广东省广州市执信中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·广州期中）设全集，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·广州期中）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高一上·广州期中）若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2025高一上·广州期中）已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称
C．的图象过点 D．
5．（2025高一上·广州期中）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·广州期中）函数的部分图像如图，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·广州期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·广州期中）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为奇函数
9．（2025高一上·广州期中）已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·广州期中）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最大值为
11．（2025高一上·广州期中）若函数的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025高一上·广州期中） .
13．（2025高一上·广州期中）命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
14．（2025高一上·广州期中）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为 .
15．（2025高一上·广州期中）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
16．（2025高一上·广州期中）已知二次函数满足，且的解集为，若函数.
（1）求的解析式；
（2）若实数满足，求的取值范围.
17．（2025高一上·广州期中）已知结论：设函数的定义域为，，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然.特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数.设定义在上的函数.
（1）计算的值，证明的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
（3）求不等式的解集.
18．（2025高一上·广州期中）某学校计划建造一个长方体形状的体育器材室，器材室的高度为3米，宽度为米，，地面面积为144平方米.建筑公司给出两种报价方案：
方案一：器材室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为元；
方案二：整体报价为元，.
（1）当宽度为10米时，方案二的报价为37800元，求的值；
（2）求方案一中总报价（单位：元）与器材室宽度（单位：米）之间的函数关系式，并求报价的最小值；
（3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
19．（2025高一上·广州期中）对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“漂亮区间”
（1）判断区间是否为函数的“漂亮区间”，并说明理由；
（2）已知函数，.若函数
（ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（ⅱ）当时，若函数，存在“漂亮区间”，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，则，
又因为，所以，
故答案为：A.
【分析】先求集合的交集，再求补集运算即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：如果，则有，即充分性成立；
如果，则有，但不能推出，
比如，满足，即必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先证充分性，再判断必要性.
3．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：是方程的两个根，
由韦达定理可得：，解得，.
即，.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：是方程的两个根，利用韦达定理求解即可.
4．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由于的定义域为，故ABC错误，
为上的单调递减函数，故，D正确，
故答案为：D
【分析】将该函数化为，再由幂函数的性质即可结合选项逐一求解.
5．【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，
则在上单调递减，在上单调递增.
因为是增函数，且函数在上单调递减，所以在上单调递减.
所以，所以.
所以的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】用换元法将函数化为的形式，令，可得所以在上单调递减.根据二次函数的单调性判断方法，再根据复合函数单调性的判断方法，可求得的取值范围.
6．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由图可知，函数的定义域为，
A，函数的定义域为，不符合题意，故A错误；
B，函数的定义域为，且，故B正确；
C，函数的定义域为，不符合题意，故C错误；
D，函数的定义域为，不符合题意，故D错误；
故答案为：B
【分析】根据函数图象的定义域以及函数在不同区间的表达式特征，对每个选项进行分析，从而确定正确的函数解析式.
7．【答案】C
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，可得，即，
所以，
因为函数在上为增函数，故，
即函数的值域为.
故答案为：C.
【分析】首先引入新变量替换原函数中的复杂部分，将非二次函数转化为关于新变量的二次函数；接着确定新变量的取值范围（即二次函数的定义域），再根据二次函数的基本性质（单调性、最值）分析其取值范围，最终还原得到原函数的值域.
8．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解： 函数是定义在上不恒为零的函数，且，
A、令，则，故，故A错误；
B、令，则，故，故B错误；
C、令，则，故为偶函数，故C正确；
D、由C可知为偶函数，且在上不恒为零的函数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据，给、取特殊值逐项判断即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：当时，满足，此时；
当时，，此时，
因为，所以或，
即；或
综上所述，或或，
故答案为：BCD.
【分析】由可得，N是子集，分情况讨论，列出当和时的方程，解方程即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，且，
A、由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以的最大值为，A对；
B、，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，B错；
C、因为，，由重要不等式可得，
所以，所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对；
D、因为，故，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，D对.
故答案为：ACD.
【分析】首先明确基本不等式的适用条件（正实数、定值、等号成立条件），再针对每个选项，结合不等式的形式和要求进行推导验证，通过判断是否满足 “一正、二定、三相等” 原则，逐一确定各选项的正误.
11．【答案】B,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：函数开口向上，对称轴为，
若，即时，解得或（舍去），
若，即时，函数在上单调递减，所以，解得，
若，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去），
综上可得或.
故答案为：BD
【分析】由一元二次函数性质求出函数的对称轴，分三种情况：、、求出函数的最小值，即可求出参数的值.
12．【答案】6
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：
.
故答案为：6.
【分析】根据对数的运算法则，对数恒等式，对数性质计算即可.
13．【答案】
【知识点】命题的否定；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：易知命题“，”为真命题，
当，即时，恒成立，满足题意；
当，即时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】易知命题“，”为真命题，分和讨论，结合二次不等式的恒成立求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；指数型复合函数的性质及应用；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，，
易知在上单调递减，则，
当时，若时，在上是单调递增函数，
则，要使，则，
即，即，解得，因为，所以；
若时，，在上是单调递增函数，此时，在上是单调递减函数，，
满足， 则，即，又因为，所以，
综上，.
故答案为.
【分析】当时，化简函数，利用对勾函数的性质求的范围，再分两种情况，根据函数的单调性求的范围，最后由在的范围包含在的范围内，列关于的不等式求解即可.
15．【答案】（1）解 依题意，或，
当时，或，
所以.
（2）解： 由，得，则由，得，
解得，所以的取值范围是.
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；不等式的解集
【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式化简集合，再代入的值确定集合，进而求出，最后求其补集.
（2）根据，结合集合和的范围列出不等式组求解.
（1）依题意，或，
当时，或，
所以.
（2）由，得，则由，得，解得，
所以的取值范围是.
16．【答案】（1）解：由的解集为，得方程的两根为和，即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为和，且函数图象开口向上.
由此，可设.
因为，所以，所以.
所以的解析式为.
（2）解：由（1）知，.
当时，单调递减；
若，则，即，解得；
当时，单调递增.
若，则，解得.
由
综上所述，的取值范围是.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由的解集为，得，即和是二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，又函数图象开口向上，可设，代入，可得的解析式；
（2）结合（1）写出的解析式，再根据分段函数单调性，分两种情况和解，取其并集，即为的取值范围.
（1）由的解集为，得方程的两根为和，即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为和，且函数图象开口向上.
由此，可设.
因为，所以，所以.
所以的解析式为.
（2）由（1）知，.
当时，单调递减；
若，则，即，解得；
当时，单调递增.
若，则，解得.
由
综上所述，的取值范围是.
17．【答案】（1）证明：，，
；
根据题设结论，，
故的图象是一个中心对称图形，并且的图象关于对称中心，则的对称中心为；
（2）证明：函数在上是单调递减函数；
证明如下：
，
在上任取两个数，且，
，则，，
，，
，，
在上是单调递减函数；
（3）解：由第（1）问可知，则有，
解得，
，，
，，
在上是单调递减函数，
，，，
，，
不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）要计算，先由求出，根据题设结论，可得到，故中心对称点是，并得到该函数图象是一个中心对称图形，.
（2）在上任取两个数，且，作差得式子，再比较该式子与0的大小，根据单调性的定义得解；
（3）由（1）得到，解得代入不等式化成标准式，进行计算整理，利用在上是单调递减函数得到的不等式求解即可.
（1），，
；
根据题设结论，，
故的图象是一个中心对称图形，并且的图象关于对称中心，则的对称中心为；
（2）函数在上是单调递减函数；
证明如下：
，
在上任取两个数，且，
，则，，
，，
，，
在上是单调递减函数；
（3）由第（1）问可知，则有，
解得，
，，
，，
在上是单调递减函数，
，，，
，，
不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：宽度为10米时，方案二的报价为37800元，则，解得；
（2）解：底面长为，墙面面积为，
，
，当且仅当，即时等号成立，
则方案一中报价的最小值为38400元；
（3）解：对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，整理得，
因为，
设，则，
由于对勾函数在单调递增，当时，取最小值，则，
又因为，所以，
故对任意的时，方案二都比方案一省钱，的取值范围为
【知识点】基本不等式；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1） 根据宽度为10米时，方案二的报价为37800元 求解k的值即可；
（2）底面长为，墙面面积为，表示，再利用基本不等式求解即可；
（3）根据题意列出不等式，分离参数，换元令 ，利用对勾函数的性质求解即可.
（1）宽度为10米时，方案二的报价为37800元，
即，所以的值为15.
（2）底面长为，所以墙面面积为，
，
，当且仅当，即时等号成立，
所以方案一中报价的最小值为38400元.
（3）对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，
整理得，
因为，
设，则，
由于对勾函数在单调递增，
故当时，取最小值，所以，
又，所以，
所以若对任意的时，方案二都比方案一省钱，的取值范围为.
19．【答案】（1）解：区间是函数的“漂亮区间”，理由如下：
因为，在上单调递减，
所以在上单调递减.
因为，所以在上的值域为，
所以区间为函数的“漂亮区间”.
（2）解：（ⅰ）函数是奇函数.
证明：由题可知，函数的定义域为：.
当时，，
，.
所以；
当时，
，.
所以.
综上，当时，，所以函数是奇函数.
（ⅱ）当时，函数，
设，所以.
，
因为，所以，所以，即.
所以在上单调递减，所以函数，是减函数.
若函数，存在“漂亮区间”，
则，即.
令，则与的图象有两个交点.
因为，当且仅当时，等号成立.
设，所以.
，
因为，所以，所以，即
所以在上单调递减.
同理可证，在上单调递增.
简图如下
因为，所以当时，与有两个交点.
故实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数与方程的综合运用；函数零点存在定理；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先求出在上的值域，符合“漂亮区间”的定义；
（2）（i）由分段函数式子，将每一段进行奇偶性的判断可证明函数为奇函数；
（ii）先将g(x)表示出来，判断单调性，再由对勾函数的性质，根据“漂亮区间”的定义转化为方程组有解，再转化为两个函数的图象有两个交点，数形结合得解.
（1）区间是函数的“漂亮区间”，理由如下：
因为，在上单调递减，
所以在上单调递减.
因为，所以在上的值域为，
所以区间为函数的“漂亮区间”.
（2）（ⅰ）函数是奇函数.
证明：由题可知，函数的定义域为：.
当时，，
，.
所以；
当时，
，.
所以.
综上，当时，，所以函数是奇函数.
（ⅱ）当时，函数，
设，所以.
，
因为，所以，所以，即.
所以在上单调递减，所以函数，是减函数.
若函数，存在“漂亮区间”，
则，即.
令，则与的图象有两个交点.
因为，当且仅当时，等号成立.
设，所以.
，
因为，所以，所以，即
所以在上单调递减.
同理可证，在上单调递增.
简图如下
因为，所以当时，与有两个交点.
故实数的取值范围是.
1 / 1广东省广州市执信中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·广州期中）设全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，则，
又因为，所以，
故答案为：A.
【分析】先求集合的交集，再求补集运算即可.
2．（2025高一上·广州期中）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：如果，则有，即充分性成立；
如果，则有，但不能推出，
比如，满足，即必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先证充分性，再判断必要性.
3．（2025高一上·广州期中）若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：是方程的两个根，
由韦达定理可得：，解得，.
即，.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：是方程的两个根，利用韦达定理求解即可.
4．（2025高一上·广州期中）已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．的图象关于轴对称
C．的图象过点 D．
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由于的定义域为，故ABC错误，
为上的单调递减函数，故，D正确，
故答案为：D
【分析】将该函数化为，再由幂函数的性质即可结合选项逐一求解.
5．（2025高一上·广州期中）函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，
则在上单调递减，在上单调递增.
因为是增函数，且函数在上单调递减，所以在上单调递减.
所以，所以.
所以的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】用换元法将函数化为的形式，令，可得所以在上单调递减.根据二次函数的单调性判断方法，再根据复合函数单调性的判断方法，可求得的取值范围.
6．（2025高一上·广州期中）函数的部分图像如图，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由图可知，函数的定义域为，
A，函数的定义域为，不符合题意，故A错误；
B，函数的定义域为，且，故B正确；
C，函数的定义域为，不符合题意，故C错误；
D，函数的定义域为，不符合题意，故D错误；
故答案为：B
【分析】根据函数图象的定义域以及函数在不同区间的表达式特征，对每个选项进行分析，从而确定正确的函数解析式.
7．（2025高一上·广州期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，可得，即，
所以，
因为函数在上为增函数，故，
即函数的值域为.
故答案为：C.
【分析】首先引入新变量替换原函数中的复杂部分，将非二次函数转化为关于新变量的二次函数；接着确定新变量的取值范围（即二次函数的定义域），再根据二次函数的基本性质（单调性、最值）分析其取值范围，最终还原得到原函数的值域.
8．（2025高一上·广州期中）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解： 函数是定义在上不恒为零的函数，且，
A、令，则，故，故A错误；
B、令，则，故，故B错误；
C、令，则，故为偶函数，故C正确；
D、由C可知为偶函数，且在上不恒为零的函数，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据，给、取特殊值逐项判断即可.
9．（2025高一上·广州期中）已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：当时，满足，此时；
当时，，此时，
因为，所以或，
即；或
综上所述，或或，
故答案为：BCD.
【分析】由可得，N是子集，分情况讨论，列出当和时的方程，解方程即可.
10．（2025高一上·广州期中）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，且，
A、由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以的最大值为，A对；
B、，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，B错；
C、因为，，由重要不等式可得，
所以，所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对；
D、因为，故，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，D对.
故答案为：ACD.
【分析】首先明确基本不等式的适用条件（正实数、定值、等号成立条件），再针对每个选项，结合不等式的形式和要求进行推导验证，通过判断是否满足 “一正、二定、三相等” 原则，逐一确定各选项的正误.
11．（2025高一上·广州期中）若函数的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：函数开口向上，对称轴为，
若，即时，解得或（舍去），
若，即时，函数在上单调递减，所以，解得，
若，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去），
综上可得或.
故答案为：BD
【分析】由一元二次函数性质求出函数的对称轴，分三种情况：、、求出函数的最小值，即可求出参数的值.
12．（2025高一上·广州期中） .
【答案】6
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：
.
故答案为：6.
【分析】根据对数的运算法则，对数恒等式，对数性质计算即可.
13．（2025高一上·广州期中）命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】命题的否定；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：易知命题“，”为真命题，
当，即时，恒成立，满足题意；
当，即时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】易知命题“，”为真命题，分和讨论，结合二次不等式的恒成立求解即可.
14．（2025高一上·广州期中）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；指数型复合函数的性质及应用；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，，
易知在上单调递减，则，
当时，若时，在上是单调递增函数，
则，要使，则，
即，即，解得，因为，所以；
若时，，在上是单调递增函数，此时，在上是单调递减函数，，
满足， 则，即，又因为，所以，
综上，.
故答案为.
【分析】当时，化简函数，利用对勾函数的性质求的范围，再分两种情况，根据函数的单调性求的范围，最后由在的范围包含在的范围内，列关于的不等式求解即可.
15．（2025高一上·广州期中）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解 依题意，或，
当时，或，
所以.
（2）解： 由，得，则由，得，
解得，所以的取值范围是.
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；不等式的解集
【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式化简集合，再代入的值确定集合，进而求出，最后求其补集.
（2）根据，结合集合和的范围列出不等式组求解.
（1）依题意，或，
当时，或，
所以.
（2）由，得，则由，得，解得，
所以的取值范围是.
16．（2025高一上·广州期中）已知二次函数满足，且的解集为，若函数.
（1）求的解析式；
（2）若实数满足，求的取值范围.
【答案】（1）解：由的解集为，得方程的两根为和，即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为和，且函数图象开口向上.
由此，可设.
因为，所以，所以.
所以的解析式为.
（2）解：由（1）知，.
当时，单调递减；
若，则，即，解得；
当时，单调递增.
若，则，解得.
由
综上所述，的取值范围是.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由的解集为，得，即和是二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，又函数图象开口向上，可设，代入，可得的解析式；
（2）结合（1）写出的解析式，再根据分段函数单调性，分两种情况和解，取其并集，即为的取值范围.
（1）由的解集为，得方程的两根为和，即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为和，且函数图象开口向上.
由此，可设.
因为，所以，所以.
所以的解析式为.
（2）由（1）知，.
当时，单调递减；
若，则，即，解得；
当时，单调递增.
若，则，解得.
由
综上所述，的取值范围是.
17．（2025高一上·广州期中）已知结论：设函数的定义域为，，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然.特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数.设定义在上的函数.
（1）计算的值，证明的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）证明：，，
；
根据题设结论，，
故的图象是一个中心对称图形，并且的图象关于对称中心，则的对称中心为；
（2）证明：函数在上是单调递减函数；
证明如下：
，
在上任取两个数，且，
，则，，
，，
，，
在上是单调递减函数；
（3）解：由第（1）问可知，则有，
解得，
，，
，，
在上是单调递减函数，
，，，
，，
不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）要计算，先由求出，根据题设结论，可得到，故中心对称点是，并得到该函数图象是一个中心对称图形，.
（2）在上任取两个数，且，作差得式子，再比较该式子与0的大小，根据单调性的定义得解；
（3）由（1）得到，解得代入不等式化成标准式，进行计算整理，利用在上是单调递减函数得到的不等式求解即可.
（1），，
；
根据题设结论，，
故的图象是一个中心对称图形，并且的图象关于对称中心，则的对称中心为；
（2）函数在上是单调递减函数；
证明如下：
，
在上任取两个数，且，
，则，，
，，
，，
在上是单调递减函数；
（3）由第（1）问可知，则有，
解得，
，，
，，
在上是单调递减函数，
，，，
，，
不等式的解集为.
18．（2025高一上·广州期中）某学校计划建造一个长方体形状的体育器材室，器材室的高度为3米，宽度为米，，地面面积为144平方米.建筑公司给出两种报价方案：
方案一：器材室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为元；
方案二：整体报价为元，.
（1）当宽度为10米时，方案二的报价为37800元，求的值；
（2）求方案一中总报价（单位：元）与器材室宽度（单位：米）之间的函数关系式，并求报价的最小值；
（3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
【答案】（1）解：宽度为10米时，方案二的报价为37800元，则，解得；
（2）解：底面长为，墙面面积为，
，
，当且仅当，即时等号成立，
则方案一中报价的最小值为38400元；
（3）解：对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，整理得，
因为，
设，则，
由于对勾函数在单调递增，当时，取最小值，则，
又因为，所以，
故对任意的时，方案二都比方案一省钱，的取值范围为
【知识点】基本不等式；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1） 根据宽度为10米时，方案二的报价为37800元 求解k的值即可；
（2）底面长为，墙面面积为，表示，再利用基本不等式求解即可；
（3）根据题意列出不等式，分离参数，换元令 ，利用对勾函数的性质求解即可.
（1）宽度为10米时，方案二的报价为37800元，
即，所以的值为15.
（2）底面长为，所以墙面面积为，
，
，当且仅当，即时等号成立，
所以方案一中报价的最小值为38400元.
（3）对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，
整理得，
因为，
设，则，
由于对勾函数在单调递增，
故当时，取最小值，所以，
又，所以，
所以若对任意的时，方案二都比方案一省钱，的取值范围为.
19．（2025高一上·广州期中）对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“漂亮区间”
（1）判断区间是否为函数的“漂亮区间”，并说明理由；
（2）已知函数，.若函数
（ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（ⅱ）当时，若函数，存在“漂亮区间”，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：区间是函数的“漂亮区间”，理由如下：
因为，在上单调递减，
所以在上单调递减.
因为，所以在上的值域为，
所以区间为函数的“漂亮区间”.
（2）解：（ⅰ）函数是奇函数.
证明：由题可知，函数的定义域为：.
当时，，
，.
所以；
当时，
，.
所以.
综上，当时，，所以函数是奇函数.
（ⅱ）当时，函数，
设，所以.
，
因为，所以，所以，即.
所以在上单调递减，所以函数，是减函数.
若函数，存在“漂亮区间”，
则，即.
令，则与的图象有两个交点.
因为，当且仅当时，等号成立.
设，所以.
，
因为，所以，所以，即
所以在上单调递减.
同理可证，在上单调递增.
简图如下
因为，所以当时，与有两个交点.
故实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数与方程的综合运用；函数零点存在定理；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先求出在上的值域，符合“漂亮区间”的定义；
（2）（i）由分段函数式子，将每一段进行奇偶性的判断可证明函数为奇函数；
（ii）先将g(x)表示出来，判断单调性，再由对勾函数的性质，根据“漂亮区间”的定义转化为方程组有解，再转化为两个函数的图象有两个交点，数形结合得解.
（1）区间是函数的“漂亮区间”，理由如下：
因为，在上单调递减，
所以在上单调递减.
因为，所以在上的值域为，
所以区间为函数的“漂亮区间”.
（2）（ⅰ）函数是奇函数.
证明：由题可知，函数的定义域为：.
当时，，
，.
所以；
当时，
，.
所以.
综上，当时，，所以函数是奇函数.
（ⅱ）当时，函数，
设，所以.
，
因为，所以，所以，即.
所以在上单调递减，所以函数，是减函数.
若函数，存在“漂亮区间”，
则，即.
令，则与的图象有两个交点.
因为，当且仅当时，等号成立.
设，所以.
，
因为，所以，所以，即
所以在上单调递减.
同理可证，在上单调递增.
简图如下
因为，所以当时，与有两个交点.
故实数的取值范围是.
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