理得：，
∴，
∴，解得：，
∴焦点的坐标为，
故选：．
【分析】设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则由题意可得，，，根据两点间距离可得，，则，则，根据两点间距离可得AM，MN，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：点是抛物线与轴的交点，
∴令，则，
解得，，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
如图所示，过点作轴于点，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，整理得，，
解得，，（舍去），
∴，
故选：C ．
【分析】根据x轴上点的坐标特征可得，由题意可得，过点作轴于点，则，，根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，故①错误；
∵，
∴，即 同号，
∵抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），
∴抛物线与轴的另一个交点为 ，故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），
∴当时 ， ，
即抛物线与直线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故④错误；
观察图象得：当 时， ，
在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势，
即此时 随 的增大而增大，
又当 时， ，
∴，故⑤正确；
观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，
∴不等式的解集为，故⑥正确；
∴正确的有②⑤⑥．
故答案为：B
【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，可得到 ；进而得到 同号，再有抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，可得 ， ，从而得到 ；再由抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），可得线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当 时， ，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为．
设点，则，且．
∴，
当时，有最大值，最大值为8，
∴．
故选：D．
【分析】根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得二次函数解析式为，设点，则，且．根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
故结论①正确，符合题意；
抛物线图象开口向下，与轴的正半轴相交，
，，
，
，
，
故结论②错误，不符合题意；
抛物线与轴交于点，
当时，，即，
，
，
，
故结论③错误，不符合题意；
抛物线与轴交于点，，
，
①②得：，
，
，
，
，
，
故结论④正确，符合题意；
综上所述，正确的结论有①④，为2个，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的对称性，结合，， 可得出对称轴为直线，即可得出①正确；再根据抛物线的开口方向得出a＜0，对称轴得出b＞0，根据抛物线与y轴的交点可得出c＞0，进而即可得出abc＜0，即②不正确；根据对称轴为x=1，可得出，b=-2a，再结合图像可得出当时，，即，进而得出，即③不正确；根据点，，可得出，解得，进而根据三角形的面积计算公式可得出，即④正确，综上即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：
当时，，
此时函数的图象为抛物线的一部分，
它的最高点为抛物线的顶点，最低点为；
当时，点E停留在B点处，
故，此时函数的图象为直线的一部分，
它的最上点可以为，它的最下点为．
结合四个选项的图象知选A项．
故选：A．
【分析】分情况讨论：当时，根据y=大矩形面积-小矩形面积建立关系式，结合二次函数性质作图即可；当时，点E停留在B点处，建立函数关系式，再结合一次函数性质作图即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点，其对称轴为直线
抛物线与轴交于点和，且
由图象知：，，
故结论①正确；
抛物线与x轴交于点
故结论②正确；
当时，y随x的增大而增大；当时，随的增大而减小
结论③错误；
，
抛物线与轴交于点和
的两根是和
，
即为：，解得，；
故结论④正确；
当时，
故结论⑤正确；
抛物线与轴交于点和，
，为方程的两个根
，为方程的两个根
，为函数与直线的两个交点的横坐标
结合图象得：且
故结论⑥成立；
故选C．
【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与轴交于点和，且，根据函数图象与系数的关系可得，可判断①；将点代入解析式可得，则，可判断②，根据二次函数的增减性可判断③；根据二次方程根与系数的关系可得，，代入解析式，解方程可判断④；将代入解析式可判断⑤；根据二次函数图象与系数的关系可判断⑥.
9．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；四边形-动点问题；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，
∴S=；
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，
∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，
∴S=；
故答案为：D．
【分析】
观察各个选项只需分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形：当0≤t≤1时根据正方形的性质得到得到直线EO垂直BC，从而可知点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，列出函数关系式，可判断A，C不符合题意；当1＜t≤2时，同样的方法列出函数关系式可判断B不符合题意，由此即可解答．
10．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；二次函数y=ax²+bx+c的性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：抛物线，
则顶点坐标为，
将绕原点旋转后，抛物线的顶点坐标为，开口方向相反，
∴的解析式为，且图象开口向下，对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线在上的最大值，
分情况讨论：
当时，则时，，
∴，解得，故；
当时，则时，，
∴，解得，与矛盾，不符合题意，
当时，则时，，
∴，解得，与矛盾，不符合题意，
综上， 的取值范围为．
故答案为：．，
【分析】将抛物线解析式转换为顶点式可得顶点坐标，再根据旋转性质可得的解析式为，且图象开口向下，对称轴为直线，再根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
11．【答案】①③
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵过，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，故正确；
当时，抛物线为，
∴，，
∴，故错误；
∵方程有四个根，
∴，各有两个根，
∴每个方程的根的和为，
∴四个根总和，
由抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴点在对称轴处，即顶点，
∴为最大值，故且，
要满足，由，则需比离对称轴更近，
∴，解得，
由①可得，即，
∴
故错误；
综上，正确结论为，
故答案为：①③．
【分析】根据二次函数的对称性可得，由，从而可判断；当时，抛物线为，，，然后代入即可判断；由方程有四个根，则或，可得每个方程的根和为，然后由，则，，即，再通过，即可判断；由，则，可得点在对称轴处，即顶点，然后通过二次函数对称轴结合①，即可判断；
12．【答案】①②③④
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵和坐标都满足函数，
∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的；
故答案为：①②③④．
【分析】将点，代入函数解析式可判断①；根据函数图象信息可判断①②③；根据函数图象可得函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据，求出相应的x的值为或，可判断④；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，可判断⑤.
13．【答案】解：任务1，将，，，，在平面直角坐标系中描点，观察发现它们的连线形状近似于抛物线，所以猜想y与t满足二次函数的关系式，
设y与t的关系式为，
将，，三点的坐标代入得：
，解得，
，
当时，，
当时，，
∴经验证，，，，均满足，
∴y与t的关系式为．
任务2，当时，，
∴对称轴为，
，
∴当时，y随着t的增大而增大，
∴当时，y取最大值，此时为上午；
任务3，由任务1和任务2的解答中可知，只有当时，才可能出现人流量达到或超过200人次/分钟的情况，
令，则，解得或150，
∵，
∴符合条件的t的范围是，
，
∴该出口需要启动一级客流管控的持续时长为20分钟．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；作图-二次函数图象
【解析】【分析】任务1：设y与t的关系式为，根据待定系数法将点，，代入解析式即可求出答案.
任务2：根据二次函数的性质即可求出答案.
任务3：将y=300代入解析式，解方程即可求出答案.
14．【答案】（1）解：由题意A（2，0），B（0，2），
把A（2，0）代入y=ax2+bx-2得到4a+2b-2=0，
∴b=1-2a．
（2）∵D的横坐标为8，
x=8时，y=-8+2=-6，
∴D（8，-6），
把D（8，-6）代入y=ax2+bx-2得到：64a+8b-2=-6，
∴64a+8（1-2a）-2=-6，
∴a=-．
（3）如图，连接AF、BF，作FH⊥AB于点H．设E（m，-m+2），则F（m，-m+m-2）．
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，AB=2，
∵EF∥OB，
∴∠FEH=∠OBA=45°，
∴FH=EF，
∴S△ABF=×AB×FH=×2×（-m2+m-4）=-（m-5）2+，
∵-＜0，
∴m=5时，△ABF的面积最大，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；平行线的性质；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点即可得到点A和点B的坐标，再将点A代入二次函数解析式即可求解；
（2）根据点D的横坐标，代入一次函数解析式，即可得到点D的纵坐标，再将其代入二次函数即可求解；
（3）连接AF、BF，作FH⊥AB于点H，设E（m，-m+2），则F（m，-m+m-2），根据题意解直角三角形（等腰直角三角形）得到∠ABO=45°，AB=2，进而根据平行线的性质得到∠FEH=∠OBA=45°，则FH=EF，再根据三角形的面积结合二次函数的最值即可求解。
15．【答案】（1）解：由题意得：，在中，由勾股定理得：，
∴．
设抛物线的函数表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为.
（2）解：如图2，过N点作于G点，交于K点，
设直线的表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线的表达式为．
设，则，
则，
∴
，
∵，
∴当时，S的值最大，
∴.
（3）解：设点的坐标为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
又点在抛物线上，
∴，
解得或，
当时，，此时点，与点重合，不在四边形区域内，舍去；
当时，，此时点，在四边形区域内，符合要求，
所以，点的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先去粗胡点A、P的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过N点作于G点，交于K点，先求出直线AP的解析式，再设，则，求出，再利用三角形的面积公式及割补法可得，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）设点的坐标为，利用“洗手间到点P和点B的距离相等”，可得的垂直平分线与抛物线的交点即为点， 从而得解.
（1）解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
设抛物线的函数表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图2，过N点作于G点，交于K点，
设直线的表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线的表达式为．
设，则，
则，
∴
，
∵，
∴当时，S的值最大，
∴；
（3）解：设点的坐标为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
又点在抛物线上，
∴，
解得或，
当时，，此时点，与点重合，不在四边形区域内，舍去；
当时，，此时点，在四边形区域内，符合要求，
所以，点的坐标为．
16．【答案】（1）
（2）解：当时，，
∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是，
∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，
∴，
∴“好点二次函数”为，
∵是“好点二次函数”，顶点为
∴，解得：或.
∴这个“好点二次函数”的表达式为或.
（3）解：∵“好点二次函数”的图象过点，
∴，解得，，
∴或，
∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去，
∴，
∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
即，解得或，
∴，
当，即时，函数的最小值为2，不符合题意；
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，即，
解得或，
∴，
综上可知，的值为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，解得，
∴直线上的“好点”坐标为.
故答案为：.
【分析】（1）根据好点的定义得到，解方程即可得直线上的“好点”坐标为.
（2）当时，，得“好点二次函数”的图象与y轴的交点是，再根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，得，可得“好点二次函数”为，根据是“好点二次函数”，顶点为得，解得：或，即可得这个“好点二次函数”的表达式为或.
（3）根据“好点二次函数”的图象过点，
得，解得，，即可得或，当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，当时，函数有最小值，即，解得或，即，当，即时，函数的最小值为2，不符合题意，当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，当时，函数有最小值，即，
解得或，得，综合得的值为或．
（1）解：由题意可得，，
解得，
∴直线上的“好点”坐标为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是，
∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，
∴，
∴“好点二次函数”为，
∵是“好点二次函数”，顶点为，
∴，
解得或，
∴这个“好点二次函数”的表达式为或；
（3）解：∵“好点二次函数”的图象过点，
∴，
解得，，
∴或
∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去，
∴，
∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
即，
解得或，
∴，
当，即时，函数的最小值为2，不符合题意；
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，即，
解得或，
∴，
综上可知，的值为或．
17．【答案】（1）解：∵，，是中点，
∴，，
；
，，是中点
，，
；
（2）解：是在轴上，理由如下：
，点是关于轴的对称点，
，
是中点，是中点，
，则；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，
，
，
，
轴，且，
是在轴上；
（3）解：①，，是中点，
；
是中点，
；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点．延长至，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，
，
，
轴，
，
即，，
，
综上是一个定值；
②
【知识点】坐标与图形性质；两点之间线段最短；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②∵是轴上一点，是抛物线上任意一点，，
∴当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最小，最小值为，
此时，最小为，
故的最小值为．
【分析】（1）根据线段中点公式即可求出答案.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，根据线段中点可得，则，根据平行于y轴的直线上点的坐标特征可得，再代入解析式可得，根据两点间距离可得，由题意可得，则，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
（3）①根据线段中线公式可得，，再根据平行于y轴的直线上点的坐标特征可得，代入解析式可得，根据题意可得，，则，根据平行于y轴的直线上点的坐标特征可得，则，，即，即可求出答案.
②当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，根据两点间距离可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
18．【答案】（1）
（2）当时，，
解得，
，
，
答：垂直于墙的一边长为；
（3），
解得，
，
，
，
开口向下，
对称轴为直线，
在对称轴右侧，随的增大而减小，
当时，，
答： 垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴；
∴；
【分析】（1）根据矩形的周长与面积建立代数式即可求出答案.
（2）根据题意建立建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
（3）（-1，0）或（，-2）或（，2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3） 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将解析式转换为顶点式可得对称轴，根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为（0，-3），作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3）， 根据对称性质可得CQ=EQ，根据三角形周长可得△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，设直线AE的解析式为，根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式可得直线AE的解析式为，再将x=1代入解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，根据等腰三角形性质可得PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，再根据角之间的关系可得∠FMP=∠EPB，根据全等三角形判定定理可得△FMP≌△EPB（AAS）， 则PE=MF，BE=PF，设点P的坐标为（1，m），根据两点间距离可得，则，，根据点的坐标可得点M的坐标为（1-m，m-2），将点M坐标代入抛物线解析式，解方程可得点M的坐标为（-1，0）；同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），同理可证△PEB≌△BFM（AAS），根据全等三角形性质可得，则点M的坐标为（3-m，-2），将点M坐标代入抛物线解析式，解方程可得点M的坐标为（，-2）；当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，同理可以求得点M的坐标为（，2），即可求出答案.
20．【答案】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，
设抛物线的解析式为，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，
当时，，
，
作点B关于y轴的对称点，
则，，
，
当，，A共线时，拉杆长度之和最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，位置如下图所示：
（3）解：中，
抛物线开口向下，
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
综上可知，或，
的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据点的坐标可得，，再根据待定系数法将点C，A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将x=1代入解析式可得，作点B关于y轴的对称点，根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，，根据边之间的关系可得，当，，A共线时，拉杆长度之和最短，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B'，A坐标代入解析式可得直线的解析式为，再根据y轴上点的坐标特征将x=0代入解析式即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
21．【答案】（1）；6
（2）解：由题可得：，
整理得：，
∴是的两个根，
∴，，
∴，
∴当时，最小，即最小，
∴直线解析式为：，
∵直线与抛物线相交于两点，
∴
解得：或，
∴．
（3）解：抛物线图象如图所示：
平移线段到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，令，连接，
由（1）知：，，，
∵O，B，P，C构成多边形的周长为，
∴在线段平移过程中，的长度不变，
∴要使最小，只需最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
∴，
令时，，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
令，即，
解得：，，
∵点和点是轴（点在点的左侧），
∴，，
令，则，
∴，
∴．
故答案为：2；6．
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式可得b值，根据坐标轴上点的坐标特征可得，，，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）由题可得：，根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入，结合二次函数的性质可得当时，最小，即最小，则直线解析式为：，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）作出函数图象，平移线段到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，令，连接，O，B，P，C构成多边形的周长为，在线段平移过程中，的长度不变，要使最小，只需最小，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，设的解析式为：，根据待定系数法将点C'，P'坐标代入解析式可得，根据x轴上点的坐标特征可得，根据勾股定理可得P'C'，根据两点间距离可得CP，即可求出答案.
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
令，即，
解得：，，
∵点和点是轴（点在点的左侧），
∴，，
令，则，
∴，
∴．
故答案为：2；6．
（2）解：由题可得：，
整理得：，
∴是的两个根，
∴，，
∴，
∴当时，最小，即最小，
∴直线解析式为：，
∵直线与抛物线相交于两点，
∴
解得：或，
∴．
（3）解：抛物线图象如图所示：
平移线段到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，令，连接，
由（1）知：，，，
∵O，B，P，C构成多边形的周长为，
∴在线段平移过程中，的长度不变，
∴要使最小，只需最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
∴，
令时，，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴．
22．【答案】（1）解：令，
解得：，
在抛物线中，
令得，
令，得，
∴抛物线y的图象经过定点和．
（2）解：①依题意，与关于中心对称，
故，
设函数上的任意一点坐标为，
则关于的对称点为，
依题意必在函数上，
代入，
得，
化简得：，
令，
得，
②的图象经过定点和．
根据与关于中心对称，，
可得必过定点，，
故，
即．
对称轴为直线，对称轴为直线，
当时，的图象开口向上，在对称轴右侧随x增大而增大，
则时满足题意，
解得∶，
当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大，
则时满足题意，
解得∶，
所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意
当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大，
则满足题意，
解得：，
当时，的图象开口向下，在对称轴右侧随x增大而增大，
则，满足题意，
解得：，
所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意．
综上所述，当，与都随x增大而增大，或满足题意．
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据题目中"定点"的定义，分析函数表达式可知当x=1或x=3时，函数值y与参数m无关，因此这两个x值对应的点即为定点。具体计算如下：当x=1时，y=m(1)2+(1-4m)(1)+3m-1=1，得到定点(1，1)； 当x=3时，y=m(3)2+(1-4m)(3)+3m-1=2，得到定点(3，2)；
（2）①根据题意，设函数y2上的任意点(x，y2)，其关于直线y=kx的对称点为(x，2kx-y2)。将这个对称点代入y1的表达式：
，当k=2时，可以解得y2的表达式；
②分析两个函数的对称轴：y1的对称轴为， y2的对称轴为，需要分两种情况讨论：
1）当m>0时，通过比较两个对称轴的位置关系建立不等式求解；
2）当m<0时，同样建立相应不等式求解。
（1）解：
令，
解得：，
在抛物线中，
令得，
令，得，
∴抛物线y的图象经过定点和．
（2）解：①依题意，与关于中心对称，
故，
设函数上的任意一点坐标为，
则关于的对称点为，
依题意必在函数上，
代入，
得，
化简得：，
令，
得，
②的图象经过定点和．
根据与关于中心对称，，
可得必过定点，，
故，
即．
对称轴为直线，对称轴为直线，
当时，的图象开口向上，在对称轴右侧随x增大而增大，
则时满足题意，
解得∶，
当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大，
则时满足题意，
解得∶，
所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意
当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大，
则满足题意，
解得：，
当时，的图象开口向下，在对称轴右侧随x增大而增大，
则，满足题意，
解得：，
所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意．
综上所述，当，与都随x增大而增大，或满足题意．
23．【答案】（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：当时，∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
（3）解：如图，设，则∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．

【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法求出函数解析式；
（2）先利用二次函数图象上点的坐标特征求出A、C两点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再过点P作轴交直线于点E，设，则点的坐标可表示，再证明，由相似比得，即求出PE的最大值即可，此时可把PE转化为关于t的二次函数，再利用二次函数的性质求出最大值即可；
（3）设，则，由折叠的性质和平行线的性质可得，再列式进行求解即可．
（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）当时，
∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
（3）如图，设，则
∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．
24．【答案】（1）①②
（2）解：∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，
∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，
∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0，
∴nm2m①，
∵抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”，
∴x＝2，y＝6，
∴n＝﹣2m+2②，
联立①②，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8；
（3）解：∵抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，
∴方程3x＝ax2+bx有且只有一个实数根，
∴Δ＝（b﹣3）2﹣4a＝0，
∴a（b﹣3）2，
∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，
根据题意，当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，
当t+1≤2，即t≤1时，当b＝t+1时，w有最小值，
∴t＝2（t+1﹣2）2+1，
即2t2﹣5t+3＝0，
解得：t1＝1，t2（舍去），
∴此时不存在常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，w的最小值为1，
即t≤b≤t+1时，w的最小值为1，不符合题意；
当t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1，
即2t2﹣9t+9＝0，
解得：t1（舍去），t2＝3，
∴存在常数t＝3，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
综上所述，t的值为1或3．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①由得，
∴在直线y＝﹣2x+1上只有一个“纵三倍点”：（，）；
②由得：，
∴二次函数y＝x2+x+1的图象上只有一个“纵三倍点”：（1，3）；
故答案为：①②；
【分析】(1)由新定义即可求解；
(2)抛物线与直线y=x+4只有一个交点，方程 有两个相等的实数根，即 抛物线与直线y=x+4交点是“纵三倍点”，则x=2y=6，n=-2m-2②， 联立①②得：即可求解；
(3)当t+1≤2，即 时，当b=t+1时， w有最小值，则 即 t+3=0，即可求解；当t≤2≤t+1，即 t≤2、t>2时，同理可解.
25．【答案】（1）解：将和代入解析式，
得：，
解得：
∴解析式为
（2）解：将y=0代入解析式可得：，
整理得到：
解得：
∴点B坐标为．
如图，作，过点B作交与T，作，
则三角形为等腰直角三角形，
∴，，
∴①，
又∵②，
③，
由①②③得，
∴，，
∴
∴
设解析式，C，T坐标分别代入得，
解得：
∴此函数解析式为，
联立和得
整理可得：，
解得（舍去）
将代入得
∴。
（3）解：点Q的横坐标为定值，
理由如下：由，得，
∴直线AC的解析式为：，又
∴可设直线MN的解析式为：
设，
联立和，
∴
设直线的解析式为：
将M点坐标代入得，
得，
解得
设直线NC的解析式为：，
同理可得
∴解析式为，解析式为
联立和的解析式：得Q的横坐标
得
∵
∴
将代入，得
∴点Q的横坐标为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入解析式求出b、c的值即可；
（2）作，过点B作交与T，作，先利用待定系数法求出直线CP的解析式，再联立方程可得求出x的值，可得点P的坐标；
（3）设，，先求出直线MA的解析式，联立和的解析式：得Q的横坐标，求出，再结合，将代入，得，从而可得点Q的横坐标.
1 / 1《二次函数》精选典型题——人教版九年级上学期数学期末复习
一、单选题
1．（2025九上·黄埔期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由抛物线图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
，对称轴为，即，，
，故①正确；
抛物线与x轴有两个交点，
，
，故②错误；
，
点A的坐标为，代入解析式得，
∵，等式两边同时除以得，故③正确；
设，，
二次函数的图象与x轴交于A，B两点，
和是方程的两根，
，
，
，故④正确；
综上所述：正确的有①③④，共3个，
故选：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025九上·霞山月考）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，
设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则，
根据“焦点”定义可知：，，
∵点为抛物线顶点坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
∴，，
由得：，
∴，
即：
整理得：，
∴，
∴，解得：，
∴焦点的坐标为，
故选：．
【分析】设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则由题意可得，，，根据两点间距离可得，，则，则，根据两点间距离可得AM，MN，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
3．（2025九上·东莞期末）如图，正方形的顶点在抛物线上，点在轴上，点在轴上．若点的横坐标为，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：点是抛物线与轴的交点，
∴令，则，
解得，，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
如图所示，过点作轴于点，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，整理得，，
解得，，（舍去），
∴，
故选：C ．
【分析】根据x轴上点的坐标特征可得，由题意可得，过点作轴于点，则，，根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
4．（2024九下·峄城期中）如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），与轴的一个交点为A（－4，0）．直线（）经过点A和点B．以下结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是（4，0）；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为．其中结论正确的是（　　）
A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，故①错误；
∵，
∴，即 同号，
∵抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），
∴抛物线与轴的另一个交点为 ，故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），
∴当时 ， ，
即抛物线与直线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故④错误；
观察图象得：当 时， ，
在对称轴的右侧，抛物线的图象自左向右呈上升趋势，
即此时 随 的增大而增大，
又当 时， ，
∴，故⑤正确；
观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，
∴不等式的解集为，故⑥正确；
∴正确的有②⑤⑥．
故答案为：B
【分析】观察图象得：抛物线的对称轴为直线 ，可得到 ；进而得到 同号，再有抛物线开口向上，与 轴交于负半轴，可得 ， ，从而得到 ；再由抛物线的对称轴为直线 ，与轴的一个交点为A（－4，0），可得线与轴的另一个交点为；然后根据抛物线的顶点坐标为B（－1，－3），可得抛物线与直线只有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根；再由观察图象得：当 时， ，根据抛物线的增减性，可得：；最后根据观察图象得：当 时，直线的图象位于抛物线的上方，可得不等式的解集为，即可求解．
5．（2025九上·花都期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为．
设点，则，且．
∴，
当时，有最大值，最大值为8，
∴．
故选：D．
【分析】根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得二次函数解析式为，设点，则，且．根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
6．（2025九上·南沙期末）如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
故结论①正确，符合题意；
抛物线图象开口向下，与轴的正半轴相交，
，，
，
，
，
故结论②错误，不符合题意；
抛物线与轴交于点，
当时，，即，
，
，
，
故结论③错误，不符合题意；
抛物线与轴交于点，，
，
①②得：，
，
，
，
，
，
故结论④正确，符合题意；
综上所述，正确的结论有①④，为2个，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的对称性，结合，， 可得出对称轴为直线，即可得出①正确；再根据抛物线的开口方向得出a＜0，对称轴得出b＞0，根据抛物线与y轴的交点可得出c＞0，进而即可得出abc＜0，即②不正确；根据对称轴为x=1，可得出，b=-2a，再结合图像可得出当时，，即，进而得出，即③不正确；根据点，，可得出，解得，进而根据三角形的面积计算公式可得出，即④正确，综上即可得出答案。
7．（2024九上·柳南月考）矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：
当时，，
此时函数的图象为抛物线的一部分，
它的最高点为抛物线的顶点，最低点为；
当时，点E停留在B点处，
故，此时函数的图象为直线的一部分，
它的最上点可以为，它的最下点为．
结合四个选项的图象知选A项．
故选：A．
【分析】分情况讨论：当时，根据y=大矩形面积-小矩形面积建立关系式，结合二次函数性质作图即可；当时，点E停留在B点处，建立函数关系式，再结合一次函数性质作图即可.
8．（2024·周村模拟）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点，其对称轴为直线
抛物线与轴交于点和，且
由图象知：，，
故结论①正确；
抛物线与x轴交于点
故结论②正确；
当时，y随x的增大而增大；当时，随的增大而减小
结论③错误；
，
抛物线与轴交于点和
的两根是和
，
即为：，解得，；
故结论④正确；
当时，
故结论⑤正确；
抛物线与轴交于点和，
，为方程的两个根
，为方程的两个根
，为函数与直线的两个交点的横坐标
结合图象得：且
故结论⑥成立；
故选C．
【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与轴交于点和，且，根据函数图象与系数的关系可得，可判断①；将点代入解析式可得，则，可判断②，根据二次函数的增减性可判断③；根据二次方程根与系数的关系可得，，代入解析式，解方程可判断④；将代入解析式可判断⑤；根据二次函数图象与系数的关系可判断⑥.
9．（2024·海州模拟）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；四边形-动点问题；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，
∴S=；
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，
∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，
∴S=；
故答案为：D．
【分析】
观察各个选项只需分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形：当0≤t≤1时根据正方形的性质得到得到直线EO垂直BC，从而可知点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，列出函数关系式，可判断A，C不符合题意；当1＜t≤2时，同样的方法列出函数关系式可判断B不符合题意，由此即可解答．
二、填空题
10．（2025九上·黄埔期中）已知抛物线，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点，设点的纵坐标为，若，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；二次函数y=ax²+bx+c的性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：抛物线，
则顶点坐标为，
将绕原点旋转后，抛物线的顶点坐标为，开口方向相反，
∴的解析式为，且图象开口向下，对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线在上的最大值，
分情况讨论：
当时，则时，，
∴，解得，故；
当时，则时，，
∴，解得，与矛盾，不符合题意，
当时，则时，，
∴，解得，与矛盾，不符合题意，
综上， 的取值范围为．
故答案为：．，
【分析】将抛物线解析式转换为顶点式可得顶点坐标，再根据旋转性质可得的解析式为，且图象开口向下，对称轴为直线，再根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
11．（2025九上·广州期中）已知抛物线（是常数）开口向下，过两点，且．下列四个结论：
①
②若时，则
③若方程有四个根，且四个根和为s，则
④已知点均在抛物线上，其中，若，则n的取值范围是．
其中正确的结论有　 　（写序号）
【答案】①③
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵过，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，故正确；
当时，抛物线为，
∴，，
∴，故错误；
∵方程有四个根，
∴，各有两个根，
∴每个方程的根的和为，
∴四个根总和，
由抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴点在对称轴处，即顶点，
∴为最大值，故且，
要满足，由，则需比离对称轴更近，
∴，解得，
由①可得，即，
∴
故错误；
综上，正确结论为，
故答案为：①③．
【分析】根据二次函数的对称性可得，由，从而可判断；当时，抛物线为，，，然后代入即可判断；由方程有四个根，则或，可得每个方程的根和为，然后由，则，，即，再通过，即可判断；由，则，可得点在对称轴处，即顶点，然后通过二次函数对称轴结合①，即可判断；
12．（2023九上·石嘴山月考）我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x值的增大而增大；
④当或时，函数的最小值是0；
⑤当时，函数的最大值是4．
其中正确的结论有　 　．（填正确的序号）
【答案】①②③④
【知识点】通过函数图象获取信息；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵和坐标都满足函数，
∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的；
故答案为：①②③④．
【分析】将点，代入函数解析式可判断①；根据函数图象信息可判断①②③；根据函数图象可得函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据，求出相应的x的值为或，可判断④；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，可判断⑤.
三、解答题
13．（2025九上·惠州月考）综合与实践：
素材1 福州地铁某站在工作日早高峰期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在这两小时内，A出口的人流量y（人次）与时间t（分钟）存在如下关系：以为起始时间点（） t（分钟）0306090120y（人次）1060807030
任务1 根据已知条件，将，，，，在平面直角坐标系中描点，观察发现它们的连线形状近似于抛物线，所以猜想y与t满足二次函数的关系式，请求出该二次函数解析式．
素材2 福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如的人流量比原来增加2人，的人流量比原来增加4人，以此类推……
任务2 求时段y与t的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻；
素材3 在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵．
任务3 为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次/分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中y与t的关系式，通过计算，直接写出该出口需要启动一级客流管控的持续时长．
【答案】解：任务1，将，，，，在平面直角坐标系中描点，观察发现它们的连线形状近似于抛物线，所以猜想y与t满足二次函数的关系式，
设y与t的关系式为，
将，，三点的坐标代入得：
，解得，
，
当时，，
当时，，
∴经验证，，，，均满足，
∴y与t的关系式为．
任务2，当时，，
∴对称轴为，
，
∴当时，y随着t的增大而增大，
∴当时，y取最大值，此时为上午；
任务3，由任务1和任务2的解答中可知，只有当时，才可能出现人流量达到或超过200人次/分钟的情况，
令，则，解得或150，
∵，
∴符合条件的t的范围是，
，
∴该出口需要启动一级客流管控的持续时长为20分钟．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；作图-二次函数图象
【解析】【分析】任务1：设y与t的关系式为，根据待定系数法将点，，代入解析式即可求出答案.
任务2：根据二次函数的性质即可求出答案.
任务3：将y=300代入解析式，解方程即可求出答案.
14．（2025九上·惠州期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2交x轴于点A，交y轴于点B，过点A的抛物线y=ax2+bx-2与y轴交点C，与直线AB的另一个交点为D，点E是线段AD上一点，点F在抛物线上，EF∥y轴，设E的横坐标为m.
（1）用含a的代数式表示b．
（2）当点D的横坐标为8时，求出a的值．
（3）在（2）的条件下，设△ABF的面积为S，求出S最大值，并求出此时m的值．
【答案】（1）解：由题意A（2，0），B（0，2），
把A（2，0）代入y=ax2+bx-2得到4a+2b-2=0，
∴b=1-2a．
（2）∵D的横坐标为8，
x=8时，y=-8+2=-6，
∴D（8，-6），
把D（8，-6）代入y=ax2+bx-2得到：64a+8b-2=-6，
∴64a+8（1-2a）-2=-6，
∴a=-．
（3）如图，连接AF、BF，作FH⊥AB于点H．设E（m，-m+2），则F（m，-m+m-2）．
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，AB=2，
∵EF∥OB，
∴∠FEH=∠OBA=45°，
∴FH=EF，
∴S△ABF=×AB×FH=×2×（-m2+m-4）=-（m-5）2+，
∵-＜0，
∴m=5时，△ABF的面积最大，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；平行线的性质；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点即可得到点A和点B的坐标，再将点A代入二次函数解析式即可求解；
（2）根据点D的横坐标，代入一次函数解析式，即可得到点D的纵坐标，再将其代入二次函数即可求解；
（3）连接AF、BF，作FH⊥AB于点H，设E（m，-m+2），则F（m，-m+m-2），根据题意解直角三角形（等腰直角三角形）得到∠ABO=45°，AB=2，进而根据平行线的性质得到∠FEH=∠OBA=45°，则FH=EF，再根据三角形的面积结合二次函数的最值即可求解。
15．（2025九上·海珠月考）综合与实践
问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，需要建有一个休息室，一个洗手间．
设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸先对折，得到的垂直平分线，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为，再次摊开，铺平，连接，，得到，，四边形，四边形四个区域．一条抛物线形的路把这四个区域串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点．
工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在四边形区域内的抛物线上找一点N，使得的面积最大，在此处建一个休息室，请求出点N坐标；
（3）为了平衡布局，设计人员要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，若点H在抛物线上的四边形区域内，求点H的坐标．
【答案】（1）解：由题意得：，在中，由勾股定理得：，
∴．
设抛物线的函数表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为.
（2）解：如图2，过N点作于G点，交于K点，
设直线的表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线的表达式为．
设，则，
则，
∴
，
∵，
∴当时，S的值最大，
∴.
（3）解：设点的坐标为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
又点在抛物线上，
∴，
解得或，
当时，，此时点，与点重合，不在四边形区域内，舍去；
当时，，此时点，在四边形区域内，符合要求，
所以，点的坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；坐标系中的两点距离公式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先去粗胡点A、P的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过N点作于G点，交于K点，先求出直线AP的解析式，再设，则，求出，再利用三角形的面积公式及割补法可得，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）设点的坐标为，利用“洗手间到点P和点B的距离相等”，可得的垂直平分线与抛物线的交点即为点， 从而得解.
（1）解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
设抛物线的函数表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图2，过N点作于G点，交于K点，
设直线的表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线的表达式为．
设，则，
则，
∴
，
∵，
∴当时，S的值最大，
∴；
（3）解：设点的坐标为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
又点在抛物线上，
∴，
解得或，
当时，，此时点，与点重合，不在四边形区域内，舍去；
当时，，此时点，在四边形区域内，符合要求，
所以，点的坐标为．
16．（2025九上·天河月考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”．
（1）直线上的“好点”坐标为 ；
（2）若“好点二次函数”的图象与轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；
（3）若“好点二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求的值．
【答案】（1）
（2）解：当时，，
∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是，
∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，
∴，
∴“好点二次函数”为，
∵是“好点二次函数”，顶点为
∴，解得：或.
∴这个“好点二次函数”的表达式为或.
（3）解：∵“好点二次函数”的图象过点，
∴，解得，，
∴或，
∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去，
∴，
∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
即，解得或，
∴，
当，即时，函数的最小值为2，不符合题意；
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，即，
解得或，
∴，
综上可知，的值为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，解得，
∴直线上的“好点”坐标为.
故答案为：.
【分析】（1）根据好点的定义得到，解方程即可得直线上的“好点”坐标为.
（2）当时，，得“好点二次函数”的图象与y轴的交点是，再根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，得，可得“好点二次函数”为，根据是“好点二次函数”，顶点为得，解得：或，即可得这个“好点二次函数”的表达式为或.
（3）根据“好点二次函数”的图象过点，
得，解得，，即可得或，当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，当时，函数有最小值，即，解得或，即，当，即时，函数的最小值为2，不符合题意，当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，当时，函数有最小值，即，
解得或，得，综合得的值为或．
（1）解：由题意可得，，
解得，
∴直线上的“好点”坐标为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是，
∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，
∴，
∴“好点二次函数”为，
∵是“好点二次函数”，顶点为，
∴，
解得或，
∴这个“好点二次函数”的表达式为或；
（3）解：∵“好点二次函数”的图象过点，
∴，
解得，，
∴或
∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去，
∴，
∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
即，
解得或，
∴，
当，即时，函数的最小值为2，不符合题意；
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，即，
解得或，
∴，
综上可知，的值为或．
17．（2025九上·黄埔期中）阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，．这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题．
已知：二次函数的函数图象上分别有，两点，其中，，分别在对称轴的异侧，是中点，是中点．利用阅读材料解决如下问题：
概念理解：
（1）如图1，若，求出，的坐标．
解决问题：
（2）如图2，点是关于轴的对称点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．试判断是否在轴上，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点．延长至，使得．
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
②在①条件下，轴上一点，抛物线上任意一点，连接，，直接写出的最小值．
【答案】（1）解：∵，，是中点，
∴，，
；
，，是中点
，，
；
（2）解：是在轴上，理由如下：
，点是关于轴的对称点，
，
是中点，是中点，
，则；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，
，
，
，
轴，且，
是在轴上；
（3）解：①，，是中点，
；
是中点，
；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点．延长至，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，
，
，
轴，
，
即，，
，
综上是一个定值；
②
【知识点】坐标与图形性质；两点之间线段最短；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）②∵是轴上一点，是抛物线上任意一点，，
∴当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最小，最小值为，
此时，最小为，
故的最小值为．
【分析】（1）根据线段中点公式即可求出答案.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，根据线段中点可得，则，根据平行于y轴的直线上点的坐标特征可得，再代入解析式可得，根据两点间距离可得，由题意可得，则，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
（3）①根据线段中线公式可得，，再根据平行于y轴的直线上点的坐标特征可得，代入解析式可得，根据题意可得，，则，根据平行于y轴的直线上点的坐标特征可得，则，，即，即可求出答案.
②当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，根据两点间距离可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
18．（2025九上·惠州期中）项目式学习
主题 矩形劳动实践基地最大面积探究
背景 习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．为促进学生全面发展、健康成长，某校计划在校园围墙内建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙．
素材 绘制设计 如图，兴趣小组利用墙和篱笆围出这个矩形劳动实践基地，在平行于墙的边上留一个1米宽的门．
操作测量 经测量，墙长为18米，另外三边用长为29米的篱笆围成（门除外）；
数学建模 设垂直于墙的一边长为米，其中，平行于墙的一边长为米，矩形劳动实践基地的面积为平方米．
任务 （1）请直接写出与，与的函数关系式； （2）当平方米时，求垂直于墙的一边长； （3）兴趣小组根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14米，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】（1）
（2）当时，，
解得，
，
，
答：垂直于墙的一边长为；
（3），
解得，
，
，
，
开口向下，
对称轴为直线，
在对称轴右侧，随的增大而减小，
当时，，
答： 垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴；
∴；
【分析】（1）根据矩形的周长与面积建立代数式即可求出答案.
（2）根据题意建立建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
19．（2024·威远模拟）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
（3）（-1，0）或（，-2）或（，2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3） 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将解析式转换为顶点式可得对称轴，根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为（0，-3），作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3）， 根据对称性质可得CQ=EQ，根据三角形周长可得△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，设直线AE的解析式为，根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式可得直线AE的解析式为，再将x=1代入解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，根据等腰三角形性质可得PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，再根据角之间的关系可得∠FMP=∠EPB，根据全等三角形判定定理可得△FMP≌△EPB（AAS）， 则PE=MF，BE=PF，设点P的坐标为（1，m），根据两点间距离可得，则，，根据点的坐标可得点M的坐标为（1-m，m-2），将点M坐标代入抛物线解析式，解方程可得点M的坐标为（-1，0）；同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），同理可证△PEB≌△BFM（AAS），根据全等三角形性质可得，则点M的坐标为（3-m，-2），将点M坐标代入抛物线解析式，解方程可得点M的坐标为（，-2）；当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，同理可以求得点M的坐标为（，2），即可求出答案.
20．（2024·定日模拟）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，
设抛物线的解析式为，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，
当时，，
，
作点B关于y轴的对称点，
则，，
，
当，，A共线时，拉杆长度之和最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，位置如下图所示：
（3）解：中，
抛物线开口向下，
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
综上可知，或，
的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据点的坐标可得，，再根据待定系数法将点C，A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将x=1代入解析式可得，作点B关于y轴的对称点，根据关于y轴对称的点的坐标特征可得，，根据边之间的关系可得，当，，A共线时，拉杆长度之和最短，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B'，A坐标代入解析式可得直线的解析式为，再根据y轴上点的坐标特征将x=0代入解析式即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
21．（2025九上·广州期中）已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点C，顶点为，对称轴为直线
（1）根据题目信息填空：__________，的面积＝__________；
（2）直线与抛物线相交于两点，当最小时，求M，N的坐标；
（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为，若线段在轴上移动，求的最小值，并求此时点的坐标．
【答案】（1）；6
（2）解：由题可得：，
整理得：，
∴是的两个根，
∴，，
∴，
∴当时，最小，即最小，
∴直线解析式为：，
∵直线与抛物线相交于两点，
∴
解得：或，
∴．
（3）解：抛物线图象如图所示：
平移线段到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，令，连接，
由（1）知：，，，
∵O，B，P，C构成多边形的周长为，
∴在线段平移过程中，的长度不变，
∴要使最小，只需最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
∴，
令时，，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
令，即，
解得：，，
∵点和点是轴（点在点的左侧），
∴，，
令，则，
∴，
∴．
故答案为：2；6．
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式可得b值，根据坐标轴上点的坐标特征可得，，，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）由题可得：，根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入，结合二次函数的性质可得当时，最小，即最小，则直线解析式为：，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）作出函数图象，平移线段到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，令，连接，O，B，P，C构成多边形的周长为，在线段平移过程中，的长度不变，要使最小，只需最小，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，设的解析式为：，根据待定系数法将点C'，P'坐标代入解析式可得，根据x轴上点的坐标特征可得，根据勾股定理可得P'C'，根据两点间距离可得CP，即可求出答案.
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
令，即，
解得：，，
∵点和点是轴（点在点的左侧），
∴，，
令，则，
∴，
∴．
故答案为：2；6．
（2）解：由题可得：，
整理得：，
∴是的两个根，
∴，，
∴，
∴当时，最小，即最小，
∴直线解析式为：，
∵直线与抛物线相交于两点，
∴
解得：或，
∴．
（3）解：抛物线图象如图所示：
平移线段到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，令，连接，
由（1）知：，，，
∵O，B，P，C构成多边形的周长为，
∴在线段平移过程中，的长度不变，
∴要使最小，只需最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设的解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
∴，
令时，，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴．
22．（2025九上·海珠期末）已知抛物线（m为常数，且）．
（1）不论为何值，抛物线的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标；
（2）若对于任意自变量，都有点与点分别到点的距离相等，则与形成的函数称为抛物线（异于）是抛物线的“倍相伴函数”．
①求抛物线的“2倍相伴函数”是的解析式；
②在①的情况下，的图象经过两个定点和（在左边），横坐标分别为、，若存在时，与都随着的增大而增大，求的取值范围．
【答案】（1）解：令，
解得：，
在抛物线中，
令得，
令，得，
∴抛物线y的图象经过定点和．
（2）解：①依题意，与关于中心对称，
故，
设函数上的任意一点坐标为，
则关于的对称点为，
依题意必在函数上，
代入，
得，
化简得：，
令，
得，
②的图象经过定点和．
根据与关于中心对称，，
可得必过定点，，
故，
即．
对称轴为直线，对称轴为直线，
当时，的图象开口向上，在对称轴右侧随x增大而增大，
则时满足题意，
解得∶，
当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大，
则时满足题意，
解得∶，
所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意
当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大，
则满足题意，
解得：，
当时，的图象开口向下，在对称轴右侧随x增大而增大，
则，满足题意，
解得：，
所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意．
综上所述，当，与都随x增大而增大，或满足题意．
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据题目中"定点"的定义，分析函数表达式可知当x=1或x=3时，函数值y与参数m无关，因此这两个x值对应的点即为定点。具体计算如下：当x=1时，y=m(1)2+(1-4m)(1)+3m-1=1，得到定点(1，1)； 当x=3时，y=m(3)2+(1-4m)(3)+3m-1=2，得到定点(3，2)；
（2）①根据题意，设函数y2上的任意点(x，y2)，其关于直线y=kx的对称点为(x，2kx-y2)。将这个对称点代入y1的表达式：
，当k=2时，可以解得y2的表达式；
②分析两个函数的对称轴：y1的对称轴为， y2的对称轴为，需要分两种情况讨论：
1）当m>0时，通过比较两个对称轴的位置关系建立不等式求解；
2）当m<0时，同样建立相应不等式求解。
（1）解：
令，
解得：，
在抛物线中，
令得，
令，得，
∴抛物线y的图象经过定点和．
（2）解：①依题意，与关于中心对称，
故，
设函数上的任意一点坐标为，
则关于的对称点为，
依题意必在函数上，
代入，
得，
化简得：，
令，
得，
②的图象经过定点和．
根据与关于中心对称，，
可得必过定点，，
故，
即．
对称轴为直线，对称轴为直线，
当时，的图象开口向上，在对称轴右侧随x增大而增大，
则时满足题意，
解得∶，
当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大，
则时满足题意，
解得∶，
所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意
当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大，
则满足题意，
解得：，
当时，的图象开口向下，在对称轴右侧随x增大而增大，
则，满足题意，
解得：，
所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意．
综上所述，当，与都随x增大而增大，或满足题意．
23．（2025九上·惠州期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标．
【答案】（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：当时，∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
（3）解：如图，设，则∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．

【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法求出函数解析式；
（2）先利用二次函数图象上点的坐标特征求出A、C两点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再过点P作轴交直线于点E，设，则点的坐标可表示，再证明，由相似比得，即求出PE的最大值即可，此时可把PE转化为关于t的二次函数，再利用二次函数的性质求出最大值即可；
（3）设，则，由折叠的性质和平行线的性质可得，再列式进行求解即可．
（1）解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）当时，
∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
（3）如图，设，则
∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．
24．（2025九上·长沙月考）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 　 　 ；（填序号）
①y＝﹣2x+1；②y＝x2+x+1．
（2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①②
（2）解：∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，
∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，
∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0，
∴nm2m①，
∵抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”，
∴x＝2，y＝6，
∴n＝﹣2m+2②，
联立①②，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8；
（3）解：∵抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，
∴方程3x＝ax2+bx有且只有一个实数根，
∴Δ＝（b﹣3）2﹣4a＝0，
∴a（b﹣3）2，
∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，
根据题意，当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，
当t+1≤2，即t≤1时，当b＝t+1时，w有最小值，
∴t＝2（t+1﹣2）2+1，
即2t2﹣5t+3＝0，
解得：t1＝1，t2（舍去），
∴此时不存在常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，w的最小值为1，
即t≤b≤t+1时，w的最小值为1，不符合题意；
当t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1，
即2t2﹣9t+9＝0，
解得：t1（舍去），t2＝3，
∴存在常数t＝3，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
综上所述，t的值为1或3．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①由得，
∴在直线y＝﹣2x+1上只有一个“纵三倍点”：（，）；
②由得：，
∴二次函数y＝x2+x+1的图象上只有一个“纵三倍点”：（1，3）；
故答案为：①②；
【分析】(1)由新定义即可求解；
(2)抛物线与直线y=x+4只有一个交点，方程 有两个相等的实数根，即 抛物线与直线y=x+4交点是“纵三倍点”，则x=2y=6，n=-2m-2②， 联立①②得：即可求解；
(3)当t+1≤2，即 时，当b=t+1时， w有最小值，则 即 t+3=0，即可求解；当t≤2≤t+1，即 t≤2、t>2时，同理可解.
25．（2024九上·蔡甸期中）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴的负半轴交于点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）点P是抛物线上的一点，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，将直线向下平移与抛物线交于M、N两点，直线交于Q点，请问点Q的横坐标是否为定值，并说明理由．
【答案】（1）解：将和代入解析式，
得：，
解得：
∴解析式为
（2）解：将y=0代入解析式可得：，
整理得到：
解得：
∴点B坐标为．
如图，作，过点B作交与T，作，
则三角形为等腰直角三角形，
∴，，
∴①，
又∵②，
③，
由①②③得，
∴，，
∴
∴
设解析式，C，T坐标分别代入得，
解得：
∴此函数解析式为，
联立和得
整理可得：，
解得（舍去）
将代入得
∴。
（3）解：点Q的横坐标为定值，
理由如下：由，得，
∴直线AC的解析式为：，又
∴可设直线MN的解析式为：
设，
联立和，
∴
设直线的解析式为：
将M点坐标代入得，
得，
解得
设直线NC的解析式为：，
同理可得
∴解析式为，解析式为
联立和的解析式：得Q的横坐标
得
∵
∴
将代入，得
∴点Q的横坐标为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入解析式求出b、c的值即可；
（2）作，过点B作交与T，作，先利用待定系数法求出直线CP的解析式，再联立方程可得求出x的值，可得点P的坐标；
（3）设，，先求出直线MA的解析式，联立和的解析式：得Q的横坐标，求出，再结合，将代入，得，从而可得点Q的横坐标.
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