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高中数学
人教新课标A版
选修1-1
第二章圆锥曲线与方程
本章复习与测试
【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修1-1-第二章 圆锥曲线与方程 (15份打包)
文档属性
名称
【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修1-1-第二章 圆锥曲线与方程 (15份打包)
格式
zip
文件大小
7.7MB
资源类型
教案
版本资源
人教新课标A版
科目
数学
更新时间
2016-10-18 22:40:05
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文档简介
课件38张PPT。
“回扣验收特训”见“回扣验收特训(二)”
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课件23张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(六)”
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课件24张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(七)”
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课件22张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(八)”
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课件21张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(九)”
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课件22张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十)”
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课件22张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十一)”
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课件19张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十二)”
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课时跟踪检测(七) 椭圆的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( )
A.(±13,0) B.(0,±10)
C.(0,±13) D.(0,±)
解析:选D 由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c==,故焦点坐标为(0,±).
2.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:选A 依题意,△BF1F2是正三角形,
∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,
∴cos 60°==,即椭圆的离心率e=,故选A.
3.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴,椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等,则( )
A.a2=25,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
解析:选D 因为椭圆+=1的长轴长为10,焦点在x轴上,椭圆+=1的短轴长为6,所以a2=25,b2=9.
4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析:选D ∵=2,∴||=2||.
又∵PO∥BF,∴==,
即=,∴e==.
5.椭圆mx2+ny2+mn=0(m
A.(0,±) B.(±,0)
C.(0,±) D.(±,0)
解析:选C 化为标准方程是+=1,
∵m
∴焦点在y轴上,且c==.
6.椭圆+=1的离心率为,则m=________.
解析:当焦点在x轴上时,=?m=3;
当焦点在y轴上时,=?m=.
综上,m=3或m=.
答案:3或
7.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为, 且过P(-5,4),则椭圆的方程为________________.
解析:∵e==,
∴==,
∴5a2-5b2=a2即4a2=5b2.
设椭圆的标准方程为+=1(a>0),
∵椭圆过点P(-5,4),∴+=1.
解得a2=45.∴椭圆方程为+=1.
答案:+=1
8.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左,右焦点,点A,B在椭圆上,若=5,则点A的坐标是________.
解析:设A(m,n).
由=5,得B.
又A,B均在椭圆上,所以有
解得或
所以点A的坐标为(0,1)或(0,-1).
答案:(0,1)或(0,-1)
9.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过点F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,求椭圆C的标准方程.
解:设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
由e=知=,故=,从而=,=.由△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,得a=4,∴b2=8.
故椭圆C的标准方程为+=1.
10.椭圆+=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使∠APO=90°,求椭圆离心率的取值范围.
解:设P(x,y),由∠APO=90°知,点P在以OA为直径的圆上,圆的方程是2+y2=2.
∴y2=ax-x2.①
又P点在椭圆上,故+=1.②
把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,即
(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,∵x≠a,x≠0,
∴x=,又0
∴0<
由b2=a2-c2,得a2<2c2,∴e>.
又∵0
层级二 应试能力达标
1.椭圆+=1与+=1(0
A.有相等的长轴长、短轴长 B.有相等的焦距
C.有相同的焦点 D.有相同的顶点
解析:选B c=25-9=16,c=(25-k)-(9-k)=25-9=16,所以两椭圆有相等的焦距.故选B.
2.过椭圆+=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )
A.8,6 B.4,3
C.2, D.4,2
解析:选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为2a=4;最短弦为垂直于长轴的弦,因为c=1,将x=1代入+=1,得+=1,解得y2=,即y=±,所以最短弦的长为2×=3.故选B.
3.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.x2+=1
C.+y2=1 D.+=1
解析:选B 椭圆9x2+4y2=36可化为+=1,
可知焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±),
故可设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=.
又2b=2,即b=1,所以a2=b2+c2=6,
则所求椭圆的标准方程为x2+=1.
4.(全国丙卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:选A 如图所示,由题意得A(-a,0),B(a,0),F(-c,0).
设E(0,m),
由PF∥OE,得=,
则|MF|=.①
又由OE∥MF,得=,
则|MF|=.②
由①②得a-c=(a+c),即a=3c,
∴e==.故选A.
5.已知椭圆+=1(a>b>0),A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点,F为右焦点,且AB⊥BF,则椭圆的离心率为________.
解析:在Rt△ABF中,
|AB|=,|BF|=a,|AF|=a+c,
由|AB|2+|BF|2=|AF|2,
得a2+b2+a2=(a+c)2.
将b2=a2-c2代入,得a2-ac-c2=0,
即e2+e-1=0,解得e=.
因为e>0,所以e=.
答案:
6.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________.
解析:由题意,知a=10,b=8,不妨设椭圆方程为+=1,其上的点M(x0,y0),则|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,点M到椭圆中心的距离d=.因为+=1,所以y=64=64-x,则d== ,因为0≤x≤100,所以64≤x+64≤100,即8≤d≤10.
答案:[8,10]
7.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长,并写出焦点坐标和顶点坐标.
解:椭圆方程可化为+=1,
由m-=>0,可知m>,
所以a2=m,b2=,c== ,
由e=,得 =,解得m=1.
于是椭圆的标准方程为x2+=1,
则a=1,b=,c=.
所以椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为,;四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),,.
8.设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0) 的左、右焦点,过点 F1的直线交椭圆 E于 A,B两点,|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为16,求|AF2|;
(2)若cos∠AF2B=,求椭圆E 的离心率.
解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,
得|AF1|=3,|F1B|=1.
因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.
故|AF2|=8-3=5.
(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.
由椭圆定义可得,|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
在△ABF2中,由余弦定理可得,
|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k).
化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.
于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.
因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,
故△AF1F2为等腰直角三角形.
从而c=a,所以椭圆E的离心率e==.
课时跟踪检测(九) 双曲线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.直线 D.一条射线
解析:选D F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.
2.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线
解析:选D 将方程化为-=1,
由mn<0,知->0,
所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.
3.已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( )
A. B.
C. D.5
解析:选C 如图所示,点P是以A,B为焦点的双曲线的右支上的点,当P在M处时,|PA|最小,最小值为a+c=+2=.
4.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值是( )
A. B.1或-2
C.1或 D.1
解析:选D 依题意知解得a=1.
5.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A.x2-=1 B.-y2=1
C.y2-=1 D.-=1
解析:选A 由双曲线定义知,
2a=-=5-3=2,
∴a=1.
又c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,
因此所求双曲线的标准方程为x2-=1.
6.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m=________.
解析:由点F(0,5)可知该双曲线-=1的焦点落在y轴上,所以m>0,且m+9=52,解得m=16.
答案:16
7.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________.
解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则解得
故双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
8.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为________________.
解析:由题意可设双曲线方程为
-=1(a>0,b>0).
由·=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.
根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2得
20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,
所以双曲线方程为-y2=1.
答案:-y2=1
9.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.
解:已知双曲线-=1,由c2=a2+b2,
得c2=16+9=25,∴c=5.
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
依题意,c=5,∴b2=c2-a2=25-a2,
故双曲线方程可写为-=1.
∵点P在双曲线上,
∴-=1.
化简,得4a4-129a2+125=0,
解得a2=1或a2=.
又当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,不合题意,舍去,故a2=1,b2=24.
∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.
10.已知△ABC的两个顶点A,B分别为椭圆x2+5y2=5的左焦点和右焦点,且三个内角A,B,C满足关系式sin B-sin A=sin C.
(1)求线段AB的长度;
(2)求顶点C的轨迹方程.
解:(1)将椭圆方程化为标准形式为+y2=1.
∴a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4,
则A(-2,0),B(2,0),|AB|=4.
(2)∵sin B-sin A=sin C,
∴由正弦定理得
|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|=4,
即动点C到两定点A,B的距离之差为定值.
∴动点C的轨迹是双曲线的右支,并且c=2,a=1,
∴所求的点C的轨迹方程为x2-=1(x>1).
层级二 应试能力达标
1.设θ∈,则关于x,y的方程+=1所表示的曲线是( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在x轴上的椭圆
解析:选B 由题意,知-=1,因为θ∈,所以sin θ>0,-cos θ>0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线.故选B.
2.若双曲线-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )
A.1 B.
C.2 D.4
解析:选A 设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2,已知|PF1|+|PF2|=2,解得|PF1|=+,|PF2|=-,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,于是S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=×2=1.故选A.
3.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(3,0),则k=( )
A.1 B.-1
C. D.-
解析:选A 依题意,知双曲线的焦点在x轴上,方程可化为-=1,则k>0,且a2=,b2=,所以+=9,解得k=1.
4.已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( )
A.4a B.4a-m
C.4a+2m D.4a-2m
解析:选C 由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.
5.已知双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,双曲线上的点P到F1的距离为12,则点P到F2的距离为________.
解析:设F1为左焦点,F2为右焦点,当点P在双曲线的左支上时,|PF2|-|PF1|=10,所以|PF2|=22;当点P在双曲线的右支上时,|PF1|-|PF2|=10,所以|PF2|=2.
答案:22或2
6.过双曲线-=1的一个焦点作x轴的垂线,则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________.
解析:因为双曲线方程为-=1,
所以c==13,
设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,
则F1(-13,0),F2(13,0).
设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(-13,y)(y>0),则=-1=,
所以y=,即|AF1|=.
又|AF2|-|AF1|=2a=24,
所以|AF2|=24+=.
即所求距离分别为,.
答案:,
7.已知△OFQ的面积为2,且·=m,其中O为坐标原点.
(1)设
(2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
解:(1)因为
所以tan θ=.
又
即tan θ的取值范围为(1,4).
(2)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则||=(x1-c,y1),
所以S△OFQ=||·|y1|=2,则y1=±.
又·=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,解得x1=c,
所以||== ≥=2,
当且仅当c=4时,||最小,
这时Q的坐标为(,)或(,-).
因为所以于是双曲线的标准方程为-=1.
8.设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M,F(,0),且P为L上动点.求||MP|-|FP||的最大值.
解:(1)两圆的圆心分别为A(-,0),B(,0),半径为2,设圆C的半径为r.由题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2或|CA|=r+2,|CB|=r-2,
两式相减得|CA|-|CB|=-4或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4.
则圆C的圆心轨迹为双曲线,其中2a=4,c=,b2=1,
∴圆C的圆心轨迹L的方程为-y2=1.
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点,如图,连接MF并延长交双曲线于一点P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值.
又|MF|==2,
∴||MP|-|FP||的最大值为2.
课时跟踪检测(八) 直线与椭圆的位置关系
层级一 学业水平达标
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
解析:选B 直线y=kx-k+1可变形为y-1=k(x-1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆+=1内部,所以直线y=kx-k+1与椭圆+=1相交,故选B.
2.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是( )
A. B.
C. D.
解析:选A 由消去y得,
(m+n)x2-2nx+n-1=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为(x0,y0),
则x1+x2=,∴x0=,
代入y=1-x得y0=.
由题意=,∴=,选A.
3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0,1) B.0,
C.0, D.,1
解析:选C ∵⊥,∴点M在以F1F2为直径的圆上,又点M在椭圆内部,∴c
0,∴0
4.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A∈l,线段AF交椭圆C于点B,若=3,则| |=( )
A. B.2
C. D.3
解析:选A 设点A(2,n),B(x0,y0).
由椭圆C:+y2=1知a2=2,b2=1,
∴c2=1,即c=1.∴右焦点F(1,0).
由=3得(1,n)=3(x0-1,y0).
∴1=3(x0-1)且n=3y0.
∴x0=,y0=n.
将x0,y0代入+y2=1,
得×2+2=1.
解得n2=1,
∴||===.
5.(全国卷Ⅰ)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),
所以直线AB的方程为y=(x-3),
代入椭圆方程+=1消去y,
得x2-a2x+a2-a2b2=0,
所以AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2,
又a2=b2+c2,所以b=c=3.
所以E的方程为+=1.
6.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为______.
解析:由
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-2,x1x2=-6.
∴弦长|MN|=|x1-x2|
= = =.
答案:
7.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),| |=1,且·=0,则||的最小值是________.
解析:易知点A(3,0)是椭圆的右焦点.
∵·=0,
∴⊥.
∴||2=| |2-||2=||2-1,
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故||min=2,∴||min=.
答案:
8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________.
解析:由+=1可得F(-1,0).
设P(x,y),-2≤x≤2,则·=x2+x+y2=x2+x+31-=x2+x+3=(x+2)2+2,
当且仅当x=2时,·取得最大值6.
答案:6
9.已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,求弦AB的长.
解:∵a2=4,b2=1,∴c==,
∴右焦点F(,0),∴直线l的方程y=x-.
由消去y并整理,得5x2-8x+8=0.
设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
∴|AB|=
==,
即弦AB的长为.
10.设椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
解:(1)将(0,4)代入C的方程得=1,
∴b=4.又e==,得=,
即1-=,∴a=5,
∴C的方程为+=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=0,解得x1+x2=3,∴AB的中点坐标 x0==,y0==(x1+x2-6)=-,即中点坐标为.
层级二 应试能力达标
1.若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( )
A.2 B.1
C.0 D.0或1
解析:选A 由题意,得 >2,所以m2+n2<4,则-2
2.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.∪
解析:选C 由得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.故选C.
3.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则的最小值为( )
A.1 B.-1
C.- D.以上都不对
解析:选C 设=k,则y=k(x-2).
由消去y,整理得
(k2+4)x2-4k2x2+4(k2-1)=0,
Δ=16k4-4×4(k2-1)(k2+4)=0,
解得k=±,
∴kmin=-.选C.
4.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1的两个焦点,P(不在x轴上)为椭圆上一点,且满足·=c2,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:选C 由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2. ①
又·=c2,
∴|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=c2, ②
由余弦定理,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=|F1F2|2=4c2, ③
由①②③,得cos∠F1PF2=<1,
所以c
又|PF1|·|PF2|≤2=a2,
∴2a2-3c2≤a2,a2≤3c2,e≥,
则椭圆离心率的取值范围是,故选C.
5.若过椭圆+=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程是________.
解析:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减并将x1+x2=4,y1+y2=2代入,得=-,所以所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
答案:x+2y-4=0
6.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以=,即e=.
答案:
7.已知F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB(O为坐标原点)为锐角,求直线l的斜率k的取值范围.
解:显然直线x=0不满足题设条件,故设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立消去y并整理,得x2+4kx+3=0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
由Δ=(4k)2-12=4k2-3>0,得k>或k<-.①
又0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?·>0,
所以·=x1x2+y1y2>0.
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=++4=,
所以+>0,即k2<4,所以-2
综合①②,得直线l的斜率k的取值范围为-2,-∪.
8.已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线 l:y=-x+m与椭圆交于 A,B两点,与以F1F2 为直径的圆交于C,D 两点,且满足= ,求直线l 的方程.
解:(1)由题设知
解得a=2,b=,c=1,
∴椭圆的方程为+=1.
(2)由题设,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,
∴圆心到直线l的距离d=,
由d<1得|m|<.(*)
∴|CD|=2=2= .
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得x2-mx+m2-3=0,
由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.
∴|AB|=
= .
由=得 =1,
解得m=±,满足(*).
∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.
课时跟踪检测(六) 椭圆及其标准方程
层级一 学业水平达标
1.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )
A.4 B.5
C.8 D.10
解析:选D 根据椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,故选D.
2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2 B.6
C.4 D.12
解析:选C 由于△ABC的周长与焦点有关,设另一焦点为F,利用椭圆的定义,|BA|+|BF|=2,|CA|+|CF|=2,便可求得△ABC的周长为4.
3.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析:选B 利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),∴甲是乙的必要条件.
反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.
这是因为:仅当2a>|AB|时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹,∴甲不是乙的充分条件.
综上,甲是乙的必要不充分条件.
4.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.a>3 B.a<-2
C.a>3或a<-2 D.a>3或-6
解析:选D 由a2>a+6>0得所以所以a>3或-6
5.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为( )
A.+=1
B.+=1或+=1
C.+=1
D.+=1或+=1
解析:选B 由已知2c=|F1F2|=2,∴c=.
∵2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,
∴a=2.∴b2=a2-c2=9.
故椭圆C的标准方程是+=1或+=1.
6.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是________.
解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=4,c2=m-4,又2c=2,∴c=1.
∴m-4=1,m=5.
当椭圆的焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,
∴c2=4-m=1,
∴m=3.
答案:3或5
7.已知椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,则椭圆C的标准方程为________________.
解析:法一:依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F′(-2,0).
从而有解得
又a2=b2+c2,所以b2=12,
故椭圆C的标准方程为+=1.
法二:依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则解得b2=12或b2=-3(舍去),从而a2=16.所以椭圆C的标准方程为+=1.
答案:+=1
8.椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆方程为__________.
解析:如图,当P在y轴上时△PF1F2的面积最大,
∴×8b=12,∴b=3.
又∵c=4,∴a2=b2+c2=25.
∴椭圆的标准方程为+=1.
答案:+=1
9.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.
解:由点在椭圆上,得+=1,
又2a=4,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).
10.已知椭圆C与椭圆x2+37y2=37的焦点F1,F2相同,且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若P∈C,且∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.
解:(1)因为椭圆+y2=1的焦点坐标为(-6,0),(6,0).
所以设椭圆C的标准方程为+=1(a2>36).
将点的坐标代入整理得4a4-463a2+6 300=0,解得a2=100或a2=(舍去),
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)因为P为椭圆C上任一点,
所以|PF1|+|PF2|=2a=20.
由(1)知c=6,
在△PF1F2中,|F1F2|=2c=12,
所以由余弦定理得:
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos ,
即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.
因为|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·
所以122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|.
所以122=202-3|PF1||PF2|.
所以|PF1|·|PF2|===.
S△PF1F2=|PF1|·|PF2|sin =××=.
所以△F1PF2的面积为.
层级二 应试能力达标
1.下列说法中正确的是( )
A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析:选C A中,|F1F2|=8,则平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段,所以A错误;B中,到F1,F2两点的距离之和等于6,小于|F1F2|,这样的轨迹不存在,所以B错误;C中,点M(5,3)到F1,F2两点的距离之和为+=4>|F1F2|=8,则其轨迹是椭圆,所以C正确;D中,轨迹应是线段F1F2的垂直平分线,所以D错误.故选C.
2.椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上的一点,已知·=0,则△F1PF2的面积为( )
A.9 B.12
C.10 D.8
解析:选A ∵·=0,
∴PF1⊥PF2.
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2且|PF1|+|PF2|=2a.
又a=5,b=3,∴c=4,
∴
②2-①,得2|PF1|·|PF2|=36,
∴|PF1|·|PF2|=18,
∴△F1PF2的面积为
S=·|PF1|·|PF2|=9.
3.若α∈,方程x2sin α+y2cos α=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:选A 易知sin α≠0,cos α≠0,方程x2sin α+y2cos α=1可化为+=1.因为椭圆的焦点在y轴上,所以>>0,即sin α>cos α>0.又α∈,所以<α<.
4.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5 B.7
C.13 D.15
解析:选B 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心:且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.
5.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点为(0,-4),则k的值为________.
解析:易知k≠0,方程2kx2+ky2=1变形为+=1,所以-=16,解得k=.
答案:
6.已知椭圆C: +=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则 |AN|+|BN|=________.
解析:取MN的中点G,G在椭圆C上,因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,故有|GF1|=|AN|,|GF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12.
答案:12
7.已知点P在椭圆上,且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.
解:法一:设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),
由已知条件得解得
所以b2=a2-c2=12.
于是所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
法二:设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),两个焦点分别为F1,F2.
由题意知2a=|PF1|+|PF2|=3+5=8,所以a=4.
在方程+=1中,令x=±c,得|y|=;
在方程+=1中,令y=±c,得|x|=.
依题意有=3,得b2=12.
于是所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
8. 如图在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上一点,AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,求点M的轨迹方程.
解:如图,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上,
则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5.
又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且2a=5,故a=,c=1,b2=a2-c2=-1=.
故点M的轨迹方程为+=1.
课时跟踪检测(十一) 抛物线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1.抛物线y=12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A.3 B.6
C. D.
解析:选C 将方程化为标准形式是x2=y,因为2p=,所以p=.故到焦点的距离最小值为.
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为( )
A. B.1
C.2 D.4
解析:选C ∵抛物线y2=2px的准线x=-与圆(x-3)2+y2=16相切,∴-=-1,即p=2.
3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( )
A. B.
C.3 D.2
解析:选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C.
4.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( )
A.抛物线 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
解析:选A 由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.
5.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )
A.x2=y B.x2=y
C.x2=8y D.x2=16y
解析:选D 双曲线的渐近线方程为y=±x,由于== =2,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.抛物线的焦点坐标为,所以=2,所以p=8,所以抛物线方程为x2=16y.
6.抛物线x=y2的焦点坐标是________.
解析:方程改写成y2=4mx,得2p=4m,∴p=2m,即焦点(m,0).
答案:(m,0)
7.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,双曲线x2-=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直,则实数a=________.
解析:根据抛物线的定义得1+=5,p=8.不妨取M(1,4),则AM的斜率为2,由已知得-×2=-1,故a=.
答案:
8.对标准形式的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
其中满足抛物线方程为y2=10x的是________.(要求填写适合条件的序号)
解析:抛物线y2=10x的焦点在x轴上,②满足,①不满足;设M(1,y0)是y2=10x上一点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以③不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以④满足.
答案:②④
9.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
解:法一:如图所示,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),则焦点F,准线l:y=,作MN⊥l,垂足为N,则|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+,3+=5,即p=4.
所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.
由m2=-8×(-3)=24,得m=±2.
法二:设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为F.
∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5,
故解得
∴抛物线方程为x2=-8y,m=±2,准线方程为y=2.
10.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程;
(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
解:如图所示.(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
因为点C(5,-5)在抛物线上,
所以该抛物线的方程为x2=-5y.
(2)设车辆高为h,则|DB|=h+0.5,
故D(3.5,h-6.5),
代入方程x2=-5y,解得h=4.05,
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
层级二 应试能力达标
1.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
解析:选D 设P为满足条件的点,则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,即点P在以点A为焦点,y轴为准线的抛物线上,所以点P的轨迹为抛物线.故选D.
2.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为( )
A.2 B.4
C.6 D.4
解析:选D 如图,∵△FPM是等边三角形.
∴由抛物线的定义知PM⊥l.
在Rt△MQF中,|QF|=2,
∠QMF=30°,∴|MF|=4,
∴S△PMF=×42=4.故选D.
3.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为( )
A. B. C.1 D.2
解析:选D 设AB的中点为M,焦点为F(0,1).过M作准线l:y=-1的垂线MN,过A作AC⊥l于C,过B作BD⊥l于D,则|MN|==≥=3,所以AB中点到x轴的最短距离为3-1=2,此时动弦AB过焦点,故选D.
4.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
解析:选C 由已知得抛物线的焦点F,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则=,=.由已知得,·=0,即y-8y0+16=0,因而y0=4,M.
由|MF|=5得, =5,又p>0,解得p=2或p=8,故选C.
5.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||=________.
解析:因为++=0,所以点F为△ABC的重心,则A,B,C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍,即xA+xB+xC=3,所以||+||+||=xA+1+xB+1+xC+1=6.
答案:6
6.从抛物线y2=4x上的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的内切圆的面积为________.
解析:如图,∵|PM|=5,
∴点P的坐标为(4,4),
∴S△PMF=×5×4=10.
设△PMF的内切圆圆心为O′,半径为r,
∴S△PMF=S△O ′PM+S△O ′PF+S△O ′MF,
即(5+5+2)r=10,解得r=,
故△PMF内切圆的面积为πr2=π.
答案:π
7.已知M是抛物线y2=2px(p>0)上任一点(不与原点重合),F是其焦点.
求证:以MF为直径的圆与y轴相切.
证明:如图,过M作MN⊥l于N,交y轴于点Q,O′是MF的中点,作O′R⊥y轴于R.
∵|MF|=|MN|,|OF|=|OP|=|QN|,
∴|O′R|=(|OF|+|QM|)
=(|QM|+|QN|)
=|MN|=|MF|,
∴以MF为直径的圆与y轴相切.
8.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
解:(1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
由抛物线的定义,知|PF|=d,
于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.
如图,连接AF,交抛物线于点P,则最小值为=.
(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±,
因为>2,所以点B在抛物线内部.
自点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图).
由抛物线的定义,知|P1Q|=|P1F|,
则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4.
即|PB|+|PF|的最小值为4.
课时跟踪检测(十二) 抛物线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1.已知抛物线的对称轴为x轴,顶点在原点,焦点在直线2x-4y+11=0上,则此抛物线的方程是( )
A.y2=-11x B.y2=11x
C.y2=-22x D.y2=22x
解析:选C 在方程2x-4y+11=0中,
令y=0得x=-,
∴抛物线的焦点为F,
即=,∴p=11,
∴抛物线的方程是y2=-22x,故选C.
2.过点(2,4)作直线l,与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线l有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析:选B 可知点(2,4)在抛物线y2=8x上,∴过点(2,4)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有两条,一条是抛物线的切线,另一条与抛物线的对称轴平行.
3.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标为( )
A.(2,±2 ) B.(1,±2)
C.(1,2) D.(2,2)
解析:选B 设A(x,y),则y2=4x,①
又=(x,y),=(1-x,-y),
所以·=x-x2-y2=-4.②
由①②可解得x=1,y=±2.
4.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为( )
A.2 B.2
C.2 D.2
解析:选B 设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意知AB的方程为y=-2(x-1),
即y=-2x+2.
由得x2-4x+1=0,
∴x1+x2=4,x1·x2=1.
∴|AB|=
===2.
5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
解析:选D 易知抛物线中p=,焦点F,直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=+=12,结合图象可得O到直线AB的距离d=·sin 30°=,所以△OAB的面积S=|AB|·d=.
6.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是________.
解析:将y=x-1代入y2=4x,整理,得x2-6x+1=0.由根与系数的关系,得x1+x2=6,=3,
∴===2.
∴所求点的坐标为(3,2).
答案:(3,2)
7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为________.
解析:抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中点M的横坐标为.
因此,点M到抛物线准线的距离为+1=.
答案:
8.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在y轴左侧),则=________.
解析:由题意可得焦点F,故直线AB的方程为y=x+,与x2=2py联立得A,B两点的横坐标为xA=-p,xB=p,故A-p,p,Bp,p,所以|AF|=p,|BF|=2p,所以=.
答案:
9.已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一弦,使它恰在点P被平分,求这条弦所在的直线方程.
解:设弦的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2).
∵P1,P2在抛物线上,∴y=6x1,y=6x2.
两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).①
∵y1+y2=2,代入①得k==3.
∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.
10.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若|AF|=4,求点A的坐标;
(2)求线段AB的长的最小值.
解:由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+,从而x1=4-1=3.代入y2=4x,解得y1=±2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3,-2).
(2)当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y=k(x-1).
与抛物线方程联立,
得消去y,整理得
k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
∵直线与抛物线相交于A,B两点,
则k≠0,并设其两根为x1,x2,
∴x1+x2=2+.
由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=4+>4.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,与抛物线相交于A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,
∴|AB|≥4,即线段AB的长的最小值为4.
层级二 应试能力达标
1.边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是( )
A.y2=x B.y2=-x
C.y2=±x D.y2=±x
解析:选C 设抛物线方程为y2=ax(a≠0).又A(取点A在x轴上方),则有=±a,解得a=±,所以抛物线方程为y2=±x.故选C.
2.过抛物线y2=4x的焦点,作一条直线与抛物线交于A,B两点,若它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有两条
C.有无穷多条 D.不存在
解析:选B 设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,知|AB|=x1+x2+p=5+2=7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短,且|AB|min=2p=4,所以这样的直线有两条.故选B.
3.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k=( )
A.2或-2 B.1或-1
C.2 D.3
解析:选C 由得k2x2-4(k+2)x+4=0.又由Δ=16(k+2)2-16k2>0,得k>-1.则由=4,得k=2.故选C.
4.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k=( )
A. B.
C. D.2
解析:选D 由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则①
由
?
∵·=0,
∴(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0.
∴(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0,
即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.④
由①②③④解得k=2.故选D项.
5.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为________.
解析:由消去y得x2-10x+9=0,得x=1或9,即或所以|AP|=10,|BQ|=2或|BQ|=10,|AP|=2,|PQ|=8,所以梯形APQB的面积S=×8=48.
答案:48
6.顶点为坐标原点,焦点在x轴上的抛物线,截直线2x-y+1=0所得的弦长为,则抛物线方程为________.
解析:设所求抛物线方程为y2=ax(a≠0),
联立得4x2+(4-a)x+1=0,
则Δ=(4-a)2-16>0,得a>8或a<0.
设直线与抛物线的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
所以|AB|=
==,
解得a=12或a=-4.
所以抛物线方程为y2=12x或y2=-4x.
答案:y2=12x或y2=-4x
7.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于 时,求实数k的值.
解:(1)证明:由消去x,得ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知k≠0,则y1+y2=-,y1y2=-1.
由A,B在抛物线y2=-x上,可知y=-x1,y=-x2,则yy=x1x2.
因为kOA·kOB=·===-1,
所以OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于点N.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON|·|y2|=|ON||y1-y2|,
所以S△OAB=×1×
= =.
解得k=±.
8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.
解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.
所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.
由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y2=4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直,
故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y2=4x得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中点为D(2m2+1,2m),
|AB|=|y1-y2|
=·
=4(m2+1).
又l′的斜率为-m,
所以l′的方程为x=-y+2m2+3.
将上式代入y2=4x,
并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),
则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).
故MN的中点为E,
|MN|=|y3-y4|
=·
=.
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,
从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+2+2=.
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
课时跟踪检测(十) 双曲线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1.下列双曲线中离心率为的是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:选B 由e=得e2=,∴=,
则=,∴=,即a2=2b2.因此可知B正确.
2.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线方程是( )
A.x2-y2=8 B.x2-y2=4
C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
解析:选A 令y=0得,x=-4,
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4,0),
∴c=4,a2=c2=×16=8,故选A.
3.双曲线+=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是( )
A.(-10,0) B.(-12,0)
C.(-3,0) D.(-60,-12)
解析:选B 由题意知k<0,∴a2=4,b2=-k.
∴e2===1-.
又e∈(1,2),∴1<1-<4,∴-12
4.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:选B 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意知c=3,a2+b2=9,
设A(x1,y1),B(x2,y2)则有
两式作差得===,
又AB的斜率是=1,
所以4b2=5a2,代入a2+b2=9得a2=4,b2=5,
所以双曲线标准方程是-=1.
5.(全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )
A. B.2
C. D.
解析:选D 不妨取点M在第一象限,如图所示,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则|BM|=|AB|=2a,∠MBx=180°-120°=60°,
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上,∴-=1,a=b,
∴c=a,e==.故选D.
6.(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________.
解析:法一:∵双曲线的渐近线方程为y=±x,
∴可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4,),∴λ=16-4×()2=4,
∴双曲线的标准方程为-y2=1.
法二:∵渐近线y=x过点(4,2),而<2,
∴点(4,)在渐近线y=x的下方,
在y=-x的上方(如图).
∴双曲线的焦点在x轴上,
故可设双曲线方程为
-=1(a>0,b>0).
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为-y2=1.
答案:-y2=1
7.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为________.
解析:由题意知,a+c=,
即a2+ac=c2-a2,∴c2-ac-2a2=0,∴e2-e-2=0,
解得e=2或e=-1(舍去).
答案:2
8.双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________.
解析:双曲线-=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=±x.
不妨设直线FB的方程为y=(x-5),代入双曲线方程整理,得x2-(x-5)2=9,解得x=,y=-,
所以B.
所以S△AFB=|AF||yB|=(c-a)·|yB|=×(5-3)×=.
答案:
9.(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,求该三角形的面积.
解:设双曲线的左焦点为F1,由双曲线方程x2-=1可知,a=1,c=3,故F(3,0),F1(-3,0).
当点P在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF|-|PF1|=2,所以|PF|=|PF1|+2,从而△APF的周长=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|.
因为|AF|==15为定值,所以当(|AP|+|PF1|)最小时,△APF的周长最小,
由图象可知,此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示).
由题意可知直线AF1的方程为y=2x+6,
由
得y2+6y-96=0,
解得y=2或y=-8(舍去),
所以S△APF=S△AF1F-S△PF1F
=×6×6-×6×2=12.
10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且=.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
解:(1)由题意得解得
所以b2=c2-a2=2.
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).
由
得x2-2mx-m2-2=0(判别式Δ>0).
所以x0==m,y0=x0+m=2m.
因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
所以m2+(2m)2=5.
故m=±1.
层级二 应试能力达标
1.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )
A.2 B.2
C. D.1
解析:选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y=x,则所求距离d==2.故选A.
2.若双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y=-x,则双曲线的方程为( )
A.y2-x2=96 B.y2-x2=160
C.y2-x2=80 D.y2-x2=24
解析:选D 设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),因为双曲线与椭圆有相同的焦点,且焦点为(0,±4),所以λ<0,且-2λ=(4)2,得λ=-24.故选D.
3.若中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析:选D 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由题意,知过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,所以-2=-×4,即a=2b.设b=k(k>0),则a=2k,c=k,所以e===.故选D.
4.(全国甲卷)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )
A. B.
C. D.2
解析:选A 法一:作出示意图,如图,离心率e===,由正弦定理得e====.故选A.
法二:因为MF1与x轴垂直,所以|MF1|=.
又sin∠MF2F1=,所以=,即|MF2|=3|MF1|.由双曲线的定义得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=,所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2,所以离心率e==.
5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且离心率为e=,则双曲线的标准方程为________.
解析:由焦点坐标,知c=2,由e==,可得a=4,所以b==2,则双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是________.
解析:由题意,知≥,则≥3,所以c2-a2≥3a2,即c2≥4a2,所以e2=≥4,所以e≥2.
答案:[2,+∞)
7.设双曲线-=1(0
解:直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.
于是有=c,
所以ab=c2,两边平方,得a2b2=c4.
又b2=c2-a2,所以16a2(c2-a2)=3c4,
两边同时除以a4,得3e4-16e2+16=0,
解得e2=4或e2=.
又b>a,所以e2==1+>2,则e=2.
于是双曲线的离心率为2.
8.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,O为坐标原点,且△AOB的面积是,求实数k的值.
解:(1)由消去y,
得(1-k2)x2+2kx-2=0.①
由直线l与双曲线C有两个不同的交点,
得
解得-
即k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程①,得x1+x2=,x1x2=.
因为直线l:y=kx-1恒过定点D(0,-1),
则当x1x2<0时,S△AOB=S△OAD+S△OBD=|x1-x2|=;
当x1x2>0时,S△AOB=|S△OAD-S△OBD|=|x1-x2|=.
综上可知,|x1-x2|=2,
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2)2,
即2+=8,解得k=0或k=±.
由(1),可知-
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同课章节目录
第一章常用逻辑用语
1.1命题及其关系
1.2充分条件与必要条件
1.3简单的逻辑联结词
1.4全称量词与存在量词
第二章圆锥曲线与方程
2.1椭圆
2.2双曲线
2.3抛物线
第三章导数及其应用
3.1变化率与导数
3.2导数的计算
3.3导数在研究函数中的应用
3.4生活中的优化问题举例
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