北京市第八中学2025-2026学年上学期高一期中考试数学试题（图片版，含答案）

2025北京八中高一（上）期中
数 学
年级：高一 科目：数学
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（共 10 道小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，选出符合题
目要求的一项）
2
1. 已知命题 P： x R ， x x 0，则命题 P的否定为（ ）
A. x R ， x2 x 0 B. x R ， x2 x 0
C. x R ， x2 x 0 D. x R ， x2 x 0
2. 已知集合 A = (x, y) y = x ，B = (x, y) y = x ，则 A B =（ ）
A. (0,0) B. (1,1) C. (0,0) ,(1,1) D.
3. 在定义域内，下列函数既是奇函数又是增函数的为（ ）
1
y = x +1 2A. B. y = C. y x D. y = x x
x
4. 设 x R ，则“ 0 x 1”是“ x3 x2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数 f (x) = x2 + 2x在区间 (a,a +1)上是单调函数，则实数 a的取值范围为（ ）
A. ( ,0 1,+ ) B. ( ,0) (1,+ )
C. ( , 2 1,+ ) D. ( , 2) ( 1,+ )
6. 已知 a b c，且 a + b + c = 0 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
1 1 a b
A. a b c B. ab bc C. D.
a c b c c2 c2
x2 1
7. 函数 f (x) = 的图像大致是（ ）
x
A. B. C. D.
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8. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足下列条件：① f ( 2) = 0 ，② f ( x) f (x) = 0 ，③对 x1 ，
f (x2 ) f (x1 ) f (x)
x2 0,+ )，当 x1 x2 时，都有 0，则不等式 0 的解集为（ ）
x2 x1 x
A. ( , 2) (2,+ ) B. ( 2, 2)
C. ( 2,0) (2,+ ) D. ( , 2) (0,2)
x k 2 +1, x 0
9. 已知函数 f (x) = ，若函数 f ( x)存在最小值，则实数 k的取值范围为（ ）
x2 2x + k, x 0
A. ( 2,1) B. 2,1
C. ( , 2) (1,+ ) D. ( , 2 1,+ )
2 2
10. 已知函数 f (x) = + a （ a R ）， g (x) = x +1 ，对 x 1,+ ) ， x 1 2 1, 3 ，使得
x +1
f (x1 ) = g (x2 )成立，则实数 a的取值范围为（ ）
A. (1,3) B. 1,3 C. ( ,3 D. 1,+ )
二、填空题（共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分）
x + 2
11. 函数 f (x) = 的定义域为_________ .
x
12. 已知x ， x 是方程 x22 ax +1= 0的两实根，且 x1 x2 = 5 ，则实数a =______. 1
13. “若 x a,a + 2 ，则 x 3,3 ”为真命题，则实数 a的一个值为______.
2
14. 已知函数 f (x) = x ax + 2a 3的两个零点一个小于3，另一个大于3，则实数 a的取值范围为______.
4
15. 已知函数 f (x) = x + 在区间 1,a 上的值域为 4,5 ，则实数a的取值范围为______.
x
a +b,a,b同为正偶数或正奇数
16. 定 义 某 种 运 算“ ”如 下 ： a b = ， 则 集 合
a b,a,b中一个为正奇数,另一个为正偶数
M = (a,b) a b = 6,a,b *N 中的元素个数是______
17. 已知定义在区间 4, 4 上的函数 f ( x)满足 f (x) = 3 f (x 2)，且当 x 2,0) 2时， f (x) = x + 2x .
（1） f (1) = ______；
（2）若直线 y = m与函数 f ( x)的图像恰有两个不同的交点，则实数m的取值范围为______.
x + 2a, x ( , 2)

18. 已知函数 f (x) = 2a ，给出下列四个结论：
x + + a 2, x 2,0) (0,+ )
x
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7
①若函数 f ( x)在区间 4, 3 上的值域为 4, 3 ，则a = ；
2
f (x2 ) f (x1 ) 3
②对 x ， x2 ( , 21 )，当 x1 x2 时，都有 ；
x2 x1 2
③当 a 1,+ )时，函数 f ( x)在区间 ( , 0)上单调递减；
④若函数 f ( x)在定义域内恰有两个不同的零点，则实数 a的取值范围是 ( , 2 1,0) (0,+ ) .
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题（共 6 道小题，共 70 分）
x + 4 2
19. 已知集合 A = x 0 ， B = x x a 0 .
x 2
（1）若a = 9 ，求 A B， A ( RB)；
（2）若 A B = B，求实数a的取值范围.
2
20. 已知函数 f (x) = x ax +b（ a，b R ）.
（1）已知关于 x的不等式 f (x) 0 的解集为 (1, 4)，求不等式 ax2 + bx +1 0 的解集；
（2）当a = 4时，对 x (1,+ )，都有 f ( x) 0，求实数b的取值范围.
1
21. 已知函数 f (x) = 3x .
x
（1）判断函数 f ( x)的奇偶性并证明；
（2）判断函数 f ( x)在区间 (0,+ )上的单调性，并利用定义证明；
2
（3）解不等式 f (a +1) f ( a + 3) .
22. 某公司为宣传年会，拟在一张矩形海报纸（记为矩形 ABCD，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面
分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为8m2 .为了美观，
要求海报纸上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为0.1m ，同时要求矩形 ABCD的长宽比不小于 2，
AB
即 2,+ ) .设直角梯形的高为 xm，矩形 ABCD的面积为 S (x) .
AD
（1）求 S (x)的解析式；
（2）求 S (x)的最小值.
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2
23. 已知函数 f (x) = mx 2(m+1) x + 4（m R ）.
（1）求关于 x的不等式 f (x) 0 的解集；
（2）当m 0时，设函数 f ( x)在区间 1,2 上的最小值为 g (m)，求 g (m)的最大值
4
24. 已知函数 f ( x)的定义域为D = ( ,0) (0,+ )，如果 x D，都有 f (x) = f ，那么称函数
x
f ( x)具有性质 P .
x 4
（1）已知函数 f (x) = （ x D）， g2 (x) = x （ x D）直接判断函数 f ( x)， g (x)是否具有x + 4 x
性质 P；
x
（2）对于函数 f (x) = （ x D），证明：存在定义域为 ( , 4 4,+ )的函数h (x)，使得
x2 + 4
4
h x + = f (x)对任意 x D成立；
x
（3）对任意具有性质 P的函数 f ( x)，判断是否存在定义域为 ( , 4 4,+ )的函数 h (x)，使得
4
h x + = f (x)对任意 x D成立，并说明理由.
x
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参考答案
一、选择题（共 10 道小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，选出符合题
目要求的一项）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A A D D C B B
二、填空题（共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分）
x 0
11. 【答案】要使函数有意义，则 ，即 x 2且 x 0 ，
x + 2 0
x + 2
f (x) = 的定义域为 2,0) (0,+ ) .
x
故答案为：[-2,0) (0,+ )
12. 【答案】因为x ， x 是方程 x21 2 ax +1= 0的两实根，且 x1 x2 = 5 ，
2
显然 x1 x2 ，则 = ( a) 4 0，解得 a 2或 a 2，
x1 + x2 = a 2
又 ，所以 x1 x2 = (x1 + x2 ) 4x x = 5 ，即 a
2
1 2 4 = 5 ，解得a = 3 .
x1x2 =1
故答案为： 3
13. 【答案】“若 x a,a + 2 ，则 x 3,3 ”为真命题，则 a,a + 2 3,3 ，
a 3
可得 ，解得 3 a 1，例如 a = 0 .
a + 2 3
故答案为：0（答案不唯一，满足 a 3,1 即可）.
2 a
14. 【答案】因为函数 f (x) = x ax + 2a 3的图象开口向上，对称轴为 x = ，
2
若函数 f ( x)的两个零点一个小于 3，另一个大于 3，
则 f (3) = 6 a 0，解得 a 6 ，
所以实数 a的取值范围为 (6,+ ) .
故答案为： (6,+ ) .
4
15. 【答案】 f (x) = x + ，
x
由对勾函数的单调性知，
x (0,2)时， f ( x)单调递减； x (2,+ )时， f ( x)单调递增；
∴ f ( x)在 x = 2 处取得极小值 f (2) = 4
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4
若 a 2 ，则 f ( x)在 1,a 上单调递减， f (x) = f (1) = 5， f (x) = f (a) = a + ，
max min a
4
因为 f ( x)的值域为 4,5 ，所以a + = 4，解得 a = 2；
a
若 a 2，则 f ( x)在 1, 2)上单调递减，在 (2,a 上单调递增，
4
f (x) = f (2) = 4， f (x) = max f (1) , f (a) = max 5,a + ， min max
a
4
因为 f ( x)的值域为 4,5 ，所以 a + 5，解得1 a 4，
a
又 a 2，所以 2 a 4 .
综上， 2 a 4
故答案为： 2,4 .
16. 【答案】因为a b = 6，且 a,b *N ，
若 a,b的奇偶性相同，则 a + b = 6，
满足条件的 (a,b)有 (1,5)， (2, 4)， (3,3)， (4, 2)， (5,1)；
若 a,b的奇偶性不相同，则 ab = 6 ，
满足条件的 (a,b)有 (1,6)， (2,3)， (3,2)， (6,1)；
综上所述：集合M 中的元素个数是 9.
故答案为：9.
17. 【答案】因定义在区间 4, 4 上的函数 f ( x) 满足 f (x) = 3 f (x 2) ，且当 x 2,0) 时，
f (x) = x2 + 2x，
2
则 f (1) = 3 f (1 2) = 3 f ( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) = 3；

当 x 2,0) 2时， f (x) = x + 2x在 2, 1 单调递减，在 1,0)单调递增，
又 f ( 2) = 0, f ( 1) = 1, f (0) = 0 ，所以此时 f ( x)的值域为 1,0 ；
2
当 x 0, 2)时， x 2 2,0)，所以 f (x) = 3 f (x 2) = 3 (x 2) + 2(x 2) = 3(x2 2x)，
此时 f ( x)在 0,1 单调递减，在 1, 2)单调递增，
又 f (0) = 0, f (1) = 3, f (2) = 0 ，所以此时 f ( x)的值域为 3,0 ；
2
当 x 2, 4)， x 2 0,2)，所以 f (x) = 3 f (x 2) = 9 (x 2) 2(x 2) = 9(x2 6x +8)，
此时 f ( x)在 2,3 单调递减，在 3,4)单调递增，
又 f (2) = 0, f (3) = 9, f (4) = 0，所以 f ( x)在 2,4 值域为 9,0 ；
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当 x 4, 2)时， x + 2 2,0)，
1 1 2 1所以 f (x) = f (x + 2) = (x + 2) + 2(x + 2) = (x2 + 6x +8)，
3 3 3
此时 f ( x)在 4, 3 单调递减，在 3, 2)单调递增，
1 1
又 f ( 4) = 0, f ( 3) = , f ( 2) = 0，所以此时 f ( x)的值域为 ,03 3
，

如图，若直线 y = m与函数 f ( x)的图象恰有两个不同的交点，则 9 m 3，
即此时实数m的取值范围为 ( 9, 3) .
18. 【答案】① 4, 3 ( , 2)， f (x) = x + 2a，
f ( x)在 4, 3 上单调递减，
f ( 4) = 4+ 2a = 3 7
，解得 a = .故①正确；
f ( 3) = 3+ 2a = 4 2
②当 x ( , 2)时， f ( x) = x + 2a，
则 x ， x2 ( , 21 )，当 x1 x2 时，
f (x2 ) f (x1 ) x2 + 2a ( x1 + 2a) 3
= = 1 ，故②错误；
x2 x1 x2 x1 2
③当 x ( ,0)时，分两段：
当 x ( , 2)时， f ( x) = x + 2a，则 f ( x)在 ( , 2)上单调递减；
2a
当 x 2,0)时， f (x) = x + + a 2 ，设 2 x1 x2 0，则
x
2a 2a 2a
f (x2 ) f (x1 ) = x2 + + a 2 x1 + + a 2 = (x1 x2 ) 1+ ，
x2 x1 x1x2
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2a
a 1,+ )， x x 0 ， 1+ 01 2 ，又 x1 x 0 ， x1x
2
2
f (x2 ) f (x1 ) 0，即 f (x2 ) f (x1 )， f ( x)在 2,0)上单调递减，
又 f ( x)在 x = 2处，左极限为 2 + 2a，右极限为0 ，
a 1， 2+ 2a 0， f ( x)虽不连续，但两段均递减，
函数 f ( x)在区间 ( , 0)上单调递减，故③正确；
④函数 f ( x)的零点分两段讨论：
当 x ( , 2)时， x + 2a = 0 ， x = 2a，要求 2a 2 ， a 1；
2a
当 x 2,0) (0,+ )时， x + + a 2 = 0，
x
2
两边乘 x ( x 0)得， x + (2 a) x 2a = 0，解得 x = 2或 x = a，
f ( 2) = 0 ， x = 2是函数 f ( x)的零点，恒成立；
又 x = a是零点，要求 a 2,0) (0,+ )；
当 a 2时， f ( x)在 ( , 2)有1个零点 ( x = 2a)， 2,0) (0,+ )有1个零点 ( x = 2)，共 2 个零
点；
当 2 a 1时， f ( x)在 ( , 2)有1个零点 ( x = 2a)， 2,0) (0,+ )有 2 个零点 (x = 2,a)，共
3个零点；
当 1 a 0时， f ( x)在 ( , 2)没有零点， 2,0) (0,+ )有 2 个零点 (x = 2,a)，共 2 个零点；
当 a = 0 时， f ( x)在 ( , 2)没有零点， 2,0) (0,+ )有1个零点 ( x = 2)，共1个零点；
当 a 0 时， f ( x)在 ( , 2)没有零点， 2,0) (0,+ )有 2 个零点 (x = 2,a)，共 2 个零点；
综上，恰有两个零点的 a的取值范围为 ( , 2 1,0) (0,+ )，故④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题（共 6 道小题，共 70 分）
19. 【答案】（1）
x + 4
集合 A = x 0 = x | 4 x 2 ，
x 2
2
若 a = 9 ，则B = x x 9 0 = x | 3 x 3 ，所以 RB = x | x 3,或 x 3 ，
所以 A B = x | 4 x 3 ， A ( RB) = x | 4 x 3 .
（2）
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若 A B = B，则 B A，
若 a 0 ，则 B = ，满足 B A；
若 a 0 ，则 B = x | a x a ，因为 A = x | 4 x 2 ，B A，
a 4
所以 ，解得 a 4 ，即此时0 a 4 ，
a 2
综上可知，实数 a的取值范围为 ( , 4 .
20. 【答案】（1）
因为关于 x的不等式 f (x) 0 的解集为 (1, 4)，所以方程 f (x) = 0 的两根是1和 4 ，
1+ 4 = a
所以 ，解得a = 5,b = 4 ，
1 4 = b
1
所以不等式 ax2 + bx +1 0 即 5x2 + 4x +1 0 ，解得 x 1，
5
1
所以不等式的解集为 ,1 .
5
（2）
当 a = 4时，对 x (1,+ )，都有 f (x) 0 ，
即 x2 4x + b 0在 (1,+ )恒成立，
所以b x2 + 4x在 (1,+ )恒成立，
令 g (x) = x2 + 4x，则b g (x) ， max
又 g (x) = x2 + 4x在 (1, 2 单调递增，在 2,+ )单调递减，
所以 g (x) = g (2) = 4，所以b 4， max
即实数b的取值范围为 4,+ ) .
21. 【答案】（1）
f ( x)为奇函数，证明如下：
1
函数 f (x) = 3x 的定义域为 ( ,0) (0,+ )，定义域关于原点对称，
x
1 1
又 f ( x) = 3x = 3x = f (x)，所以 f ( x)为奇函数.
x x
（2）
f ( x)在 (0,+ )上的单调递增，证明如下：
任取 x1， x2 (0,+ )，且 x1 x2 ，
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1 1 1 1
则 f (x1 ) f (x2 ) = 3x1 3x2 = 3(x1 x2 )
x1 x2 x1 x2
(x2 x1 ) 1
= 3(x1 x2 ) = (x1 x2 ) 3+ ，
x1x2 x1x2
1
因为0 x1 x2 ，所以 x1 x2 0 ，3+ 0 ， x1x2
所以 f (x1 ) f (x2 ) 0，即 f (x1 ) f (x2 )，即 f ( x)在 (0,+ )上单调递增.
（3）
因为 f ( x)在 (0,+ )上单调递增，又 a2 +1 1， a + 3 3，
2 2 2
所以不等式 f (a +1) f ( a + 3)，即 a +1 a + 3，即 a a 2 0，
即 ( a +1)( a 2) 0 ，又 a +1 0恒成立，
所以 a 2 0，即 a 2 ，解得 2 a 2，
f (a2所以不等式 +1) f ( a + 3)的解集为 ( 2, 2) .
22. 【答案】（1）
因为直角梯形的高为 xm，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为8m2 ，
8 4
则每个梯形的下底（较长的底边）边长为 = (m)，
2x x
8
所以海报宽 AD = (x + 0.2)m ，海报长 AB = + 0.4 m，
x
8 1.6
所以 SABCD = AD AB = (x + 0.2) + 0.4 = 0.4x + +8.08，
x x
8
AB + 0.4 8 8
又 2，即 x ，显然 x 0 ，则 + 0.4 2(x + 0.2)，即 2x，
AD 2 x x
x + 0.2
8 2x2
即 ，解得0 x 2，
x 0
1.6
所以 S (x) = 0.4x + +8.08， (0 x 2) .
x
（2）
1.6
由（1）可得 S (x) = 0.4x + +8.08， (0 x 2)，
x
1.6 4 4
所以 S (x) = 0.4x + +8.08 = 0.4 x + +8.08 0.8 x +8.08 = 9.68，
x x x
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4
当且仅当 x = ，即 x = 2 时取等号，
x
所以 S (x)的最小值为9.68m2 .
23. 【答案】（1）
( 2不等式 f x) 0 ，即mx 2(m+1) x + 4 0，即 (mx 2)(x 2) 0 ，
当m = 0时，即 2( x 2) 0，解得 x 2 ；
2 2
当m 0时，不等式可化为 x (x 2) 0，解得 x 2 或 x ；
m m
2
当m 0时，不等式可化为 x (x 2) 0，
m
2
若 = 2 ，即m =1时，解得 x = 2 ；
m
2
2 2
若 m ，即m 1时，解得 x 2；
m
m 0
2
2 2
若 m ，即0 m 1时，解得 2 x ；
m
m 0
综上可得：当m = 0时不等式的解集为 x | x 2 ；
2
当m 0时，不等式的解集为 x | x 2或x ；
m
当m =1时，不等式的解集为 2 ；
2
当m 1时，不等式的解集为 x | x 2 ；
m
2
当0 m 1时，不等式的解集为 x | 2 x ；
m
（2）
m+1 1
当m 0时 f (x) = mx2 2(m+1) x + 4，开口向上，对称轴为 x = =1+ 1，
m m
1 m+1 m
2
+ 2m 1 1
当1 1+ 2，即m 1时 f (x) = f = = m+ + 2；
m min m m m
1
1+ 2
当 m ，即0 m 1时 f ( x)在 1,2 上单调递减，所以 f (x) = f (2) = 0 ； min

m 0
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1
m+ + 2,m 1
综上可得 g (m) = m ；

0,0 m 1
1 1 1
当m 1时 g (m) = m+ + 2 2 m + 2 = 0，当且仅当m = 即m =1时取等号；
m m m
所以 g (m) = 0 .
max
24. 【答案】（1）
x
对于函数 f (x) = ， x ( ,0) (0,+ )，
x2 + 4
4 4 4
4 x x x 4x x
则 f = = = = = = f x2 2 2 ( )2 ，
x 4 16 4x +16+ 4 4(x + 4) x + 4
+ 4 2
x x x
2
故 f ( x)具有性质 P；
4
对于函数 g (x) = x ， x ( ,0) (0,+ )，
x
4 4 4 4 4
g = = x = x = g (x) g (x)则 x x 4 x x ，
x
故 g (x)不具有性质 P；
（2）
4
设 t = x + ， x D，由二次方程 x2 tx + 4 = 0的判别式Δ = t 2 16 0，
x
解得 t 4或 t 4，
即 t ( , 4 4,+ )，符合 h (x)的定义域要求，
x 4
将 f (x) = 用 t表示，因为 t = x + tx = x2 + 4 x2 + 4 = tx，
x2 + 4 x
x 1
所以 f (x) = = (x 0)。
tx t
1
定义 h (t ) = (t ( , 4 4,+ ))，则对任意 x D，
t
4 1
有 h x + = h (t ) = = f (x)，故存在这样的函数 h (x)；
x t
（3）
存在，理由如下:
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4
设 t = x + ， x D，同理得 t ( , 4 4,+ )，
x
对于任意 t在该范围内，方程 x2 tx + 4 = 0的两根为 x1, x2 ，
4
由韦达定理得 x1x = 4，即 x2 2 = ，
x1
4
因 f ( x)具有性质 P，故 f (x1 ) = f = f (x2 )，
x1
4
即对于每个 t，所有满足 t = x + 的 x D对应的 f ( x)值唯一确定，
x
4
因此，可定义 h (t )为该唯一确定的值，使得对任意 x D，有 h x + = f (x)，且 h (x) 的定义域为
x
( , 4 4,+ ) .
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