圆有关计算和证明 易错题型强化练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册期末复习

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圆有关计算和证明 易错题型强化练 2025-2026学年上学期
初中数学人教版九年级上册期末复习
1．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，求的半径．
2．如图，已知点E在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点D．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
3．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
(1)求证：CD＝CE；
(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
4．如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E．连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，求的长．
5．如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
6．如图，四边形的顶点，，在上，，直径与弦相交于点，点是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
7．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、OC．BC．
(1)若，求的度数．
(2)若，求长度．
8．如图，是的直径，点C，D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点F．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
9．如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且．
(1)连接，求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
10．如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点．
(1)求证：是的切线；
(2)为边上的中线，若，求的值．
11．如图，为圆O的直径，C为圆上一点，E为弦的中点，过C作圆O的切线交延长线于点P，交圆O于点D．连接．
(1)证明：为圆O的切线；
(2)过点D作，交于H，交于F，，求圆O的半径．
12．是的内接三角形，是的直径，是弦，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作于点，延长到，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求线段的长．
参考答案
1．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键．
（1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证；
（2）由勾股定理得，即可求解；
【详解】（1）证明：∵，是半径，
∴，
∴
∴
（2）解：设的半径是，如图，连接 ，
∵
由垂径定理得：，
∵
∴
∴
∴的半径是5.
2．(1)见解析
(2)的半径为6
【分析】本题考查了切线的性质定理、等边对等角、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由切线的性质可得，结合题意得出，由平行线的性质结合等边对等角得出，即可得证；
（2）证明，由相似三角形的性质求出的长，即可得解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接，
∵与圆相切于点D．
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的半径为6．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
∴CD＝＝＝，
∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，
同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE＝，
∴四边形DOEC的面积＝．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，则，由，得，而，则，即可证明是的切线；
（2）由勾股定理得，而，所以，解得，则，如图，过点E作于点F，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2），
，
，
，
，
解得，
，
如图，过点E作于点F，连接，
在中，，
，
解得，
在中，，
，
（负值舍去），
，
在中，，
，
（负值舍去），
的长是．
5．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算、直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论．
（2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）知，，
，
，
设的半径为，
，
，
∵，
∴阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积．
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，圆心角定理，菱形的判定和性质，理解圆的性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的判定定理，只需证即可判定是的切线；
（2）由四边形是平行四边形，可证四边形是菱形，接下来证是等边三角形，由可求得的长．
【详解】（1）证明：连接，
，
，，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，，，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形，，
，，
，
，
．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理，解题的关键是利用垂径定理得出垂直平分，结合等腰三角形等边对等角及圆周角与圆心角的关系推导角度和线段长度．
（1）先由（半径相等）得；再根据为直径得，结合得；最后通过角的和差关系及同角的余角相等推导 的度数．
（2）先由得半径，结合求出的长度；再在中用勾股定理算的长；最后根据垂径定理得出结果．
【详解】（1）解：∵、均为的半径，
∴，
∴（等边对等角）．
∵为的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角），即．
又∵于E，
∴，即．
∴（同角的余角相等）．
（2）解：∵为的直径，
∴（半径等于直径的一半）．
∵，
∴．
∵于E，
∴（垂径定理），且为直角三角形．
在中，由勾股定理得：
，
即，
，
∴（线段长度为正）．
∴．
答：的长度为．
8．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线判定、角平分线性质、勾股定理及三角形面积法的应用，解题的关键是连接利用平行关系证切线，通过构造直角三角形、结合面积法与勾股定理计算的长．
（1）连接，利用角平分线与等腰三角形的性质证，结合得，从而证切线；
（2）由直径得，用勾股定理求，通过角平分线性质与面积法得，再用勾股定理求．
【详解】（1）证明：连接，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是的半径，
∴ 与相切．
（2）解：连接，过作于，
∵ 是的直径，
∴ ，
在中，，
∵ 平分，，
∴ ，
由，
得，即，
在中，
故答案为：．
9．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出；
（2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答；
（2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，A是切点，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴
设的半径为r，
则，，
∴，
∴，
解得 ，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
，
∵为边上的中线，
，
∴，
即的值是．
11．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由得，由E为弦的中点，根据垂径定理可得垂直平分，则，所以，由切线的性质得，则，即可再证明结论；
（2）由证明，则，推导出再证明得，而，所以，则，求得，则，于是得方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵E为弦的中点，
∴，
∵垂直平分，点P在的延长线上，
∴，
∴，
∵与相切于点C，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴为的切线．
（2）解：∵E为弦的中点，
∴于点E，
∵于点H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，解得：．
∴⊙O的半径长为．
12．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设，则．利用直径所对圆周角为直角得到，从而，结合同弧所对圆周角相等得出，再根据已知，最后由等角对等边证明．
（2）先根据圆内接四边形性质得出，结合第一问结论得到，再利用，证明，由推出，从而证明．
（3）先通过角度关系推出，延长使构造等腰三角形，利用角度推导得出；再在中，根据勾股定理求出，进而得到；最后在中求出，利用面积的两种表示方法求出．
【点睛】本题考查圆内接三角形性质、圆周角定理、等腰三角形性质、勾股定理及三角形全等与相似等知识．解题关键是熟练运用相关定理进行角与线段关系的推导转化，通过构造辅助线、利用勾股定理及三角形面积公式求解．
【详解】（1）证明：∵，
设，
则，
∵
∴ ．
∵ 是的直径 ，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴ ．
∴ ，
∴，
∴ ．
（2）证明：连接．
∴为圆内接四边形，
∴，
由（1）得．，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∵，即 ，
∴ ，即 ．
（3）解：连接，交于点P，设与交于点M，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，交于M
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
延长到使，连接，
∵，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，即，
∴．
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