期末综合试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版 （2024）八年级上册期末复习

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期末综合试题 2025-2026学年上学期初中数学
人教版 （2024）八年级上册期末复习
一、单选题
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若一个多边形的每个内角均是120°，则这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．关于的分式方程解为，则常数的值为( )
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( )
A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
6．已知实数，满足，，则（　　）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°，则∠CFE的度数为(　　)．
A．62° B．68° C．78° D．90°
8．甲、乙两地相距600km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意可列方程为（　　）
A．=4 B．=4
C．=4 D．=4×2
9．如图，四边形沿直线对折后重合，如果，那么结论①；②；③；④中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．③④
10．如图，是外的一点，的延长线于点，于点，的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”．如图是一个燕尾形，已知，，，则的度数为 ．
12．已知，则的值是 ．
13．分解因式
14．若关于的方程无解，则的值是 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°． 则△ABC的面积为 ．
16．若，则的值为 ．
三、解答题
17．按要求完成下列各题：
(1)化简：；
(2)因式分解：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别为，．
(1)在方格图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标______；
(2)画出关于轴对称的；
(3)在轴上找一点，使得周长最小，请在图中标出点的位置．
20．若（m，n是正整数，且），则．
利用上面的结论，解答下面的问题．
(1)若，求x的值．
(2)若，求x的值．
(3)已知，，用含p，q的式子表示．
21．若是△ABC的两边且
（1）试求的值，并求第三边的取值范围．
（2）若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
（3）若另一等腰三角形DEF，其中一个内角为x°，另一个内角为(2x-20)°，试求此三角形的各内角度数．
22．如图是某实验中学旁边的一条小河对岸的一排树木，几名同学在国庆节假期，想利用所学知识测量这条河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点B，使AB垂直于河岸（如图），因河边不安全，在该岸同侧平地上取点C、D、使A，B，C三点在同一直线上，且，，测得，在CD的延长线上取一点E，使，这时测得DE的长就是该段河流的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由．
23．某学校计划从商店购进A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品多花10元，并且花费600元购买A商品和花费200元购买B商品的数量相等．
(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
(2)根据学校实际情况，该学校需要购买B种商品的个数是购买A种商品个数的3倍，还多11个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买A种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买A，B两种商品的总费用不超过1000元，那么该学校最多可购买多少个A种商品？
24．八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题：
（1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值．
【探究方法】
第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接．通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______；
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题解决】
（2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积．
25．【问题情境】
在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，．
【探究发现】
（1）如图Ⅰ，若点E在线段上．
①求证：；
②写出与间的数量关系并说明理由；
（2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明；
【拓广延伸】
（3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D D C A C A C
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则逐项进行判断即可.
【详解】解：A、，所以此选项错误；
B、，所以此选项正确；
C、，所以此选项错误；
D、，所以此选项错误.
故选B.
【点睛】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握对应的法则是解题的关键.
3．D
【分析】设所求n边形边数为n，利用多边形内角和为（n﹣2） 180°列出方程并求解即可得答案．
【详解】设所求n边形边数为n，
∵多边形的每个内角均是120°，
∴120n=（n﹣2） 180°，
解得：n=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握多边形内角和公式和正多边形内角与内角和的关系是解答本题的关键．
4．D
【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a的值即可．
【详解】解：把x=4代入方程，得
，
解得a=10．
经检验，a=10是原方程的解
故选D．
【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
5．D
【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
6．C
【分析】利用完全平方公式解答即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是熟记公式结构．
7．A
【详解】试题解析：∵∠A=70°，∠ACD=20°，
∴∠BDF=∠A+∠ACD=70°+20°=90°，
在△BDF中，∠BFD=180°-∠BDF-∠ABE=180°-90°-28°=62°，
∴∠CFE=∠BFD=62°．
故选：A．
8．C
【详解】分析：由路程÷速度=时间，利用“乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用4h，高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍”得出等量关系即可建立方程求得答案即可．
详解：设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，由题意得
=4，
故选C．
点睛：此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键．
9．A
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．
分析已知条件，根据轴对称图形的性质等结合图形对题中小问题的条件进行分析，选出正确答案即可．
【详解】解：∵对折，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
故②正确，
∵，，
∴，故③正确，
又∵，
∴，
故④正确；
综上所述：①②③④都正确.
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算．
利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数．
【详解】解：∵，，且，
∴平分．即：，
同理可得：，
又∵，，
∴，
∴
在中，，
∴．
故选为：C．
11．/度
【分析】连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，代入已知数据，即可求解．
【详解】
解：连接，延长到．
∵，
∴，
∵，，，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程，根据题意，先由去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1得到，再由分式方程无解得到，确定关于的方程求解即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
关于的方程无解，
，即，则，
解得，
故答案为：．
15．4
【分析】据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD的度数，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】过C作CD⊥AB交BA的延长线于D，
∵AB=AC=4，∴∠B=∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，
∵AC=4cm，CD是AB边上的高，
∴CD=AC=×4=2，
∴S△ABC=×4×2=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
16．13
【分析】先利用绝对值和平方的值非负的性质，得到x+y和xy的值，然后将转化为：，代入值可求得
【详解】∵
∴x+y－5=0，xy－6=0
∴x+y=5，xy=6
==
故答案为：13
【点睛】本题考查非负性的应用和完全平方式的变形，这两个考点属于典型题型，需要熟练解题技巧
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查分式的混合运算及因式分解；熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）根据分式的混合运算法则和运算顺序进行计算即可；
（2）先根据平方差公式分解，再运用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．，
【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再代值计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
19．(1)画图见解析，
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化轴对称，轴对称求最短路径，正确根据题意建立坐标系是解题的关键．
（）依据点的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向，再结合 网格直接读出点的坐标；
（）根据轴对称的特征画出的对应点，然后依次连接即可；
（）利用轴对称求最短路径．
【详解】（1）画出平面直角坐标系如图，点的坐标为（-1，1）；
以点为依据，
以网格交点为原点，水平向右为轴正方向， 竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系，
结合网格可得点的坐标为．
故答案为：．
（2）画出关于y轴对称的，如图所示，
关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，
的对称点；
的对称点；
的对称点；
依次连接，即可得到．
（3）在图中标出点的位置如图所示，
作点关于轴的对称点；
连接，该线段与轴的交点即为所求的点，
∵，的周长，
∴根据“两点之间线段最短”， 为的最小值，而为定值，因此此时周长最小．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解此题的关键．
（1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为，结合题意得出，计算即可得解；
（2）利用幂的乘方法则变形为，结合题意得出，计算即可得解；
（3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有和的式子，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴．
21．（1）；（2）10或11；（3）三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．
【分析】（1）利用非负数的性质可求得、的值，根据三角形三边关系可求得的范围；
（2）分腰长为3或4两种情况进行计算；
（3）分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得，可得出三个角的度数．
【详解】解：（1）∵，
， ，
，
；
（2）当腰长为3时，
此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；
当腰长为4时，
此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；
综上可知等腰三角形的周长为10或11；
（3）当底角为、顶角为时，则根据三角形内角和为 可得
，
解得，
此时三个内角分别为、、；
当顶角为、底角为时，则根据三角形内角和为 可得
，
解得，
此时三个内角分别为、、；
当底角为、时，则等腰三角形性质可得
，
解得，
此时三个内角分别为、、；
综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．
22．这几名同学的测量方案可行，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段的和差等知识点，掌握三角形的判定与性质成为解题的关键．由三角形内角和定理可得，即，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：这几名同学的测量方案可行．理由如下：
，，
，
，，
，
，
，
，
因此这几名同学的测量方案可行．
23．(1)购买一个商品需要15元，一个商品5元．
(2)该学校最多可购买35个种商品．
【分析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量总价单价结合花费600元购买商品和花费200元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该学校可购买个种商品，则可购买个种商品，根据总价单价数量结合总费用不超过1000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个商品需要15元，一个商品5元．
（2）解：设该学校可购买个种商品，则可购买个种商品，
依题意，得：，
解得：．
答：该学校最多可购买35个种商品．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（1），2（或3或4）；（2）；（3）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键．
（1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解；
（2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出．
（3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解．
【详解】解：（1）∵是的中线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
可得，
即，
∴，的可能取值为2，3，4，
故答案为：，2（或3或4）；
（2）延长到F使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
．
（3）延长到G使，连接，则，
由（2）得，
，，
，，
，
，
，
，
．
25．（1）①见解析；②；理由见解析；（2）（1）中与间的数量关系成立，理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）①根据证明即可．②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得．
（2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题．
（3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，．
【详解】（1）①证明：是等边三角形，
，．
又∵，
即．
又，
．
②解：，理由如下：
是等边三角形，
∴，
∵平分
∴
∵
∴
∴
即
∴；
（2）解：（1）中与间的数量关系成立，理由如下：
是等边三角形，
，．
又∵，
即．
又，
．
平分，
．
．
．
（3）解：在和中，
∴．
．
，，
．
，
．
．
，
．
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