期末综合试题 2025-2026学年高二数学（人教A版 ）上学期期末复习

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期末综合试题 2025-2026学年
高二数学（人教A版 ）上学期期末复习
一、单选题
1．若3，，27成等差数列，则（ ）
A．9 B．15 C． D．
2．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
3．如果一个棱长为的正方体的外接球的表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
4．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中能得出的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
6．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
8．已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
二、多选题
9．已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．设椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点（不同于左、右顶点），则（ ）
A． B．的离心率为
C．弦的长可能等于 D．的周长为
11．如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C．三棱锥的体积的最大值为
D．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为
三、填空题
12．已知向量，若与平行，则 .
13．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ．
14．已知数列的前n项和为，满足，，则 ．
四、解答题
15．已知数列的前n项和为．
(1)若是等差数列，且，求；
(2)若是等比数列，且，3，成等差数列，求．
16．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，，；
(2)焦点在轴上，，的双曲线的标准方程；
(3)经过点的抛物线的标准方程.
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，垂足为．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．
18．已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．
19．已知数列的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)在等差数列中，，，求数列的前n项和.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D A A D A B BC AB
题号 11
答案 BCD
1．B
【分析】利用等差中项可得答案.
【详解】若3，，27成等差数列，则，
解得.
故选：B.
2．B
【分析】由抛物线定义和方程即可得解.
【详解】由题意知，所以焦点到准线的距离为3.
故选：B.
3．D
【分析】求出正方体外接球的半径，根据可求得的值.
【详解】由球的表面积为，得球半径满足，解得，
因此正方体的体对角线，所以.
故选：D.
4．A
【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】A.若，，，则，那么，故A正确；
B.若，，，则，故B错误；
C.若，，则，或，又，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故C错误；
D.若，，，则与有可能垂直，平行，或既不垂直也不平行，故D错误.
故选：A
5．A
【分析】由圆心距和半径和、差的关系即可判断.
【详解】由题意知，，两圆的半径分别为，，
所以，故两圆外离.
故选：A.
6．D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角.
【详解】
如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，
所以，，
设异面直线与所成的角为，
则，
故选：D.
7．A
【分析】根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可.
【详解】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，
所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和，
又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍，
所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列，
其前项和，令，
解得或，
因为，所以，
故选：A.
8．B
【分析】根据点差法求出关系，即可求解.
【详解】设，，
则，①；，②，
①-②得，
则
弦中点坐标为
直线的斜率为 ，即,
则.
故选：B.
9．BC
【分析】根据平行线间距离公式列方程，解方程即可.
【详解】由题意可知，所以与间的距离，
解得或.
故选：BC
10．AB
【分析】求出、、的值，可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；求得，可判断C选项；利用椭圆的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，在椭圆中，，，，
所以，A对；
对于B选项，椭圆的离心率为，B对；
对于C选项，，弦的长不可能等于，C错；
对于D选项，的周长为，D错.
故选：AB.
11．BCD
【分析】利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出其高，结合锥体的体积公式可判断A选项；根据扇形的弧长公式可判断B选项；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式可判断C选项；将圆锥沿着展开，结合勾股定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，设圆锥的母线长、底面半径、高分别为、、，
由题知，圆锥的侧面积，所以，圆锥高，
故该圆锥的体积为，A错；
对于B选项，侧面展开图弧长，圆心角，B对；
对于C选项，由圆的几何性质可知，由勾股定理可得，
由基本不等式可得，故，
当且仅当，即当时，等号成立，
此时，故，C对；
对于D选项，由B选项知，侧面展开图扇形圆心角，
点在上且，则，
展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为，
最短路径为线段，且，D对.
故选：BCD.
12．
【分析】根据向量平行的坐标公式，求得的值，再求即可.
【详解】与平行，且，
显然，则.
解得：，故..
故答案为：.
13．13
【分析】根据抛物线定义，写出抛物线的方程，通过点斜式写出直线的方程，利用弦长公式求解线段的长.
【详解】抛物线的焦点为，
，
抛物线的方程为．
直线的方程：，
联立
得，
设，
则
．
另解：．
14．160
【分析】先通过递推式证明是等比数列，再按照等比数列的求和公式求解即可.
【详解】因为，
当时，，，解得．
当时，两式相减得，
化简得：，又，故是以4为首项，3为公比的等比数列，
则．
故答案为：160.
15．(1)
(2)
【分析】（1）设的公差为d，利用等差数列前n项和的基本量运算求出，然后代入等差数列通项公式求解即可；
（2）设的公比为q，利用等差中项性质求得，然后利用等比数列前n项和公式求解即可.
【详解】（1）设的公差为d，由，得，解得，
所以．
（2）设的公比为q，则，因为，3，成等差数列，
所以，即，解得，所以．
16．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意求出的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程；
（2）根据双曲线的焦点位置可直接得出双曲线的标准方程；
（3）对抛物线的焦点位置进行分类讨论，设出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线的方程，求出参数的值，即可得出抛物线的标准方程.
【详解】（1）因为，所以圆锥曲线为椭圆，
由题意可得，解得，
又因为椭圆的焦点在轴上，因此，所求椭圆的标准方程为.
（2）焦点在轴上，，的双曲线的标准方程为.
（3）若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点的坐标代入抛物线方程可得，解得，
此时，抛物线的标准方程为；
若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的方程为，
将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得，
此时，抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接交于O，连接，通过证明 可证明结论；
（2）通过证明平面，可得，结合可得平面；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量方法求面面所成角的大小.
【详解】（1）连接交于，连接，
在中，，分别为的中点，
所以 ，又平面，平面
平面
（2）侧棱底面 ，底面 ，
又因为底面是正方形，，
因为，平面，平面，
又平面，，
是的中点 ，
又，平面，平面，
因为平面，，
又，，平面，平面.
（3）以点为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
由得：，
令，得，所以平面的一个法向量，
显然，是平面的一个法向量，
设为平面与平面的夹角，，
即平面与平面的夹角的余弦值
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；
（2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长.
【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，
故，故椭圆方程为：.
（2）
由题设直线的斜率不为0，故设直线，，
由可得，
故即，
且，
故，
解得，
故.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式；
（2）先求出的公差，求出通项公式，再利用错位相减法求和得到答案.
【详解】（1）①，当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，即，
故为首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，，，
设的公差为，则，解得，
所以，，
故，
所以，
两式相减得，
所以.
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