期末综合试题 2025-2026学年高一数学上学期期末复习人教A版必修第一册
文档属性
| 名称 | 期末综合试题 2025-2026学年高一数学上学期期末复习人教A版必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 653.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-31 15:13:17 | ||
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文档简介
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期末综合试题 2025-2026学年高一数学
上学期期末复习人教A版必修第一册
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
5．已知…，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知集合，若，则的值可能是（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
10．关于幂函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象经过原点 B．为偶函数
C．的值域为 D．在区间上单调递增
11．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C．D．关于x的不等式的解集为
三、填空题
12．已知正实数满足，则的最小值为 .
13．函数的值域为 .
14．设函数，若关于的函数恰好有6个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知集合或.
（1）若，求的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
16．已知．
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值．
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若，求函数的最值及其相应的值.
18．医学上为研究传染病传播中病毒数量的发展规律及其预防，将病毒数量注入一只小白鼠体内进行实验.经检测，病毒数量的总数与天数的关系记录如下表所示.
天数 病毒数量总数 天数 病毒数量总数
1 1 5 16
2 2 6 32
3 4 7 64
4 8
已知该种病毒数量在小白鼠体内的个数超过的时候小白鼠将死亡.但往小白鼠体内注射某种药物，可杀死其体内该病毒数量的.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在病毒数量在小白鼠体内的第几天注射该种药物？（精确到天）
(2)第二次最迟应在病毒数量在小白鼠体内的第几天注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
（参考数据：）
19．已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C D A D C BC BC
题号 11
答案 BCD
1．B
【分析】根据集合交集运算求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：.
2．B
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，直接写出该命题的否定命题即可.
【详解】命题“”的否定是“”．
故选：B．
3．A
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，所以，故A正确；
对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，所以，故B错误；
对于C，取，则此时，故C错误；
对于D，若，此时，故D错误．
故选：A．
4．C
【分析】先化简得到再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．
故选C．
5．D
【分析】函数对应关系的直接应用法，先明确函数的对应关系是“输入正整数，输出小数点后第位的数字”，再定位目标位置的数字，最后将对应位置的数字相加，得到最终和.
【详解】由题意得：
第1位数字（）：，
第4位数字（）：，
所以．
故选D．
6．A
【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断.
【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间上有零点，所以“”是“在区间上有零点”的充分条件；若，满足在区间上有零点，但是，所以“”不是“在区间上有零点”的必要条件，所以“”是“在区间上有零点”的充分不必要条件．
故选A．
7．D
【分析】结合对数函数和指数函数性质证明由此比较它们的大小.
【详解】因为，
所以．
故选：D．
8．C
【分析】由题意得到在上单调递增，再利用分段函数需要在两段上都单调递增与在分段点处的值建立不等式组，求解参数范围即可.
【详解】由题意得，在上单调递增，
当时，函数单调递增，则，即；
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，函数单调递增，则，
故函数在上单调递增，
则有，解得．
故选：C．
9．BC
【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可.
【详解】因为，所以或解得或则或.
故选：BC
10．BC
【分析】先由是幂函数得到的值，从而可得的解析式，然后根据幂函数的图象性质依次判断各选项即可.
【详解】由题意，，所以，所以，即．
对于A，的定义域为，故的图象不经过原点，A错误；
对于B，因为的定义域为，且，故为偶函数，B正确；
对于C，由于，故值域为，C正确；
对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误．
故选：BC．
11．BCD
【分析】根据不等式的解集判断方程的两根是和4，然后结合韦达定理判断各选项即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以，4是方程的两根，
所以，
则，，，A错误，BC正确；
所以不等式，D正确．
故选：BCD．
12．
【分析】由已知等式变形可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为.
故答案为：.
13．
【分析】将等量代换为，得到，利用还原法设，根据余弦函数的性质得到的范围，则转化为，利用二次函数的性质求值域即可得解.
【详解】，，
，
设，，，
则转化为，
对称轴为，又在范围内，
在处，取最大值，且最大值为，
时，，
时，，
，的值域为.
故答案为：.
14．
【分析】先画出的图像，设，由关于的函数恰好有6个零点，得到有两个不同的根，则对应的值有个，对应的值有个，故，，数形结合列不等式组可求实数的取值范围.
【详解】的图像为：
设，
则转化为，
关于的函数恰好有6个零点，
有两个不同的根，
且，则对应的值有个，对应的值有个，
，，
，，
，
实数的取值范围是.
故答案为：.
15．（1）；（2）或.
【解析】（1）由交集的定义得出关于的不等式组，解出的取值范围即可；
（2）利用充分条件的定义，结合子集的定义得出关于的不等式组，解出即可.
【详解】解：（1），
，
解得：，
的取值范围是；
（2）因为“”是“”的充分条件，
，
或，
的取值范围是或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用同角三角函数的平方关系可得，然后结合诱导公式可解.
【详解】（1）．
（2）因为，，所以，
又因为是第三象限角，所以为第三象限角，
所以，
故．
17．(1)；单调递增区间为
(2)最大值为1，；最小值为，
【分析】（1）利用求函数最小正周期，利用换元思想，结合正弦函数图象求函数的单调增区间.
（2）结合正弦函数的性质求函数在给定区间上的最值.
【详解】（1）函数的最小正周期为：；
由，得，
∴函数的单调递增区间为.
（2），
，
∴当，即时，函数有最大值1，
当时，即时，函数有最小值.
18．(1)第27天
(2)第33天
【分析】（1）由题意病毒数量总数关于时间的函数关系式为（其中），由该种病毒数量在小白鼠体内的个数超过，将此式两边取常用对数计算得到的范围，从而得解
（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒数量为，再经过天后小白鼠体内病毒数量为，由该种病毒数量在小白鼠体内的个数超过得到，将其两边取常用对数计算得到的范围，从而得解.
【详解】（1）由题意病毒数量总数关于时间的函数关系式为（其中），
由该种病毒数量在小白鼠体内的个数超过，
得到，
两边取常用对数得，从而，
即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒数量为，
再经过天后小白鼠体内病毒数量为，
由该种病毒数量在小白鼠体内的个数超过，
得到，
两边取常用对数得，解得，
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物.
19．(1)
(2)在单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）求出的定义域，由是奇函数，由奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得，利用奇函数的定义检验成立，从而求得的值；
（2），且，计算与的大小，与的大小，利用定义得到结论；
（3）由题意得到，利用单调性求出，，求出对称轴方程为，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解即可.
法二：第（3）问也可转化为，设，即恒成立，即转化为求当时m的取值范围. ，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解即可.
【详解】（1）因为是奇函数，
则其定义域关于原点对称，即，
则，
经验证，此时，
故满足题意；
（2）函数在单调递增.
证明：，且，
则，
因为，所以，则，
所以，
即，所以，
函数在单调递增.
（3）由题意得：，
由（2）知，在上单调递增，所以，
由，得对称轴方程为，
①当时，即时，，
解得，又，
故；
②当时，即时，，
解得，又，
所以；
③当时，即时，，
解得，又，
所以.
综上，实数的取值范围为.
法二：第（3）问也可转化为，
设，
即恒成立，
即转化为求当时m的取值范围.
，对称轴为，
①当时，即时，，
解得，又，
故；
②当时，即时，，
解得，又，
所以；
③当时，即时，，
解得，又，
所以.
综上，实数的取值范围为.
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期末综合试题 2025-2026学年高一数学
上学期期末复习人教A版必修第一册
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
5．已知…，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知集合，若，则的值可能是（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
10．关于幂函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象经过原点 B．为偶函数
C．的值域为 D．在区间上单调递增
11．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C．D．关于x的不等式的解集为
三、填空题
12．已知正实数满足，则的最小值为 .
13．函数的值域为 .
14．设函数，若关于的函数恰好有6个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知集合或.
（1）若，求的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
16．已知．
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值．
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若，求函数的最值及其相应的值.
18．医学上为研究传染病传播中病毒数量的发展规律及其预防，将病毒数量注入一只小白鼠体内进行实验.经检测，病毒数量的总数与天数的关系记录如下表所示.
天数 病毒数量总数 天数 病毒数量总数
1 1 5 16
2 2 6 32
3 4 7 64
4 8
已知该种病毒数量在小白鼠体内的个数超过的时候小白鼠将死亡.但往小白鼠体内注射某种药物，可杀死其体内该病毒数量的.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在病毒数量在小白鼠体内的第几天注射该种药物？（精确到天）
(2)第二次最迟应在病毒数量在小白鼠体内的第几天注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
（参考数据：）
19．已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C D A D C BC BC
题号 11
答案 BCD
1．B
【分析】根据集合交集运算求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：.
2．B
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，直接写出该命题的否定命题即可.
【详解】命题“”的否定是“”．
故选：B．
3．A
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，所以，故A正确；
对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，所以，故B错误；
对于C，取，则此时，故C错误；
对于D，若，此时，故D错误．
故选：A．
4．C
【分析】先化简得到再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．
故选C．
5．D
【分析】函数对应关系的直接应用法，先明确函数的对应关系是“输入正整数，输出小数点后第位的数字”，再定位目标位置的数字，最后将对应位置的数字相加，得到最终和.
【详解】由题意得：
第1位数字（）：，
第4位数字（）：，
所以．
故选D．
6．A
【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断.
【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间上有零点，所以“”是“在区间上有零点”的充分条件；若，满足在区间上有零点，但是，所以“”不是“在区间上有零点”的必要条件，所以“”是“在区间上有零点”的充分不必要条件．
故选A．
7．D
【分析】结合对数函数和指数函数性质证明由此比较它们的大小.
【详解】因为，
所以．
故选：D．
8．C
【分析】由题意得到在上单调递增，再利用分段函数需要在两段上都单调递增与在分段点处的值建立不等式组，求解参数范围即可.
【详解】由题意得，在上单调递增，
当时，函数单调递增，则，即；
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，函数单调递增，则，
故函数在上单调递增，
则有，解得．
故选：C．
9．BC
【分析】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可.
【详解】因为，所以或解得或则或.
故选：BC
10．BC
【分析】先由是幂函数得到的值，从而可得的解析式，然后根据幂函数的图象性质依次判断各选项即可.
【详解】由题意，，所以，所以，即．
对于A，的定义域为，故的图象不经过原点，A错误；
对于B，因为的定义域为，且，故为偶函数，B正确；
对于C，由于，故值域为，C正确；
对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误．
故选：BC．
11．BCD
【分析】根据不等式的解集判断方程的两根是和4，然后结合韦达定理判断各选项即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以，4是方程的两根，
所以，
则，，，A错误，BC正确；
所以不等式，D正确．
故选：BCD．
12．
【分析】由已知等式变形可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为.
故答案为：.
13．
【分析】将等量代换为，得到，利用还原法设，根据余弦函数的性质得到的范围，则转化为，利用二次函数的性质求值域即可得解.
【详解】，，
，
设，，，
则转化为，
对称轴为，又在范围内，
在处，取最大值，且最大值为，
时，，
时，，
，的值域为.
故答案为：.
14．
【分析】先画出的图像，设，由关于的函数恰好有6个零点，得到有两个不同的根，则对应的值有个，对应的值有个，故，，数形结合列不等式组可求实数的取值范围.
【详解】的图像为：
设，
则转化为，
关于的函数恰好有6个零点，
有两个不同的根，
且，则对应的值有个，对应的值有个，
，，
，，
，
实数的取值范围是.
故答案为：.
15．（1）；（2）或.
【解析】（1）由交集的定义得出关于的不等式组，解出的取值范围即可；
（2）利用充分条件的定义，结合子集的定义得出关于的不等式组，解出即可.
【详解】解：（1），
，
解得：，
的取值范围是；
（2）因为“”是“”的充分条件，
，
或，
的取值范围是或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用同角三角函数的平方关系可得，然后结合诱导公式可解.
【详解】（1）．
（2）因为，，所以，
又因为是第三象限角，所以为第三象限角，
所以，
故．
17．(1)；单调递增区间为
(2)最大值为1，；最小值为，
【分析】（1）利用求函数最小正周期，利用换元思想，结合正弦函数图象求函数的单调增区间.
（2）结合正弦函数的性质求函数在给定区间上的最值.
【详解】（1）函数的最小正周期为：；
由，得，
∴函数的单调递增区间为.
（2），
，
∴当，即时，函数有最大值1，
当时，即时，函数有最小值.
18．(1)第27天
(2)第33天
【分析】（1）由题意病毒数量总数关于时间的函数关系式为（其中），由该种病毒数量在小白鼠体内的个数超过，将此式两边取常用对数计算得到的范围，从而得解
（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒数量为，再经过天后小白鼠体内病毒数量为，由该种病毒数量在小白鼠体内的个数超过得到，将其两边取常用对数计算得到的范围，从而得解.
【详解】（1）由题意病毒数量总数关于时间的函数关系式为（其中），
由该种病毒数量在小白鼠体内的个数超过，
得到，
两边取常用对数得，从而，
即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒数量为，
再经过天后小白鼠体内病毒数量为，
由该种病毒数量在小白鼠体内的个数超过，
得到，
两边取常用对数得，解得，
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物.
19．(1)
(2)在单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）求出的定义域，由是奇函数，由奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得，利用奇函数的定义检验成立，从而求得的值；
（2），且，计算与的大小，与的大小，利用定义得到结论；
（3）由题意得到，利用单调性求出，，求出对称轴方程为，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解即可.
法二：第（3）问也可转化为，设，即恒成立，即转化为求当时m的取值范围. ，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解即可.
【详解】（1）因为是奇函数，
则其定义域关于原点对称，即，
则，
经验证，此时，
故满足题意；
（2）函数在单调递增.
证明：，且，
则，
因为，所以，则，
所以，
即，所以，
函数在单调递增.
（3）由题意得：，
由（2）知，在上单调递增，所以，
由，得对称轴方程为，
①当时，即时，，
解得，又，
故；
②当时，即时，，
解得，又，
所以；
③当时，即时，，
解得，又，
所以.
综上，实数的取值范围为.
法二：第（3）问也可转化为，
设，
即恒成立，
即转化为求当时m的取值范围.
，对称轴为，
①当时，即时，，
解得，又，
故；
②当时，即时，，
解得，又，
所以；
③当时，即时，，
解得，又，
所以.
综上，实数的取值范围为.
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