二次函数综合题 重点题型 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册期末复习

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二次函数综合题 重点题型 专题练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册期末复习
1．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若是该抛物线上一点（点在轴下方），使得，求点坐标．
2．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
3．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C．
(1)求的长；
(2)若一次函数的图象经过点B，结合图象，写出时x的取值范围；
(3)填空：当时，二次函数的取值范围为_____．
4．平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为、两点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点是x轴上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交二次函数图象于点M，交直线于点N．
①当时，直接写出的长；
②点P从A出发运动到点停止，运动过程中若线段长度随t的增大而减小，求t的取值范围．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B．
（1）求M点的坐标及a，b的值；
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，当m为多少时，s＝．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求的最小值；
(3)在（2）中取最小值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线．
(1)若抛物线过点，则它的对称轴是直线 ；
(2)当时，二次函数的最大值为，求的取值范围；
(3)在（1）的条件下将抛物线向下平移个单位后如图所示与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，连接，抛物线上存在点，使得．请求出直线的解析式．
9．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，y轴上存在一点D，使经过B，C两点，求点D的坐标；
(3)如图3，连接，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连接，在点P运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线经过点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若是y轴正半轴上的一点，且，将点A绕点C逆时针旋转得到点D，且点D在该抛物线上．
①求点D的坐标；
②连接并延长交x轴于点E，作轴交该抛物线于点F，若点F与点D间的抛物线上有一点G，当点G到直线的距离最大时，求点G的坐标．
11．如图，已知抛物线与轴交于两点（点A在点B的左边），与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段上一点（不与B，C重合），轴，且交抛物线于点M，交轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得为直角三角形，求点Q的坐标．
12．已知二次函数（常数）．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)若．
①当时，该函数的最小值为，求的值；
②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系．
参考答案
1．(1)
(2)点坐标为或
【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是用待定系数法求出二次函数解析式．
（1）将、两点坐标代入抛物线即可求解；
（2）由、两点坐标得出，结合三角形面积公式、点在轴下方得，代入抛物线解析式即可得对应的自变量的值，从而得到符合题意的点坐标．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，，
，
，
，
，
点在轴下方，
，
在中，当时，，
解得，，
点坐标为或．
2．(1)；
(2)存在，最大值为；
(3)不存在．理由见解析．
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识点．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，且，求得，，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，
令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
3．(1)6
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，自变量的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）令，求得A，B的坐标，即得答案；
（2）先求b的值，然后求二次函数与一次函数的交点的横坐标，观察图象即可得到答案；
（3）根据二次函数的轴对称性，即可求得答案．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
，，
；
（2）解：把的坐标代入，得，
解得，
，
令，
解得，，
观察图象可知，当时，；
（3）解：二次函数的图象的顶点坐标，
即当时，二次函数取得最大值9，
在对称轴左侧y1随x的增大而增大，在对称轴右侧y1随x的增大而减小，
，
当时，二次函数取得最小值0，
当时，二次函数的取值范围为．
故答案为：．
4．(1)
(2)①7；②
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①求出时两个函数的函数值，则可得到点M和点N的坐标，进而可得的长；②可求出直线与抛物线交于点和点，则当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；再求出点M和点N的坐标，进而表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为、两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①在中，当时，，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴；
②联立，解得或，
∴直线与抛物线交于点和点，
∴当时，一次函数的函数值大于或等于二次函数的函数值；
在中，当时，，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，随t的增大而减小．
5．（1）M（2，4），；（2）m的值为．
【分析】（1）通过直线y=2x确定M点的坐标，然后利用对称轴方程和二次函数图象上点的坐标特征列关于a、b的方程组，再解方程组得到a、b的值；
（2）设P（m，-m2+4m），利用三角形面积公式得到×2×（-m2+4m）=，然后解方程求出即可得到满足条件的m的值．
【详解】解：（1）将x＝2代入y＝2x得y＝4
∴M（2，4），
根据题意得:
，
解得；
（2）抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
设P（m，﹣m2+4m），B（2，0）
依题意得：×2×（﹣m2+4m）＝，
即：m2﹣4m＝﹣，
解得m1＝，m2＝，
∵P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，
∴m的值为．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
6．(1)
(2)3
(3)，，见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线的函数表达式为和点A坐标，利用勾股定理及其逆定理得到，．过点作轴交于点，证明得到．设点，，则点，利用二次函数的性质求得当时，的长度取得最大值，此时点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．求得，利用垂线段最短求解即可；
（3）先求得平移后抛物线的函数表达式为，，画出相应的图形，利用图形分当时和当时求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中，
得，
解这个方程组，得，
所以，该抛物线的函数表达式为；
（2）解：直线过点，
直线的函数表达式为，
在中，
令，得，
解这个方程，得（舍），．
．
，，
，且，
，
．
，
．
过点作轴交于点，则，
又，
，
，
．
设点，，则点．
．
，
当时，
的长度取得最大值，此时点，
过点作轴，过点作于点，过点作于点．
在中，，
，
，当点、、三点共线时取等号，
∴；
（3）解：符合条件的点的坐标有，．
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点，
又∵，，，
∴将该抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度，得到平移后抛物线的函数表达式为，即，，
当时，如图，则轴．
在中，令，
得，
解这个方程，得（舍），．
．
当时，如图，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，即点是直线与平移后抛物线的交点，
设直线的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
联立方程组，解得，，
∴，
综上，符合条件的点的坐标有，．
【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、勾股定理及其逆定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、最短路径问题、坐标与图形、平行线和线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解方程组等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
7．(1)
(2)面积的最大值：，
(3)点的坐标为：或或
【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可；
（2）过点作轴交于点，设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：过点作轴交于点，垂足为F，如图：
∵，，设直线解析式为，
将、代入，
得：，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴面积为，
∴ 面积的最大值：，
此时.
（3）解：存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为，点M的坐标为
分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴，即，
解得，.
∴，
∴点M的坐标为
②当为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴，即，
解得，.
∴，
∴点M的坐标为；
③当AC为平行四边形的对角线时，如图，
∵、，
∴线段的中点H的坐标为，即H，
∴，
解得，，
∴，
∴点M的坐标为，
综上，点的坐标为：或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)和
【分析】本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案；
（2）根据二次函数的性质分三种情况讨论即可得出答案；
（3）分两种情况：当点在轴下方的抛物线上时；当点在轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：过点，
，
解得：，
抛物线，
它的对称轴是直线；
（2）解：函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
当时，二次函数的最大值为，
若时，则当时，取得最大值，有，
解得：，不符合题意；
若且即时，则当时，取得最大值，有，
解得：，符合题意；
若且即时，则当时，取得最大值，有，等式恒成立；
若时，则当时，取得最大值，有，等式恒成立；
综上所述，的取值范围为；
（3）解：由已知可得二次函数解析式为：，
则点，点，，
当点在轴下方的抛物线上时：
在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于轴于，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
设的解析式为：，
，
解得：，
的解析式为：，
当点在轴上方的抛物线上时，
延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点
设交抛物线于点，
轴，，
，
同理可得，直线的解析式为：，
综上所述直线BQ的解析式为：和．
9．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为
【分析】（1）代入到抛物线中，得到，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于经过、两点, 则，设，根据勾股定理得到，利用列出方程求出的值即可得出答案；
（3）由题意得，需要分类点在轴上方或下方两种情况讨论，结合图形利用构造出等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质与判定求出点的坐标即可解答．
【详解】（1）解：代入到抛物线中，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）得：抛物线的解析式为，
当时，，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∵经过、两点，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴点坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
①当点在轴上方抛物线上时，作于点，作轴于点，于点，如图所示，

由（2）得：，，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
，，
，
，
，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，点横坐标为，
∴点坐标为 ，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，点坐标为，与点重合，不符合题意，舍去；
当时，点坐标为，不在轴上方的抛物线上，舍去；
故点不存在；
②当点在轴下方时，作，轴，于点，如图所示，
，，
，
，
，
同理①中的方法可得：，
∴，，
设，，
则，解得：，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
∴点坐标为；
∴综上所述，点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、圆的基本性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于二次函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决难题的学生．
10．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①由旋转可构造一线三垂直，证全等，从而将D坐标用m表示出来，再代入二次函数表达式即可得解；
②在函数中求斜线的最值问题，首先考虑化斜为直，所以过G作于点M，作轴交于点J，过A作轴，过D作轴，两直线交于点K，其中交于点P，证，将长度转化为竖直高的长度，进而求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得，
，
解得，
；
（2）解：①如图，过C作轴，过A作于点G，过D作于点H，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
点D在该抛物线上，
，
解得或，
，
，
；
②如图，过G作于点M，作轴交于点J，过A作轴，过D作轴，两直线交于点K，其中交于点P，
由①知，
，
设直线解析式为，将A和C代入得，
，解得，
直线解析式为，
令得，
，
同理可得直线解析式为，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由最大值，
此时，
.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)点坐标为或或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，根据，列出二次函数关系式，求最值即可；
（3）分，和，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，设抛物线
∵图象过点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为，即．
（2）解：设直线的解析式为，
∵图象过
∴，解得，
∴．
设，则
∴
∴
∵
∴当时，最大，
∵当时，，
∴．
（3）解：由（2）知：，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，
当为直角三角形时，分3种情况：
①当时，则，即：，
解得，
∴；
②当时，则，即：，
解得，
∴；
②当时，则，即：，
解得，
∴；
综上：点坐标为或或或．
12．(1)直线
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）①根据当时，该函数最小值为求解即可；②由称轴在直线与之间可知当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意），则，分别求出最小值即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
（2）解：①，
∴抛物选开口向上，
，
∴当时，该函数最小值为
∵该函数的最小值为，
，
∴，
②∵抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等
当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意）
当时，
当时，
∵两个函数的最小值相等，
，即
【点睛】本题考查二次函数的对称轴与最值，涉及的知识点是二次函数的对称轴公式、顶点式变形、函数的单调性．解题中用到的方法是 “顶点式分析法”，通过将函数化为顶点式，快速确定对称轴与最值；解题关键是根据的符号判断函数的开口方向，进而确定最值的位置．易错点是忽略的符号对函数开口方向的影响，误判最值的位置．
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