圆有关计算和证明 重点题型 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册期末复习

中小学教育资源及组卷应用平台
圆有关计算和证明 重点题型 专题练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册期末复习
1．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，求的半径．
2．如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
3．如图，是的直径，点C，D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点F．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
4．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC．
(1)若，求的度数．
(2)若，求长度．
5．如图，四边形的顶点，，在上，，直径与弦相交于点，点是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
6．如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
7．如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G．
(1)求证：；
(2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径．
8．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．
(1)求证：．
(2)连接．若，求的度数．
9．如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，过上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．
（1）求证：直线CD是的切线；
（2）求证：
10．如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
11．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E．
(1)求证：是的角平分线；
(2)若，．
①求的半径；
②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
12．如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆，与交于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)过点E作于点H，若，．
①求的长；
②求的半径．
参考答案
1．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键．
（1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证；
（2）由勾股定理得，即可求解；
【详解】（1）证明：∵，是半径，
∴，
∴
∴
（2）解：设的半径是，如图，连接 ，
∵
由垂径定理得：，
∵
∴
∴
∴的半径是5.
2．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出；
（2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线判定、角平分线性质、勾股定理及三角形面积法的应用，解题的关键是连接利用平行关系证切线，通过构造直角三角形、结合面积法与勾股定理计算的长．
（1）连接，利用角平分线与等腰三角形的性质证，结合得，从而证切线；
（2）由直径得，用勾股定理求，通过角平分线性质与面积法得，再用勾股定理求．
【详解】（1）证明：连接，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是的半径，
∴ 与相切．
（2）解：连接，过作于，
∵ 是的直径，
∴ ，
在中，，
∵ 平分，，
∴ ，
由，
得，即，
在中，
故答案为：．
4．(1)
(2)
【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得出垂直平分，结合等腰三角形等边对等角及圆周角与圆心角的关系推导角度和线段长度．
（1）先由（半径相等）得；再根据为直径得，结合得；最后通过角的和差关系及同角的余角相等推导 的度数．
（2）先由得半径，结合求出的长度；再在中用勾股定理算的长；最后根据垂径定理得出结果．
【详解】（1）解：∵、均为的半径，
∴，
∴（等边对等角）．
∵为的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角），即．
又∵于E，
∴，即．
∴（同角的余角相等）．
（2）解：∵为的直径，
∴（半径等于直径的一半）．
∵，
∴．
∵于E，
∴（垂径定理），且为直角三角形．
在中，由勾股定理得：
，
即，
，
∴（线段长度为正）．
∴．
答：的长度为．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，圆心角定理，菱形的判定和性质，理解圆的性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的判定定理，只需证即可判定是的切线；
（2）由四边形是平行四边形，可证四边形是菱形，接下来证是等边三角形，由可求得的长．
【详解】（1）证明：连接，
，
，，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，，，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形，，
，，
，
，
．
6．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算、直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论．
（2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）知，，
，
，
设的半径为，
，
，
∵，
∴阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积．
7．(1)见解析
(2)13
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质；掌握垂径定理，添加恰当的辅助线是解题的关键.
（1）连接，证明，即可求证；
（2）连接，根据垂径定理可得，可证明，可得，设，则，，．在中，根据勾股定理可得x的值，即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
∵，，
∴，，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
设，则，
，．
由（1）得
在中，，
∴
∴或（舍去），
∴，即⊙O的半径为13．
8．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接，如图所示，由同弧所对的圆周角相等得到，再由内心性质得到，，结合外角性质得到，再由，等量代换即可得到，结合等腰三角形的判定与性质即可得证；
（2）由（1）知，再由圆周角定理及三角形内角和定理可得，再由三角形内心的性质得到，，然后在中，由三角形内角和定理代值计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
，
，
点是的内心，
平分，平分，
，，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
由（1）知，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
点是的内心，
平分，平分，
，，
在中，
．
【点睛】本题考查圆综合，涉及同弧所对的圆周角相等、三角形内心性质、角平分线定义、外角性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，熟记三角形内心等相关几何性质，掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键．
9．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OD，OE，证明△OAD≌△OED，得∠OAD=∠OED=90°，进而得CD是切线；
（2）连接OC，得AM∥BN，得，再证明，进而得出结论．
【详解】解(1)如图,连接
是的切线，
在和中,
是的切线.
(2)连接是的切线，
又是的切线，
平分平分
又
又,
又
【点睛】本题考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形．
10．(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接，根据圆周角定理可证，根据平行线的性质可证，根据，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立；
(2)过点作，过点作，可知四边形是矩形，利用三角形的面积公式可以求出利用勾股定理求出，根据垂径定理可求的长度．
【详解】（1）证明：如下图所示，连接，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，，
，
，
又点为上一点，
与相切；
（2）解：如下图所示，过点作，过点作，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、圆周角定理、矩形的判定与性质，勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．
11．(1)见解析
(2)①；②阴影部分的图形面积为．
【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，度角的性质，扇形面积公式，勾股定理．
（1）连接，根据切线的性质得到，进而证明，得到，根据等边对等角得到，进而得到，即可证明是的角平分线；
（2）①设，根据度角的性质得到，，可得，求解即可；
②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积．
【详解】（1）证明：连接，
∵直线与相切，
∴．
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）①解：设，在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得；
②解：在中，，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴阴影总分的面积为．
12．(1)详见解析
(2)①；②
【分析】此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质．
（1）连接，先证明是圆的直径，是圆的半径，再证明，则有，结论得证；
（2）①连接，根据角平分线的性质证明，再证，则可求；
②根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理列方程求解即可.
【详解】（1）证明：连接，如图．
∵，
∴，
∵是的外接圆，
∴是的直径，是的半径，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：①连接，如图，
∵平分，且，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
设，则，
在直角三角形中，，
则，
∴，即的半径为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)