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2025~2026学年度第一学期12月份高一教学质量摸底检测
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1. 已知，，则是的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. 已知全集，，，，，，，，则集合 （ ）
A. ，， B. ，，
C. ，，，，， D. ，，，
3. 已知幂函数是奇函数，则 （ ）
A.
B.
C.
D. 或
4. 若函数是在上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 角的终边过点，则 （ ）
A. B.
C. D.
6. 已知是定义在上的偶函数，对任意实数满足，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数的大致图象为（ ）
8. 已知函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 化成弧度是
B. 化成角度是
C. 化成弧度是
D. 与的终边相同
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定为“，”
B. 设，则“”是“”的必要不充分条件
C. 设，，若集合，，与集合，，相等，则，
D. 满足，，，，，，的集合有4个
D. 点到直线距离的最小值为
11. 已知函数在上的最大值为2，函数有且仅有三个不同的零点，则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 函数的图像过定点______.
13. 已知，，且，则的最小值为______.
14. 若实数满足，则称为函数的一个“二阶不动点”。给定函数，则其所有“二阶不动点”的和为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分）
计算：
（1）；
（2）。
16.（本题满分15分）
（1）已知，求和的值；
（2）已知，，求的值；
（3）已知，，求的值。
17.（本题满分15分）
已知函数，且的解集为。
（1）求的解析式；
（2）设，在定义域范围内若对于任意的，，使得恒成立，求的最小值。
18．（本题满分17分）
近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如表所示．
建立平台第年 1 2 3
会员人数（千人） 22 34 70
（1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数；
①（ ；②\（ ；③\（ ．
（2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为，，的最小值．
19．（本题满分17分）
已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）用定义判断在区间上的单调性；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．2025~2026学年度第一学期12月份高一教学质量摸底检测
数学试题参考答案、提示及评分细则
1.【答案】B
【解答】解：当时，，即充分性成立；
当时，不一定成立，即必要性不成立．
2.【答案】D
【解答】解：全集，，，，，，，，
∴集合中没有元素，，排除选项和选项，
若，，，则中没有元素，不符合题意，排除选项，
若，，，，则，，符合题意，故正确．
3.【答案】A
【解答】解：由函数为幂函数，可得，即，解得或．
当时，，，原幂函数为奇函数，故成立；
当时，，，原幂函数为偶函数，所以．
4.【答案】C
【解答】解：因为函数是在上的增函数，
所以在，上均单调递增，且，
故有，解得，所以实数的取值范围是．
5.【答案】A
【解答】解：已知角的终边经过点，所以．
6.【答案】C
【解答】解：由题意得，又，
所以，故，即的周期为，
所以，，，
又因为，，，故，
又在上单调递增，根据周期性可知，在上单调递增，在上单调递减，所以，即。
7.【答案】
【解答】解：根据题意，函数的定义域为，显然有，即为奇函数，因此函数的图象关于原点对称，、错误；
当时，，于是，显然不满足，符合题意。
8.【答案】
【解答】解：由函数，令，可得，即因为函数有且仅有两个零点，
即函数与直线的图象仅有两个交点，
因为，
作出函数和的图象，如图所示：又因为直线过定点
当时，联立方程组，可得，由，解得，
此时直线与相切于点，当时，可得，
要使得函数有且仅有两个零点，则满足或，
所以实数的取值范围为。
9.【答案】
【解答】解：对应的弧度为，所以对应的弧度为，故正确；
对应的角度为，所以对应的角度为，故正确；
对应的弧度为，故错误；
，，所以这两个角的终边相同，故正确。
10.【答案】
【解答】解：命题“，”的否定为“，”，正确；
，而解得，所以“”是“”的充分不必要条件，不正确；
根据题意或，当时，，不符合集合元素的互异性；
当时，，，，，，，，，，，则，解得（舍）或，
所以，，正确；集合包含集合，，，同时又是，，，，的真子集，
则为，，，，，，，，，，，共个，不正确．
11．【答案】
【解答】解：令，其对称轴为，图象开口向上，且，
则，因为函数在上的最大值为，若，即，
则在区间上单调递增，且，所以当时，，
所以在区间上单调递增，又，所以函数在上的最大值不为，不合题意；
所以，若，即，
①当，即，此时，，
由二次函数的性质知，不合题意；
②当，即，由题有，解得，
所以，此时，
由二次函数的性质知，，当且仅当时取等号，要使函数在上的最
大值为，则，即；若，即，
此时在区间上单调递减，要使函数在上的最大值为，
则，解得，无解，综上所述，，所以错误，正确；
的图象如图所示，由，得到，
令，由题知与有且仅有个交点，
令，解得或，
由图知，与有且仅有一个交点，
由，消得到，由，得到，
由图知不合题意，所以，故正确，错误．
12．【答案】．
【解答】解：函数且中，由，得，
此时，． ∴函数的图像过定点．
13．【答案】．
【解答】解：，，且，由，
当且仅当时等号成立，由于，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，可知当，即时取得最小值．
14．【答案】．
【解答】解：当时，由，可得，当时，，
则，解得；当时，，则有，解得；
当时，由，可得，又因为时，所以，
所以，解得，当时，，则，
解得，所以函数有4个“二阶不动点”，分别为、、、，
所以所有“二阶不动点”之和为：．
15．【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）原式……6分
（2）
……………………………………………………………………13分
16．【答案】（1）答案见详解；（2）；（3）．
【解答】解：（1）因为，可知角为第一或第四象限角，
若角为第四象限角，则，………………………………………3分
若角为第一象限角，则，…………………………………………………3分
（2）因为，，则，，
所以…………………………………………………10分
（3）因为，则，
由题意可得{sin α+cos α=15cos2 α+sin2 α=1，解得{sin α=45cos α= 35 14分
所以cosα-sinα=-35-45=-75 15分
17.【答案】（1）；（2）的最小值为.
【解答】解：（1）函数，且的解集为。
∴ {f(1)=0f(3)=0，即{a+b+3=09a+3b+3=0，解得{a=1b= 4 2分
∴ f(x)=x2-4x+3 4分
（2）由（1）得，则，定义域为，
在定义域范围内若对于任意的，，使得恒成立，转化为......6分
令，
∴当x>0时，x+2x≥2x·2x=22，当且仅当x=2x，即x=2时等号成立 8分
当时，，则，当且仅当，即时等号成立，
∴ x+2x≤-22，∴ g(x)∈(-∞,-22]∪[22,+∞) 10分
又，
当x=0时，h(0)=0 11分
当x≠0时，h(x)=1x+2x=1g(x)，此时h(x)∈-24,0∪0,24 13分
综上所述，h(x)∈-24,24，∴ M≥24--24=22，∴ M的最小值为22 15分
18.【答案】（1）选择模型③，，178千人；（2）.
【解答】解：（1）某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加，
已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如表所示：
建立平台第年 1 2 3
会员人数（千人） 22 34 70
由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快 3分
模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③ 4分
于是ta+s=22，ta2+s=34，ta3+s=70，解得a=3，t=2，s=16 5分
所以函数模型对应的解析式为y=2·3x+16(x∈N*) 6分
当x=4时，预测2024年年末的会员人数为2×34+16=178千人 8分
（2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，
由（1）及已知得，对 x∈N*，都有2·3x+16≤k·9x，令t=3x≥3，则k≥16t2+2t 10分
令m=1t∈(0,13]，则不等式右边等价于函数f(m))=16m2+2m 12分
函数f(m)在区间(0,13]上单调递增，因此f(m)max=f(13)=16×19+2×13=229 15分
则k≥229，所以k的最小值为229 17分
19.【答案】（1）；（2）函数在上单调递增；（3）.
【解答】解：（1）设函数的图象的对称中心为，
则f(a+x)+f(a-x)-2b=0 1分
即(x+a)-6x+a+1+(-x+a)-6-x+a+1-2b=0 2分
整理得(a-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(a+1) 3分
可得{a b=0(a b)(a+1)2 6(a+1)=0，解得a=b=-1，所以f(x)的对称中心为(-1,-1) 4分
（2）函数在上单调递增；
证明如下：任取，且，
则f(x1)-f(x2)=x1-6x1+1-(x2-6x2+1)=(x1-x2)[1+6(x1+1)(x2+1)] 5分
因为x1，x2∈(0,+∞)且x10 6分
所以f(x1) f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)=x-6x+1在(0,+∞)上单调递增 8分
（3）由对任意，总存在，使得，
可得函数g(x)的值域为f(x)值域的子集 9分
由（2）知在上单调递增，故的值域为，
所以原问题转化为g(x)在[0，2]上的值域A [-2，4] 10分
①当时，即时，在单调递增，又由，
即函数的图象恒过对称中心················································ 11分
可知在上单调递增，故在上单调递增，
又因为，，故，
因为，所以，解得·············································· 12分
②当时，即时，在单调递减，在单调递增，
因为过对称中心，故在单调递增，在单调递减······················ 13分
故此时，
欲使，只需，
且，解不等式，可得·································· 14分
又，此时······ 15分
③当时，即时，在单调递减，在上单调递减，
由对称性知在上单调递减，所以，
因为，所以，解得·············································· 16分
综上可得：实数的取值范围是······························· 17分
注：及以上各解法仅供参考，如有其它解法并且正确，请按相应步骤给分！
