期末综合试题 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册期末复习

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期末综合试题 2025-2026学年上学期初中数学
人教版九年级上册期末复习
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程2x2-3x=2的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3和2 B．-3和2 C．3和-2 D．-3和-2
3．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷一次，则掷得骰子朝上一面的点数为奇数的概率是（ ）．
A． B． C． D．
4．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当时，函数的最大值是
C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点
5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
6．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，P是延长线上一点，过P作的切线，切点为点C，点D是劣弧上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（ ）

A．2.25m B．9m C．11.25m D．12m
二、填空题
11．二次函数的图象与轴的交点坐标为 ．
12．扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 ．
13．正方形的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 ． （用含的式子表示）．
14．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，则进馆人次的月平均增长率是 ．
15．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
16．如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)
(2)
18．如图，已知，将绕点沿顺时针方向旋转后得到.
(1)请在图中画出；
(2)直接写出线段在旋转过程中扫过的图形面积：___________.
19．已知关于的方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值．
20．学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，且必须参加一个小组．
(1)甲选择“趣挖番薯”小组的概率是________；
(2)求甲、乙两人选择同一个小组的概率．
21．如图，二次函数图象经过点、、．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)观察函数图象，试直接写出时，的取值范围．
22．如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点,AD⊥CD,AC平分∠DAB.求证:CD是⊙O切线．
23．如图，点O是等边内的一点．，将绕点C按顺时针旋转得到，连接．
(1)当时， ；当时， ；
(2)若，，．求的长．
24．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．
（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B D D C C B B
1．C
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】先将方程变形，再根据一元二次方程方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项”进行解答即可得．
【详解】解：
一次项系数为：-3，常数项为：-2，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一次项系数和常数项，解题的关键是熟记一元二次方程的一般形式．
3．A
【分析】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率所求情况数与总情况数之比，是解决问题得关键．
【详解】解：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，投掷一次出现1，2，3，4，5，6，共6种等可能结果，
∴将它投掷一次，则掷得骰子朝上一面的点数为奇数的概率是，
故选：A．
4．B
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∵当时，函数的最大值是，故B正确；
∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误；
∵，
∴抛物线与x轴没有交点，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键．
5．D
【详解】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
在中,由勾股定理得：
故选：D.
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握这两个定理的内容.
6．D
【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠1．
故选D．
【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键
7．C
【分析】本题考查了利用旋转的性质求解，解题关键是掌握旋转的性质．
直接利用旋转的性质求解．
【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
又，
∴，解得：，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，
连接，根据切线的性质及直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出
，然后根据圆内接四边形对角互补得出答案.
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
即.
∵，
∴，
∴
在圆内接四边形中，，
∴.
故选：C.
9．B
【详解】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
10．B
【分析】运动员抛出的水平距离即为实心球落地时的水平距离，令，解一元二次方程即可．
【详解】解：令，则
解得：（舍去）
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．建立实际问题与二次函数的联系是解题关键．
11．
【分析】令，求得的值即可.
【详解】令，得，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点，正确计算是解答此题的关键．
12．
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：.
13．
【分析】本题考查了几何概率，求出正方形的面积与阴影部分的面积，再用阴影部分的面积除以正方形的面积即可得解．
【详解】解：由题意可得，正方形的面积为，阴影部分的面积为，
∴在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，先设进馆人次的月平均增长率是，根据2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，列式，然后计算，即可作答．
【详解】解：依题意，设进馆人次的月平均增长率是，
则 ，
解得（舍去）
∴进馆人次的月平均增长率是，
故答案为：．
15．
【分析】根据根与系数关系得到两根和与两根积的值，将式子通分代入求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握，．
16．3
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP==，
∵圆C的半径CQ=，
∴PQ==3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
17．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
18．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了作旋转图、勾股定理以及计算扇形面积：
（1）先分别作出点再依次连接，即可作答．
（2）先根据勾股定理算出的长，再根据圆心角为，建立式子计算化简，即可作答．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：依题意，
∵将绕点沿顺时针方向旋转后得到.
∴
19．(1)；
(2)的值为．
【分析】本题考查含参方程的根的个数以及一元二次方程根与系数的关系，注意判别方程的形式是解题的关键．
（1）由于题干未明确方程形式，故对与进行分类讨论，要使方程有根，一次方程满足题意要求，二次方程需满足，计算得出的取值范围即可；
（2）既然方程有两个根，即为二次方程，故根据二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：当时，原方程为，
解得：，
∴符合题意；
当时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴，解得，
综上所述，的取值范围为；
（2）解：∵和是方程有两个根，
∴，，
∵，即，
∴，
解得，满足，
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
∴的值为．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【详解】（1）解：共有4个小组，甲选择“趣挖番薯”小组的概率是；
故答案为：．
（2）解：画树状图如图，

共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组，有4种，
∴甲、乙两人选择同一个小组的概率．
21．(1)
(2)当时，的取值范围为：或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据图象即可得出答案．
【详解】（1）解：二次函数图象经过点、、，
，
解得：，
二次函数的解析式为：；
（2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或．
22．证明见解析.
【详解】试题分析：由于C是⊙O上一点，连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
试题解析：
证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线．
23．(1)，
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握旋转的性质；
（1）根据旋转的性质可证是等边三角形，可得，再根据角的和差关系即可得解；
（2）先求出，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：将绕点C按顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
当时，，
，
当时，则，
，
故答案为：，．
（2）解：由(1)可知，，
当时，，
，
．
24．（1）10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元．
【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解；
（2）销售定价为每件m元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可．
【详解】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9，
经检验x2＝1.9不符合题意，
∴x＝0.1＝10%，
答：每次降价百分率为10%；
（2）设销售定价为每件m元，每月利润为y元，则
y＝（m﹣60）[100+5×（100﹣m）]＝﹣5（m﹣90）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴当m＝90元时，w最大为4500元．
答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．
25．(1)
(2)
(3)面积的最大值为2
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可；
（3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合．
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