【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修1-1-模块综合检测

模块综合检测
(时间120分钟
满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“ x0∈R,2x0－3>1”的否定是(　　)
A． x0∈R,2x0－3≤1　　　
B． x∈R,2x－3>1
C． x∈R,2x－3≤1
D． x0∈R,2x0－3>1
解析：选C　由特称命题的否定的定义即知．
2．设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0的值为(　　)
A．e2
B．e
C.
D．ln
2
解析：选B　由f(x)＝xln
x，得f′(x)＝ln
x＋1.
根据题意知ln
x0＋1＝2，所以ln
x0＝1，因此x0＝e.
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为(　　)
A.
B．－
C．8
D．－8
解析：选B　由y＝ax2得x2＝y，
∴＝－8，
∴a＝－.
4．下列说法中正确的是(　　)
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：选D　否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.
5.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2]
B.
C．[－2,3]
D.
解析：选D　由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－，c＝－18.∴y＝x2－x－6，y′＝2x－.
当x＞时，y′＞0，∴y＝x2－x－6的单调递增区间为.故选D.
6．下列结论中，正确的为(　　)
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；
③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
解析：选B　p∧q为真 p真q真 p∨q为真，故①正确，由綈p为假 p为真 p∨q为真，故③正确．
7．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
故双曲线－＝1中，
m>0，n>0且m＋n＝c2＝1.①
又双曲线的离心率e＝＝
＝2，②
联立方程①②，解得故mn＝.
8．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是(　　)
A．f(－1)＝f(1)
B．f(－1)>f(1)
C．f(－1)D．不确定
解析：选B　因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1).
9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是(　　)
A．41
B．15
C．9
D．1
解析：选B　由S△F1PF2＝|F1F2|·yP＝3yP，
知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大．
此时∠F1PF2＝，
得a＝＝2
，b＝＝，故m＋n＝15.
10．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　由题意得解得|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，
又由已知可得＝2，所以c＝2a，即|F1F2|＝4a，
∴cos∠AF2F1＝
＝＝.故选A.
11．若不等式2xln
x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)
B．(－∞，4]
C．(0，＋∞)
D．[4，＋∞)
解析：选B　由2xln
x≥－x2＋ax－3，得a≤2ln
x＋x＋，设h(x)＝2ln
x＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．
12．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为(　　)
A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)
B．ex1f(x2)＜ex2(x1)
C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)
D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定
解析：选A　设g(x)＝，则g′(x)＝＝，由题意g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即＜，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．命题“ x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ x0∈R,2x－3ax0＋9＜0为假命题，
∴ x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2
]
14．(天津高考)已知函数f(x)＝axln
x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln
x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln
1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案：3
15．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析：由题意，如图，在Rt△AOF中，∠AFO＝30°，
AO＝a，OF＝c，∴sin
30°＝＝＝.
∴e＝＝2.
答案：2
16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170p－p2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．
解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则
y＝(p－20)(8
300－170p－p2)
＝－p3－150p2＋11
700p－166
000(p≥20)，
则y′＝－3p2－300p＋11
700.
令y′＝0得p2＋100p－3
900＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去)．
则p，y，y′变化关系如下表：
p
(20,30)
30
(30，＋∞)
y′
＋
0
－
y
?
极大值
?
故当p＝30时，y取极大值为23
000元．
又y＝－p3－150p2＋11
700p－166
000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23
000元．
答案：30　23
000
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q： x∈R,4x2－4mx＋4m－3≥0.若(綈p)∧q为真，求m的取值范围．
解：p真时，m>2.
q真时，4x2－4mx＋4m－3≥0在R上恒成立．
Δ＝16m2－16(4m－3)≤0，解得1≤m≤3.
∵(綈p)∧q为真，∴p假，q真．
∴即1≤m≤2.
∴所求m的取值范围为[1,2]．
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m，1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，
且f(1－m)＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，
且f(1＋m)＝m3＋m2－.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln
x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
f＝ln＋a＝－ln
a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln
a＋a－1<0.
令g(a)＝ln
a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当0当a>1时，g(a)>0.
因此a的取值范围是(0,1)．
20．(本小题满分12分)如图，已知点E(m，0)为抛物线y2=4x内的一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线分别交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
(1)若m=1，k1k2=-1，求△EMN面积的最小值；
(2)若k1+k2=1，求证：直线MN过定点．
解：(1)当m=1时，E为抛物线y2=4x的焦点．
∵k1k2=-1，∴AB⊥CD.
由题意，知直线AB的方程为y=k1(x-1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2-4y-4k1=0，
∴y1+y2=，y1y2=-4.
又线段AB的中点为M，
∴M.
同理点N(2k+1，-2k1)．
∴S△EMN=|EM|·|EN|=
·=2
≥2=4，
当且仅当k=，即k1=±1时等号成立，
∴△EMN面积的最小值为4.
(2)证明：由题意，得直线AB的方程为y=k1(x-m)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2-4y-4k1m=0，
∴y1+y2=，y1y2=-4m.
又线段AB的中点为M，
∴M.
同理点N.
∴kMN===k1k2，
∴直线MN：y-=k1k2，
即y=k1k2(x-m)+2，
∴直线MN恒过定点(m,2)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.
(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点．
(2)当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)证明：f′(x)＝ex＋4x－3，
∵f′(0)＝e0－3＝－2<0，f′(1)＝e＋1>0，
∴f′(0)·f′(1)<0.
令h(x)＝f′(x)＝ex＋4x－3，则h′(x)＝ex＋4>0，
∴f′(x)在区间[0,1]上单调递增，
∴f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点，
∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．
(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，
得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，
即ax≤ex－x2－1，
∵x≥，∴a≤.
令g(x)＝，则g′(x)＝.
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．
∵x≥，∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在上单调递增．
∴φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
∴a的取值范围是.
22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆＋=1(a>b>0)，A(2,0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P，Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，则是否存在实数λ，使得＝λ？若存在，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵·＝0，∴⊥，∠ACB＝90°．
又|－|＝2|－|，即||＝2||，
∴||＝||，
∴△AOC是等腰直角三角形．
∵A(2,0)，∴C(1,1)．
又点C在椭圆上，a＝2，
∴＋＝1，∴b2＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)对于椭圆上两点P，Q，
∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，
∴PC与CQ所在直线关于直线x＝1对称．
设kPC＝k(k≠0且k≠±1)，则kC
Q＝－k，
则直线PC的方程为
y－1＝k(x－1) y＝k(x－1)＋1，①
直线CQ的方程为
y－1＝－k(x－1) y＝－k(x－1)＋1，②
将①代入＋＝1，
得(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0.③
∵C(1,1)在椭圆上，∴x＝1是方程③的一个根，
∴xP＝，
以－k替换k，得到xQ＝.
kPQ＝＝＝＝＝.
而kAB＝，∴kPQ＝kAB，∴PQ∥AB，
∴存在实数λ，使得＝λ．
又||＝
＝
＝＝≤，
当且仅当9k2＝，即k2＝，k＝±时取等号．
又||＝，∴λmax＝＝.