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“回扣验收特训”见“回扣验收特训（二）”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(六)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(七)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(八)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(九)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十一)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十二)”
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课时跟踪检测（七） 椭圆的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A．
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若＝2，则椭圆的离心率是( )
A． B．
C． D．
解析：选D ∵＝2，∴||＝2||．
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝．
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m
A．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
解析：选C 化为标准方程是＋＝1，
∵m∴焦点在y轴上，且c＝＝．
6．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________．
解析：当焦点在x轴上时，＝?m＝3；
当焦点在y轴上时，＝?m＝．
综上，m＝3或m＝．
答案：3或
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1．
解得a2＝45．∴椭圆方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
解析：设A(m，n)．
由＝5，得B．
又A，B均在椭圆上，所以有
解得或
所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
答案：(0,1)或(0，－1)
9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由e＝知＝，故＝，从而＝，＝．由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8．
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
10．椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2＋y2＝2．
∴y2＝ax－x2．①
又P点在椭圆上，故＋＝1．②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即
(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0∴0<由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>．
又∵0层级二 应试能力达标
1．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴长、短轴长 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的顶点
解析：选B c＝25－9＝16，c＝(25－k)－(9－k)＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B．
2．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )
A．8,6 B．4,3
C．2， D．4,2
解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3．故选B．
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，
可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝．
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1．
4．(全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝．①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝．②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
∴e＝＝．故选A．
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
解析：在Rt△ABF中，
|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，
由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝．
因为e>0，所以e＝．
答案：
6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．
解析：由题意，知a＝10，b＝8，不妨设椭圆方程为＋＝1，其上的点M(x0，y0)，则|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝．因为＋＝1，所以y＝64＝64－x，则d＝＝ ，因为0≤x≤100，所以64≤x＋64≤100，即8≤d≤10．
答案：[8,10]
7．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m－＝>0，可知m>，
所以a2＝m，b2＝，c＝＝ ，
由e＝，得 ＝，解得m＝1．
于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，
则a＝1，b＝，c＝．
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，．
8．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．
(1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E 的离心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1．
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．
故|AF2|＝8－3＝5．
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．
在△ABF2中，由余弦定理可得，
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k．
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝．
课时跟踪检测（九） 双曲线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
解析：选D 将方程化为－＝1，
由mn<0，知－>0，
所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A． B．
C． D．5
解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝．
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A． B．1或－2
C．1或 D．1
解析：选D 依题意知解得a＝1．
5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．y2－＝1 D．－＝1
解析：选A 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1．
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16．
答案：16
7．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________．
解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
8．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2．根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20．
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a．
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
9．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解：已知双曲线－＝1，由c2＝a2＋b2，
得c2＝16＋9＝25，∴c＝5．
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为－＝1．
∵点P在双曲线上，
∴－＝1．
化简，得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝．
又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24．
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C．
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1．
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4．
(2)∵sin B－sin A＝sin C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
层级二 应试能力达标
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
解析：选B 由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B．
2．若双曲线－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选A 设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2，已知|PF1|＋|PF2|＝2，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，|PF1|·|PF2|＝2．又|F1F2|＝2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，于是S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1．故选A．
3．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝( )
A．1 B．－1
C． D．－
解析：选A 依题意，知双曲线的焦点在x轴上，方程可化为－＝1，则k>0，且a2＝，b2＝，所以＋＝9，解得k＝1．
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
解析：选C 由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m．故选C．
5．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．
解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2．
答案：22或2
6．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．
解析：因为双曲线方程为－＝1，
所以c＝＝13，
设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
则F1(－13,0)，F2(13,0)．
设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y>0)，则＝－1＝，
所以y＝，即|AF1|＝．
又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
所以|AF2|＝24＋＝．
即所求距离分别为，．
答案：，
7．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解：(1)因为
所以tan θ＝．
又即tan θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则||＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±．
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，解得x1＝c，
所以||＝＝ ≥＝2，
当且仅当c＝4时，||最小，
这时Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以于是双曲线的标准方程为－＝1．
8．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
解：(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，
两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4．
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
又|MF|＝＝2，
∴||MP|－|FP||的最大值为2．
课时跟踪检测（八） 直线与椭圆的位置关系
层级一 学业水平达标
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：选B 直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B．
2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A． B．
C． D．
解析：选A 由消去y得，
(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝，
代入y＝1－x得y0＝．
由题意＝，∴＝，选A．
3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．0，
C．0， D．，1
解析：选C ∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c0，∴04．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则| |＝( )
A． B．2
C． D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1．∴右焦点F(1,0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0．
∴x0＝，y0＝n．
将x0，y0代入＋y2＝1，
得×2＋2＝1．
解得n2＝1，
∴||＝＝＝．
5．(全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，
所以直线AB的方程为y＝(x－3)，
代入椭圆方程＋＝1消去y，
得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，
又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3．
所以E的方程为＋＝1．
6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为______．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0．
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6．
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝ ＝ ＝．
答案：
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，| |＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥．
∴||2＝| |2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，∴||min＝．
答案：
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6．
答案：6
9．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
解：∵a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴右焦点F(，0)，∴直线l的方程y＝x－．
由消去y并整理，得5x2－8x＋8＝0．
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝，
即弦AB的长为．
10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4．又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1．
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，∴AB的中点坐标 x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为．
层级二 应试能力达标
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2 B．1
C．0 D．0或1
解析：选A 由题意，得 >2，所以m2＋n2<4，则－22．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A．
B．
C．∪
D．∪
解析：选C 由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C．
3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
解析：选C 设＝k，则y＝k(x－2)．
由消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，
Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±，
∴kmin＝－．选C．
4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P(不在x轴上)为椭圆上一点，且满足·＝c2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C 由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2． ①
又·＝c2，
∴|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝c2， ②
由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2＝4c2， ③
由①②③，得cos∠F1PF2＝<1，
所以c又|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
∴2a2－3c2≤a2，a2≤3c2，e≥，
则椭圆离心率的取值范围是，故选C．
5．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是________．
解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并将x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入，得＝－，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
答案：x＋2y－4＝0
6．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，所以＝，即e＝．
答案：
7．已知F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
解：显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝．
由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－．①
又0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?·>0，
所以·＝x1x2＋y1y2>0．
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，
所以＋>0，即k2<4，所以－2综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为－2，－∪．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 l：y＝－x＋m与椭圆交于 A，B两点，与以F1F2 为直径的圆交于C，D 两点，且满足＝ ，求直线l 的方程．
解：(1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1．
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d＜1得|m|＜．(*)
∴|CD|＝2＝2＝ ．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3．
∴|AB|＝
＝ ．
由＝得 ＝1，
解得m＝±，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－．
课时跟踪检测（六） 椭圆及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D．
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4．
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3或a<－2 D．a>3或－6解析：选D 由a2>a＋6>0得所以所以a>3或－65．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝．
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2．∴b2＝a2－c2＝9．
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1．
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1．
∴m－4＝1，m＝5．
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，
∴m＝3．
答案：3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________________．
解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16．所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3．
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25．
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
解：由点在椭圆上，得＋＝1，
又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．
所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．
将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6 300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)因为P为椭圆C上任一点，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20．
由(1)知c＝6，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，
所以由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ，
即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．
因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·
所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|．
所以122＝202－3|PF1||PF2|．
所以|PF1|·|PF2|＝＝＝．
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin ＝××＝．
所以△F1PF2的面积为．
层级二 应试能力达标
1．下列说法中正确的是( )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析：选C A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选C．
2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．9 B．12
C．10 D．8
解析：选A ∵·＝0，
∴PF1⊥PF2．
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a．
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴
②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18，
∴△F1PF2的面积为
S＝·|PF1|·|PF2|＝9．
3．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1．因为椭圆的焦点在y轴上，所以>>0，即sin α>cos α>0．又α∈，所以<α<．
4．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心：且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．
5．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．
解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，所以－＝16，解得k＝．
答案：
6．已知椭圆C： ＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________．
解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12．
答案：12
7．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得解得
所以b2＝a2－c2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2．
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4．
在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝．
依题意有＝3，得b2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
8． 如图在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
解：如图，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．
又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝．
故点M的轨迹方程为＋＝1．
课时跟踪检测（十一） 抛物线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6
C． D．
解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝．故到焦点的距离最小值为．
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A． B．1
C．2 D．4
解析：选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2．
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A． B．
C．3 D．2
解析：选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3．故选C．
4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：选D 双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y．
6．抛物线x＝y2的焦点坐标是________．
解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点(m,0)．
答案：(m,0)
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8．不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝．
答案：
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，3＋＝5，即p＝4．
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2．
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F．
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)?
解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y．
(2)设车辆高为h，则|DB|＝h＋0．5，
故D(3．5，h－6．5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4．05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．
层级二 应试能力达标
1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．直线 D．抛物线
解析：选D 设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D．
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．4
解析：选D 如图，∵△FPM是等边三角形．
∴由抛物线的定义知PM⊥l．
在Rt△MQF中，|QF|＝2，
∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，
∴S△PMF＝×42＝4．故选D．
3．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为( )
A． B． C．1 D．2
解析：选D 设AB的中点为M，焦点为F(0,1)．过M作准线l：y＝－1的垂线MN，过A作AC⊥l于C，过B作BD⊥l于D，则|MN|＝＝≥＝3，所以AB中点到x轴的最短距离为3－1＝2，此时动弦AB过焦点，故选D．
4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5．若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：选C 由已知得抛物线的焦点F，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝．由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M．
由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C．
5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．
答案：6
6．从抛物线y2＝4x上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的内切圆的面积为________．
解析：如图，∵|PM|＝5，
∴点P的坐标为(4,4)，
∴S△PMF＝×5×4＝10．
设△PMF的内切圆圆心为O′，半径为r，
∴S△PMF＝S△O ′PM＋S△O ′PF＋S△O ′MF，
即(5＋5＋2)r＝10，解得r＝，
故△PMF内切圆的面积为πr2＝π．
答案：π
7．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上任一点(不与原点重合)，F是其焦点．
求证：以MF为直径的圆与y轴相切．
证明：如图，过M作MN⊥l于N，交y轴于点Q，O′是MF的中点，作O′R⊥y轴于R．
∵|MF|＝|MN|，|OF|＝|OP|＝|QN|，
∴|O′R|＝(|OF|＋|QM|)
＝(|QM|＋|QN|)
＝|MN|＝|MF|，
∴以MF为直径的圆与y轴相切．
8．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝．
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，
因为>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4．
即|PB|＋|PF|的最小值为4．
课时跟踪检测（十二） 抛物线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
解析：选C 在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，
即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C．
2．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2 ) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
解析：选B 设A(x，y)，则y2＝4x，①
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4．②
由①②可解得x＝1，y＝±2．
4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋2．
由得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1．
∴|AB|＝
＝＝＝2．
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝．由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝．
6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2．
∴所求点的坐标为(3,2)．
答案：(3,2)
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为．
因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝．
答案：
8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________．
解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－p，xB＝p，故A－p，p，Bp，p，所以|AF|＝p，|BF|＝2p，所以＝．
答案：
9．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2．
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3．
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0．
10．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3．代入y2＝4x，解得y1＝±2．
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
得消去y，整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋．
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4．
层级二 应试能力达标
1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析：选C 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x．故选C．
2．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有两条
C．有无穷多条 D．不存在
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7．又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B．
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2 B．1或－1
C．2 D．3
解析：选C 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0．又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，得k>－1．则由＝4，得k＝2．故选C．
4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A． B．
C． D．2
解析：选D 由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①
由
?
∵·＝0，
∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0．
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0．④
由①②③④解得k＝2．故选D项．
5．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析：由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，|PQ|＝8，所以梯形APQB的面积S＝×8＝48．
答案：48
6．顶点为坐标原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，则抛物线方程为________．
解析：设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，
联立得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则Δ＝(4－a)2－16>0，得a>8或a<0．
设直线与抛物线的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|AB|＝
＝＝，
解得a＝12或a＝－4．
所以抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x．
答案：y2＝12x或y2＝－4x
7．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于 时，求实数k的值．
解：(1)证明：由消去x，得ky2＋y－k＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知k≠0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－1．
由A，B在抛物线y2＝－x上，可知y＝－x1，y＝－x2，则yy＝x1x2．
因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，
所以OA⊥OB．
(2)设直线与x轴交于点N．
令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．
因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON|·|y2|＝|ON||y1－y2|，
所以S△OAB＝×1×
＝ ＝．
解得k＝±．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
解：(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝．
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋．
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2．
所以C的方程为y2＝4x．
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|
＝·
＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，
所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3．
将上式代入y2＝4x，
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0．
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|
＝·
＝．
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋2＋2＝．
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1．
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．
课时跟踪检测（十） 双曲线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．下列双曲线中离心率为的是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选B 由e＝得e2＝，∴＝，
则＝，∴＝，即a2＝2b2．因此可知B正确．
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
解析：选A 令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A．
3．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
解析：选B 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．
∴e2＝＝＝1－．
又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－124．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选B 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1．
5．(全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A． B．2
C． D．
解析：选D 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为．
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝．故选D．
6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，
在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知，a＋c＝，
即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
8．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．
不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，
所以B．
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝．
答案：
9．(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，求该三角形的面积．
解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|．
因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，
由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12．
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2．
所以双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m．
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5．
故m＝±1．
层级二 应试能力达标
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2
C． D．1
解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2．故选A．
2．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24．故选D．
3．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，所以－2＝－×4，即a＝2b．设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，所以e＝＝＝．故选D．
4．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A． B．
C． D．2
解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝．故选A．
法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
解析：由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析：由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．
答案：[2，＋∞)
7．设双曲线－＝1(0解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4．
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝．
又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2．
于是双曲线的离心率为2．
8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值．
解：(1)由消去y，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．①
由直线l与双曲线C有两个不同的交点，
得
解得－即k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程①，得x1＋x2＝，x1x2＝．
因为直线l：y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，
则当x1x2<0时，S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1－x2|＝；
当x1x2>0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝|x1－x2|＝．
综上可知，|x1－x2|＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±．
由(1)，可知－