阶段质量检测（三）
导数及其应用
(时间：
120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝sin
α－cos
x，则f′(x)等于( )
A．sin
x
B．cos
x
C．cos
α＋sin
x
D．2sin
α＋cos
x
解析：选A 函数是关于x的函数，因此sin
α是一个常数．
2．以正弦曲线y＝sin
x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪
B．[0，π)
C.
D.∪
解析：选A y′＝cos
x，∵cos
x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是∪.
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选A 设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．
4．函数f(x)＝x2－ln
x的单调递减区间是( )
A.
B.
C.
，
D.，
解析：选A ∵f′(x)＝2x－＝，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为.
5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A．1
B.
C．0
D．－1
解析：选A f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，
则x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，
f＝－＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选D f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.
∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.
7．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
解析：选D f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，
要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即<0，解得a<－或a>.
故选D.
8.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )
解析：选D 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0
0，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.
9．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)A．{x|－1B．{x|x<1}
C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|x>1}
解析：选B 令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>，
∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，
∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时，
g(x)<0，即2f(x)10．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( )
A．6千台
B．7千台
C．8千台
D．9千台
解析：选A 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3，y′＝36x－6x2，令y′＝0得x＝6或x＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x＝6时y取得最大值．
11．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a＜b，则一定有( )
A．af(a)＜bf(b)
B．af(b)＜bf(a)
C．af(a)＞bf(b)
D．af(b)＞bf(a)
解析：选C [x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＜0，
∴函数x·f(x)是R上的减函数，
∵a＜b，∴af(a)＞bf(b)．
12．若函数f(x)＝，且0A．a>b
B．aC．a＝b
D．a，b的大小不能确定
解析：选A f′(x)＝，令g(x)＝xcos
x－sin
x，则g′(x)＝－xsin
x＋cos
x－cos
x＝－xsin
x.
∵0b，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)
13．若f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝.
答案：
14．曲线C：y＝在点(1,0)处的切线的方程为________________．
解析：由y＝，得y′＝，所以y′x＝1＝1，即切线l的斜率为1.又切线l过点(1,0)，所以切线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin
x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，
因为f′(x)＝1＋cos
x≥0，
故f(x)在上是增函数，
∵>π－2>1>π－3>0，
∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c答案：c16．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，
即函数f(x)的增区间为(－1,1)．
又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1＜m≤0.
答案：(－1,0]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.
因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，
所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，
于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，
g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．
当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，
故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
18.
(本小题满分12分)(北京高考)设函数f(x)＝－kln
x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，
]上仅有一个零点．
解：(1)由f(x)＝－kln
x(k>0)，
得x>0且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
?
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝.
(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.
当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，
]上的唯一零点．
当k>e时，f(x)在区间(1，
]上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0，
所以f(x)在区间(1，
]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，
]上仅有一个零点．
19．(本小题满分12分)某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所以座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域．
(2)当k＝100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低．
解：(1)设摩天轮上总共有n个座位，则x＝，
则n＝，
y＝8k＋k
＝k2，
定义域为.
(2)当k＝100时，
则y＝100，
令f(x)＝＋1
024，
则f′(x)＝－＋512×＝，
令f′(x)＝0，
所以x＝ x＝＝，
当x∈时，f′(x)<0，
即f(x)在x∈上单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，
即f(x)在x∈上单调递增，
所以总造价y的最小值在x＝时取到，此时座位个数为＝64个．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln
x＋(a>0)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间．
(2)若以函数y＝f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln
x＋，
定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝(0则k＝f′(x0)＝≤(0即a≥max.
当x0＝1时，－x＋x0取得最大值，所以a≥，所以a的最小值为.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mln
x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由f(x)≥h(x)，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，
所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.即m的取值范围是(－∞，e]．
(2)由已知可得k(x)＝x－2ln
x－a.
函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，
相当于函数φ(x)＝x－2ln
x与直线y＝a有两个不同的交点．
φ′(x)＝1－＝，
当x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，
当x∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．
又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln
2，φ(3)＝3－2ln
3，
要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2ln
x有两个交点，
则2－2ln
2＜a＜3－2ln
3.
即实数a的取值范围是(2－2ln
2,3－2ln
3)．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.
解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．
①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点．
②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b，
则f(b)>(b－2)＋a(b－1)2＝a>0，
故f(x)存在两个零点．
③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
若a≥－，则ln(－2a)≤1，
故当x∈(1，＋∞)时，
f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增．
又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．
若a<－，则ln(－2a)>1，
故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；
当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.
因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．
又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．
(2)证明：不妨设x1所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.
由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，
而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，
所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.
设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，
则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．
所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，
故当x>1时，g(x)<0.
从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.阶段质量检测（二）
圆锥曲线与方程
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1
B．－y2＝1
C．－x2＝1
D．y2－＝1
解析：选C 由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C．
2．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin
θ＝4的曲线不可能是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
解析：选C 由于θ∈R，对sin
θ的值举例代入判断．
sin
θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin
θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin
θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
3．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A．或
B．或2
C．或2
D．或
解析：选A 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k．若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝．
4．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
解析：选B 设P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4，S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1．又－y＝1，∴x＝3(y＋1)＝6，∴·＝x＋y－4＝6＋1－4＝3．
5．设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5
B．6
C．7
D．8
解析：选C 双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2．又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7．
6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
解析：选C 准线x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0．
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1．
综上，k的取值范围是[－1,1]．
7．(全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知＝×2b，解得＝，即e＝．故选B．
8．(浙江高考)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m＞n且e1e2＞1
B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1
D．m＜n且e1e2＜1
解析：选A C1的焦点为(±，0)，C2的焦点为(±，0)，
∵C1与C2的焦点重合，
∴＝，∴m2＝n2＋2，∴m2＞n2.
∵m＞1，n＞0，∴m＞n.
∵C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，
∴e1e2＝·
＝＝
＝＝＞＝1.
答案：A
9．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60
cm，灯深40
cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x
B．y2＝x
C．x2＝－y
D．x2＝－y
解析：选C 如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，
所以所求抛物线方程为y2＝x．
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
10．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D 将y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1),
B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，＝5，解得k2＝，又因为k>0，所以k＝．
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为．双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：选D 因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2．双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±
b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×
b×
b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1．
12．(四川高考)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1,3)
B．(1,4)
C．(2,3)
D．(2,4)
解析：选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(5＋rcos
θ，rsin
θ)
则
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条．
当直线l的斜率存在时，
可得2rsin
θ(y1－y2)＝4(x1－x2)
kAB＝＝．
又∵kMC＝＝．
∴kAB＝－＝－．
∴＝－ r＝>2．
由于M在抛物线的内部，∴(rsin
θ)2<4(5＋rcos
θ)＝20＋4rcos
θ＝20＋4×(－2)＝12．
∴|rsin
θ|<2．∴|rsin
θ|＝r·＝<2 r2<16 0因此2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：＋＝1
14．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知|F1F2|＝2＝4，
设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝．
答案：
15．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________．
解析：依题意，设抛物线的焦点为F，点Q的横坐标是x0(x0≥0)，则有|QF|＝x0＋的最小值是＝1，则p＝2．
答案：2
16．已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．
解析：∵m∈[－2，－1]，
∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，
∴e＝．∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤．
答案：，
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×．∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x．
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1．
18．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y2＝2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y＝kx＋2，
由消去x得ky2－2y＋4＝0．
∵直线l与抛物线相交，
∴解得k<且k≠0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝，
从而x1x2＝·＝．
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0，解得k＝－1符合题意，
∴直线l的方程为y＝－x＋2．
19．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
解：(1)由消去y，并整理得
9x2＋6mx＋2m2－18＝0．①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，据此可解得－3
≤m≤3
．
故所求实数m的取值范围为[－3
，3
]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得：x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝
·
＝·
，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为．
20．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
解：(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0．
依题意解得
∴椭圆方程为＋y2＝1．
(2)假若存在这样的k值，由得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0．
∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0．①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则②
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4．
要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，当且仅当CE⊥DE时，则·＝－1．
即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0．
∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0．③
将②式代入③整理解得k＝．经验证k＝使①成立．
综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E．
21．(本小题满分12分)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线l：x＝与两条渐近线分别相交于P，Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)若直线y＝ax＋b被双曲线C所截得的弦长为，求双曲线C的方程．
解：(1)双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设点P在第一象限，则渐近线与直线l：x＝的两交点分别为P，，Q．
设直线l交x轴于点M(如图)．
∵△PFQ为等边三角形，
∴|MF|＝|PQ|，
即c－＝，
即＝，解得b＝a，
∴c＝2a，∴e＝＝2．
(2)由(1)得双曲线C的方程为－＝1．
设直线y＝ax＋b与双曲线C的两交点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)．
把y＝ax＋b＝ax＋a代入双曲线C的方程，
得(a2－3)x2＋2a2x
＋6a2＝0．
则
∴a2<6，且a2≠3．
又x1＋x2＝，x1x2＝，
∴直线y＝ax＋b被双曲线C所截得的弦长为
＝
＝
＝，
化简整理得13a4－77a2＋102＝0．
∴a2＝2或a2＝，满足a2<6且a2≠3．
∴双曲线C的方程为－＝1或－＝1．
22．(本小题满分12分)(湖南高考)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2．过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)．
因为F也是椭圆C2的一个焦点，
所以a2－b2＝1．①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为，
所以＋＝1．②
联立①②，得a2＝9，b2＝8．
故C2的方程为＋＝1．
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因与同向，且|AC|＝|BD|，
所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，
即x1－x2＝x3－x4，
于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4．③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1．
由得x2－4kx－4＝0．
而x1，x2是这个方程的两根，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4．④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0．
而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－．⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，即直线l的斜率为±．阶段质量检测（一）
常用逻辑用语
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
解析：选D 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．
2．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真
B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真
D．②的逆否命题为真
解析：选D ①的逆命题为<则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
3．已知命题p： x∈R,2x<3x；命题q： x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
B．綈p∧q
C．p∧綈q
D．綈p∧綈q
解析：选B 容易判断当x≤0时2x>3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题．根据真值表易判断綈p∧q为真命题．
4．全称命题“ x∈R，x2＋5x＝4”的否定是( )
A． x0∈R，x＋5x0＝4
B． x∈R，x2＋5x≠4
C． x0∈R，x＋5x0≠4
D．以上都不正确
解析：选C 全称命题的否定为特称命题．
5．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 要区分向量平行与向量相等，相反向量等基本概念，向量平行不一定向量相等，向量相等或相反必平行．
6．下列命题中，真命题是( )
A．命题“若|a|>b，则a>b”
B．命题“若“a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”
解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.
7．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，綈p，綈q中，真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B 易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，綈p，綈q是假命题．
8．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－，故a<0，故选C.
9．已知命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>；命题q：在△ABC中，A>B是sin
A>sin
B的充要条件，
则( )
A．p假q真
B．“p且q”为真
C．“p或q”为假
D．綈p假綈q真
解析：选B 易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以綈p为假，綈q为假．结合各选项知B正确．
10．下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是( )
A． a0∈R，当x>a0时，总有f(x)B． x∈R，f(x)C． x<0，f(x)≠g(x)
D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解
解析：选A 在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．
当x>4时，
由图象知f(x)其余三命题均错误．
11．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数；若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．
12．有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是( )
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①④
解析：选D ①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1.
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有
即m>1.∴③是假命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．命题“若a A，则b∈B”的逆否命题是________．
解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
答案：若b B，则a∈A
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
解析：p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
答案：p∨q，綈p
15．已知p：－40，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p：a－4由綈p是綈q的充分条件可知，
q是p的充分条件，即q p，
∴解得－1≤a≤6.
答案：[－1,6]
16．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
解析：由x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}，
得x<1或x≥2.
∵此命题是假命题，
∴1≤x<2.
答案：[1,2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数；
(2)当＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题．
(2)若＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2，真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x2，则y＝1且x＝1，假命题．
18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3) x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4) x0∈Z，log2x0>2.
解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“ ”，是全称命题，真命题；
(4)命题中含有存在量词“ ”，是特称命题，真命题．
19．(本小题满分12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0当x∈时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在上的最小值为2.
若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知命题：“ x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“ x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，
即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝ ，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
21．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明：充分性：因为∠A＝90°，
所以a2＝b2＋c2.
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现，x1＝x3，
所以方程有公共根．
必要性：设x是方程的公共根，
则
由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．
代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.
所以∠A＝90°.
所以结论成立．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．
(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的解析式；
(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝g(x)＋h(x)， ①
g(－x)＝－g(x)，h(－x)＝h(x)，
所以f(－x)＝－g(x)＋h(x)，
②
(①－②)÷2得g(x)＝(a＋1)x，
(①＋②)÷2得h(x)＝x2＋lg|a＋2|.
(2)因为函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数，所以(a＋1)2≥－，
解得a≥－1或a≤－且a≠－2.
又由函数g(x)＝(a＋1)x是减函数，
得a<－1且a≠－2.
所以命题p为真的条件是：
a≥－1或a≤－且a≠－2；
命题p为假的条件是：－命题q为真的条件是：a<－1且a≠－2；
命题q为假的条件是：a≥－1或a＝－2；
所以命题p，q有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是.